同濟大學第四版線性代數課后習題答案

第一章行列式1.利用對角線法則計算下列三階行列式:(1);解=2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8-0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1)=-24+8+16-4=-4.(2)解=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc=3abc-a3-b3-c3.(3);解=bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2(a-b)(b-c)(c-a).(4).解=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3=3xy(x+y)-y3-3x2y-x3-y3-x3=-2(x3+y3).2.按自然數從小到大為標準次序,求下列各排列的逆序數:(1)1234;解逆序數為0(2)4132;解逆序數為4:41,43,42,32.(3)3421;解逆序數為5:32,31,42,41,21.(4)2413;解逆序數為3:21,41,43.(5)13×××(2n-1)24×××(2n);解逆序數為:32(1個)52,54(2個)72,74,76(3個)××××××(2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,×××,(2n-1)(2n-2)(n-1個)(6)13×××(2n-1)(2n)(2n-2)×××2.解逆序數為n(n-1):32(1個)52,54(2個)××××××(2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,×××,(2n-1)(2n-2)(n-1個)42(1個)62,64(2個)××××××(2n)2,(2n)4,(2n)6,×××,(2n)(2n-2)(n-1個)3.寫出四階行列式中含有因子a11a23的項.解含因子a11a23的項的一般形式為(1)ta11a23a3ra4s,其中rs是2和4構成的排列這種排列共有兩個即24和42所以含因子a11a23的項分別是(1)ta11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44(1)ta11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a424.計算下列各行列式:(1);解.(2);解.(3);解(4).解abcd+ab+cd+ad+1.5.證明:(1)=(a-b)3;證明=(a-b)3.(2);證明.(3);證明(c4-c3,c3-c2,c2-c1得)(c4-c3,c3-c2得).(4)=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d);證明=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d).(5)=xn+a1xn-1+×××+an-1x+an.證明用數學歸納法證明當n=2時,,命題成立.假設對于(n-1)階行列式命題成立,即Dn-1=xn-1+a1xn-2+×××+an-2x+an-1,則Dn按第一列展開有=xDn-1+an=xn+a1xn-1+×××+an-1x+an.因此,對于n階行列式命題成立.6.設n階行列式D=det(aij),把D上下翻轉、或逆時針旋轉90°、或依副對角線翻轉,依次得,,,證明,D3=D.證明因為D=det(aij),所以同理可證..7.計算下列各行列式(Dk為k階行列式):(1),其中對角線上元素都是a,未寫出的元素都是0;解(按第n行展開)=an-an-2=an-2(a2-1).(2);解將第一行乘(-1)分別加到其余各行,得再將各列都加到第一列上,得=[x+(n-1)a](x-a)n-1.(3);解根據第6題結果有此行列式為范德蒙德行列式.(4);解(按第1行展開)再按最后一行展開得遞推公式D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2,即D2n=(andn-bncn)D2n-2于是.而所以(5)D=det(aij),其中aij=|i-j|;解aij=|i-j|,(-1)n-1(n-1)2n-2.(6),其中a1a2×××an10.解8.用克萊姆法則解下列方程組:(1)解因為所以,,,.(2)解因為所以,,,,.9.問l,m取何值時,齊次線性方程組有非零解？解系數行列式為令D=0,得m=0或l=1于是當m=0或l=1時該齊次線性方程組有非零解.10.問l取何值時,齊次線性方程組有非零解？解系數行列式為=(1-l)3+(l-3)-4(1-l)-2(1-l)(-3-l)=(1-l)3+2(1-l)2+l-3.令D=0,得l=0,l=2或l=3.于是當l=0,l=2或l=3時,該齊次線性方程組有非零解.第二章矩陣及其運算1.已知線性變換:求從變量x1x2x3到變量y1y2y3的線性變換.解由已知:故2.