常微分方程考研講義第二章 一階微分方程的初等解法

1、第二章、一階微分方程的初等解法教學(xué)目標(biāo)1. 理解變量分離方程以及可化為變量分離方程的類(lèi)型（齊次方程），熟練掌握變量分離方程的解法。2. 理解一階線性微分方程的類(lèi)型，熟練掌握常數(shù)變易法及伯努力方程的求解。3. 理解恰當(dāng)方程的類(lèi)型，掌握恰當(dāng)方程的解法及簡(jiǎn)單積分因子的求法。4. 理解一階隱式方程的可積類(lèi)型，掌握隱式方程的參數(shù)解法。教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn)是一階微分方程的各類(lèi)初等解法 ，難點(diǎn)是積分因子的求法以及隱式方程的解法。 教學(xué)方法 講授，實(shí)踐。教學(xué)時(shí)間 14學(xué)時(shí)教學(xué)內(nèi)容 變量分離方程，齊次方程以及可化為變量分離方程類(lèi)型，一階線性微分方程及其常數(shù)變易法，伯努利方程，恰當(dāng)方程及其積分因子法，隱式方程?？己四?/p>

2、標(biāo) 1.一階微分方程的初等解法：變量分離法、一階線性微分方程的常數(shù)變易法、恰當(dāng)方程與積分因子法、一階隱方程的參數(shù)解法。2.會(huì)建立一階微分方程并能求解。 1 變量分離方程與變量變換1、 變量分離方程 1) 變量分離方程形如 (或) （2.1）的方程，稱(chēng)為變量分離方程，其中函數(shù)和分別是的連續(xù)函數(shù). 2) 求解方法 如果，方程(2.1)可化為，這樣變量就分離開(kāi)了,兩邊積分,得到 （2.2）把分別理解為的某一個(gè)原函數(shù).容易驗(yàn)證由（2.2）所確定的隱函數(shù)滿足方程（2.1）.因而（2.2）是（2.1）的通解.如果存在使，可知也是（2.1）的解.可能它不包含在方程的通解（2.2）中，必須予以補(bǔ)上.3) 例題

3、例1 求解方程解 將變量分離，得到 兩邊積分，即得 因而，通解為 這里的是任意的正常數(shù).或解出顯式形式 例2 解方程 并求滿足初始條件：當(dāng)時(shí).的特解.解 將變量分離，得到 兩邊積分，即得 因而，通解為 這里的是任意的常數(shù).此外，方程還有解.為確定所求的特解，以.代入通解中確定常數(shù)，得到 因而，所求的特解為 例3 求方程 （2.3）的通解，其中是的連續(xù)函數(shù).解 將變量分離，得到 兩邊積分，即得 這里的是任意常數(shù).由對(duì)數(shù)的定義，即有 即 令，得到 （2.4）此外，也是（2.3）的解.如果在（2.4）中允許，則也就包括在（2.4）中，因而，（2.3）的通解為（2.4），其中是任意常數(shù).注: 1.常數(shù)

4、的選取保證(2.2)式有意義. 2.方程的通解不一定是方程的全部解,有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解.此時(shí)，還應(yīng)求出不含在通解中的其它解, 即將遺漏的解要彌補(bǔ)上. 3.微分方程的通解表示的是一族曲線，而特解表示的是滿足特定條件的一個(gè)解，表示的是一條過(guò)點(diǎn)的曲線.2、可化為變量分離方程的類(lèi)型1）.形如 （2.5）的方程，稱(chēng)為齊次方程，這里的是的連續(xù)函數(shù). 另外,)對(duì)于方程 其中函數(shù)和都是和的次齊次函數(shù)，即對(duì)有 事實(shí)上，取，則方程可改寫(xiě)成形如(2.5)的方程. )對(duì)方程 其中右端函數(shù)是和的零次齊次函數(shù)，即對(duì)有則方程也可改寫(xiě)成形如(2.5)的方程對(duì)齊次方程（2.5）利用變量替換

5、可化為變量分離方程再求解. 令 （2.6）即，于是 （2.7）將（2.6）、（2.7）代入（2.5），則原方程變?yōu)?整理后，得到 （2.8）方程（2.8）是一個(gè)可分離變量方程，按照變量分離法求解，然后將所求的解代回原變量，所得的解便是原方程（2.5）的解.例4 求解方程解 這是齊次方程，以代入，則原方程變?yōu)?即 （2.9）分離變量，即有 兩邊積分，得到 這里的是任意的常數(shù)，整理后，得到 （2.10）此外，方程（2.9）還有解,即. 如果（2.10）中允許，則就包含在（2.10）中，這就是說(shuō)，方程（2.9）的通解為（2.10）.代回原來(lái)的變量，得到原方程的通解為 例5 求解方程解 將方程改寫(xiě)為

