北京市第四中學(xué)2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）（通用）

1、北京市第四中學(xué)2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）卷(I)一.選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分1.已知全集U1，2，3，4，5，集合A1，3，B3，4，5，則集合AB（）A. 2，3，4，5B. 3C. 1，4，5D. 1，3，4，5【答案】B【解析】【分析】直接利用交集的定義求解.【詳解】因?yàn)榧螦1，3，B3，4，5，所以AB3.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查交集的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.2.函數(shù)的定義域是（）A. RB. x|x2C. x|x1D. x|x1且x2【答案】D【解析】【分析】由題得，解不等式即得解.【詳解】由題得，解之得且，所以函數(shù)的

2、定義域?yàn)閤|x1且x2.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查求具體函數(shù)的定義域，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.3.若ab，則下列各式中正確的是（）A. acbcB. ac2bc2C. a+c2b+c2D. 【答案】C【解析】【分析】A. 時(shí)顯然不成立；B.時(shí)，顯然不成立C.利用不等式的加法法則可以證明是正確的；D.利用作差法證明是錯(cuò)誤的.【詳解】A. acbc，時(shí)顯然不成立；B.ac2bc2,時(shí)，不成立；C. a+c2b+c2，利用不等式的加法法則可以證明是正確的；D. ，符號(hào)不能確定，是錯(cuò)誤的.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式性質(zhì)和作差法比較大小，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.4.

3、下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+）上為減函數(shù)的是（）A. yx22xB. y|x|C. y2x+1D. 【答案】D【解析】【分析】求出每一個(gè)選項(xiàng)的函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間即得解.【詳解】A. yx22x,函數(shù)的減區(qū)間為，所以選項(xiàng)A不符；B. y|x|，函數(shù)的減區(qū)間為，所以選項(xiàng)B不符；C.y2x+1,函數(shù)是增函數(shù)，沒有減區(qū)間，所以選項(xiàng)C不符；D. ，函數(shù)的減區(qū)間為（0，+），所以選項(xiàng)D符合.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的判定方法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.5.命題“xR，x3x2+10”的否定是（）A. xR，x3x2+10B. xR，x3x2+10C. xR，x3x2+10D. x

4、R，x3x2+10【答案】B【解析】【分析】直接利用全稱命題的否定解答即可.【詳解】命題“xR，x3x2+10”的否定是“xR，x3x2+10.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查全稱命題的否定，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.6.下列函數(shù)中：yx2+1偶函數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)奇偶性的判斷方法對(duì)每一函數(shù)進(jìn)行判斷得解.【詳解】,定義域是，滿足，所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以與題不符；，定義域是，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，與題不符；yx2+1，定義域是R，滿足，所以函數(shù)是偶函數(shù)，所以與題相符；，定義域是，滿足，所以函數(shù)是偶函數(shù)，

5、所以與題相符.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.7.“”是“”的 （ ）A. 充分而不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】試題分析：,所以“”是“”的充分而不必要條件考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷8.函數(shù)f（x）x32x3一定存在零點(diǎn)的區(qū)間是（）A. （2，+）B. （1，2）C. （0，1）D. （1，0）【答案】B【解析】【分析】求出，即得解.【詳解】由題得，所以，因?yàn)楹瘮?shù)是R上的連續(xù)函數(shù)，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查零點(diǎn)存在性定理，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.9.下列

6、函數(shù)中，滿足f（2x）2f（x）的是（）A. f（x）（x+2）2B. f（x）x+1C. D. f（x）x|x|【答案】D【解析】【分析】對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)的函數(shù)逐一驗(yàn)證即得解.【詳解】A. f（x）（x+2）2,所以，所以不滿足滿足f（2x）2f（x）；B. f（x）x+1，所以；C. ，所以；D. f（x）x|x|，所以，滿足f（2x）2f（x）.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查求函數(shù)值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.10.函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】試題分析：函數(shù)在處無意義，由圖像看在軸右側(cè)，所以，由即，即函數(shù)的零點(diǎn)，故選

7、C考點(diǎn)：函數(shù)的圖像【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分11.設(shè)全集UR，集合Ax|0x2，B3，1，1，3，則集合（UA）B_【答案】3，1，3【解析】【分析】先求出UA，再求（UA）B得解.【詳解】全集UR，集合Ax|0x2，B3，1，1，3，則集合UAx|x0或x2，所以集合（UA）B3，1，3故答案為：3，1，3【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的補(bǔ)集和交集運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.12.已知，則f（f（1）的值為_【答案】5【解析】【分析】先求的值，再求f（f（1）的值.【詳解】根據(jù)題意，則f（1）3（1）23，則f（f（1）f（3）23