已知兩個線性變換求從z1z2z3到x1x2x3的線性變換.解由已知所以有3.設,求3AB2A及ATB解4.計算下列乘積:(1);解(2);解(132231)(10)(3);解(4);解(5);解(a11x1a12x2a13x3a12x1a22x2a23x3a13x1a23x2a33x3)5.設,問:(1)ABBA嗎?解ABBA因為所以ABBA(2)(AB)2A22ABB2嗎?解(AB)2A22ABB2因為但所以(AB)2A22ABB2(3)(AB)(AB)A2B2嗎?解(AB)(AB)A2B2因為而故(AB)(AB)A2B26.舉反列說明下列命題是錯誤的:(1)若A20則A0;解取則A20但A0(2)若A2A,則A0或AE;解取則A2A,但A0且AE(3)若AXAY,且A0,則XY.解取則AXAY,且A0,但XY.7.設,求A2A3Ak解8.設,求Ak.解首先觀察用數學歸納法證明:當k2時,顯然成立.假設k時成立，則k1時，由數學歸納法原理知:9.設AB為n階矩陣，且A為對稱矩陣，證明BTAB也是對稱矩陣.證明因為ATA所以(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB從而BTAB是對稱矩陣.10.設AB都是n階對稱矩陣，證明AB是對稱矩陣的充分必要條件是ABBA證明充分性:因為ATABTB且ABBA所以(AB)T(BA)TATBTAB即AB是對稱矩陣.必要性:因為ATABTB且(AB)TAB所以AB(AB)TBTATBA11.求下列矩陣的逆矩陣:(1);解.|A|=1,故A-1存在.因為,故.(2);解.|A|=110,故A-1存在.因為,所以.(3);解.|A|=210,故A-1存在.因為,所以.(4)(a1a2×××an10).解,由對角矩陣的性質知.12.解下列矩陣方程:(1);解(2);解(3);解(4).解13.利用逆矩陣解下列線性方程組:(1)解方程組可表示為故從而有(2)解方程組可表示為故故有14.設AkO(k為正整數),證明(EA)1EAA2Ak1證明因為AkO所以EAkE又因為EAk(EA)(EAA2Ak1)所以(EA)(EAA2Ak1)E由定理2推論知(EA)可逆且(EA)1EAA2Ak1證明一方面有E(EA)1(EA)另一方面由AkO有E(EA)(AA2)A2Ak1(Ak1Ak)(EAA2Ak1)(EA)故(EA)1(EA)(EAA2Ak1)(EA)兩端同時右乘(EA)1就有(EA)1(EA)EAA2Ak115.設方陣A滿足A2A2EO,證明A及A2E都可逆,并求A1及(A2E)1.證明由A2A2EO得A2A2E,即A(AE)2E或,由定理2推論知A可逆且由A2A2EO得A2A6E4E即(A2E)(A3E)4E或由定理2推論知(A2E)可逆且證明由A2A2EO得A2A2E兩端同時取行列式得|A2A|2即|A||AE|2,故|A|0所以A可逆,而A2EA2|A2E||A2||A|20故A2E也可逆.由A2A2EOA(AE)2EA1A(AE)2A1E又由A2A2EO(A2E)A3(A2E)4E(A2E)(A3E)4E所以(A2E)1(A2E)(A3E)4(A2E)116.設A為3階矩陣,,求|(2A)-1-5A*|.解因為,所以=|-2A-1|=(-2)3|A-1|=-8|A|-1=-8′2=-16.17.設矩陣A可逆,證明其伴隨陣A*也可逆,且(A*)-1=(A-1)*.證明由,得A*=|A|A-1,所以當A可逆時有|A*|=|A|n|A-1|=|A|n-110,從而A*也可逆.因為A*=|A|A-1,所以(A*)1|A|1A又所以(A*)1|A|1A|A|1|A|(A1)*(A1)*18.設n階矩陣A的伴隨矩陣為A*證明:(1)若|A|0,則|A*|0;(2)|A*||A|n1證明(1)用反證法證明.假設|A*|0則有A*(A*)1E由此得AAA*(A*)1|A|E(A*)1O所以A*O這與|A*|0矛盾，故當|A|0時有|A*|0(2)由于,則AA*|A|E取行列式得到|A||A*||A|n若|A|0則|A*||A|n1若|A|0由(1)知|A*|0此時命題也成立因此|A*||A|n119.設,ABA2B求B.解由ABA2E可得(A2E)BA故20設且ABEA2B求B解由ABEA2B得(AE)BA2E即(AE)B(AE)(AE)因為所以(AE)可逆從而21設Adiag(121)A*BA2BA8E求B解由A*BA2BA8E得(A*2E)BA8EB8(A*2E)1A18[A(A*2E)]18(AA*2A)18(|A|E2A)18(2E2A)14(EA)14[diag(212)]12diag(121)22已知矩陣A的伴隨陣且ABA1BA13E求B解由|A*||A|38得|A|2由ABA1BA13E得ABB3AB3(AE)1A3[A(EA1)]1A23.設P1AP,其中,,求A11.解由P1AP,得APP1所以A11A=P11P1.|P|3而故24設APP其中求(A)A8(5E6AA2)解()8(5E62)diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)]diag(1158)diag(1200)12diag(100)(A)P()P125設矩陣A、B及AB都可逆證明A1B1也可逆并求其逆陣證明因為A1(AB)B1B1A1A1B1而A1(AB)B1是三個可逆矩陣的乘積所以A1(AB)B1可逆即A1B1可逆(A1B1)1[A1(AB)B1]1B(AB)1A26計算解設則而所以即27.