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文檔簡介

中點模型鞏固練習(xí)(提優(yōu))

一.選擇題

1.如圖,在等腰RtA43C中,NC=8C=2,點P在以斜邊為直徑的半圓上,M為尸C的中點,當(dāng)點尸

沿半圓從點A運動至點B時,點M運動的路徑長是()

P

A.V2TTB.JiC.—7TD.2

2

AD1

2.如圖,點D,E,尸分別在△48C的邊上,——=DE//BC,EF//AB,點M是。尸的中點,連接CM

BD3

MN

并延長交于點N,二二的值是()

3.如圖,等邊△48C的邊長為6,。是3c的中點,E是/C邊上的一點,連接。E,以DE為邊作等邊△

DEF,若CE=2,則線段4F的長為()

4.如圖,正方形4BCD中,點£、F、”分別是/8、BC、CD的中點,CE、DF交于點G,連接NG、HG,

1

下列結(jié)論:?CE±DF;②HG=*BC;③△/OG是等邊三角形;?ZCHG^ZDAG;正確的有()

Afr----------------jD

BFC

A.1B.2C.3D.4

二.填空題

5.如圖,在%BCD中,E是/。上的一點,過點E作斯,5C交BC的延長線于點R交。。于點G,AH

CF1的S△cFG/土、/

于,,且“恰好為BC的中點,若-“一),則c值為______________________?

J七,S/ZJABCD

BH-d4-

6.如圖,在矩形/BCZ)中,4D=10,AB=16,。為CO的中點,連接8尸.在矩形48CZ)外部找一點£,

使得/3EC+NAPC=180°,則線段OE的最大值為_____

O

Dpc

7.如圖,在△/2C中,4B=4C=3,BC=2,。為5c的中點,E,尸分另)]在Z3,/C上,^ZEDF=90°

1

=則點。至!JAB的距禺是______________________,△4EF的周長是_____________________.

A

BDC

8.如圖,已知正方形/BCD、正方形NEFG的邊長分別為4,1,將正方形NEFG繞點/旋轉(zhuǎn),連接。尸,

點河是。尸的中點,連接CM,則線段CM的最大值為

三.解答題

9.如圖,在△/8C中,。是8c的中點,DELAB,DFLAC,垂足分別是£,F,BE=CF.求證:

(1)是△NBC的角平分線;

(2)△NBC是等腰三角形.

10.已知:如圖,在△4BC中,NZC8=90°,AC=BC,。是Z8的中點,點E在/C上,點尸在2C上,

且NE=CF.

(1)指出?!昱c。尸的關(guān)系,并證明;

(2)若NC=2,連接ER則£尸的最小值為

CFB

11.如圖①所示,已知48是。。的直徑,點C在半徑CU上,點。,點尸是圓上的點,CD〃OF,點、E是

半徑08的中點,DE與0F交于點、G,連接8G,BF.

(圖①)(圖②)

(1)如果DCLL/3,連接0D,如圖②所示;

①則//的度數(shù)為°;

②若ND0F=NDEC,CO=6,求線段OE的長;

0G

(2)若OB=BG,BE=CO,求一的值.

12.如圖1,在等腰RtZ\/8C中,ZC=90°,AC=BC,是△48C的角平分線.

(1)直接寫出N4DC的大?。?/p>

(2)求證:AC+CD^AB;

(3)E在2c上,過點E作40垂線,垂足為點G,延長EG交/C的延長線于點?

①如圖2,若E是AD的中點,求證:BD=2CF;

②如圖3,若E是3c的中點,直接寫出三條線段43,BD,CF之間的數(shù)量關(guān)系.

AA

A

1

CDB

FF

圖1圖2圖3

13.小明學(xué)習(xí)了垂徑定理后,做了下面的探究,請根據(jù)題目要求幫小明完成探究.

(1)更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多新的發(fā)現(xiàn).如圖1,在。。中,C是油的中點,直線CC/B

于點E,則可以得到/請證明此結(jié)論.

