2025年亞太地區(qū)數(shù)學奧林匹克（APMO）模擬試卷：代數(shù)與幾何應(yīng)用難題攻克指南

2025年亞太地區(qū)數(shù)學奧林匹克（APMO）模擬試卷：代數(shù)與幾何應(yīng)用難題攻克指南一、多項式運算與因式分解要求：運用多項式運算及因式分解的技巧，解答下列各題。1.設(shè)\(a,b,c\)是等差數(shù)列的三個連續(xù)項，且\(a^2+b^2+c^2=21\)，求\(a+b+c\)的值。2.已知\(x^3-3x^2+4x-12\)可被\(x-2\)整除，求另一個因式。3.若\(x^2+px+q\)的兩個根為\(2\)和\(3\)，求\(p\)和\(q\)的值。4.將多項式\(2x^3-5x^2+4x-3\)分解因式。5.設(shè)\(a,b,c\)是等比數(shù)列的三個連續(xù)項，且\(a^2+b^2+c^2=21\)，求\(a+b+c\)的值。6.若\(x^3-3x^2+4x-12\)可被\(x-2\)整除，求另一個因式。7.已知\(x^2+px+q\)的兩個根為\(2\)和\(3\)，求\(p\)和\(q\)的值。8.將多項式\(2x^3-5x^2+4x-3\)分解因式。二、方程與不等式要求：運用方程與不等式的知識，解答下列各題。1.解方程\(\frac{x+3}{2}-\frac{2x-1}{3}=1\)。2.解不等式\(3x-2>2x+1\)。3.求方程\(x^2-5x+6=0\)的解。4.解不等式組\(\begin{cases}2x-3<5\\x+4>1\end{cases}\)。5.求方程\(x^2-5x+6=0\)的解。6.解不等式\(3x-2>2x+1\)。7.解方程\(\frac{x+3}{2}-\frac{2x-1}{3}=1\)。8.解不等式組\(\begin{cases}2x-3<5\\x+4>1\end{cases}\)。三、函數(shù)與圖像要求：運用函數(shù)與圖像的知識，解答下列各題。1.已知函數(shù)\(f(x)=2x-3\)，求\(f(2)\)的值。2.若函數(shù)\(f(x)=3x^2-2x+1\)的圖像與\(x\)軸相交于點\(A\)和\(B\)，求\(AB\)的長度。3.求函數(shù)\(f(x)=2x^2-3x+1\)的零點。4.若函數(shù)\(f(x)=3x^2-2x+1\)的圖像與\(x\)軸相交于點\(A\)和\(B\)，求\(AB\)的長度。5.求函數(shù)\(f(x)=2x^2-3x+1\)的零點。6.已知函數(shù)\(f(x)=2x-3\)，求\(f(2)\)的值。7.若函數(shù)\(f(x)=3x^2-2x+1\)的圖像與\(x\)軸相交于點\(A\)和\(B\)，求\(AB\)的長度。8.求函數(shù)\(f(x)=2x^2-3x+1\)的零點。四、數(shù)列與組合要求：運用數(shù)列與組合的知識，解答下列各題。1.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n=n^2+n\)，求\(a_5\)的值。2.從1到10的自然數(shù)中，任取3個不同的數(shù)，求取出的三個數(shù)能構(gòu)成一個等差數(shù)列的概率。3.設(shè)\(A=\{1,2,3,4,5\}\)，\(B=\{2,4,6,8,10\}\)，求\(A\capB\)的元素個數(shù)。4.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式為\(a_n=2n+1\)，求前10項的和。5.從1到10的自然數(shù)中，任取3個不同的數(shù)，求取出的三個數(shù)能構(gòu)成一個等差數(shù)列的概率。6.設(shè)\(A=\{1,2,3,4,5\}\)，\(B=\{2,4,6,8,10\}\)，求\(A\capB\)的元素個數(shù)。五、解析幾何要求：運用解析幾何的知識，解答下列各題。1.已知點\(P(2,3)\)和直線\(y=2x-1\)，求點\(P\)到直線的距離。2.直線\(y=3x+4\)與圓\(x^2+y^2=25\)相交于\(A\)和\(B\)兩點，求\(AB\)的長度。3.已知直線\(y=2x+1\)與圓\(x^2+y^2=9\)相切于點\(C\)，求\(C\)的坐標。4.點\(P(2,3)\)到直線\(y=2x-1\)的距離。5.直線\(y=3x+4\)與圓\(x^2+y^2=25\)相交于\(A\)和\(B\)兩點，求\(AB\)的長度。6.已知直線\(y=2x+1\)與圓\(x^2+y^2=9\)相切于點\(C\)，求\(C\)的坐標。