取,驗證解而故28.設,求|A8|及A4解令則故29.設n階矩陣A及s階矩陣B都可逆,求(1)解設則由此得所以.(2)解設則由此得所以30求下列矩陣的逆陣(1)解設則于是(2)解設則.第三章矩陣的初等變換與線性方程組1把下列矩陣化為行最簡形矩陣(1)解(下一步r2(2)r1r3(3)r1)~(下一步r2(1)r3(2))~(下一步r3r2)~(下一步r33)~(下一步r23r3)~(下一步r1(2)r2r1r3)~(2)解(下一步:r22(-3)r1,r3+(-2)r1.)~(下一步:r3+r2,r1+3r2.)~(下一步:r1?2.)~(3)解(下一步:r2-3r1,r3-2r1,r4-3r1.)~(下一步:r2?(-4),r3?(-3),r4?(-5).)~(下一步:r1-3r2,r3-r2,r4-r2.)~(4)解(下一步:r1-2r2,r3-3r2,r4-2r2.)~(下一步:r22r1,r3-8r1,r4-7r1.)~(下一步:r1r2,r2(1),r4-r3.)~(下一步:r2r3.)~2設求A解是初等矩陣E(12)其逆矩陣就是其本身是初等矩陣E(12(1))其逆矩陣是E(12(1))3試利用矩陣的初等變換求下列方陣的逆矩陣(1)解~~~~故逆矩陣為(2)解~~~~~故逆矩陣為4(1)設求X使AXB解因為所以(2)設求X使XAB解考慮ATXTBT因為所以從而5設AX2XA求X解原方程化為(A2E)XA因為所以6在秩是r的矩陣中,有沒有等于0的r1階子式?有沒有等于0的r階子式?解在秩是r的矩陣中可能存在等于0的r1階子式也可能存在等于0的r階子式例如R(A)3是等于0的2階子式是等于0的3階子式7從矩陣A中劃去一行得到矩陣B問AB的秩的關系怎樣?解R(A)R(B)這是因為B的非零子式必是A的非零子式故A的秩不會小于B的秩8求作一個秩是4的方陣它的兩個行向量是(10100)(11000)解用已知向量容易構成一個有4個非零行的5階下三角矩陣此矩陣的秩為4其第2行和第3行是已知向量9求下列矩陣的秩并求一個最高階非零子式(1);解(下一步:r1r2.)~(下一步:r2-3r1,r3-r1.)~(下一步:r3-r2.)~矩陣的是一個最高階非零子式(2)解(下一步:r1-r2,r2-2r1,r3-7r1.)~(下一步:r3-3r2.)~矩陣的秩是2是一個最高階非零子式(3)解(下一步:r1-2r4,r2-2r4,r3-3r4.)~(下一步:r23r1,r32r1.)~(下一步:r216r4,r3-16r2.)~~矩陣的秩為3是一個最高階非零子式10設A、B都是mn矩陣證明A~B的充分必要條件是R(A)R(B)證明根據定理3必要性是成立的充分性設R(A)R(B)則A與B的標準形是相同的設A與B的標準形為D則有A~DD~B由等價關系的傳遞性有A~B11設問k為何值可使(1)R(A)1(2)R(A)2(3)R(A)3解(1)當k1時R(A)1(2)當k2且k1時R(A)2(3)當k1且k2時R(A)312求解下列齊次線性方程組:(1)解對系數矩陣A進行初等行變換有A~于是故方程組的解為(k為任意常數)(2)解對系數矩陣A進行初等行變換,有A~于是故方程組的解為(k1k2為任意常數)(3)解對系數矩陣A進行初等行變換,有A~于是故方程組的解為(4)解對系數矩陣A進行初等行變換,有A~于是故方程組的解為(k1k2為任意常數)13求解下列非齊次線性方程組:(1)解對增廣矩陣B進行初等行變換,有B~于是R(A)2而R(B)3故方程組無解(2)解對增廣矩陣B進行初等行變換,有B~于是即(k為任意常數).(3)解對增廣矩陣B進行初等行變換,有B~于是即(k1,k2為任意常數).(4)解對增廣矩陣B進行初等行變換,有B~于是即(k1,k2為任意常數).14.寫出一個以為通解的齊次線性方程組.解根據已知,可得,與此等價地可以寫成,或,或這就是一個滿足題目要求的齊次線性方程組15取何值時非齊次線性方程組(1)有唯一解(2)無解(3)有無窮多個解?解(1)要使方程組有唯一解必須R(A)3因此當1且2時方程組有唯一解.(2)要使方程組無解必須R(A)R(B)故(1)(2)0(1)(1)20因此2時方程組無解(3)要使方程組有有無窮多個解必須R(A)R(B)3故(1)(2)0(1)(1)20因此當1時方程組有無窮多個解.16非齊次線性方程組當取何值時有解？并求出它的解解~要使方程組有解必須(1)(2)0即12當1時~方程組解為或即(k為任意常數)當2時~方程組解為或即(k為任意常數)17設問為何值時此方程組有唯一解、無解或有無窮多解?并在有無窮多解時求解解B~要使方程組有唯一解必須R(A)R(B)3即必須(1)(10)0所以當1且10時方程組有唯一解.要使方程組無解必須R(A)R(B)即必須(1)(10)0且(1)(4)0所以當10時方程組無解.