(2)從圓上任意一點出發(fā)的兩條弦所組成的折線,稱為該圓的一條折弦.如圖2,古希臘數(shù)學(xué)家阿基米

德發(fā)現(xiàn),若以、依是。。的折弦,C是才S的中點,于點E.則/£=尸£+尸5.這就是著名的“阿

基米德折弦定理”.那么如何來證明這個結(jié)論呢?小明的證明思路是:在/£上截取/尸=尸3,連接CZ、

CF、PC、2c…請你按照小明的思路完成證明過程.

(3)如圖3,已知等邊三角形N5C內(nèi)接于。O,48=2,點。是衣上的一點,N4BD=45:AELBD

于點£,則△ADC的周長為

14.綜合與實踐:

在綜合與實踐課上,老師讓同學(xué)們以“折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動.

【問題發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,在正方形/BCD中,AB=BC=6,尸為邊的中點,£為邊上一點,連接?!?、DF,

分別將△/£)£和△CD尸沿。尸翻折,點/、C的對應(yīng)點分別為點G、H,點G與點〃重合,則/

EDF=°,AE=;

【類比探究】

(2)如圖2,在矩形48CD中,48=5,BC=4,尸為2C邊的中點,E為邊上一點,連接DE、DF,

分別將和廠沿。£、。尸翻折,點/、C的對應(yīng)點分別為點G、H,且。、H、G三點共線.求

/£的長;

【拓展延伸】

(3)如圖3,在菱形/BCD中,AB=&,Z£>=60°,尸為CD邊上的三等分點,E為8c邊上一點,連

接力£、AF,分別將△N8E和尸沿/£、/尸翻折,點。、8的對應(yīng)點分別為點G、”,點G與點〃

重合,直線GE交直線N8于點P,請直接寫出尸8的長.

圖1

圖2圖3

中點模型鞏固練習(xí)(提優(yōu))

一.選擇題

1.如圖,在等腰中,NC=8C=2,點P在以斜邊為直徑的半圓上,M為尸C的中點,當(dāng)點尸

沿半圓從點/運動至點8時,點M運動的路徑長是()

lV2

A.V2TTB.兀C.——7TD.2

2

【分析】取N3的中點。、NC的中點£、8C的中點尸,連接。C、OP、OM、OE、OF、EF,如圖,利

用等腰直角三角形的性質(zhì)得到48=回。=2a,則0C=打8=/,OP=%B=VL再根據(jù)等腰三角形

的性質(zhì)得OMLPC,則/。00=90°,于是根據(jù)圓周角定理得到點M在以0c為直徑的圓上,由于點尸

點在A點時,M點在E點;點尸點在B點時,M點在尸點,則利用四邊形CEOF為正方得到EF=

孝,所以M點的路徑為以EF為直徑的半圓,然后根據(jù)圓的周長公式計算點M運動的路徑長.

【解答】解:取的中點。、/C的中點£、8C的中點R連接。C、OP、OM.OE、OF、EF,如圖,

在等腰RtZX/BC中,AC=BC=2,

:.AB=V2SC=2V2,

0C=^AB=V2,OP=^AB=V2,

,?ZACS=90°

;.C在。。上,

■為PC的中點,

:.OM±PC,

:.ZCMO=90a,

...點M在以oc為直徑的圓上,

點P在/點時,M點在E點;點尸在2點時,初點在尸點,易得四邊形CEOP為正方形,即=。。=/,

:.M點的路徑為以EF為直徑的半圓,

...點M運動的路徑長=^*2m—Ji.

222

故選:C.

【點評】本題考查了軌跡:點按一定規(guī)律運動所形成的圖形為點運動的軌跡.解決此題的關(guān)鍵是利用等

腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理確定M點的軌跡為以斯為直徑的半圓.

AD1

2.如圖,點。,E,尸分別在△N8C的邊上,一=DE//BC,EF//AB,點M是。尸的中點,連接CW

BD3

MN

并延長交48于點N,二二的值是()

【分析】過點尸作FG〃CN交AB于點G,證明ACV是△ZJG尸的中位線,得GF=2MN,由GF//CN,

EF//AB,得四邊形GFffiV是平行四邊形,證明設(shè)MH=MN=a,則G尸=2°,然后證明CN

=4GF=8a,所以CH=CN-NH=8a-2a=6a,得CM=CH+MH=6a+a=7a,進而可以解決問題.