8、15.故答案為：5【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)求值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)理解掌握水平.13.函數(shù)yx2+3x1，x2，3的值域是_【答案】，17【解析】【分析】直接利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)閥x2+3x1，所以函數(shù)對(duì)稱軸為，因?yàn)閤2，3，所以當(dāng)x時(shí)，y的值最小為，當(dāng)x3時(shí)，y的值最大為32+9117，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?7故答案為：，17【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)在區(qū)間上的值域的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.14.若x0，則的最小值為_【答案】【解析】【分析】直接利用基本不等式求函數(shù)的最小值.【詳解】x0，4x2（當(dāng)且僅當(dāng)4x即x時(shí)，取“”號(hào)），當(dāng)x時(shí)，f（x

9、）最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式求最值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.15.若二次函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x2對(duì)稱，且f（a）f（0）f（1），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【答案】a0或a4【解析】【分析】分析得到二次函數(shù)f（x）開口向下，在（，2）上單調(diào)遞增，在（2，+）上單調(diào)遞減再對(duì)分類討論得解.【詳解】由題意可知二次函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為x2，因?yàn)閒（0）f（1），所以f（x）在（，2）上單調(diào)遞增，所以二次函數(shù)f（x）開口向下，在（，2）上單調(diào)遞增，在（2，+）上單調(diào)遞減當(dāng)a時(shí)：，解得a0當(dāng)a（2，+）時(shí)：因?yàn)閒（4）f（0），所以，解得a4綜上所求：a0或a4故答案為

10、：a0或a4【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.16.某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：（）男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)；（）女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)；（）教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù)若教師人數(shù)為4，則女學(xué)生人數(shù)的最大值為_該小組人數(shù)最小值為_【答案】 (1). 6 (2). 12【解析】試題分析：設(shè)男生人數(shù)、女生人數(shù)、教師人數(shù)分別為，則.，【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了命題的邏輯分析、簡(jiǎn)單的合情推理, 題目設(shè)計(jì)巧妙，解題時(shí)要抓住關(guān)鍵,逐步推斷,本題主要考查考生分析問題、解決問題的能力，同時(shí)注意不等式關(guān)系以及正整數(shù)這個(gè)條件.三.解答題：

11、本大題共3小題，共30分17.設(shè)集合Ax|x22x30，Bx|x2+4x+30，Cx|2k1x2k+3（1）求AB；（2）若CAB，求實(shí)數(shù)k的取值范圍【答案】(1) ABx|x1或x3；(2) k2或k2【解析】【分析】（1）先化簡(jiǎn)集合A和B,再求AB；（2）由題得2k13或2k+31，解不等式得解.【詳解】（1）集合Ax|x22x30x|x1或x3，Bx|x2+4x+30x|3x1，則ABx|x1或x3；（2）由Cx|2k1x2k+3，且CAB，令2k13或2k+31，解得k2或k2，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是k2或k2【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的并集運(yùn)算和集合關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌

12、握水平.18.已知a，b0，證明：a3+b3a2b+ab2【答案】證明見解析【解析】【分析】利用作差比較法證明不等式.【詳解】證明：（a3+b3）（a2b+ab2）a2（ab）+b2（ba）（ab）（a2b2）（ab）2（a+b）a0，b0，a+b0，（ab）20，（ab）2（a+b）0，則有a3+b3a2b+b2a【點(diǎn)睛】本題主要考查比較法證明不等式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.19.已知函數(shù)f（x）（aR，a0）（1）當(dāng)a1時(shí)，解關(guān)于x不等式f（x）0；（2）若f（x）+g（x）0在（0，+）上恒成立，求a的取值范圍【答案】(1) x|0x2；(2) （，0），+）【解析】【分析

13、】(1)等價(jià)于不等式，解之即得解；（2）等價(jià)于在（0，+）上恒成立，再利用基本不等式求函數(shù)的最小值即得解.【詳解】（1）當(dāng)a1時(shí)，f（x）f（x）0，0x2，不等式的解集為x|0x2；（2）f（x）+g（x），f（x）+g（x）0在（0，+）上恒成立，在（0，+）上恒成立，只需當(dāng)x0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào)，a0或a，a的取值范圍為（，0），+）【點(diǎn)睛】本題主要考查分式不等式的解法，考查基本不等式求最值和不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.卷(II)二.填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分20.已知集合M0，1，2，3，Nx|x2a，aM，則集合MN_【答案】0，