要使方程組有無窮多解必須R(A)R(B)3即必須(1)(10)0且(1)(4)0所以當1時方程組有無窮多解此時，增廣矩陣為B~方程組的解為或(k1k2為任意常數)18證明R(A)1的充分必要條件是存在非零列向量a及非零行向量bT使AabT證明必要性由R(A)1知A的標準形為即存在可逆矩陣P和Q使或令bT(100)Q1則a是非零列向量bT是非零行向量且AabT充分性因為a與bT是都是非零向量所以A是非零矩陣從而R(A)1因為1R(A)R(abT)min{R(a)R(bT)}min{11}1所以R(A)119設A為mn矩陣證明(1)方程AXEm有解的充分必要條件是R(A)m證明由定理7方程AXEm有解的充分必要條件是R(A)R(AEm)而|Em|是矩陣(AEm)的最高階非零子式故R(A)R(AEm)m因此方程AXEm有解的充分必要條件是R(A)m(2)方程YAEn有解的充分必要條件是R(A)n證明注意方程YAEn有解的充分必要條件是ATYTEn有解由(1)ATYTEn有解的充分必要條件是R(AT)n因此，方程YAEn有解的充分必要條件是R(A)R(AT)n20設A為mn矩陣證明若AXAY且R(A)n則XY證明由AXAY得A(XY)O因為R(A)n由定理9方程A(XY)O只有零解即XYO也就是XY

第四章向量組的線性相關性1設v1(110)Tv2(011)Tv3(340)T求v1v2及3v12v2v3解v1v2(110)T(011)T(101101)T(101)T3v12v2v33(110)T2(011)T(340)T(312033121430210)T(012)T2設3(a1a)2(a2a)5(a3a)求a其中a1(2513)Ta2(101510)Ta3(4111)T解由3(a1a)2(a2a)5(a3a)整理得(1234)T3已知向量組Aa1(0123)Ta2(3012)Ta3(2301)TBb1(2112)Tb2(0211)Tb3(4413)T證明B組能由A組線性表示但A組不能由B組線性表示證明由知R(A)R(AB)3所以B組能由A組線性表示由知R(B)2因為R(B)R(BA)所以A組不能由B組線性表示4已知向量組Aa1(011)Ta2(110)TBb1(101)Tb2(121)Tb3(321)T證明A組與B組等價證明由知R(B)R(BA)2顯然在A中有二階非零子式故R(A)2又R(A)R(BA)2所以R(A)2從而R(A)R(B)R(AB)因此A組與B組等價5已知R(a1a2a3)2R(a2a3a4)3證明(1)a1能由a2a3線性表示(2)a4不能由a1a2a3線性表示證明(1)由R(a2a3a4)3知a2a3a4線性無關故a2a3也線性無關又由R(a1a2a3)2知a1a2a3線性相關故a1能由a2a3線性表示(2)假如a4能由a1a2a3線性表示則因為a1能由a2a3線性表示故a4能由a2a3線性表示從而a2a3a4線性相關矛盾因此a4不能由a1a2a3線性表示6判定下列向量組是線性相關還是線性無關(1)(131)T(210)T(141)T(2)(230)T(140)T(002)T解(1)以所給向量為列向量的矩陣記為A因為所以R(A)2小于向量的個數從而所給向量組線性相關(2)以所給向量為列向量的矩陣記為B因為所以R(B)3等于向量的個數從而所給向量組線性相無關7問a取什么值時下列向量組線性相關？a1(a11)Ta2(1a1)Ta3(11a)T解以所給向量為列向量的矩陣記為A由知當a1、0、1時R(A)3此時向量組線性相關8設a1a2線性無關a1ba2b線性相關求向量b用a1a2線性表示的表示式解因為a1ba2b線性相關故存在不全為零的數12使1(a1b)2(a2b)0由此得設則bca1(1c)a2cR9設a1a2線性相關b1b2也線性相關問a1b1a2b2是否一定線性相關？試舉例說明之解不一定例如當a1(12)T,a2(24)T,b1(11)T,b2(00)T時有a1b1(12)Tb1(01)T,a2b2(24)T(00)T(24)T而a1b1a2b2的對應分量不成比例是線性無關的10舉例說明下列各命題是錯誤的(1)若向量組a1a2am是線性相關的則a1可由a2am線性表示解設a1e1(1000)a2a3am0則a1a2am線性相關但a1不能由a2am線性表示(2)若有不全為0的數12m使1a1mam1b1mbm0成立則a1a2am線性相關,b1b2bm亦線性相關解有不全為零的數12m使1a1mam1b1mbm0原式可化為1(a1b1)m(ambm)0取a1e1b1a2e2b2amembm其中e1e2em為單位坐標向量則上式成立而a1a2am和b1b2bm均線性無關(3)若只有當12m全為0時等式1a1mam1b1mbm0才能成立則a1a2am線性無關,b1b2bm亦線性無關解由于只有當12m全為0時等式由1a1mam1b1mbm0成立所以只有當12m全為0時等式1(a1b1)2(a2b2)m(ambm)0成立因此a1b1a2b2ambm線性無關取a1a2am0取b1bm為線性無關組則它們滿足以上條件但a1a2am線性相關(4)若a1a2am線性相關,b1b2bm亦線性相關則有不全為0的數12m使1a1mam01b1mbm0同時成立解a1(10)Ta2(20)Tb1(03)Tb2(04)T1a12a201221b12b201(3/4)2120與題設矛盾11設b1a1a2b2a2a3b3a3a4b4a4a1證明向量組b1b2b3b4線性相關證明由