【解答】解:過點尸作尸G〃CN交48于點G,

,點〃■是。尸的中點,

是DG的中點,

MN是ADGF的中位線,

:.GF=2,MN,

':GF//CN,EF//AB,

二四邊形GF/W是平行四邊形,

:.NH=GF=2MN,

:.MH=MN,

設(shè)MH=MN=a,則GF=2a,

':DE//BC,

△ADEs^ABC,

.DEAD1

BC~AB~4

:?BC=4DE,

?:EF〃AB,DE//BC,

???四邊形DEFB是平行四邊形,

:?DE=BF,

9:FG//CN,

.BFGF

??BC~CN'

..BFDE1

?BC-BC-4’

.GF1

?'CN—4,

:,CN=4GF=8a,

:.CH=CN-NH=8a-2a=Qa,

:.CM=CH+MH=6a+a=7a,

.MNa1

"CM-7a-7’

故選:D.

【點評】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì),平行線分線段成比例定理,平行四邊形的判定與性質(zhì),由

平行線得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

3.如圖,等邊的邊長為6,。是5C的中點,£是4。邊上的一點,連接以。E為邊作等邊△

DEF,若CE=2,則線段4方的長為()

77

A.V7B.-C.-D.2V2

23

【分析】過尸作交/C于“,交8C于G;過4作于N,然后說明△G〃C為等邊三角

1

形,進而可得乙4M=N£DC;再證AHFE咨ACEDCAAS)可得尸"=CE=2,EH=CD=$C=3,然

后運用勾股定理求解即可.

【解答】解:過/作交/C于X,交8c于G,過/作/N_LGA■于N,

AAGHC=ZHGC=ZC=60°,

...△G8C為等邊三角形,

VZAED=ZC+ZEDC,ZAED=ZAEF+ZFED,NC=/FED=6Q°,

:.ZAEF=ZEDC,

'/EHF=4=60°

在△?£和△CED中,、乙HEF=4EDC,

方尸=DE

:.AHFE注XCED(AAS),

1

:.FH=CE=2,EH=CD=^BC=3,

:.AE=AC-CE=&-2=4,

:?AH=AE-EH=4-3=L

在RtZX/HV中,/AHN=60°,

AZHAN=30°,

:.HN=^AH=I,

:.AN=V3HN=亭,

15

:.FN=FH+HN=2+^=|,

5

在RtZUW中,根據(jù)勾股定理得:相=加+由=(―)2+(-)2=7,

22

:.AF=V7,

故選:A.

【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點,作

出輔助線、構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.

4.如圖,正方形N8CD中,點£、F、”分別是加9、BC、CD的中點,CE、DF交于■點、G,連接NG、HG,

1

下列結(jié)論:?CE±DF;②H6=*BC;③△ADG是等邊三角形;④NCHG=/DAG;正確的有()

A.1B.2C.3D.4

【分析】連接/〃,由四邊形48CD是正方形與點E、F、8分別是48、BC、8的中點,易證得△5CE

貯ACDF與4ADH咨LDCF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì),易證得尸與根據(jù)垂直平分線的

性質(zhì),即可證得NG=/。,由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,即可證得"G=%。,根據(jù)等腰

三角形的性質(zhì),即可得NCHG=/D/G.則問題得解.

【解答】解::四邊形/BCD是正方形,

:.AB=BC=CD=AD,NB=NBCD=90°,

?.?點£、廠分別是8C的中點,

:.BE=^AB,CF=1T?C,

:.BE=CF,

在△BCE與△C。尸中,

BE=CF

ZB=4DCF,

.BC=CD

:.ABCE咨ACDF(SAS),

NECB=NCDF,

VZBCE+ZECD^9Q°,

:.ZECD+ZCDF^90°,

;.NCGD=90°,

/.CELDF,故①正確;

在RtZXCG。中,”是CD邊的中點,

11

:.HG/CD/BC,故②正確;

如圖,連接

同理可得:AHLDF,

1

,:HG=HD==fD,

:.DK=GK,

垂直平分。G,

:.AG=AD,

...△/DG是等腰三角形,故③錯誤;

/DAG=2NDAH,

同理:AADgADCF(SAS),

:.NDAH=NCDF,

GH=DH,

:.NHDG=NHGD,

:.ZGHC=ZHDG+ZHGD=2ZCDF,

:"CHG=NDAG.故④正確.

