大題01 三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形（6大題型）（解析版）

大題01三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形根據(jù)近幾年的高考情況，三角函數(shù)、三角恒變換與解三角形是高考必考點(diǎn)。雖然九省聯(lián)考中調(diào)整了試題順序，但今年高考仍有可能在解答中考查這部分內(nèi)容。在高考中，主要考查正余弦定理解三角形及三角函數(shù)與解三角形的綜合問題，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)進(jìn)行求解。還考察把實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為解三角形的問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的結(jié)合.題型一：三角恒等變換與三角函數(shù)（2024·福建福州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，是的零點(diǎn)．（1）求的值；（2）求函數(shù)的值域．【思路分析】（1）根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)性質(zhì)并結(jié)合范圍求解；（2）利用余弦二倍角公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)求值域.【規(guī)范解答】（1）由已知可得，解得，即，又，可得．（2）由，可得，其中，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，當(dāng)時(shí)，取得最大值2，故函數(shù)的值域?yàn)椋祟愵}型考察恒等變形和三角函數(shù)函數(shù)性質(zhì)，涉及到三角恒等變形的公式比較多。1、首先要通過降冪公式降冪，二倍角公式化角：（1）二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα(S2α)；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)（2）降冪公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，2、再通過輔助角公式“化一”，化為3、輔助角公式：asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a).4、最后利用三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，求解計(jì)算：一般將看做一個(gè)整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合的思想解題。與三角函數(shù)相關(guān)的方程根的問題（零點(diǎn)問題），通常通過函數(shù)與方程思想轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)問題，再借助圖象進(jìn)行分析。1.（2024·北京海淀·高三首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù).（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；（2）求方程的根.【答案】（1）最大值為2，最小值為；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)有意義的取值，再由切化弦及輔助角公式化簡函數(shù)式，利用正弦函數(shù)性質(zhì)求解即得.（2）由（1）的結(jié)論，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解并驗(yàn)證即得.【解析】（1）函數(shù)中，，即，，顯然，由，得，則，即，所以當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)的最大值為2；當(dāng)；即時(shí)，函數(shù)的最小值為.（2）由，得，即或，，解得或，，而，所以方程的根是.2.（2022·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于直線對稱.（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值.【答案】（1），；（2）最小值為2，最大值為3【分析】（1）利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，然后通過對稱性和周期得到，然后求解單調(diào)區(qū)間．（2）由的取值范圍，求出的取值范圍，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的值域即可．【解析】（1）∵，由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于直線對稱，所以，所以，所以，所以，由，，得，∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，.（2）∵，∴，，由，∴當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，題型二：正余弦定理解三角形的邊與角（2024·浙江·高三浙江金華第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，.（1）若，求的面積；（2）若，求.【思路分析】（1）由已知結(jié)合正弦定理得，再利用余弦定理得，從而得解；（2）由三角形內(nèi)角和結(jié)合已知可得，化簡可得：，再利用求解.【規(guī)范解答】（1）在中，，由正弦定理可知：可化為：故可得：，代入可得：所以，故（*）在中，由余弦定理可得：代入數(shù)據(jù)和（*）式可得：所以三角形面積為：，故三角形的面積為.（2）因?yàn)榍?，故，所以，代入可得：因此化簡可得：，則，因?yàn)?，所以，所以，所以可得：，化簡可得：在中，由正弦定理可得?利用正、余弦定理求解三角形的邊角問題，實(shí)質(zhì)是實(shí)現(xiàn)邊角的轉(zhuǎn)化，解題的思路是：1、選定理.（1）已知兩角及一邊，求其余的邊或角，利用正弦定理；（2）已知兩邊及其一邊的對角，求另一邊所對的角，利用正弦定理；（3）已知兩邊及其夾角，求第三邊，利用余弦定理；（4）已知三邊求角或角的余弦值，利用余弦定理的推論；（5）已知兩邊及其一邊的對角，求另一邊，利用余弦定理；2、巧轉(zhuǎn)化：化邊為角后一般要結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理與三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化；若將條件轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系，則式子一般比較復(fù)雜，要注意根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特征靈活化簡.3、得結(jié)論：利用三角函數(shù)公式，結(jié)合三角形的有關(guān)性質(zhì)（如大邊對大角，三角形的內(nèi)角取值范圍等），并注意利用數(shù)形結(jié)合求出三角形的邊、角或判斷出三角形的形狀等。