6、這是齊次方程，以代入，則原方程變?yōu)?（2.11）分離變量，得到 兩邊積分，得到（2.11）的通解 即 (2.12)這里的是任意常數(shù).此外，（2.11）還有解注意，此解不包括在通解（2.12）中.代回原來(lái)的變量，即得原方程的通解 及解.原方程的通解還可表為 它定義于整個(gè)負(fù)半軸上.注：1.對(duì)于齊次方程的求解方法關(guān)鍵的一步是令后，解出，再對(duì)兩邊求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)得，再將其代入齊次方程使方程變?yōu)殛P(guān)于的可分離方程. 2.齊次方程也可以通過(guò)變換而化為變量分離方程.這時(shí)，再對(duì)兩邊求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)得，將其代入齊次方程使方程變?yōu)榈目煞蛛x方程小結(jié)：這一講我們主要講解了一階微分方程的可分離變量法和齊次方程的形狀的解法.而這一

7、齊次方程通過(guò)變量替換任然可化為可分離方程，因而，一定要熟練掌握可分離方程的解法.2）形如 （2.13）的方程經(jīng)變量變換化為變量分離方程，這里的均為常數(shù).分三種情況來(lái)討論（1）情形.這時(shí)方程（2.13）屬齊次方程，有 此時(shí)，令，即可化為變量可分離方程.（2），即的情形. 設(shè)，則方程可寫(xiě)成 令，則方程化為 這是一變量分離方程.（3）不全為零的情形.這時(shí)方程（2.13）右端的分子、分母都是的一次式，因此 （2.14）代表平面上兩條相交的直線，設(shè)交點(diǎn)為.顯然，或，否則必有，這正是情形（1）（只需進(jìn)行坐標(biāo)平移，將坐標(biāo)原點(diǎn)移至就行了，若令 （2.15）則（2.14）化為 從而（2.13）變?yōu)?（2.16）

8、因此，得到這種情形求解的一般步驟如下：(1)解聯(lián)立代數(shù)方程（2.14），設(shè)其解為；(2)作變換（2.15）將方程化為齊次方程（2.16）；(3)再經(jīng)變換將（2.16）化為變量分離方程；(4)求解上述變量分離方程，最后代回原變量可得原方程（2.13）的解.上述解題的方法和步驟也適用于比方程（2.13）更一般的方程類(lèi)型 此外，諸如 以及 （其中為的齊次函數(shù)，次數(shù)可以不相同）等一些方程類(lèi)型，均可通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q化為變量分離方程.例6 求解方程 （2.17）解 解方程組 得 令代入方程（2.17），則有 （2.18） 再令 即 則（2.18）化為 兩邊積分，得 因此 記并代回原變量，就得 此外，易驗(yàn)

9、證 即 也就是（2.18）的解.因此方程（2.17）的通解為 其中為任意的常數(shù).3、 應(yīng)用舉例例7 電容器的充電和放電如圖（2.1）所示的電路，開(kāi)始時(shí)電容上沒(méi)有電荷，電容兩端的電壓為零.把開(kāi)關(guān)合上“1”后，電池就對(duì)電容充電，電容兩端的電壓逐漸升高，經(jīng)過(guò)相當(dāng)時(shí)間后，電容充電完畢，再把開(kāi)關(guān)合上“2”，這時(shí)電容就開(kāi)始放電過(guò)程，現(xiàn)在要求找出充、放電過(guò)程中，電容兩端的電壓隨時(shí)間的變化規(guī)律. 解 對(duì)于充電過(guò)程，由閉合回路的基爾霍夫第二定理， （2.19）對(duì)于電容充電時(shí)，電容上的電量逐漸增多，根據(jù)，得到 （2.20）將（2.20）代入（2.19），得到滿足的微分方程 （2.21）這里、都是常數(shù).方程（2.2

10、1）屬于變量分離方程.將（2.21）分離變量，得到 兩邊積分，得到 即 這里為任意常數(shù).將初始條件：時(shí)，代入，得到.所以 （2.22） 這就是電路充電過(guò)程中電容兩端的電壓的變化規(guī)律.由（2.22）知道，電壓從零開(kāi)始逐漸增大，且當(dāng)時(shí)，在電工學(xué)中，通常稱(chēng)為時(shí)間常數(shù)，當(dāng)時(shí)，就是說(shuō)，經(jīng)過(guò)的時(shí)間后，電容上的電壓已達(dá)到外加電壓的95%.實(shí)用上，通常認(rèn)為這時(shí)電容的充電過(guò)程已基本結(jié)束.易見(jiàn)充電結(jié)果.對(duì)于放電過(guò)程的討論，可以類(lèi)似地進(jìn)行.例8 探照燈反射鏡面的形狀在制造探照燈的反射鏡面時(shí)，總是要求將點(diǎn)光源射出的光線平行地射出去，以保證照燈有良好的方向性，試求反射鏡面的幾何形狀.解 取光源所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)，而軸平行