綜上所述:正確的有:①②④共3個.

故選:C.

【點評】本題是四邊形綜合題,難度較大,考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角

形的性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

二.填空題

5.如圖,在%8co中,£是/。上的一點,過點E作EFLBC交的延長線于點R交DC于點G,AH

CF1SAr'

LBC于H,且〃恰好為2c的中點,若=則.值為

DE2SaABCD

PGrpiFG1

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明△BGsZXQEG,得力===:;,所以不=大由條件證明四邊

EGDE2EF3

FGFG1

形4"也是矩形,得一=;;;;=7,然后證明△ZBT/s^GCF,根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的

AHEF3

平方即可解決問題.

【解答】解:在%BCD中,

?:AD〃BC,

:?&CFGs叢DEG,

.FGCF1

,9EG~DE~2

.FG1

**EF-3,

■:EF1BC,AHLBC,

;?/AHB=NGFC=90°,

?;AD〃BC,

:?/AHB=/GFC=90°=NHAE,

???四邊形4HFE是矩形,

:?AH=EF,

.FGFG1

AH~EF~3f

9:AB//CD,

:./B=/GCF,

:.AABHsAGCF,

.S^ABH/A"、29

SAGCFGF1

S/\ABH=9sAeFG,

???”為BC的中點,

1

:.BH=CH=灑,

.11

:S"BH=*BH?AH=:BC?AH,

L4

:?BC?AH=4S“BH,

???平行四邊形ABCD的面積=5C?4〃=4s△”H=36SZ\CFG,

.S^CFG__1

s口ABCD36

-,1

故答案為:—.

36

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),解決本題的關(guān)

鍵是掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方.

6.如圖,在矩形4SCD中,/。=10,48=16,P為CD的中點,連接8P.在矩形48CD外部找一點E,

使得N8EC+4BPC=180。,則線段的最大值為.

【分析】以AP的中點。為圓心,。8為半徑畫圓,可得所畫圓是RtaBCP的外接圓,弦2c左側(cè)圓弧上

任意一點E與BC構(gòu)成的N8EC與N2PC共弦,可得N2EC+N8PC=180°,連接。。并延長與圓的交

點即為DE的最短距離,作OHLDC于點H,可得OH是4PBC的中位線,根據(jù)勾股定理求出OP和OD

的值,進而可得。£的最小值.

【解答】解:如圖,以AP的中點。為圓心,為半徑畫圓,

在矩形48co中,4D=BC=10,AB=CD=16,

VZ5CP=90°,

.?.所畫圓是RtASCP的外接圓,

弦BC右側(cè)圓弧上任意一點E與BC構(gòu)成的/2EC,使得四邊形BPCE是圓內(nèi)接四邊形,

AZBEC+ZBPC=18Q°,

連接。。并延長與圓的交點即為DE的最短距離,

作OHLDC于點H,

是尸C的中點,

:.OH是APBC的中位線,

1

:.OH=券C=5,

<P為CD的中點,

:.CP=DP=1CD=8,

:.PH=|CP=4,

DH=DP+PH=8+4=12,

0P=y/OH2+PH2=-52+42=V41.

:.OE=OP=V41,

':OD=VOW2+OH2=V122+52=13,

:.DE=OD+OE=13+>j41^

故答案為:13+V41.

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì),勾股定理,三角形中位線定理,圓周角定理,最短路線問題,解決本

題的關(guān)鍵是綜合利用以上知識找到點E.

7.如圖,在△N8C中,AB=AC=3,BC=2,。為的中點,E,尸分別在48,/C上,若NEDF=90°

=2乙4,則點。到AB的距離是,△4EF的周長是.

【分析】連接AD,過點。作DGLAB交于點G,過點D作DMLEF交于點M,過點。作DNLAC交

于點N分別求出80、AD,利用三角形的面積公式求出DG的長即可點。到N8的距離;根據(jù)“兩角分

BEED

別相等的兩個三角形全等”證△3磯>?△(?£?£則得一=一,ZBDE=ZCFD,再根據(jù)“兩邊對應(yīng)成

CDDF

比例且夾角相等的兩個三角形相似“證△仍。?△££)/,可得/BED=NDEF,ZBDE=ZDFE,進而可

證/XEGD咨△EMD,推出EG=EM,再進一步推出/G=4N,BG=CN,EF=BE+CF-2BG,最后證△

DGB?AADB,利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出BG的長即可.