六、概率與統(tǒng)計要求：運用概率與統(tǒng)計的知識，解答下列各題。1.從一副52張的標準撲克牌中隨機抽取一張，求抽到紅桃的概率。2.一個袋子里有5個白球和3個黑球，隨機取出兩個球，求取出的兩個球都是白球的概率。3.某班級有30名學生，其中有18名女生，隨機選取3名學生，求選取的3名學生中至少有2名女生的概率。4.從一副52張的標準撲克牌中隨機抽取一張，求抽到紅桃的概率。5.一個袋子里有5個白球和3個黑球，隨機取出兩個球，求取出的兩個球都是白球的概率。6.某班級有30名學生，其中有18名女生，隨機選取3名學生，求選取的3名學生中至少有2名女生的概率。本次試卷答案如下：一、多項式運算與因式分解1.解析：設(shè)\(a,b,c\)是等差數(shù)列的三個連續(xù)項，則\(b=a+d\)，\(c=a+2d\)。代入\(a^2+b^2+c^2=21\)得\(3a^2+6ad+3d^2=21\)，化簡得\(a^2+2ad+d^2=7\)，即\((a+d)^2=7\)。因為\(a,b,c\)是連續(xù)項，所以\(a+d=\sqrt{7}\)，\(a-d=\pm\sqrt{7}\)。解得\(a=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{7}}{2}\)，\(d=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{7}}{2}\)，所以\(a+b+c=3a=3\sqrt{7}\)。2.解析：已知\(x^3-3x^2+4x-12\)可被\(x-2\)整除，設(shè)另一個因式為\(x^2+mx+n\)，則有\(zhòng)((x-2)(x^2+mx+n)=x^3-3x^2+4x-12\)。展開得\(x^3+(m-2)x^2+(n-2m)x-2n=x^3-3x^2+4x-12\)，比較系數(shù)得\(m-2=-3\)，\(n-2m=4\)，\(n=12\)。解得\(m=-1\)，\(n=12\)，所以另一個因式為\(x^2-x+12\)。3.解析：由韋達定理知\(x_1+x_2=-p\)，\(x_1\cdotx_2=q\)。因為\(x_1=2\)，\(x_2=3\)，所以\(p=-(2+3)=-5\)，\(q=2\cdot3=6\)。4.解析：因式分解\(2x^3-5x^2+4x-3=(x-1)(2x^2-3x+3)\)。5.解析：與第1題類似，設(shè)\(a,b,c\)是等比數(shù)列的三個連續(xù)項，則\(b=ar\)，\(c=ar^2\)。代入\(a^2+b^2+c^2=21\)得\(a^2(1+r^2+r^4)=21\)。由于\(a,b,c\)是連續(xù)項，\(a+ar+ar^2=a(1+r+r^2)=0\)，解得\(r=-1\)。代入\(a^2(1+r^2+r^4)=21\)得\(a^2(1+1+1)=21\)，解得\(a^2=7\)，所以\(a+b+c=a(1+r+r^2)=0\)。6.解析：與第2題類似，已知\(x^3-3x^2+4x-12\)可被\(x-2\)整除，所以另一個因式為\(x^2-x+12\)。二、方程與不等式1.解析：將方程\(\frac{x+3}{2}-\frac{2x-1}{3}=1\)通分得\(\frac{3(x+3)-2(2x-1)}{6}=1\)，化簡得\(x=5\)。2.解析：解不等式\(3x-2>2x+1\)得\(x>3\)。3.解析：因式分解\(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\)，解得\(x=2\)或\(x=3\)。4.解析：解不等式組\(\begin{cases}2x-3<5\\x+4>1\end{cases}\)得\(\begin{cases}x<4\\x>-3\end{cases}\)，所以解集為\(-3<x<4\)。5.解析：與第3題類似，因式分解\(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\)，解得\(x=2\)或\(x=3\)。6.解析：與第2題類似，解不等式\(3x-2>2x+1\)得\(x>3\)。三、函數(shù)與圖像1.解析：已知函數(shù)\(f(x)=2x-3\)，代入\(x=2\)得\(f(2)=2\cdot2-3=1\)。2.解析：函數(shù)\(f(x)=3x^2-2x+1\)的圖像與\(x\)軸相交，即\(3x^2-2x+1=0\)。使用求根公式得\(x=\frac{1\pm\sqrt{1-4\cdot3\cdot1}}{2\cdot3}=\frac{1\pm\sqrt{-11}}{6}\)，因為根號內(nèi)為負數(shù)，所以圖像與\(x\)軸不相交。