已知條件得a1b1a2a2b2a3a3b3a4a4b4a1于是a1b1b2a3b1b2b3a4b1b2b3b4a1從而b1b2b3b40這說明向量組b1b2b3b4線性相關12設b1a1b2a1a2bra1a2ar且向量組a1a2ar線性無關證明向量組b1b2br線性無關證明已知的r個等式可以寫成上式記為BAK因為|K|10K可逆所以R(B)R(A)r從而向量組b1b2br線性無關13求下列向量組的秩,并求一個最大無關組:(1)a1(1214)Ta2(9100104)Ta3(2428)T解由知R(a1a2a3)2因為向量a1與a2的分量不成比例故a1a2線性無關所以a1a2是一個最大無關組(2)a1T(1213)a2T(4156)a3T(1347)解由知R(a1Ta2Ta3T)R(a1a2a3)2因為向量a1T與a2T的分量不成比例故a1Ta2T線性無關所以a1Ta2T是一個最大無關組14利用初等行變換求下列矩陣的列向量組的一個最大無關組(1)解因為所以第1、2、3列構成一個最大無關組.(2)解因為所以第1、2、3列構成一個最大無關組15設向量組(a31)T(2b3)T(121)T(231)T的秩為2求ab解設a1(a31)Ta2(2b3)Ta3(121)Ta4(231)T因為而R(a1a2a3a4)2所以a2b516設a1a2an是一組n維向量已知n維單位坐標向量e1e2en能由它們線性表示證明a1a2an線性無關證法一記A(a1a2an)E(e1e2en)由已知條件知存在矩陣K使EAK兩邊取行列式得|E||A||K|可見|A|0所以R(A)n從而a1a2an線性無關證法二因為e1e2en能由a1a2an線性表示所以R(e1e2en)R(a1a2an)而R(e1e2en)nR(a1a2an)n所以R(a1a2an)n從而a1a2an線性無關17設a1a2an是一組n維向量,證明它們線性無關的充分必要條件是任一n維向量都可由它們線性表示證明必要性設a為任一n維向量因為a1a2an線性無關而a1a2ana是n1個n維向量是線性相關的所以a能由a1a2an線性表示且表示式是唯一的充分性已知任一n維向量都可由a1a2an線性表示,故單位坐標向量組e1e2en能由a1a2an線性表示,于是有nR(e1e2en)R(a1a2an)n即R(a1a2an)n所以a1a2an線性無關18設向量組a1a2am線性相關且a10證明存在某個向量ak(2km)使ak能由a1a2ak1線性表示證明因為a1a2am線性相關所以存在不全為零的數12m使1a12a2mam0而且23m不全為零這是因為如若不然則1a10由a10知10矛盾因此存在k(2km)使k0k1k2m0于是1a12a2kak0ak(1/k)(1a12a2k1ak1)即ak能由a1a2ak1線性表示19設向量組Bb1br能由向量組Aa1as線性表示為(b1br)(a1as)K其中K為sr矩陣,且A組線性無關.證明B組線性無關的充分必要條件是矩陣K的秩R(K)r證明令B(b1br)A(a1as)則有BAK必要性設向量組B線性無關.由向量組B線性無關及矩陣秩的性質有rR(B)R(AK)min{R(A)R(K)}R(K)及R(K)min{rs}r因此R(K)r充分性因為R(K)r所以存在可逆矩陣C使為K的標準形于是(b1br)C(a1as)KC(a1ar)因為C可逆所以R(b1br)R(a1ar)r從而b1br線性無關20設證明向量組12n與向量組12n等價證明將已知關系寫成將上式記為BAK因為所以K可逆故有ABK1由BAK和ABK1可知向量組12n與向量組12n可相互線性表示因此向量組12n與向量組12n等價21已知3階矩陣A與3維列向量x滿足A3x3AxA2x且向量組xAxA2x線性無關(1)記P(xAxA2x)求3階矩陣B使APPB解因為APA(xAxA2x)(AxA2xA3x)(AxA2x3AxA2x)所以(2)求|A|解由A3x3AxA2x得A(3xAxA2x)0因為xAxA2x線性無關故3xAxA2x0即方程Ax0有非零解所以R(A)3|A|022求下列齊次線性方程組的基礎解系(1)解對系數矩陣進行初等行變換有于是得取(x3x4)T(40)T得(x1x2)T(163)T取(x3x4)T(04)T得(x1x2)T(01)T因此方程組的基礎解系為1(16340)T2(0104)T(2)解對系數矩陣進行初等行變換,有于是得取(x3x4)T(190)T得(x1x2)T(214)T取(x3x4)T(019)T得(x1x2)T(17)T因此方程組的基礎解系為1(214190)T2(17019)T(3)nx1(n1)x22xn1xn0.解原方程組即為xnnx1(n1)x22xn1取x11x2x3xn10得xnn取x21x1x3x4xn10得xn(n1)n1取xn11x1x2xn20得xn2因此方程組的基礎解系為1(1000n)T2(0100n1)Tn1(00012)T23設,求一個42矩陣B,使AB0,且R(B)2.