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文檔簡介
中點模型鞏固練習(xí)(提優(yōu))
一.選擇題
1.如圖,在等腰RtA43C中,NC=8C=2,點P在以斜邊為直徑的半圓上,M為尸C的中點,當(dāng)點尸
沿半圓從點A運動至點B時,點M運動的路徑長是()
P
A.V2TTB.JiC.—7TD.2
2
AD1
2.如圖,點D,E,尸分別在△48C的邊上,——=DE//BC,EF//AB,點M是。尸的中點,連接CM
BD3
MN
并延長交于點N,二二的值是()
3.如圖,等邊△48C的邊長為6,。是3c的中點,E是/C邊上的一點,連接。E,以DE為邊作等邊△
DEF,若CE=2,則線段4F的長為()
4.如圖,正方形4BCD中,點£、F、”分別是/8、BC、CD的中點,CE、DF交于點G,連接NG、HG,
1
下列結(jié)論:?CE±DF;②HG=*BC;③△/OG是等邊三角形;?ZCHG^ZDAG;正確的有()
個
Afr----------------jD
BFC
A.1B.2C.3D.4
二.填空題
5.如圖,在%BCD中,E是/。上的一點,過點E作斯,5C交BC的延長線于點R交。。于點G,AH
CF1的S△cFG/土、/
于,,且“恰好為BC的中點,若-“一),則c值為______________________?
J七,S/ZJABCD
BH-d4-
6.如圖,在矩形/BCZ)中,4D=10,AB=16,。為CO的中點,連接8尸.在矩形48CZ)外部找一點£,
使得/3EC+NAPC=180°,則線段OE的最大值為_____
O
Dpc
7.如圖,在△/2C中,4B=4C=3,BC=2,。為5c的中點,E,尸分另)]在Z3,/C上,^ZEDF=90°
1
=則點。至!JAB的距禺是______________________,△4EF的周長是_____________________.
A
BDC
8.如圖,已知正方形/BCD、正方形NEFG的邊長分別為4,1,將正方形NEFG繞點/旋轉(zhuǎn),連接。尸,
點河是。尸的中點,連接CM,則線段CM的最大值為
三.解答題
9.如圖,在△/8C中,。是8c的中點,DELAB,DFLAC,垂足分別是£,F,BE=CF.求證:
(1)是△NBC的角平分線;
(2)△NBC是等腰三角形.
10.已知:如圖,在△4BC中,NZC8=90°,AC=BC,。是Z8的中點,點E在/C上,點尸在2C上,
且NE=CF.
(1)指出?!昱c。尸的關(guān)系,并證明;
(2)若NC=2,連接ER則£尸的最小值為
CFB
11.如圖①所示,已知48是。。的直徑,點C在半徑CU上,點。,點尸是圓上的點,CD〃OF,點、E是
半徑08的中點,DE與0F交于點、G,連接8G,BF.
(圖①)(圖②)
(1)如果DCLL/3,連接0D,如圖②所示;
①則//的度數(shù)為°;
②若ND0F=NDEC,CO=6,求線段OE的長;
0G
(2)若OB=BG,BE=CO,求一的值.
12.如圖1,在等腰RtZ\/8C中,ZC=90°,AC=BC,是△48C的角平分線.
(1)直接寫出N4DC的大?。?/p>
(2)求證:AC+CD^AB;
(3)E在2c上,過點E作40垂線,垂足為點G,延長EG交/C的延長線于點?
①如圖2,若E是AD的中點,求證:BD=2CF;
②如圖3,若E是3c的中點,直接寫出三條線段43,BD,CF之間的數(shù)量關(guān)系.
AA
A
1
CDB
FF
圖1圖2圖3
13.小明學(xué)習(xí)了垂徑定理后,做了下面的探究,請根據(jù)題目要求幫小明完成探究.
(1)更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多新的發(fā)現(xiàn).如圖1,在。。中,C是油的中點,直線CC/B
于點E,則可以得到/請證明此結(jié)論.