1．（2024·山東日照·統(tǒng)考一模）在銳角中，角A，B，C．所對的邊分別為a，b，c．已知且，（1）求角B及邊b的大小；（2）求的值．【答案】（1），；（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊換角即可得，再利用余弦定理即可得；（2）利用余弦定理求得，再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系和兩角和的正弦公式即可得到答案.【解析】（1）依題意，，由正弦定理得，由于銳角三角形中，所以，而是銳角，所以.由余弦定理得.（2）由余弦定理得，而是銳角，所以，所以..2．（2024·江蘇·高三統(tǒng)考期末）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）若，，求；（2）點(diǎn)D在邊上，，若，，求a．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)余弦定理求出，再利用正弦定理求出；（2）在，中分別利用余弦定理列式可得，再由條件切化弦，根據(jù)正、余弦定理化簡得，運(yùn)算求得.【解析】（1）在中，，，由余弦定理得，即，所以．，由正弦定理，得，所以．（2）因?yàn)?，，所以，．在中，由余弦定理得，即，在中，由余弦定理得，即，所以，即①因?yàn)?，所以．又，由正弦定理得，，即，則②聯(lián)立①②可得，所以．題型三：利用正弦定理求三角形外接圓（2024·山西晉城·統(tǒng)考一模）在中，，，．（1）求A的大??；（2）求外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑．【思路分析】（1）由余弦定理即可求解；（2）由正弦定理求出外接圓半徑，由等面積法求出內(nèi)切圓半徑.【規(guī)范解答】（1）由余弦定理得，因?yàn)?，所以．?）設(shè)外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑分別為，，由正弦定理得，則．的面積，由，得．利用正弦定理：可求解三角形外接圓的半徑。若要求三角形外接圓半徑的范圍，一般將用含角的式子表示，再通過三角函數(shù)的范圍來求半徑的范圍。1．（2023·全國·模擬預(yù)測）銳角中，角的對邊分別為，，其中．（1）求角；（2）過點(diǎn)作，且四點(diǎn)共圓，，求的面積．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由余弦定理的推論和正弦定理進(jìn)行角化邊，得，將代入得；（2）因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，，所以是外接圓的直徑，由正弦定理可求得，在中，由正弦定理，可得，最后由三角形面積公式可解.【解析】（1）由余弦定理的推論和正弦定理得，整理得，將代入得．又因?yàn)榻鞘卿J角，所以角．（2）因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，，所以，所以是外接圓的直徑，設(shè)外接圓的半徑為，則，得，即．因?yàn)椋裕谥?，，所以．又為銳角，所以，所以，所以，所以．2．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知中B為鈍角，且．（1）證明：；（2）已知點(diǎn)在邊上，且，求外接圓面積的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）由已知利用輔助角公式化簡可得，進(jìn)而求得的關(guān)系證得結(jié)果；（2）由可知可得，由，可得，利用正弦定理可得，從而可得通過函數(shù)性質(zhì)計(jì)算求解即可.【解析】（1）因?yàn)?，所以，即，又，，所以，所以，即，或，即（舍去），又，所以，即；?）因?yàn)?，所以，又，可得，設(shè)外接圓半徑為，在中，，可得，在中，，因?yàn)橹袨殁g角，所以，得，所以，，所以，即的取值范圍為．可得外接圓面積的取值范圍．題型四：解三角形中邊長或周長的最值范圍（2024·黑龍江·高三大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知在銳角三角形中，邊，，對應(yīng)角，向量，，且與垂直，．（1）求角；（2）求的取值范圍．【思路分析】（1）通過，利用三角恒等變形公式計(jì)算即可；（2）利用正弦定理，將用角表示出來，然后利用的范圍求的取值范圍．【規(guī)范解答】（1）因?yàn)榕c垂直，所以，即，即，即，即，又，所以，所以，即；（2）由正弦定理得，根據(jù)三角形是銳角三角形得，解得，則，所以，所以，則，則的取值范圍為.利用正、余弦定理等知識求解三角形邊長或周長最值范圍問題，一般先運(yùn)用正、余弦定理進(jìn)行邊角互化，然后通過三角形中相關(guān)角的三角恒等變換，構(gòu)造關(guān)于某一角或某一邊的函數(shù)或不等式，再利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等來處理。1．（2024·廣東湛江·統(tǒng)考一模）已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求A；（2）若外接圓的直徑為，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由兩角和與差的余弦公式、正弦定理化簡已知式即可得出答案；（2）由正弦定理可得，由兩角差的正弦公式和輔助角公式可得，再由三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【解析】（1）由可得：，所以，所以，，，由正弦定理可得，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?（2）由正弦定理可得，所以，故，又，所以，所以，又，所以，所以，所以的取值范圍為.2．（2024·廣西南寧·南寧三中校聯(lián)考一模）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求角的大?。唬?）若，求周長的最大值．【答案】（1）；（2）6【分析】（1）根據(jù)題意利用正、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）根據(jù)，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理可得，且，所?（2）由（1）可知：，整理得，即，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，則，可得，即，所以周長的最大值為.題型五：解三角形中面積的最值范圍（2024·四川德陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在中，角、、所對的邊分別為、、，且，.