解顯然B的兩個列向量應是方程組AB0的兩個線性無關的解因為所以與方程組AB0同解方程組為取(x3x4)T(80)T得(x1x2)T(15)T取(x3x4)T(08)T得(x1x2)T(111)T方程組AB0的基礎解系為1(1580)T2(11108)T因此所求矩陣為24求一個齊次線性方程組,使它的基礎解系為1(0123)T2(3210)T解顯然原方程組的通解為,即(k1k2R)消去k1k2得此即所求的齊次線性方程組.25設四元齊次線性方程組III求(1)方程I與II的基礎解系(2)I與II的公共解解(1)由方程I得取(x3x4)T(10)T得(x1x2)T(00)T取(x3x4)T(01)T得(x1x2)T(11)T因此方程I的基礎解系為1(0010)T2(1101)T由方程II得取(x3x4)T(10)T得(x1x2)T(01)T取(x3x4)T(01)T得(x1x2)T(11)T因此方程II的基礎解系為1(0110)T2(1101)T(2)I與II的公共解就是方程III的解因為方程組III的系數矩陣所以與方程組III同解的方程組為取x41得(x1x2x3)T(112)T方程組III的基礎解系為(1121)T因此I與II的公共解為xc(1121)TcR26設n階矩陣A滿足A2AE為n階單位矩陣,證明R(A)R(AE)n證明因為A(AE)A2AAA0所以R(A)R(AE)n又R(AE)R(EA)可知R(A)R(AE)R(A)R(EA)R(AEA)R(E)n由此R(A)R(AE)n27設A為n階矩陣(n2)A*為A的伴隨陣證明證明當R(A)n時|A|0故有|AA*|||A|E||A|0|A*|0所以R(A*)n當R(A)n1時|A|0故有AA*|A|E0即A*的列向量都是方程組Ax0的解因為R(A)n1所以方程組Ax0的基礎解系中只含一個解向量即基礎解系的秩為1因此R(A*)1當R(A)n2時A中每個元素的代數余子式都為0故A*O從而R(A*)028求下列非齊次方程組的一個解及對應的齊次線性方程組的基礎解系:(1)解對增廣矩陣進行初等行變換,有與所給方程組同解的方程為當x30時得所給方程組的一個解(81302)T與對應的齊次方程組同解的方程為當x31時得對應的齊次方程組的基礎解系(1110)T(2)解對增廣矩陣進行初等行變換,有與所給方程組同解的方程為當x3x40時得所給方程組的一個解(1200)T與對應的齊次方程組同解的方程為分別取(x3x4)T(10)T(01)T得對應的齊次方程組的基礎解系1(9170)T2(1102)T29設四元非齊次線性方程組的系數矩陣的秩為3,已知123是它的三個解向量.且1(2345)T23(1234)T求該方程組的通解.解由于方程組中未知數的個數是4系數矩陣的秩為3,所以對應的齊次線性方程組的基礎解系含有一個向量,且由于123均為方程組的解,由非齊次線性方程組解的結構性質得21(23)(12)(13)(3456)T為其基礎解系向量,故此方程組的通解:xk(3456)T(2345)T,(kR)30設有向量組Aa1(210)Ta2(215)Ta3(114)T及b(11)T問為何值時(1)向量b不能由向量組A線性表示(2)向量b能由向量組A線性表示且表示式唯一(3)向量b能由向量組A線性表示且表示式不唯一并求一般表示式解(1)當40時R(A)R(Ab)此時向量b不能由向量組A線性表示(2)當4時R(A)R(Ab)3此時向量組a1a2a3線性無關而向量組a1a2a3b線性相關故向量b能由向量組A線性表示且表示式唯一(3)當40時R(A)R(Ab)2此時向量b能由向量組A線性表示且表示式不唯一當40時方程組(a3a2a1)xb的解為cR因此b(2c1)a3(3c1)a2ca1即bca1(3c1)a2(2c1)a3cR31設a(a1a2a3)Tb(b1b2b3)Tc(c1c2c3)T證明三直線l1a1xb1yc10l2a2xb2yc20(ai2bi20i123)l3a3xb3yc30相交于一點的充分必要條件為向量組ab線性無關且向量組abc線性相關證明三直線相交于一點的充分必要條件為方程組即有唯一解上述方程組可寫為xaybc因此三直線相交于一點的充分必要條件為c能由ab唯一線性表示而c能由ab唯一線性表示的充分必要條件為向量組ab線性無關且向量組abc線性相關32設矩陣A(a1a2a3a4)其中a2a3a4線性無關a12a2a3向量ba1a2a3a4求方程Axb的通解解由ba1a2a3a4知(1111)T是方程Axb的一個解由a12a2a3得a12a2a30知(1210)T是Ax0的一個解由a2a3a4線性無關知R(A)3故方程Axb所對應的齊次方程Ax0的基礎解系中含一個解向量因此(1210)T是方程Ax0的基礎解系方程Axb的通解為xc(1210)T(1111)TcR33設*是非齊次線性方程組Axb的一個解,12nr是對應的齊次線性方程組的一個基礎解系,證明(1)*12nr線性無關;(2)**1*2*nr線性無關.證明(1)反證法,假設*12nr線性相關因為12nr線性無關而*12nr線性相關所以*可由12nr線性表示且表示式是唯一的這說明*也是齊次線性方程組的解矛盾(2)顯然向量組**1*2*nr與向量組*12nr可以相互表示故這兩個向量組等價而由(1)知向量組*12nr線性無關所以向量組**1*2*nr也線性無關34設12s是非齊次線性方程組Axb的s個解,k1k2ks為實數,滿足k1k2ks1.證明xk11k22kss也是它的解.