14、2【解析】【分析】先求出集合N，再求MN.【詳解】M0，1，2，3，N0，2，4，6，MN0，2故答案為：0，2【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.21.不等式的解集為 【答案】【解析】略22.已知xyz，x+y+z0，則xzyzxyyzxyxzx|y|z|y|四個(gè)式子中正確的是_（只填寫序號(hào)）【答案】【解析】【分析】由題得有三種可能（1）x0，y0，z0，（2）x0，y0，z0，（3）x+z0，y0再判斷得解.【詳解】已知xyz，x+y+z0，則有三種可能（1）x0，y0，z0，（2）x0，y0，z0，（3）x+z0，y0所以xzyz正確xyyz不正確x

15、yxz正確x|y|z|y|不正確故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.23.設(shè)（1）當(dāng)時(shí)，f（x）的最小值是_；（2）若f（0）是f（x）最小值，則a的取值范圍是_【答案】 (1). (2). 0，【解析】【分析】（1）先求出分段函數(shù)的每一段的最小值，再求函數(shù)的最小值；（2）對(duì)分兩種情況討論，若a0，不滿足條件若a0，f（0）a22，即0a，即得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)x0時(shí)，f（x）（x）2（）2，當(dāng)x0時(shí)，f（x）x22，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào)，則函數(shù)的最小值為，（2）由（1）知，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f（x）2，此時(shí)的最小值為2，若a0，則當(dāng)xa時(shí)，函

16、數(shù)f（x）的最小值為f（a）0，此時(shí)f（0）不是最小值，不滿足條件若a0，則當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f（x）（xa）2為減函數(shù)，則當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為f（0）a2，要使f（0）是f（x）的最小值，則f（0）a22，即0a，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是0，【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的最值的求法，考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.24.已知集合MxN|1x15，集合A1，A2，A3滿足每個(gè)集合都恰有5個(gè)元素； A1A2A3M集合Ai中元素的最大值與最小值之和稱為集合Ai的特征數(shù)，記為Xi（i1，2，3），則X1+X2+X3的最大值與最小值的和為_【答案】96【解析】【分析

17、】對(duì)分三種情況討論，求出X1+X2+X3取最小值39，X1+X2+X3取最大57，即得解.【詳解】由題意集合MxN*|1x151，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，當(dāng)A11，4，5，6，7，A23，12，13，14，15，A32，8，9，10，11時(shí)，X1+X2+X3取最小值：X1+X2+X38+18+1339，當(dāng)A11，4，5，6，15，A22，7，8，9，14，A33，10，11，12，13時(shí)，X1+X2+X316+16+1648，當(dāng)A11，2，3，4，15，A25，6，7，8，14，A39，10，11，12，13時(shí)，X1+X2+X3取最大值：X1+X2+

18、X316+19+2257，X1+X2+X3的最大值與最小值的和為：39+5796【點(diǎn)睛】本題主要考查集合新定義的理解和應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.三.解答題：本大題共2小題，共20分25.已知函數(shù)f（x）x2+a|x1|（1）當(dāng)a2時(shí)，解方程f（x）2；（2）若f（x）在0，+）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】(1) x0或(2) 2，0【解析】【分析】（1）即解方程x2+2|x1|2對(duì)分類討論即得方程的解；（2）對(duì)分x1和0x1兩種情況討論得解.【詳解】（1）當(dāng)a2時(shí)，f（x）x2+2|x1|2當(dāng)x1時(shí)，x2+2（1x）2，x22x0，得x0；當(dāng)x1時(shí)，x2+2（x1）

19、2，x2+2x40，得綜上，方程f（x）2的解為x0或（2）x1時(shí)，f（x）x2+a（x1）x2+axa在1，+）上單調(diào)遞增，則，故a2；0x1時(shí)，f（x）x2ax+a，故a0且1a+a1+aa恒成立綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是2，0【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值方程的解法，考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.26.設(shè)a，b，c，d不全為0，給定函數(shù)f（x）bx2+cx+d，g（x）ax3+bx2+cx+d若f（x），g（x）滿足f（x）有零點(diǎn)；f（x）的零點(diǎn)均為g（f（x）的零點(diǎn)；g（f（x）的零點(diǎn)均為f（x）的零點(diǎn)則稱f（x），g（x）為一對(duì)“K函數(shù)”（1）當(dāng)acd1，b0時(shí)，驗(yàn)證f（x），g（x）是否為一對(duì)“K函數(shù)”，并說明理由；（2）若f（x），g（x）為任意一對(duì)“K函數(shù)”，求d的值；（3）若a1，f（1）0，且f（x），g（x）為一對(duì)“K函數(shù)”，求c的取值范圍【答案】(1) 不是一對(duì)“K函數(shù)”，理由見解析；(2) d0 (3) c0，）【解析】【分析】(1)