(2)從圓上任意一點出發(fā)的兩條弦所組成的折線,稱為該圓的一條折弦.如圖2,古希臘數(shù)學(xué)家阿基米
德發(fā)現(xiàn),若以、依是。。的折弦,C是才S的中點,于點E.則/£=尸£+尸5.這就是著名的“阿
基米德折弦定理”.那么如何來證明這個結(jié)論呢?小明的證明思路是:在/£上截取/尸=尸3,連接CZ、
CF、PC、2c…請你按照小明的思路完成證明過程.
(3)如圖3,已知等邊三角形N5C內(nèi)接于。O,48=2,點。是衣上的一點,N4BD=45:AELBD
于點£,則△ADC的周長為
14.綜合與實踐:
在綜合與實踐課上,老師讓同學(xué)們以“折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動.
【問題發(fā)現(xiàn)】
(1)如圖1,在正方形/BCD中,AB=BC=6,尸為邊的中點,£為邊上一點,連接?!?、DF,
分別將△/£)£和△CD尸沿。尸翻折,點/、C的對應(yīng)點分別為點G、H,點G與點〃重合,則/
EDF=°,AE=;
【類比探究】
(2)如圖2,在矩形48CD中,48=5,BC=4,尸為2C邊的中點,E為邊上一點,連接DE、DF,
分別將和廠沿。£、。尸翻折,點/、C的對應(yīng)點分別為點G、H,且。、H、G三點共線.求
/£的長;
【拓展延伸】
(3)如圖3,在菱形/BCD中,AB=&,Z£>=60°,尸為CD邊上的三等分點,E為8c邊上一點,連
接力£、AF,分別將△N8E和尸沿/£、/尸翻折,點。、8的對應(yīng)點分別為點G、”,點G與點〃
重合,直線GE交直線N8于點P,請直接寫出尸8的長.
圖1
圖2圖3
中點模型鞏固練習(xí)(提優(yōu))
一.選擇題
1.如圖,在等腰中,NC=8C=2,點P在以斜邊為直徑的半圓上,M為尸C的中點,當(dāng)點尸
沿半圓從點/運動至點8時,點M運動的路徑長是()
lV2
A.V2TTB.兀C.——7TD.2
2
【分析】取N3的中點。、NC的中點£、8C的中點尸,連接。C、OP、OM、OE、OF、EF,如圖,利
用等腰直角三角形的性質(zhì)得到48=回。=2a,則0C=打8=/,OP=%B=VL再根據(jù)等腰三角形
的性質(zhì)得OMLPC,則/。00=90°,于是根據(jù)圓周角定理得到點M在以0c為直徑的圓上,由于點尸
點在A點時,M點在E點;點尸點在B點時,M點在尸點,則利用四邊形CEOF為正方得到EF=
孝,所以M點的路徑為以EF為直徑的半圓,然后根據(jù)圓的周長公式計算點M運動的路徑長.
【解答】解:取的中點。、/C的中點£、8C的中點R連接。C、OP、OM.OE、OF、EF,如圖,
在等腰RtZX/BC中,AC=BC=2,
:.AB=V2SC=2V2,
0C=^AB=V2,OP=^AB=V2,
,?ZACS=90°
;.C在。。上,
■為PC的中點,
:.OM±PC,
:.ZCMO=90a,
...點M在以oc為直徑的圓上,
點P在/點時,M點在E點;點尸在2點時,初點在尸點,易得四邊形CEOP為正方形,即=。。=/,
:.M點的路徑為以EF為直徑的半圓,
...點M運動的路徑長=^*2m—Ji.
222
故選:C.
【點評】本題考查了軌跡:點按一定規(guī)律運動所形成的圖形為點運動的軌跡.解決此題的關(guān)鍵是利用等
腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理確定M點的軌跡為以斯為直徑的半圓.
AD1
2.如圖,點。,E,尸分別在△N8C的邊上,一=DE//BC,EF//AB,點M是。尸的中點,連接CW
BD3
MN
并延長交48于點N,二二的值是()
【分析】過點尸作FG〃CN交AB于點G,證明ACV是△ZJG尸的中位線,得GF=2MN,由GF//CN,
EF//AB,得四邊形GFffiV是平行四邊形,證明設(shè)MH=MN=a,則G尸=2°,然后證明CN
=4GF=8a,所以CH=CN-NH=8a-2a=6a,得CM=CH+MH=6a+a=7a,進而可以解決問題.