11、于光的反射方向，設(shè)所求曲面由曲線 （2.23）繞軸旋轉(zhuǎn)而成，則求反射鏡面的問(wèn)題歸結(jié)為求平面上的曲線的問(wèn)題,僅考慮的部分,過(guò)曲線上任一點(diǎn)作切線，則由光的反射定律：入射角等于反射角，容易推知 從而 注意到 及就得到函數(shù)所應(yīng)滿足的微分方程式 （2.24）這是齊次方程.由2.12知引入新變量可將它化為變量分離方程.再經(jīng)直接積分即可求得方程的解.對(duì)于方齊次方程（2.24）也可以通過(guò)變換而化為變量分離方程也可由得代入（2.24）得到 于是 （2.25）積分（2.25）并代回原來(lái)變量，經(jīng)化簡(jiǎn)整理，最后得 （2.26）其中為任意常數(shù). （2.26）就是所求的平面曲線，它是拋物線，因此，反射鏡面的形狀為旋轉(zhuǎn)拋物

12、面 （2.27）小結(jié): 本節(jié)我們主要討論了一階可分離微分方程和齊次微分方程的求解問(wèn)題.將各種類(lèi)型的求解步驟記清楚的同時(shí)要注意對(duì)解的討論. 2 線性方程與常數(shù)變易法1、一階線性微分方程 在的區(qū)間上可以寫(xiě)成 （2.28）對(duì)于有零點(diǎn)的情形分別在的相應(yīng)區(qū)間上討論.這里假設(shè)在考慮的區(qū)間上是的連續(xù)函數(shù).若，（2.28）變?yōu)?（2.3）稱(chēng)為一階齊線性方程.若，（2.28）稱(chēng)為一階非齊線性方程.2、常數(shù)變易法（2.3）是變量分離方程，已在例3中求得它的通解為 （2.4）這里是任意的常數(shù). 下面討論一階非齊線性方程（2.28）的求解方法. 方程(2.3)與方程(2.28)兩者既有聯(lián)系又有區(qū)別,設(shè)想它們的解也有一

13、定的聯(lián)系,在(2.4)中恒為常數(shù)時(shí),它不可能是(2.28)的解,要使(2.28)具有形如(2.4)的解, 不再是常數(shù),將是的待定函數(shù),為此令 （2.29）兩邊微分，得到 （2.30）將（2.29）、（2.30）代入（2.28），得到 即 積分后得到 （2.31）這里是任意的常數(shù).將（2.31）代入（2.29），得到 （2.32）這就是方程（2.28）的通解.這種將常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法，通常稱(chēng)為常數(shù)變易法.實(shí)際上常數(shù)變易法也是一種變量變換的方法.通過(guò)變換（2.29）可將方程（2.28）化為變量分離方程.注: 非齊線性方程的通解是它對(duì)應(yīng)的齊線性方程的通解與它的某個(gè)特解之和.例1 求方程的通解，

14、這里的為常數(shù).解 將方程改寫(xiě)為 （2.33）先求對(duì)應(yīng)的齊次方程 的通解，得 令 （2.34）微分之，得到 （2.35）以（2.34）、（2.35）代入（2.33），再積分，得 將其代入公式（2.34），即得原方程的通解 這里是任意的常數(shù). 例2 求方程的通解.解 原方程改寫(xiě)為 （2.36）把看作未知函數(shù)，看作自變量，這樣，對(duì)于及來(lái)說(shuō)，方程（2.36）就是一個(gè)線性方程了.先求齊線性方程 的通解為 （2.37）令,于是 代入（2.36），得到 從而，原方程的通解為 這里是任意的常數(shù),另外也是方程的解.特別的，初值問(wèn)題的解為例3 試證（1）一階非齊線性方程（2.28）的任兩解之差必為相應(yīng)的齊線性方程