【解答】解:連接過點。作。GL/8交于點G,過點。作DM,斯交于點V,過點。作。NL/C

交于點N,如圖所示:

,:AB=AC,。為8c的中點,

111

:.BD=^BC=1,ADLBC,ZADB=ZACD=(180°-ZA)=90°―專乙4,

在RtAABD中,由勾股定理得ADy/AB2-BD2=V32-I2=2&,

11

xABxDG=—xBDxAD,

22

..BDxAD1X2V2272

"G=^-=^—=丁,

1

又?;/EDF=90°—*4

/ABD=/ACD=ZEDF,

ZEDC=NABC+/BED,

/BED=/FDC,

/BED=/FDC,/EBD=/DCF,

△BED?ACDF,

.BEED

=—,/BDE=/CFD,

9CD-DF

。為5C的中點,

?BEBEED

9CD-~BD~DF'

■BEBD

—,

??ED一DF

又丁/EBD=/EDF,

:.AEBD?AEDF,

:?/BED=/DEF,/BDE=/DFE,

?:/EGD=/EMD=90°,ZBED=ZDEF,DE=DE,

:.AEGD^AEMD,

:.EG=EM,

同理可得:FN=FM,

U:AB=AC,

???/5C是等腰三角形,

???。為5C的中點,

???ZBAD=ZCADf

?:AD=AD,

:.AAGD?LAND,

:?AG=AN,

X''AB=AC,

:?BG=CN,

:.EF=EM+FM=EG+FN=BE-BG+CF-CN=BE+CF-2BG,

?:NB=/B,NBGD=/ADB=90°,

???ADGB?AADB,

DBGB-1GB

--=---,即-=—,

ABDB31

:.BG=I,

2

:.EF=BE+CF-^,

:.4AEF的周長=/E+/F+8£+CF-1=AB+AC-1=3+3-j=^.

【點評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股

定理等知識,添加輔助線,靈活運用相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)推理是解答本

題的關(guān)鍵.

8.如圖,已知正方形4BCD、正方形/EFG的邊長分別為4,1,將正方形NEFG繞點/旋轉(zhuǎn),連接DR

點M是。下的中點,連接CM,則線段CM的最大值為.

【分析】延長DC至點尸,使CP=OC,連接尸尸,AP,根據(jù)三角形中位線定理得P尸=2CW,再利用三

角形三邊關(guān)系可得答案.

【解答】解:延長。C至點尸,使CP=DC,連接尸尸,AP,

:點M是。尸的中點,CP=DC,

:.CM是ADFP的中位線,

:.PF=2CM,

?.?正方形/BCD、正方形4E?尸G的邊長分別為4,1,

:.AP^V42+82=4V5,AF=5

?;PFWAP+AF,

:.PF的最大值為4A/5+V2,

的最大值為--+2巡,

故答案為:號+2代.

【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),正方形的性質(zhì),三角形中位線定理,三角形三邊關(guān)系等知識,構(gòu)

造中位線是解題的關(guān)鍵.

三.解答題

9.如圖,在△/2C中,。是2C的中點,DELAB,DFLAC,垂足分別是E,F,BE=CF.求證:

(1)4D是△/8C的角平分線;

(2)△4BC是等腰三角形.

【分析】(1)根據(jù)從可證Rt/XBEDgRtaCF。,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得OE=D凡再根據(jù)角平分

線的判定即可求解;

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得/8=/C,根據(jù)等角對等邊可得N8=4C.

【解答】證明:(1)..?。是3C的中點,

:.BD=CD,

DELAB,DFL4C,

MBED和ACFD都是直角三角形,

在Rt/XBED與RtACFD中,

(BE=CF

=CD'

:.RtAB£Z)^RtACFD(HL),

:.DE=DF,

:.AD是△NBC的角平分線;

(2)。;RtABED空RtACFD,

:./B=/C,

:.AB=AC,

:.^ABC是等腰三角形.