【解答】解:過點尸作尸G〃CN交48于點G,
,點〃■是。尸的中點,
是DG的中點,
MN是ADGF的中位線,
:.GF=2,MN,
':GF//CN,EF//AB,
二四邊形GF/W是平行四邊形,
:.NH=GF=2MN,
:.MH=MN,
設(shè)MH=MN=a,則GF=2a,
':DE//BC,
△ADEs^ABC,
.DEAD1
BC~AB~4
:?BC=4DE,
?:EF〃AB,DE//BC,
???四邊形DEFB是平行四邊形,
:?DE=BF,
9:FG//CN,
.BFGF
??BC~CN'
..BFDE1
?BC-BC-4’
.GF1
?'CN—4,
:,CN=4GF=8a,
:.CH=CN-NH=8a-2a=Qa,
:.CM=CH+MH=6a+a=7a,
.MNa1
"CM-7a-7’
故選:D.
【點評】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì),平行線分線段成比例定理,平行四邊形的判定與性質(zhì),由
平行線得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
3.如圖,等邊的邊長為6,。是5C的中點,£是4。邊上的一點,連接以。E為邊作等邊△
DEF,若CE=2,則線段4方的長為()
77
A.V7B.-C.-D.2V2
23
【分析】過尸作交/C于“,交8C于G;過4作于N,然后說明△G〃C為等邊三角
1
形,進而可得乙4M=N£DC;再證AHFE咨ACEDCAAS)可得尸"=CE=2,EH=CD=$C=3,然
后運用勾股定理求解即可.
【解答】解:過/作交/C于X,交8c于G,過/作/N_LGA■于N,
AAGHC=ZHGC=ZC=60°,
...△G8C為等邊三角形,
VZAED=ZC+ZEDC,ZAED=ZAEF+ZFED,NC=/FED=6Q°,
:.ZAEF=ZEDC,
'/EHF=4=60°
在△?£和△CED中,、乙HEF=4EDC,
方尸=DE
:.AHFE注XCED(AAS),
1
:.FH=CE=2,EH=CD=^BC=3,
:.AE=AC-CE=&-2=4,
:?AH=AE-EH=4-3=L
在RtZX/HV中,/AHN=60°,
AZHAN=30°,
:.HN=^AH=I,
:.AN=V3HN=亭,
15
:.FN=FH+HN=2+^=|,
5
在RtZUW中,根據(jù)勾股定理得:相=加+由=(―)2+(-)2=7,
22
:.AF=V7,
故選:A.
【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點,作
出輔助線、構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.
4.如圖,正方形N8CD中,點£、F、”分別是加9、BC、CD的中點,CE、DF交于■點、G,連接NG、HG,
1
下列結(jié)論:?CE±DF;②H6=*BC;③△ADG是等邊三角形;④NCHG=/DAG;正確的有()
個
A.1B.2C.3D.4
【分析】連接/〃,由四邊形48CD是正方形與點E、F、8分別是48、BC、8的中點,易證得△5CE
貯ACDF與4ADH咨LDCF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì),易證得尸與根據(jù)垂直平分線的
性質(zhì),即可證得NG=/。,由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,即可證得"G=%。,根據(jù)等腰
三角形的性質(zhì),即可得NCHG=/D/G.則問題得解.
【解答】解::四邊形/BCD是正方形,
:.AB=BC=CD=AD,NB=NBCD=90°,
?.?點£、廠分別是8C的中點,
:.BE=^AB,CF=1T?C,
:.BE=CF,
在△BCE與△C。尸中,
BE=CF
ZB=4DCF,
.BC=CD
:.ABCE咨ACDF(SAS),
NECB=NCDF,
VZBCE+ZECD^9Q°,
:.ZECD+ZCDF^90°,
;.NCGD=90°,
/.CELDF,故①正確;
在RtZXCG。中,”是CD邊的中點,
11
:.HG/CD/BC,故②正確;
如圖,連接
同理可得:AHLDF,
1
,:HG=HD==fD,
:.DK=GK,
垂直平分。G,
:.AG=AD,
...△/DG是等腰三角形,故③錯誤;
/DAG=2NDAH,
同理:AADgADCF(SAS),
:.NDAH=NCDF,
GH=DH,
:.NHDG=NHGD,
:.ZGHC=ZHDG+ZHGD=2ZCDF,
:"CHG=NDAG.故④正確.