證明因為12s都是方程組Axb的解所以Aib(i12s)從而A(k11k22kss)k1A1k2A2ksAs(k1k2ks)bb因此xk11k22kss也是方程的解.35設非齊次線性方程組Axb的系數矩陣的秩為r,12nr1是它的nr1個線性無關的解.試證它的任一解可表示為xk11k22knr1nr1(其中k1k2knr11).證明因為12nr1均為Axb的解所以121231nrnr11均為Axb的解.用反證法證:12nr線性無關.設它們線性相關,則存在不全為零的數12nr使得1122nrnr0即1(21)2(31)nr(nr11)0亦即(12nr)11223nrnr10由12nr1線性無關知(12nr)12nr0矛盾.因此12nr線性無關12nr為Axb的一個基礎解系.設x為Axb的任意解則x1為Ax0的解故x1可由12nr線性表出設x1k21k32knr1nrk2(21)k3(31)knr1(nr11)x1(1k2k3knr1)k22k33knr1nr1令k11k2k3knr1則k1k2k3knr11于是xk11k22knr1nr1.36設V1{x(x1x2xn)T|x1xnR滿足x1x2xn0}V2{x(x1x2xn)T|x1xnR滿足x1x2xn1}問V1V2是不是向量空間？為什么？解V1是向量空間,因為任取(a1a2an)TV1(b1b2bn)TV1R有a1a2an0b1b2bn0從而(a1b1)(a2b2)(anbn)(a1a2an)(b1b2bn)0a1a2an(a1a2an)0所以(a1b1a2b2anbn)TV1(a1a2an)TV1V2不是向量空間,因為任取(a1a2an)TV1(b1b2bn)TV1有a1a2an1b1b2bn1從而(a1b1)(a2b2)(anbn)(a1a2an)(b1b2bn)2所以(a1b1a2b2anbn)TV137試證:由a1(011)Ta2(101)Ta3(110)T所生成的向量空間就是R3.證明設A(a1a2a3)由知R(A)3故a1a2a3線性無關所以a1a2a3是三維空間R3的一組基,因此由a1a2a3所生成的向量空間就是R3.38由a1(1100)Ta2(1011)T所生成的向量空間記作V1,由b1(2133)Tb2(0111)T所生成的向量空間記作V2,試證V1V2.證明設A(a1a2)B(b1b2)顯然R(A)R(B)2又由知R(AB)2所以R(A)R(B)R(AB)從而向量組a1a2與向量組b1b2等價因為向量組a1a2與向量組b1b2等價所以這兩個向量組所生成的向量空間相同即V1V2.39驗證a1(110)Ta2(213)Ta3(312)T為R3的一個基,并把v1(507)Tv2(9813)T用這個基線性表示.解設A(a1a2a3)由知R(A)3故a1a2a3線性無關,所以a1a2a3為R3的一個基.設x1a1x2a2x3a3v1則解之得x12x23x31故線性表示為v12a13a2a3設x1a1x2a2x3a3v2,則解之得x13x23x32故線性表示為v23a13a22a340已知R3的兩個基為a1(111)Ta2(101)Ta3(101)Tb1(121)Tb2(234)Tb3(343)T求由基a1a2a3到基b1b2b3的過渡矩陣P解設e1e2e3是三維單位坐標向量組則于是由基a1a2a3到基b1b2b3的過渡矩陣為

第五章相似矩陣及二次型1.試用施密特法把下列向量組正交化:(1);解根據施密特正交化方法,,(2)解根據施密特正交化方法2.下列矩陣是不是正交陣:(1);解此矩陣的第一個行向量非單位向量,故不是正交陣.(2).解該方陣每一個行向量均是單位向量,且兩兩正交,故為正交陣.3設x為n維列向量xTx1令HE2xxT證明H是對稱的正交陣證明因為HT(E2xxT)TE2(xxT)TE2(xxT)TE2(xT)TxTE2xxT所以H是對稱矩陣因為HTHHH(E2xxT)(E2xxT)E2xxT2xxT(2xxT)(2xxT)E4xxT4x(xTx)xTE4xxT4xxTE所以H是正交矩陣4.設A與B都是n階正交陣,證明AB也是正交陣.證明因為AB是n階正交陣,故A1ATB1BT(AB)T(AB)BTATABB1A1ABE故AB也是正交陣.5.求下列矩陣的特征值和特征向量:(1);解故A的特征值為1(三重).對于特征值1由得方程(AE)x0的基礎解系p1(111)T向量p1就是對應于特征值1的特征值向量.(2);解故A的特征值為102139.對于特征值10,由得方程Ax0的基礎解系p1(111)T向量p1是對應于特征值10的特征值向量.對于特征值21,由得方程(AE)x0的基礎解系p2(110)T向量p2就是對應于特征值21的特征值向量對于特征值39,由得方程(A9E)x0的基礎解系p3(1/21/21)T向量p3就是對應于特征值39的特征值向量.(3).解故A的特征值為121341.對于特征值121,由得方程(AE)x0的基礎解系p1(1001)Tp2(0110)T向量p1和p2是對應于特征值121的線性無關特征值向量.