【點評】本題主要考查學(xué)生對角平分線的判定,全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點的靈活運用,關(guān)鍵是

證明RtABED出RtACFD.

10.已知:如圖,在△/BC中,ZACB=9Q°,AC=BC,。是N8的中點,點E在NC上,點尸在8c上,

且/E=CF.

(1)指出與。尸的關(guān)系,并證明;

(2)若NC=2,連接E凡則斯的最小值為.

【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)知/Z=NB=45°,結(jié)合。是N8的中點知CDL48且4D=

BD=CD,繼而得=結(jié)合/£=CF即可證得根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出

=DF,/ADE=/CDF,即可解決問題;

(2根據(jù)垂線段最短得出當(dāng)DEL/C,。尸,3c時,防值最小,根據(jù)矩形的性質(zhì)和判定得出跖=。,

求出CD即可.

【解答】解:(1)DE=DFJ.DE±DF,理由如下:

如圖,連接CD,

;N4CB=90°,。是48的中點,

:.CD=AD=BD,

:.ZDCB=ZB,

■:AC=BC,

/A=/B,

:./A=/DCB,

在△/£>£與△CDF中,

AE=CF,ZA=ZDCB,AD=CD,

:.AADE^ACDF(S/S),

:.DE=DF,/ADE=/CDF,

■:AC=BC,。是48的中點,

:.CD1AB,

:.ZADC=90°,即/ADE+/CZ)£=90°,

:.ZCDF+ZCDE=90°,即/£。尸=90°,

:.DE±DF;

(2)在△ABC中,ZACB=90°,AC=BC=2,

:.ZA=ZB=45°,AB=&AC=2近,

?.?點。是的中點,

:.CD1AB,ZDCB=45°,AD=BD=CD=V2,

HDE1AC,。尸J_8c時,DE、。下分別取最小值,

VZEDF=90°,

:.EF=y/DE2+DF2,此時的值最小,

.,?四邊形CEZE是矩形,

:.EF=CD=V2,

尸的最小值為企,

故答案為:V2.

【點評】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定,等腰直角三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,矩形的性質(zhì)和

判定,垂線段最短等知識點.綜合運用定理進行推理是解題的關(guān)鍵.

11.如圖①所示,已知48是。。的直徑,點C在半徑CU上,點。,點尸是圓上的點,CD〃OF,點E是

半徑08的中點,DE與0F交于點、G,連接8G,BF.

(1)如果連接0。,如圖②所示;

①則//的度數(shù)為450;

②若NDOF=NDEC,CO=6,求線段OE的長;

0G

(2)若OB=BG,BE=CO,求點的值.

【分析】(1)①利用垂直的定義,平行線的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可;

②設(shè)OO的半徑為,,則。Z)=O5=r,利用勾股定理求得CZA利用相似三角形的判定與性質(zhì)得到C爐

=CO-EC,從而得到關(guān)于r的方程,解方程即可得出結(jié)論;

(2)延長8G交DC于點K,連接O。,交BK于點、M,設(shè)GO=%,OE=x,貝UO3=G5=2x,OD=OB

=2x,利用三角形的中位線定理,平行線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)得出比例式,進而得到m=

x,則結(jié)論可求.

【解答】解:(1)@':DCLAB,CD//OF,

:.OF1.AB,

:?/AOF=/BOF=9G°,

?:OB=OF,

:.ZF=ZOF=45

故答案為:45;

②設(shè)。O的半徑為「,貝1」。。=。5=尸,

9:DC.LAB,

:.af+od=oif,

:.CD2=r-^=r-36.

??,點E是半徑05的中點,

.1

??OE=2r.

1

:.EC=OC+OE=6+^r.

U:CD//OF,

:.ZCDO=ZDOFf

丁ZDOF=/DEC,

:.ZCDO=ZDEC.

':/DCO=/ECD,

:.XDCOsXECD,

.DCEC

??—,

COCD

9

:?CD=CO?EC.

oI

Ar-36=6(6+貨),

.」=3土產(chǎn)(負數(shù)不合題意,舍去),

.3+3聞

2

1O£=13+3V33

Z4

(2)延長5G交OC于點K,連接8,交BK于點、M,如圖,

AC0EB

設(shè)GO=m,OE=x,

??,點E是半徑08的中點,BE=CO,

.\BE=CO=OE=x,

OB—GB—2x,OD—OB—2x.