（1）求；（2）若為銳角三角形，求的面積范圍.【思路分析】（1）根據(jù)，，利用正弦定理得到，再利用三角恒等變換求解；（2）設(shè)的外接圓半徑為，得到，再由求解.【規(guī)范解答】（1）因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，所以，又，則，所以.（2）設(shè)的外接圓半徑為，則，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，則，則，所以，所以的面積范圍.1、常用三角形的面積公式：（1）；（2）；（3）（為三角形內(nèi)切圓半徑）；（4），即海倫公式，其中為三角形的半周長。2、求面積的最值范圍，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形面積用所設(shè)變量表示出來，再利用正余弦定理列出方程求解。注意函數(shù)思想的應(yīng)用。1．（2024·陜西安康·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在中，角的對邊分別是，，，且.（1）求角的大?。唬?）若，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）由題設(shè)條件求得，即得，在三角形中即可求得角；（2）由（1）和可利用正弦定理將邊分別用的三角函數(shù)表示，運(yùn)用三角形面積公式，經(jīng)三角恒等變換將面積表示成正弦型函數(shù)，最后結(jié)合角的范圍和三角函數(shù)的圖象即得.【解析】（1）由可得：，則.由，又因，故得：.（2）由（1）知，又，由正弦定理可得：，則，記的面積為，則，因，則，故，所以，面積的最大值為.2．（2024·河北石家莊·高三石家莊市第二十四中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求角;（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用正弦定理化簡得到，進(jìn)而得到，即可求解；（2）利用余弦定理和基本不等式求得，進(jìn)而求得面積的最大值.【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，即，所以，因?yàn)?，可得，所以，顯然，所以，又因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，由余弦定理可得，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到號，故面積的最大值為.題型六：三角形的角平分線、中線、垂線（2024·廣東·高三統(tǒng)考期末）已知中，角所對的邊分別為，，，，且.（1）求角的大?。唬?）若，點(diǎn)在邊上，且平分，求的長度.【思路分析】（1）利用正弦定理將角化邊，找到邊的關(guān)系，借助余弦定理計(jì)算即可；（2）結(jié)合（1）問，求出，利用，計(jì)算出的長度即可.【規(guī)范解答】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得：，因?yàn)椋?，即，由余弦定理可得，在中?所以.（2）由（1）問可知,，所以，解得，設(shè)，由平分，所以,即，解得：，故的長度為.1、解三角形角平分線的應(yīng)用如圖，在?ABC中，AD平分∠BAC，角A、B，C所對的邊分別問a，b，（1）利用角度的倍數(shù)關(guān)系：∠（2）內(nèi)角平分線定理：AD為?ABC的內(nèi)角∠BAC的平分線，則AB說明：三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理將分對邊所成的線段比轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的兩邊之比，再結(jié)合抓星結(jié)構(gòu)，就可以轉(zhuǎn)化為向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”類問題，運(yùn)用向量知識解決起來都較為簡捷。（3）等面積法：因?yàn)镾?ABD+S所以b+cAD=2bccosA2，2、解三角形中線的應(yīng)用（1）中線長定理：在?ABC中，AD是邊BC上的中線，則AB【點(diǎn)睛】靈活運(yùn)用同角的余弦定理，適用在解三角形的題型中（2）向量法：AD【點(diǎn)睛】適用于已知中線求面積（已知BDCD3、解三角形垂線的應(yīng)用（1）分別為邊上的高，則（2）求高一般采用等面積法，即求某邊上的高，需要求出面積和底邊長度高線兩個(gè)作用：（1）產(chǎn)生直角三角形；（2）與三角形的面積相關(guān)。1．（2023·安徽·高三校聯(lián)考期末）如圖,在中,的平分線交邊于點(diǎn),點(diǎn)在邊上,,,.（1）求的大小;（2）若,求的面積.【答案】（1）；（2）【分析】（1）因?yàn)槭堑慕瞧椒志€,所以,在中利用余弦定理求出的長,再次利用余弦定理即可求出的大小.（2）在中,由正弦定理求出的長,再根據(jù)四邊形內(nèi)角和為可得到，從而求出的值,再利用三角形面積公式求解即可.【解析】（1）因?yàn)槭堑慕瞧椒志€,所以,在中,根據(jù)余弦定理得所以，則,因?yàn)?所以.（2）因?yàn)?所以,在中,由正弦定理得,在四邊形中,,所以,則.2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若的面積為，求邊上的中線長.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等變換的知識求得.（2）根據(jù)三角形的面積求得，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得，利用正弦定理、向量數(shù)量積運(yùn)算來求得邊上的中線長.【解析】（1）由正弦定理可得，所以，即，又，所以，整理得，解得；（2）依題意，，解得，又，所以為鈍角，所以由，解得，由正弦定理可得，又，所以，設(shè)的中點(diǎn)為，則，所以，所以邊上的中線長為.1．（2024·北京海淀·高三101中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和圖象的對稱軸方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值．【答案】（1）最小正周期，圖象的對稱軸方程為；（2）最大值，最小值【分析】（1）利用三角恒等變換得到，利用求出最小正周期，整體法求出函數(shù)的對稱軸方程；（2）整體法求出函數(shù)的最值.【解析】（1）因?yàn)?，所以函?shù)的最小正周期，令，解得故圖象的對稱軸方程為．（2）因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，取最大值，當(dāng)，即時(shí)，取最小值．2．（2024·遼寧大連·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其中，__________.請從以下二個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在題干的橫線上，并解答下列問題：①是的一個(gè)零點(diǎn)；②.