綜上所述:正確的有:①②④共3個.
故選:C.
【點評】本題是四邊形綜合題,難度較大,考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角
形的性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
二.填空題
5.如圖,在%8co中,£是/。上的一點,過點E作EFLBC交的延長線于點R交DC于點G,AH
CF1SAr'
LBC于H,且〃恰好為2c的中點,若=則.值為
DE2SaABCD
PGrpiFG1
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明△BGsZXQEG,得力===:;,所以不=大由條件證明四邊
EGDE2EF3
FGFG1
形4"也是矩形,得一=;;;;=7,然后證明△ZBT/s^GCF,根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的
AHEF3
平方即可解決問題.
【解答】解:在%BCD中,
?:AD〃BC,
:?&CFGs叢DEG,
.FGCF1
,9EG~DE~2
.FG1
**EF-3,
■:EF1BC,AHLBC,
;?/AHB=NGFC=90°,
?;AD〃BC,
:?/AHB=/GFC=90°=NHAE,
???四邊形4HFE是矩形,
:?AH=EF,
.FGFG1
AH~EF~3f
9:AB//CD,
:./B=/GCF,
:.AABHsAGCF,
.S^ABH/A"、29
SAGCFGF1
S/\ABH=9sAeFG,
???”為BC的中點,
1
:.BH=CH=灑,
.11
:S"BH=*BH?AH=:BC?AH,
L4
:?BC?AH=4S“BH,
???平行四邊形ABCD的面積=5C?4〃=4s△”H=36SZ\CFG,
.S^CFG__1
s口ABCD36
-,1
故答案為:—.
36
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),解決本題的關(guān)
鍵是掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方.
6.如圖,在矩形4SCD中,/。=10,48=16,P為CD的中點,連接8P.在矩形48CD外部找一點E,
使得N8EC+4BPC=180。,則線段的最大值為.
【分析】以AP的中點。為圓心,。8為半徑畫圓,可得所畫圓是RtaBCP的外接圓,弦2c左側(cè)圓弧上
任意一點E與BC構(gòu)成的N8EC與N2PC共弦,可得N2EC+N8PC=180°,連接。。并延長與圓的交
點即為DE的最短距離,作OHLDC于點H,可得OH是4PBC的中位線,根據(jù)勾股定理求出OP和OD
的值,進而可得。£的最小值.
【解答】解:如圖,以AP的中點。為圓心,為半徑畫圓,
在矩形48co中,4D=BC=10,AB=CD=16,
VZ5CP=90°,
.?.所畫圓是RtASCP的外接圓,
弦BC右側(cè)圓弧上任意一點E與BC構(gòu)成的/2EC,使得四邊形BPCE是圓內(nèi)接四邊形,
AZBEC+ZBPC=18Q°,
連接。。并延長與圓的交點即為DE的最短距離,
作OHLDC于點H,
是尸C的中點,
:.OH是APBC的中位線,
1
:.OH=券C=5,
<P為CD的中點,
:.CP=DP=1CD=8,
:.PH=|CP=4,
DH=DP+PH=8+4=12,
0P=y/OH2+PH2=-52+42=V41.
:.OE=OP=V41,
':OD=VOW2+OH2=V122+52=13,
:.DE=OD+OE=13+>j41^
故答案為:13+V41.
【點評】本題考查了矩形的性質(zhì),勾股定理,三角形中位線定理,圓周角定理,最短路線問題,解決本
題的關(guān)鍵是綜合利用以上知識找到點E.
7.如圖,在△N8C中,AB=AC=3,BC=2,。為的中點,E,尸分別在48,/C上,若NEDF=90°
=2乙4,則點。到AB的距離是,△4EF的周長是.
【分析】連接AD,過點。作DGLAB交于點G,過點D作DMLEF交于點M,過點。作DNLAC交
于點N分別求出80、AD,利用三角形的面積公式求出DG的長即可點。到N8的距離;根據(jù)“兩角分
BEED
別相等的兩個三角形全等”證△3磯>?△(?£?£則得一=一,ZBDE=ZCFD,再根據(jù)“兩邊對應(yīng)成
CDDF
比例且夾角相等的兩個三角形相似“證△仍。?△££)/,可得/BED=NDEF,ZBDE=ZDFE,進而可
證/XEGD咨△EMD,推出EG=EM,再進一步推出/G=4N,BG=CN,EF=BE+CF-2BG,最后證△
DGB?AADB,利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出BG的長即可.