?:CD"OF,CO=OE,

???0G為的中位線,

;?CD=2OG=2m,

?:CD"OF,

:.ABOGsABCK,

.OGBGOB2x2

?*CK-BK-BC-3x-3’

3

:.CK=^m,BK=3x,

1

:?KG=x,DK=CD-CK=

9:CD//OF,

:.ADKMS^OGM,

1

DM_KM_DK22_i

OM~GM~OGm2

4

2-12

:.DM=|x,OM=3KM=余,MG=^x

2o

???BA/=5G+GA/=2x+

14

.KM/1OM/1

?*-o=—,-p——,

DM-x2BM-x2

33

.KM_OM

?'DM~BM'

ZKMD=ZOMB,

:.AKMDs^OMB,

.KD_KM

??OB~OM"

-1m-1x

?2____3_

??~~=4-,

2x\

3

??1Tl=Xf

0Gm1

OF~2x~2

【點評】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì),圓周角定理,平行線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),線段

的中點的定義,三角形的中位線的性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),熟練掌握平行線

的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.如圖1,在等腰RtZ\N8C中,ZC=90°,AC=BC,是的角平分線.

(1)直接寫出NNDC的大小;

(2)求證:AC+CD=AB;

(3)E在上,過點E作40垂線,垂足為點G,延長EG交NC的延長線于點冗

①如圖2,若E是AD的中點,求證:BD=2CF;

②如圖3,若E是2C的中點,直接寫出三條線段BD,C戶之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出/C43=45°,進而利用角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理

解答即可;

(2)過。作DE'LAB于E',根據(jù)角平分線的性質(zhì)和AAS證明△4CZ>與全等,進而利用全等

三角形的性質(zhì)解答即可;

(3)①設(shè)/C=a,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出比例解答即可;

②根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出比例,進而利用等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】(1)解:?.?/C=90°,AC=BC,是八48。的角平分線,

:.ZCAB^45

:.ZCAD^ZDAB^22.5°,

二N/Z)C=90°-22.5°=67.5

(2)證明:過。作?!?于E',

圖1

在△/CD與中,

(^CAD=4'40

\^ACD=^AE'D=90。,

{AD=AD

.?.△ACD/AAE'D(AAS),

:.CD=DE',AC=AE',

■:NDE'B=90°,Z5=45°,

△£>£'B為等腰直角三角形,

:.DE'=E'B,

?.ZD是△NBC的角平分線,ZC=90°,DELAB,

:.CD=DE',AC=4E',

:.CD+AC=E'B+AE'=AB;

(3)①證明:設(shè)ZC=a,

,,.AB=V2a,BC—a,

由(2)可知,AC+CD=AB,

a+CD=y[2a,

:.CD=(V2-1)a,

:.BD=(2-V2)a,

■:E為BD中點,

:.DE=^^a,

':AC±CE,AGLEF,

:.ZCAD=ZAEF,

且//。。=/£。尸=90°,

:.ZCFE=ZCDA,

:.△ACDs^ECF,

?ACEC

?.=,

CDCF

.aEC

*'(V2-l)a—CF,

:.EC=CD+DE=(V2-1)GH-----^—ci=,

V2

.a=Ta

"(V2-l)a-CF,

解得:CF=22夜.’

':BD=(2-V2)a,

:.BD=2CF;

②解:':CD=(V2-1)a,£為8c中點,CE吟

由①可知,△ACDs^ECF,

.CECA

??,

CFCD

a

oCL

即=~~p------,

CF(V2-l)a

解得:CF=&2I。,

:.CD=2CF,

':CD+BD=BC,

:.2CF+BD=BC,

「△A4c是等腰直角三角形,

:.AB=V2.BC,

:.y/2C2CF+BD)=AB,

即42,BD,CF之間的數(shù)量關(guān)系為48=&(2CF+BD).

