線性系統(tǒng)理論8線性二次型最優(yōu)控制.ppt

1、第八章線性二次型最優(yōu)控制,為已給的某類函數(shù)。如果對于這類函數(shù)中的每一個函數(shù)，有某數(shù),8.1變分法簡介,最優(yōu)控制理論是變分法,也是泛函極值理論的一個分支。,定義8.1.1設,稱為泛函,記為,與之對應，則稱,為這類函數(shù)的泛函，,。函數(shù)類,的定義域。,泛函的一些基本概念,1.泛函的變量的變分：泛函的變量的增量稱為變分，記為：，指兩個函數(shù)間的差，即：2.泛函的連續(xù)性：對于任意給定的正數(shù)，如果存在正數(shù)，當,4.泛函的增量：由變量的變分導致的泛函增量，記為，即,5.泛函的變分泛函的變分記為：，其定義為,相對于為線性泛函,8.1.2泛函的極值,問題OC已知一個動態(tài)系統(tǒng)：其中，為狀態(tài)向量，為控制向量，為一個關(guān)

2、于所有變量連續(xù)可微的向量函數(shù)；自由。目的是要尋找系統(tǒng)的一個控制，使下述泛函性能指標：達極小。,8.1.3最優(yōu)控制問題,為上述最優(yōu)控制的解，,和邊界條件,其中,稱為Hamilton函數(shù)。,8.2有限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題,8.2.1問題的描述,問題8.2.1有限時間的線性二次型最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)問題在滿足受控對象狀態(tài)方程：,的性能指標,且同時使得式,取得極小值。,8.2.2有限時間最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器,定理8.2.1線性系統(tǒng),在性能指標,下的二次型最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器為,說明8.2.3最優(yōu)控制或作用下的最優(yōu)軌線有系統(tǒng)決定。,說明8.2.4在上述最優(yōu)控制問題中，我們并沒有要求系統(tǒng)是可穩(wěn)的。,說明8.2.5最優(yōu)控制系統(tǒng)的

3、結(jié)構(gòu)如下圖所示。,8.3無限長時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題,8.3.1問題的描述與調(diào)節(jié)器形式,問題8.3.1無限長時間線性二次型最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)問題給定系統(tǒng),達到極小。,8.3.2閉環(huán)穩(wěn)定性,定理8.3.2設定理8.3.1的條件成立，則上述無限時間二次型最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器控制系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng),說明8.3.1無限時間調(diào)節(jié)器控制系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性具有明確的物理意義。其穩(wěn)定性是極小化性能指標的必然結(jié)果。,解從指標的表達式可知,8.4輸出調(diào)節(jié)器問題,8.4.1線性時變系統(tǒng)的情形,問題8.4.1有限時間線性二次型最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)問題已知線性時變系統(tǒng),和性能指標,在性能指標下的線性二次型最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器為,及其初始條件,8

4、.4.2線性定常系統(tǒng)的情形,問題8.4.2無限長時間線性二次型最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)問題給定完全能控和完全能觀系統(tǒng),是正定（或半正定）對稱矩陣。,在指標,下的上述無限長時間線性二次型最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)問題的解為,解:首先容易驗證此系統(tǒng)是能觀的和能控的；而,的增加，系統(tǒng)的極點趨向于實軸，使振蕩減小，響應變慢，對,從本例可以看到，原受控對象是不穩(wěn)定的，但求得的閉環(huán)最優(yōu)系統(tǒng)卻是漸近穩(wěn)定的。實際上，為保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，,是正半定,的即可。,8.5輸出跟蹤問題,8.5.1線性時變系統(tǒng)的情形,問題8.5.1有限時間線性二次型最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)問題給定能觀的線性時變系統(tǒng),及性能指標,定理8.5.1系統(tǒng),下的線性二次型最優(yōu)輸出跟蹤問題的解由式,給出，其中,及其邊界條件,由微分方程,決定。,8.5.2線性定常系統(tǒng)的情形,對于線性定常系統(tǒng)，當要求輸出參考信號Z（t）=Z為常向量，終端時間極大但不等于無窮大時，可以導出一個很有實用意義的近似最優(yōu)控制規(guī)律。雖然這個近似控制規(guī)律對于終端時間等于無窮大的情況在理論上并不成立，但對一般工程控制系統(tǒng)是足夠精確的。