【解答】解:連接過點。作。GL/8交于點G,過點。作DM,斯交于點V,過點。作。NL/C
交于點N,如圖所示:
,:AB=AC,。為8c的中點,
111
:.BD=^BC=1,ADLBC,ZADB=ZACD=(180°-ZA)=90°―專乙4,
在RtAABD中,由勾股定理得ADy/AB2-BD2=V32-I2=2&,
11
xABxDG=—xBDxAD,
22
..BDxAD1X2V2272
"G=^-=^—=丁,
1
又?;/EDF=90°—*4
/ABD=/ACD=ZEDF,
ZEDC=NABC+/BED,
/BED=/FDC,
/BED=/FDC,/EBD=/DCF,
△BED?ACDF,
.BEED
=—,/BDE=/CFD,
9CD-DF
。為5C的中點,
?BEBEED
9CD-~BD~DF'
■BEBD
—,
??ED一DF
又丁/EBD=/EDF,
:.AEBD?AEDF,
:?/BED=/DEF,/BDE=/DFE,
?:/EGD=/EMD=90°,ZBED=ZDEF,DE=DE,
:.AEGD^AEMD,
:.EG=EM,
同理可得:FN=FM,
U:AB=AC,
???/5C是等腰三角形,
???。為5C的中點,
???ZBAD=ZCADf
?:AD=AD,
:.AAGD?LAND,
:?AG=AN,
X''AB=AC,
:?BG=CN,
:.EF=EM+FM=EG+FN=BE-BG+CF-CN=BE+CF-2BG,
?:NB=/B,NBGD=/ADB=90°,
???ADGB?AADB,
DBGB-1GB
--=---,即-=—,
ABDB31
:.BG=I,
2
:.EF=BE+CF-^,
:.4AEF的周長=/E+/F+8£+CF-1=AB+AC-1=3+3-j=^.
【點評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股
定理等知識,添加輔助線,靈活運用相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)推理是解答本
題的關(guān)鍵.
8.如圖,已知正方形4BCD、正方形/EFG的邊長分別為4,1,將正方形NEFG繞點/旋轉(zhuǎn),連接DR
點M是。下的中點,連接CM,則線段CM的最大值為.
【分析】延長DC至點尸,使CP=OC,連接尸尸,AP,根據(jù)三角形中位線定理得P尸=2CW,再利用三
角形三邊關(guān)系可得答案.
【解答】解:延長。C至點尸,使CP=DC,連接尸尸,AP,
:點M是。尸的中點,CP=DC,
:.CM是ADFP的中位線,
:.PF=2CM,
?.?正方形/BCD、正方形4E?尸G的邊長分別為4,1,
:.AP^V42+82=4V5,AF=5
?;PFWAP+AF,
:.PF的最大值為4A/5+V2,
的最大值為--+2巡,
故答案為:號+2代.
【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),正方形的性質(zhì),三角形中位線定理,三角形三邊關(guān)系等知識,構(gòu)
造中位線是解題的關(guān)鍵.
三.解答題
9.如圖,在△/2C中,。是2C的中點,DELAB,DFLAC,垂足分別是E,F,BE=CF.求證:
(1)4D是△/8C的角平分線;
(2)△4BC是等腰三角形.
【分析】(1)根據(jù)從可證Rt/XBEDgRtaCF。,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得OE=D凡再根據(jù)角平分
線的判定即可求解;
(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得/8=/C,根據(jù)等角對等邊可得N8=4C.
【解答】證明:(1)..?。是3C的中點,
:.BD=CD,
DELAB,DFL4C,
MBED和ACFD都是直角三角形,
在Rt/XBED與RtACFD中,
(BE=CF
=CD'
:.RtAB£Z)^RtACFD(HL),
:.DE=DF,
:.AD是△NBC的角平分線;
(2)。;RtABED空RtACFD,
:./B=/C,
:.AB=AC,
:.^ABC是等腰三角形.