（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，若曲線與直線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)建立并解方程，可得答案；（2）利用三角函數(shù)恒等式整理函數(shù)解析式，根據(jù)復(fù)合型三角函數(shù)的單調(diào)性，可得答案.【解析】（1）選條件①由題設(shè).所以.因?yàn)椋?所以.所以.選條件②.由題設(shè).，，，，，整理得.因?yàn)椋?所以.所以.（2）由（1）.令，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值1；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.又，即時(shí)，.所以的取值范圍是.3．（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）在中，內(nèi)角所對的邊分別為．已知．（1）求A的大?。唬?）若，求的面積．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，求出；（2）由同角三角函數(shù)關(guān)系得到，由正弦定理得到，求出，利用三角形面積公式求出答案.【解析】（1）由，結(jié)合正弦定理，得，即，即，即，因?yàn)?，所以，即．?）因?yàn)?，所以．利用正弦定理得．而，故的面積為．4．（2024·廣東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）在中，角的對邊分別是，且．（1）求角的大?。唬?）若，，是邊的中點(diǎn)，求的長．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)及誘導(dǎo)公式計(jì)算即得.（2）由（1）的結(jié)論，借助向量數(shù)量積及運(yùn)算律計(jì)算即得.【解析】（1）在中，由正弦定理及，得，而，則，由，知，因此，解得，所以角的大小為.（2）由（1）知，由是邊的中點(diǎn)，得，所以.5．（2024·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）已知銳角的內(nèi)角A，B，C，所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求角A；（2）若，求的周長的取值范圍.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式和正弦定理即可；（2）根據(jù)正弦定理得，從而化邊為角，結(jié)合三角恒等變換和三角函數(shù)值域即可得到其范圍.【解析】（1）由已知得，，則根據(jù)正弦定理得，，為銳角三角形，．（2）由正弦定理得，即，則，因?yàn)?，解得，得，所以，得?．（2024·廣東深圳·高三深圳外國語學(xué)校校聯(lián)考期末）某景區(qū)為吸引游客，擬在景區(qū)門口的三條小路之間劃分兩片三角形區(qū)域用來種植花卉（如圖中陰影部分所示），已知，三點(diǎn)在同直線上，.（1）若，求的長度；（2）求面積的最小值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)余弦定理求得的長，利用三角函數(shù)的恒等式，結(jié)合正弦定理，可得答案；（2）設(shè)出未知角，表示出邊長，利用三角形面積公式，整理其函數(shù)解析式，根據(jù)三角函數(shù)恒等式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【解析】（1）因?yàn)?，所以在中，由余弦定理可得，所以，解?由正弦定理得，即，解得，所以.可得.在中，由正弦定理得，則，解得，所以.（2）設(shè)，則，由于，則.在中，由正弦定理得，解得.過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，設(shè)的面積為.則.所以，所以.所以，即面積的最小值為.1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，角所對的邊分別是．已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出，再由平方關(guān)系求出，即可由兩角差的正弦公式求出．【解析】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；（2）由余弦定理可得，，即，解得：或（舍去）．（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都為銳角，因此，，．2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積為，為中點(diǎn)，且．（1）若，求；（2）若，求．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）方法1，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面積公式求出，作出邊上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答；方法2，利用向量運(yùn)算律建立關(guān)系求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答.【解析】（1）方法1：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，則，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，則，，所以.方法2：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，則，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，則，，過作于，于是，，所以.（2）方法1：在與中，由余弦定理得，整理得，而，則，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.3．（2004·全國·高考真題）已知銳角中，，（1）求證：；（2）設(shè)，求AB邊上的高.【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）利用和差角的正弦公式、同角公式推理計(jì)算即得；（2）利用同角公式求出，再結(jié)合（1）的結(jié)論及和角的正切求出即可列式計(jì)算得解.【解析】（1）由，得，即，兩式相除得，所以.（2）在銳角中，，，則，，即有，將代入上式并整理得，而，解得，，設(shè)邊上的高為，則，由，得，所以邊上的高等于4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知在中，．（1）求；（2）設(shè)，求邊上的高．【答案】（1）；（2）6【分析】（1）根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)