15、（2.3）之解；（2）若是（2.3）的非零解，而是（2.28）的解，則（2.28）的通解可表為，其中為任意常數(shù).（3）方程（2.3）任一解的常數(shù)倍或兩解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.證 （1）設(shè)是非齊線性方程的兩個(gè)不同的解，則應(yīng)滿足方程使 （1）（2）有 說(shuō)明非齊線性方程任意兩個(gè)解的差是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的解.（2）因?yàn)楣式Y(jié)論成立.（3）因?yàn)楣式Y(jié)論成立.3、Bernoulli方程形如 （ ） （2.38）的方程，稱(chēng)為伯努利（）方程，這里為連續(xù)函數(shù).利用變量變換可將伯努利方程化為線性方程來(lái)求解.事實(shí)上，對(duì)于，用乘（2.38）兩邊，得到 （2.39）引入變量變換 （2.40）從而 （2.41

16、）將（2.40）、2.41）代入（2.39），得到 （2.42）這是線性方程，用上面介紹的方法求得它的通解，然后再代回原來(lái)的變量，便得到（2.38）的通解.此外，當(dāng)時(shí)，方程還有解. 例4 求方程的通解解 這是時(shí)的伯努利方程，令 ,得 代入原方程得到 這是線性方程，求得它的通解為 代回原來(lái)的變量，得到 或者 這是原方程的通解. 此外，方程還有解.例5 求方程的解解 將方程改寫(xiě)為 這是一個(gè)自變量為，因變量為的伯努利方程.解法同上.例6 求方程的通解這個(gè)方程只要做一個(gè)變換，令，原方程改寫(xiě)為 便是伯努利方程.小結(jié);這次主要討論了一階線性微分方程的解法.其核心思想是常數(shù)變易法.即將非齊線性方程對(duì)應(yīng)的齊線

17、性方程解的常數(shù)變易為待定函數(shù)，使其變易后的解函數(shù)代入非齊次線性方程，求出待定函數(shù)，求出非齊次方程的解.我們還討論了伯努利方程，求解過(guò)程為，先變換，將原方程化為非齊線性方程，再求解. 3 恰當(dāng)方程與積分因子1、恰當(dāng)方程的定義 將一階微分方程 寫(xiě)成微分的形式 把平等看待，對(duì)稱(chēng)形式的一階微分方程的一般式為 （2.43）假設(shè)在某區(qū)域內(nèi)是的連續(xù)函數(shù)，而且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù). 如果存在可微函數(shù),使得 (2.44)即 (2.45)則稱(chēng)方程(2.43)為恰當(dāng)方程,或稱(chēng)全微分方程.在上述情形,方程(2.43)可寫(xiě)成,于是 就是方程(2.43)的隱式通解,這里是任意常數(shù)(應(yīng)使函數(shù)有意義).2、 恰當(dāng)方程的判定準(zhǔn)

18、則 定理1設(shè)在某區(qū)域內(nèi)連續(xù)可微,則方程(2.43)是恰當(dāng)方程的充要條件是 (2.46)而且當(dāng)(2.46)成立時(shí),相應(yīng)的原函數(shù)可取為 (2.47)或者也可取為 (2.48)其中是任意取定的一點(diǎn).證明 先證必要性.因?yàn)?2.43)是恰當(dāng)方程,則有可微函數(shù)滿足(2.45),又知是連續(xù)可微的,從而有 下面證明定理的充分性,即由條件(2.46),尋找函數(shù),使其適合方程(2.45).從(2.47)可知 即(2.45)成立,同理也可從(2.48)推出(2.45).例1. 解方程 (2.49)解 這里,則,所以(2.49)是恰當(dāng)方程.因?yàn)橛谔師o(wú)意義,所以應(yīng)分別在和區(qū)域上應(yīng)用定理2.3,可按任意一條途徑去求相應(yīng)

19、的原函數(shù).先選取,代入公式(2.47)有 再選取,代入公式(2.47)有 可見(jiàn)不論和,都有 故方程的通解為.3、恰當(dāng)方程的解法 上述定理已給出恰當(dāng)方程的解法,下面給出恰當(dāng)方程的另兩種常用解法.解法1. 已經(jīng)驗(yàn)證方程為恰當(dāng)方程,從出發(fā),有 (2.50)其中為待定函數(shù),再利用,有 從而于是有 只需要求出一個(gè),因而省略了積分常數(shù).把它代入(2.50)便得方程的通解為 解法2. 分項(xiàng)組合的方法 對(duì)(2.49)式重新組合變?yōu)?于是 從而得到方程的通解為 4、積分因子的定義及判別對(duì)于微分形式的微分方程 （2.43）如果方程（2.43）不是恰當(dāng)方程，而存在連續(xù)可微的函數(shù)，使得 (2.51)為一恰當(dāng)方程，即存