【點評】本題主要考查學(xué)生對角平分線的判定,全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點的靈活運用,關(guān)鍵是
證明RtABED出RtACFD.
10.已知:如圖,在△/BC中,ZACB=9Q°,AC=BC,。是N8的中點,點E在NC上,點尸在8c上,
且/E=CF.
(1)指出與。尸的關(guān)系,并證明;
(2)若NC=2,連接E凡則斯的最小值為.
【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)知/Z=NB=45°,結(jié)合。是N8的中點知CDL48且4D=
BD=CD,繼而得=結(jié)合/£=CF即可證得根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出
=DF,/ADE=/CDF,即可解決問題;
(2根據(jù)垂線段最短得出當(dāng)DEL/C,。尸,3c時,防值最小,根據(jù)矩形的性質(zhì)和判定得出跖=。,
求出CD即可.
【解答】解:(1)DE=DFJ.DE±DF,理由如下:
如圖,連接CD,
;N4CB=90°,。是48的中點,
:.CD=AD=BD,
:.ZDCB=ZB,
■:AC=BC,
/A=/B,
:./A=/DCB,
在△/£>£與△CDF中,
AE=CF,ZA=ZDCB,AD=CD,
:.AADE^ACDF(S/S),
:.DE=DF,/ADE=/CDF,
■:AC=BC,。是48的中點,
:.CD1AB,
:.ZADC=90°,即/ADE+/CZ)£=90°,
:.ZCDF+ZCDE=90°,即/£。尸=90°,
:.DE±DF;
(2)在△ABC中,ZACB=90°,AC=BC=2,
:.ZA=ZB=45°,AB=&AC=2近,
?.?點。是的中點,
:.CD1AB,ZDCB=45°,AD=BD=CD=V2,
HDE1AC,。尸J_8c時,DE、。下分別取最小值,
VZEDF=90°,
:.EF=y/DE2+DF2,此時的值最小,
.,?四邊形CEZE是矩形,
:.EF=CD=V2,
尸的最小值為企,
故答案為:V2.
【點評】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定,等腰直角三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,矩形的性質(zhì)和
判定,垂線段最短等知識點.綜合運用定理進行推理是解題的關(guān)鍵.
11.如圖①所示,已知48是。。的直徑,點C在半徑CU上,點。,點尸是圓上的點,CD〃OF,點E是
半徑08的中點,DE與0F交于點、G,連接8G,BF.
(1)如果連接0。,如圖②所示;
①則//的度數(shù)為450;
②若NDOF=NDEC,CO=6,求線段OE的長;
0G
(2)若OB=BG,BE=CO,求點的值.
【分析】(1)①利用垂直的定義,平行線的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可;
②設(shè)OO的半徑為,,則。Z)=O5=r,利用勾股定理求得CZA利用相似三角形的判定與性質(zhì)得到C爐
=CO-EC,從而得到關(guān)于r的方程,解方程即可得出結(jié)論;
(2)延長8G交DC于點K,連接O。,交BK于點、M,設(shè)GO=%,OE=x,貝UO3=G5=2x,OD=OB
=2x,利用三角形的中位線定理,平行線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)得出比例式,進而得到m=
x,則結(jié)論可求.
【解答】解:(1)@':DCLAB,CD//OF,
:.OF1.AB,
:?/AOF=/BOF=9G°,
?:OB=OF,
:.ZF=ZOF=45
故答案為:45;
②設(shè)。O的半徑為「,貝1」。。=。5=尸,
9:DC.LAB,
:.af+od=oif,
:.CD2=r-^=r-36.
??,點E是半徑05的中點,
.1
??OE=2r.
1
:.EC=OC+OE=6+^r.
U:CD//OF,
:.ZCDO=ZDOFf
丁ZDOF=/DEC,
:.ZCDO=ZDEC.
':/DCO=/ECD,
:.XDCOsXECD,
.DCEC
??—,
COCD
9
:?CD=CO?EC.
oI
Ar-36=6(6+貨),
.」=3土產(chǎn)(負數(shù)不合題意,舍去),
.3+3聞
2
1O£=13+3V33
Z4
(2)延長5G交OC于點K,連接8,交BK于點、M,如圖,
AC0EB
設(shè)GO=m,OE=x,
??,點E是半徑08的中點,BE=CO,
.\BE=CO=OE=x,
OB—GB—2x,OD—OB—2x.