3.解析：函數(shù)\(f(x)=2x^2-3x+1\)的零點即解方程\(2x^2-3x+1=0\)。使用求根公式得\(x=\frac{3\pm\sqrt{9-4\cdot2\cdot1}}{2\cdot2}=\frac{3\pm\sqrt{1}}{4}\)，解得\(x=1\)或\(x=\frac{1}{2}\)。4.解析：與第2題類似，函數(shù)\(f(x)=3x^2-2x+1\)的圖像與\(x\)軸不相交。5.解析：與第3題類似，函數(shù)\(f(x)=2x^2-3x+1\)的零點為\(x=1\)或\(x=\frac{1}{2}\)。6.解析：已知函數(shù)\(f(x)=2x-3\)，代入\(x=2\)得\(f(2)=1\)。四、數(shù)列與組合1.解析：由數(shù)列的前\(n\)項和公式\(S_n=n^2+n\)，得\(a_5=S_5-S_4=(5^2+5)-(4^2+4)=25+5-16-4=10\)。2.解析：從1到10的自然數(shù)中任取3個不同的數(shù)，共有\(zhòng)(C_{10}^3\)種取法。能構(gòu)成等差數(shù)列的取法有\(zhòng)(C_5^3\)種（公差為1,2,3,4,5）。所以概率為\(\frac{C_5^3}{C_{10}^3}\)。3.解析：集合\(A\)和\(B\)的交集\(A\capB\)的元素個數(shù)為\(|A\capB|=|A|+|B|-|A\cupB|=5+5-10=0\)。4.解析：與第1題類似，由數(shù)列的前\(n\)項和公式\(S_n=n^2+n\)，得\(a_5=S_5-S_4=(5^2+5)-(4^2+4)=25+5-16-4=10\)。5.解析：與第2題類似，從1到10的自然數(shù)中任取3個不同的數(shù)，共有\(zhòng)(C_{10}^3\)種取法。能構(gòu)成等差數(shù)列的取法有\(zhòng)(C_5^3\)種（公差為1,2,3,4,5）。所以概率為\(\frac{C_5^3}{C_{10}^3}\)。6.解析：與第3題類似，集合\(A\)和\(B\)的交集\(A\capB\)的元素個數(shù)為\(|A\capB|=|A|+|B|-|A\cupB|=5+5-10=0\)。五、解析幾何1.解析：點\(P(2,3)\)到直線\(y=2x-1\)的距離公式為\(\frac{|2\cdot2-1\cdot3-1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{|4-3-1|}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\)。2.解析：直線\(y=3x+4\)與圓\(x^2+y^2=25\)的交點滿足\(\begin{cases}y=3x+4\\x^2+y^2=25\end{cases}\)。代入得\(x^2+(3x+4)^2=25\)，解得\(x=-\frac{1}{2}\)或\(x=-\frac{7}{2}\)。代入直線方程得\(y=\frac{9}{2}\)或\(y=-\frac{11}{2}\)。所以\(AB\)的長度為\(\sqrt{(-\frac{1}{2}+\frac{7}{2})^2+(\frac{9}{2}+\frac{11}{2})^2}=\sqrt{36+100}=\sqrt{136}\)。3.解析：直線\(y=2x+1\)與圓\(x^2+y^2=9\)相切，所以圓心到直線的距離等于圓的半徑。圓心為\((0,0)\)，直線方程為\(y=2x+1\)，所以距離為\(\frac{|2\cdot0-1\cdot0+1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\)。因為圓的半徑為3，所以切點坐標為\((\frac{3}{\sqrt{5}},\frac{6}{\sqrt{5}})\)。4.解析：與第1題類似，點\(P(2,3)\)到直線\(y=2x-1\)的距離為\(\frac{2}{\sqrt{5}}\)。5.解析：與第2題類似，直線\(y=3x+4\)與圓\(x^2+y^2=25\)的交點滿足\(\begin{cases}y=3x+4\\x^2+y^2=25\end{cases}\)。代入得\(x^2+(3x+4)^2=25\)，解得\(x=-\frac{1}{2}\)或\(x=-\frac{7}{2}\)。代入直線方程得\(y=\frac{9}{2}\)或\(y=-\frac{11}