20、在函數(shù)，使 則稱(chēng)是方程（2.43）的積分因子.此時(shí)是(2.51)的通解，因而也就是（2.43）的通解.如果函數(shù)和都是連續(xù)可微的,則由恰當(dāng)方程的判別準(zhǔn)則知道, 為(2.43)積分因子的充要條件是 即 (2.52)5、積分因子的求法 方程(2.52)的非零解總是存在的，但這是一個(gè)以為未知函數(shù)的一階線性偏微分方程，求解很困難，我們只求某些特殊情形的積分因子. 定理2 設(shè)和在某區(qū)域內(nèi)都是連續(xù)可微的，則方程（2.43）有形如的積分因子的充要條件是：函數(shù) （2.53）僅是的函數(shù)，此外，如果（2.53）僅是的函數(shù)，而，則函數(shù) （2.54）就是方程（2.43）的積分因子.證明 因?yàn)槿绻匠蹋?.43）有積分因

21、子，則由（2.52）進(jìn)一步知即由可知左端是的函數(shù)，可見(jiàn)右端也是的函數(shù)，即，于是，有， 從而 反之，如果（2.53）僅是的函數(shù)，即，則函數(shù)（2.54）是方程（2.52）的解.事實(shí)上，因?yàn)橐虼撕瘮?shù)（2.54）的確是方程（2.43）的積分因子. 為了方便應(yīng)用這個(gè)定理，我們就若干特殊情形列簡(jiǎn)表如下：類(lèi)型條件積分因子例2. 解解 這里,注意所以方程不是恰當(dāng)?shù)?但是它僅是依賴(lài)與，因此有積分因子給方程兩邊乘以因子得到從而可得到隱式通解例3. 解方程解 這里方程不是恰當(dāng)?shù)?但是它有僅依賴(lài)于的積分因子 方程兩邊乘以積分因子得到 從而可得到隱式通解另外，還有特解.它是用積分因子乘方程時(shí)丟失的解.例4. 解方程 解

22、 這里，不是恰當(dāng)方程.設(shè)想方程有積分因子，其中，是待定實(shí)數(shù).于是只須取.由上述簡(jiǎn)表知原方程有積分因子從而容易求得其通解為：六、積分因子的其他求法以例4為例，方程的積分因子也可以這樣來(lái)求：把原方程改寫(xiě)為如下兩組和的形式：前一組有積分因子，并且后一組有積分因子，并且設(shè)想原方程有積分因子其中，是待定實(shí)數(shù).容易看出只須，上述函數(shù)確實(shí)是積分因子，其實(shí)就是上面找到一個(gè).例5. 解方程 其中，均為連續(xù)函數(shù).解 這里，.寫(xiě)成微商形式就形式上方程是變量可分離方程，若有使得，則是此方程的解；若有使得，則是此方程的解；若，則有積分因子并且通解為例6、試用積分因子法解線性方程（2.28）.解 將（2.28）改寫(xiě)為微分

23、方程 （2.55）這里，而 則線性方程只有與有關(guān)的積分因子 方程（2.55）兩邊乘以，得 （2.56）（2.56）為恰當(dāng)方程，又分項(xiàng)分組法 因此方程的通解為 即 與前面所求得的結(jié)果一樣. 注：積分因子一般不容易求得可以先從求特殊形狀的積分因子開(kāi)始，或者通過(guò)觀察法進(jìn)行“分項(xiàng)分組”法求得積分因子. 4 一階隱方程與參數(shù)表示1、一階隱方程 一階隱式微分方程的一般形式可表示為: 如果能解出,則可化為顯式形式,根據(jù)前面的知識(shí)求解. 例如方程 ,可化為或但難以從方程中解出,或即使解出,而其形式比較復(fù)雜,則宜采用引進(jìn)參數(shù)的方法求解.一般隱式方程分為以下四種類(lèi)型: 1) 2) 3) 4)2、求解方法 ）可以解出（或）的方程1) 討論形如 （2.57）的方程的解法，假設(shè)函數(shù)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),引進(jìn)參數(shù),則方程(2.57)變?yōu)?(2.58)將(2.58) 的兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù),得到 (2.59)方程(2.59)是關(guān)于的一階微分方程,而且屬于顯式形式. 若求得(2.59)的通解形式為,將其代入(2.58),于是得到(2.57)通解為 若求得(2.59)的通解形式為,于是得到(2.57)的參數(shù)形式的通解為 其中為參數(shù), 是任意常數(shù). 若求得(2.59)的通解形式為,于是得到(2.57)的參數(shù)形式的通解