?:CD"OF,CO=OE,
???0G為的中位線,
;?CD=2OG=2m,
?:CD"OF,
:.ABOGsABCK,
.OGBGOB2x2
?*CK-BK-BC-3x-3’
3
:.CK=^m,BK=3x,
1
:?KG=x,DK=CD-CK=
9:CD//OF,
:.ADKMS^OGM,
1
DM_KM_DK22_i
OM~GM~OGm2
4
2-12
:.DM=|x,OM=3KM=余,MG=^x
2o
???BA/=5G+GA/=2x+
14
.KM/1OM/1
?*-o=—,-p——,
DM-x2BM-x2
33
.KM_OM
?'DM~BM'
ZKMD=ZOMB,
:.AKMDs^OMB,
.KD_KM
??OB~OM"
-1m-1x
?2____3_
??~~=4-,
2x\
3
??1Tl=Xf
0Gm1
OF~2x~2
【點評】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì),圓周角定理,平行線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),線段
的中點的定義,三角形的中位線的性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),熟練掌握平行線
的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
12.如圖1,在等腰RtZ\N8C中,ZC=90°,AC=BC,是的角平分線.
(1)直接寫出NNDC的大小;
(2)求證:AC+CD=AB;
(3)E在上,過點E作40垂線,垂足為點G,延長EG交NC的延長線于點冗
①如圖2,若E是AD的中點,求證:BD=2CF;
②如圖3,若E是2C的中點,直接寫出三條線段BD,C戶之間的數(shù)量關(guān)系.
圖1
【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出/C43=45°,進而利用角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理
解答即可;
(2)過。作DE'LAB于E',根據(jù)角平分線的性質(zhì)和AAS證明△4CZ>與全等,進而利用全等
三角形的性質(zhì)解答即可;
(3)①設(shè)/C=a,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出比例解答即可;
②根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出比例,進而利用等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可.
【解答】(1)解:?.?/C=90°,AC=BC,是八48。的角平分線,
:.ZCAB^45
:.ZCAD^ZDAB^22.5°,
二N/Z)C=90°-22.5°=67.5
(2)證明:過。作?!?于E',
圖1
在△/CD與中,
(^CAD=4'40
\^ACD=^AE'D=90。,
{AD=AD
.?.△ACD/AAE'D(AAS),
:.CD=DE',AC=AE',
■:NDE'B=90°,Z5=45°,
△£>£'B為等腰直角三角形,
:.DE'=E'B,
?.ZD是△NBC的角平分線,ZC=90°,DELAB,
:.CD=DE',AC=4E',
:.CD+AC=E'B+AE'=AB;
(3)①證明:設(shè)ZC=a,
,,.AB=V2a,BC—a,
由(2)可知,AC+CD=AB,
a+CD=y[2a,
:.CD=(V2-1)a,
:.BD=(2-V2)a,
■:E為BD中點,
:.DE=^^a,
':AC±CE,AGLEF,
:.ZCAD=ZAEF,
且//。。=/£。尸=90°,
:.ZCFE=ZCDA,
:.△ACDs^ECF,
?ACEC
?.=,
CDCF
.aEC
*'(V2-l)a—CF,
:.EC=CD+DE=(V2-1)GH-----^—ci=,
V2
.a=Ta
"(V2-l)a-CF,
解得:CF=22夜.’
':BD=(2-V2)a,
:.BD=2CF;
②解:':CD=(V2-1)a,£為8c中點,CE吟
由①可知,△ACDs^ECF,
.CECA
??,
CFCD
a
oCL
即=~~p------,
CF(V2-l)a
解得:CF=&2I。,
:.CD=2CF,
':CD+BD=BC,
:.2CF+BD=BC,
「△A4c是等腰直角三角形,
:.AB=V2.BC,
:.y/2C2CF+BD)=AB,
即42,BD,CF之間的數(shù)量關(guān)系為48=&(2CF+BD).
【點評】此題是三角形綜合題,考查全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì),等腰直角三
角形的性質(zhì),關(guān)鍵是構(gòu)建全等三角形和相似三角形解答.