【點評】此題是三角形綜合題,考查全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì),等腰直角三

角形的性質(zhì),關(guān)鍵是構(gòu)建全等三角形和相似三角形解答.

13.小明學(xué)習(xí)了垂徑定理后,做了下面的探究,請根據(jù)題目要求幫小明完成探究.

(1)更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多新的發(fā)現(xiàn).如圖1,在。。中,C是油的中點,直線

于點E,則可以得到/請證明此結(jié)論.

圖1圖2圖3

(2)從圓上任意一點出發(fā)的兩條弦所組成的折線,稱為該圓的一條折弦.如圖2,古希臘數(shù)學(xué)家阿基米

德發(fā)現(xiàn),若均、依是。。的折弦,C是才&的中點,CD,我于點E.則/£=尸£+尸5.這就是著名的“阿

基米德折弦定理”.那么如何來證明這個結(jié)論呢?小明的證明思路是:在/E上截取/尸=尸3,連接C4、

CF、PC、BC…請你按照小明的思路完成證明過程.

(3)如圖3,已知等邊三角形/2C內(nèi)接于。。,48=2,點。是衣上的一點,/ABD=45°,AE±BD

于點£,則△5DC的周長為.

【分析】(1)連接NC、BC,由祀=a,WAC=BC,由COL42于點E,可根據(jù)等腰三角形的“三線

合一”證明/£=8£;

(2)在/E上截取/尸=尸5,連接CF、PC、BC,由公=a,得/C=3C,而尸8C,即

可證明四△&(7,得CF=CP,由CDLPA于點E,可根據(jù)等腰三角形的“三線合一”證明FE=

PE,貝!J

(3)在4E1上截取3G=CD,連接AD,可證明△ZBG四得NG=/。,而/£_L8D于點E,所以

EG=ED,則BE=EG+BG=ED+CD,所以8D+CD=23£,再證明N/3Z)=45°,貝U/E=3£,

所以AB=7AE2+BE2=五BE=2,貝18E=即可求得△BOC的周長為2/+2,于是得到問題的答

案.

【解答】(1)證明:如圖1,連接NC、BC,

圖1

?.?福的中點,

.,.AC=BC,

:.AC=BC,

':CDLAB于點£,

:.AE=BE.

(2)證明:在4E?上截取/尸=尸8,連接C4、CF、PC、BC,則/E4C=NP2C,

?;C是彳&的中點,

:.AC=BC,

J.AC^BC,

在AE4c和△P2C中,

AC=BC

/.FAC=Z.PBC,

.AF=BP

:.LFAC咨APBC(S4S*),

:.CF=CP,

':CDLPA于點£,

:.FE=PE,

;.AE=FE+AF=PE+PB.

(3)解:如圖3,在BE上截取5G=CD,連接ND則N/8G=//CD,

圖3

:△NBC是等邊三角形,48=2,

:.AB=AC=BC=2,

在△43G和△/CD中,

AB=AC

乙ABG=4ACD,

BG=CD

:.AABG^/\ACD(SAS),

:.AG=AD,

':AELBD于點E,

:.EG=ED,

:.BE=EG+BG=ED+CD,

:.BD+CD=BE+ED+CD^2BE,

VZAEB=90°,ZABD=45°,

:.ZBAE=ZABD=45°,

:.AE=BE,

;.4B=y/AE2+BE2=V2BE2=y/2BE=2,

:.BE=V2,

:.BD+CD+BC=2s/2+2,

:./\BDC的周長為2夜+2,

故答案為:2&+2.

【點評】此題重點考查圓的有關(guān)概念及性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的“三線合一”、全等三角形的判

定與性質(zhì)、勾股定理、三角形的周長等知識,此題綜合性強,難度較大,正確地作出所需要的輔助線是

解題的關(guān)鍵.

14.綜合與實踐:

在綜合與實踐課上,老師讓同學(xué)們以“折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動.

【問題發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,在正方形4BCD中,4B=BC=6,尸為2C邊的中點,£為48邊上一點,連接DE、DF,

分別將△4DE和△CD尸沿?!?、。尸翻折,點/、C的對應(yīng)點分別為點G、H,點G與點X重合,則/

EDF=°,AE=;

【類比探究】

(2)如圖2,在矩形48CD中,AB

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