對于特征值341,由得方程(AE)x0的基礎解系p3(1001)Tp4(0110)T向量p3和p4是對應于特征值341的線性無關特征值向量.6設A為n階矩陣證明AT與A的特征值相同證明因為|ATE||(AE)T||AE|T|AE|所以AT與A的特征多項式相同從而AT與A的特征值相同7設n階矩陣A、B滿足R(A)R(B)n證明A與B有公共的特征值有公共的特征向量證明設R(A)rR(B)t則rtn若a1a2anr是齊次方程組Ax0的基礎解系顯然它們是A的對應于特征值0的線性無關的特征向量類似地設b1b2bnt是齊次方程組Bx0的基礎解系則它們是B的對應于特征值0的線性無關的特征向量由于(nr)(nt)n(nrt)n故a1a2anrb1b2bnt必線性相關于是有不全為0的數k1k2knrl1l2lnt使k1a1k2a2knranrl1b1l2b2lnrbnr0記k1a1k2a2knranr(l1b1l2b2lnrbnr)則k1k2knr不全為0否則l1l2lnt不全為0而l1b1l2b2lnrbnr0與b1b2bnt線性無關相矛盾因此0是A的也是B的關于0的特征向量所以A與B有公共的特征值有公共的特征向量8設A23A2EO證明A的特征值只能取1或2證明設是A的任意一個特征值x是A的對應于的特征向量則(A23A2E)x2x3x2x(232)x0因為x0所以2320即是方程2320的根也就是說1或29設A為正交陣且|A|1證明1是A的特征值證明因為A為正交矩陣所以A的特征值為1或1因為|A|等于所有特征值之積又|A|1所以必有奇數個特征值為1即1是A的特征值10設0是m階矩陣AmnBnm的特征值證明也是n階矩陣BA的特征值證明設x是AB的對應于0的特征向量則有(AB)xx于是B(AB)xB(x)或BA(Bx)(Bx)從而是BA的特征值且Bx是BA的對應于的特征向量11已知3階矩陣A的特征值為123求|A35A27A|解令()3527則(1)3(2)2(3)3是(A)的特征值故|A35A27A||(A)|(1)×(2)×(3)3231812已知3階矩陣A的特征值為123求|A*3A2E|解因為|A|12(3)60所以A可逆故A*|A|A16A1A*3A2E6A13A2E令()61322則(1)1(2)5(3)5是(A)的特征值故|A*3A2E||6A13A2E||(A)|(1)×(2)×(3)15(5)2513設A、B都是n階矩陣且A可逆證明AB與BA相似證明取PA則P1ABPA1ABABA即AB與BA相似14設矩陣可相似對角化求x解由,得A的特征值為l1=6,l2=l3=1.因為A可相似對角化,所以對于l2=l3=1,齊次線性方程組(A-E)x=0有兩個線性無關的解,因此R(A-E)=1.由知當x=3時R(A-E)=1,即x=3為所求.15.已知p=(1,1,-1)T是矩陣的一個特征向量.(1)求參數a,b及特征向量p所對應的特征值;解設l是特征向量p所對應的特征值,則(A-lE)p=0,即,解之得l=-1,a=-3,b=0.(2)問A能不能相似對角化？并說明理由.解由得A的特征值為1231由知R(AE)2所以齊次線性方程組(AE)x0的基礎解系只有一個解向量因此A不能相似對角化16.試求一個正交的相似變換矩陣,將下列對稱陣化為對角陣:(1);解將所給矩陣記為A由(1)(4)(2)得矩陣A的特征值為122134.對于12,解方程(A2E)x0即得特征向量(122)T單位化得對于21,解方程(AE)x0即得特征向量(212)T單位化得對于34,解方程(A4E)x0即得特征向量(221)T單位化得于是有正交陣P(p1p2p3)使P1APdiag(214)(2).解將所給矩陣記為A由(1)2(10),得矩陣A的特征值為121310.對于121,解方程(AE)x0即得線性無關特征向量(210)T和(201)T將它們正交化、單位化得對于310,解方程(A10E)x0即得特征向量(122)T單位化得于是有正交陣P(p1p2p3)使P1APdiag(1110)17設矩陣與相似求xy并求一個正交陣P使P1AP解已知相似矩陣有相同的特征值顯然54y是的特征值故它們也是A的特征值因為4是A的特征值所以解之得x4已知相似矩陣的行列式相同因為所以20y100y5對于5解方程(A5E)x0得兩個線性無關的特征向量(101)T(120)T將它們正交化、單位化得對于4解方程(A4E)x0得特征向量(212)T單位化得于是有正交矩陣使P1AP18.設3階方陣A的特征值為122231;對應的特征向量依次為p1(011)Tp2(111)Tp3(110)T求A.解令P(p1p2p3)則P1APdiag(221)APP1因為所以19設3階對稱陣A的特征值為112130對應1、2的特征向量依次為p1(122)Tp2(212)T求A解設則Ap12p1Ap22p2即①②再由特征值的性質有x1x4x61230③由①②③解得令x60得x20因此20.設3階對稱矩陣A的特征值162333與特征值16對應的特征向量為p1(111)T求A.解設因為16對應的特征向量為p1(111)T所以有,即①233是A的二重特征值,根據實對稱矩陣的性質定理知R(A3E)1利用①可推出因為R(A3E)1所以x2x43x5且x3x5x63解之得x2x3x51x1x4x64因此.21設a(a1a2an)Ta10AaaT(1)證明0是A的n1重特征值證明設是A的任意一個特征值x是A的對應于的特征向量則有Axx2xA2xaaTaaTxaTaAxaTax于是可得2aTa從而0或aTa設12n是A的所有特征值因為AaaT的主對角線性上的元素為a12a22