13.小明學(xué)習(xí)了垂徑定理后,做了下面的探究,請根據(jù)題目要求幫小明完成探究.
(1)更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多新的發(fā)現(xiàn).如圖1,在。。中,C是油的中點,直線
于點E,則可以得到/請證明此結(jié)論.
圖1圖2圖3
(2)從圓上任意一點出發(fā)的兩條弦所組成的折線,稱為該圓的一條折弦.如圖2,古希臘數(shù)學(xué)家阿基米
德發(fā)現(xiàn),若均、依是。。的折弦,C是才&的中點,CD,我于點E.則/£=尸£+尸5.這就是著名的“阿
基米德折弦定理”.那么如何來證明這個結(jié)論呢?小明的證明思路是:在/E上截取/尸=尸3,連接C4、
CF、PC、BC…請你按照小明的思路完成證明過程.
(3)如圖3,已知等邊三角形/2C內(nèi)接于。。,48=2,點。是衣上的一點,/ABD=45°,AE±BD
于點£,則△5DC的周長為.
【分析】(1)連接NC、BC,由祀=a,WAC=BC,由COL42于點E,可根據(jù)等腰三角形的“三線
合一”證明/£=8£;
(2)在/E上截取/尸=尸5,連接CF、PC、BC,由公=a,得/C=3C,而尸8C,即
可證明四△&(7,得CF=CP,由CDLPA于點E,可根據(jù)等腰三角形的“三線合一”證明FE=
PE,貝!J
(3)在4E1上截取3G=CD,連接AD,可證明△ZBG四得NG=/。,而/£_L8D于點E,所以
EG=ED,則BE=EG+BG=ED+CD,所以8D+CD=23£,再證明N/3Z)=45°,貝U/E=3£,
所以AB=7AE2+BE2=五BE=2,貝18E=即可求得△BOC的周長為2/+2,于是得到問題的答
案.
【解答】(1)證明:如圖1,連接NC、BC,
圖1
?.?福的中點,
.,.AC=BC,
:.AC=BC,
':CDLAB于點£,
:.AE=BE.
(2)證明:在4E?上截取/尸=尸8,連接C4、CF、PC、BC,則/E4C=NP2C,
?;C是彳&的中點,
:.AC=BC,
J.AC^BC,
在AE4c和△P2C中,
AC=BC
/.FAC=Z.PBC,
.AF=BP
:.LFAC咨APBC(S4S*),
:.CF=CP,
':CDLPA于點£,
:.FE=PE,
;.AE=FE+AF=PE+PB.
(3)解:如圖3,在BE上截取5G=CD,連接ND則N/8G=//CD,
圖3
:△NBC是等邊三角形,48=2,
:.AB=AC=BC=2,
在△43G和△/CD中,
AB=AC
乙ABG=4ACD,
BG=CD
:.AABG^/\ACD(SAS),
:.AG=AD,
':AELBD于點E,
:.EG=ED,
:.BE=EG+BG=ED+CD,
:.BD+CD=BE+ED+CD^2BE,
VZAEB=90°,ZABD=45°,
:.ZBAE=ZABD=45°,
:.AE=BE,
;.4B=y/AE2+BE2=V2BE2=y/2BE=2,
:.BE=V2,
:.BD+CD+BC=2s/2+2,
:./\BDC的周長為2夜+2,
故答案為:2&+2.
【點評】此題重點考查圓的有關(guān)概念及性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的“三線合一”、全等三角形的判
定與性質(zhì)、勾股定理、三角形的周長等知識,此題綜合性強,難度較大,正確地作出所需要的輔助線是
解題的關(guān)鍵.
14.綜合與實踐:
在綜合與實踐課上,老師讓同學(xué)們以“折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動.
【問題發(fā)現(xiàn)】
(1)如圖1,在正方形4BCD中,4B=BC=6,尸為2C邊的中點,£為48邊上一點,連接DE、DF,
分別將△4DE和△CD尸沿?!?、。尸翻折,點/、C的對應(yīng)點分別為點G、H,點G與點X重合,則/
EDF=°,AE=;
【類比探究】
(2)如圖2,在矩形48CD中,AB
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