中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：圓有關(guān)問題的壓軸題之四大題型（含答案及解析）

與圓有關(guān)問題的壓軸題之四大題型

題型導(dǎo)向

目錄

【題型一與圓中線段相等及相似的有關(guān)問題】

【題型二與圓中證明直線是切線的有關(guān)問題】

【題型三與圓中求弧長、扇形面積的有關(guān)問題】

【題型四與圓中實(shí)際應(yīng)用的有關(guān)問題】

典型例題

【題型一與圓中線段相等及相似的有關(guān)問題】

網(wǎng)］1（2023?廣東深圳?三模）如圖，AB為。。的直徑,。為。。上一點(diǎn)，AD與過點(diǎn)。的切線互相垂直，垂足

為點(diǎn)。，AD交。。于點(diǎn)E,連接CE,CB.

⑴求證：CE=CB；

⑵若人。="，CE=2,求CD的長.

???

【變式訓(xùn)練】

題目刀（2023?廣東深圳?三模）如圖，4B是⑷。的直徑，力。切。。于點(diǎn)4連接BC交。。于點(diǎn)。，點(diǎn)E是

?的中點(diǎn)，連接AE交于點(diǎn)F.

（1）求證：力。=。歹；

⑵若AB=4,47=3,求/BAE的正切值.

題目切（2023?廣東深圳?一模）如圖，已知是。。的直徑，直線DC是。。的切線，切點(diǎn)為C,AE，

垂足為E.連接AC.

⑴求證：力。平分/歷出；

（2）若AC=5,tan乙4cE=,,求。。的半徑.

???

建目⑶(2023廣東深圳?模擬預(yù)測)如圖所示,CD為60的直徑，AD,AB,BO分別與0O相切于點(diǎn)D、

E、C(AD<BC).連接DE并延長與直線BC相交于點(diǎn)P,連接OB.

DA

(1)求證：BC=BP；

⑵若DE-OB=40,求的值；

⑶在⑵條件下，若DE-.PE=4:5,求四邊形ABCD的面積.

題目回(2023?廣東深圳?模擬預(yù)測)已知RtZXABC中，/C=90°,AB=10,且tan乙4=1■，”為線段AB的

中點(diǎn)，作。MLAB,點(diǎn)P在線段CB上，點(diǎn)Q在線段AC上，以PQ為直徑的圓始終過點(diǎn)且PQ交線段

DM于點(diǎn)E.

(1)求線段ZW的長度；

⑵求tan/PQM的值；

(3)當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求出線段AQ的長.

???

【題型二與圓中證明直線是切線的有關(guān)問題】

的］（2023?廣東深圳?模擬預(yù)測）如圖，△48。內(nèi)接于。O,AB,CD是OO的直徑，七是D4長線上一點(diǎn),且

ACED=ACAB.

⑴求證：CE是。。的切線；

⑵若OE=3渥，tanB=/,求線段CE的長.

【變式訓(xùn)練】

題目R（2023?廣東深圳?模擬預(yù)測）如圖，是。。的直徑，點(diǎn)C是0。上一點(diǎn)，AD和過點(diǎn)C的直線互相

垂直,垂足為。，AD交。。于點(diǎn)E,且AC平分/OAB.

（1）求證:直線CD是。。的切線；

⑵連接BC,若BC=4,力。=5,求AE的長.

???

題目團(tuán)（2023?廣東深圳?模擬預(yù)測）如圖，是。。的直徑，點(diǎn)D是愈上一點(diǎn),且2BDE=NCBE,BD

與AE交于點(diǎn)F.

（1）求證：BC是。。的切線；

⑵若平分/ABE,DE=2,求證DF?DB是定值.

題目⑶（2023?廣東深圳?模擬預(yù)測）如圖，內(nèi)接于。O,延長直徑AB到。，使乙BCD=/BAC,過圓

心。作BC的平行線交DC的延長線于點(diǎn)E.

⑴求證：CD是。。的切線；

⑵若CD=4,CE=6,求。。的半徑及tan/ABO.

???

題目@（2023?廣東深圳?模擬預(yù)測）如圖，直線MN交。。于43兩點(diǎn),AC是直徑,AD平分ZCAM交0

。于D,過D作DE_LMN于E.

⑴求證：DE是。。的切線；

（2）若DE=6,AE=22，求。。的半徑.

【題型三與圓中求弧長、扇形面積的有關(guān)問題】

血_（2023?廣東深圳?二模）如圖，點(diǎn)P是。。的直徑4B延長線上一點(diǎn)，AO=AP,點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)。，連接

CO交。。于點(diǎn)。，乙400=60°.

⑴求證：DP是。。的切線；

（2）若AB=2,求陰影部分的面積.

【變式訓(xùn)練】

題目①（2022.廣東深圳.模擬預(yù)測）如圖，在Rt/XABC中，AACB=90°,。O與BC,AC分別相切于點(diǎn)E,

F,BO平分AABC,連接OA.

（1）求證：4B是③。的切線；

（2）若BE=AC=6,。。的半徑是2,求圖中陰影部分的面積.

【題型四與圓中實(shí)際應(yīng)用的有關(guān)問題】

的1（2023?廣東深圳?模擬預(yù)測）已知：A、B、。三點(diǎn)不在同一直線上.

CCBM

圖①圖②圖③

⑴若點(diǎn)A、B、C均在半徑為7?的。。上，

⑴如圖①，當(dāng)/A=45°,R=1時(shí)，求ABOC的度數(shù)和的長；

（沉）如圖②，當(dāng)ZA為銳角時(shí),求證：sinA=舞；

2rC

（2）若定長線段及7的兩個(gè)端點(diǎn)分別在/M4N的兩邊AM、AN（B、。均與A不重合）滑動,如圖③，當(dāng)

4MAN=60°,BC=2時(shí),分別作BP±AM,CP±4V,交點(diǎn)為P,試探索在整個(gè)滑動過程中，P、A兩點(diǎn)

間的距離是否保持不變？請說明理由.

???

【變式訓(xùn)練】

題目刀（2023?廣東深圳?一模）如圖1,平行四邊形ABCD中，AD=26，4代，/O=60°,點(diǎn)河在BC

延長線上且CM=CD,EF為半圓。的直徑且FE，,助=6,如圖2,點(diǎn)E從點(diǎn)M處沿MB方向運(yùn)

動，帶動半圓。向左平移，每秒個(gè)單位長度，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)。重合時(shí)停止平移，如圖3,停止平移后半圓O

立即繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒轉(zhuǎn)動5°,點(diǎn)F落在直線BC上時(shí)，停止運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為1秒.

（1）如圖1,BF=；

（2）如圖2,當(dāng)半圓。與。。邊相切于點(diǎn)P,求硒■的長;

⑶如圖3,當(dāng)半圓。過點(diǎn)C,EF與。。邊交于點(diǎn)Q,

①求EF平移和旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積；

②求CQ的長；

⑷直接寫出半圓O與平行四邊形ABCD的邊相切時(shí)力的值.（參考數(shù)據(jù)：sin35。=乎，tan35°=亨）

題目②（2023?廣東深圳?一模）【問題發(fā)現(xiàn)】

船在航行過程中,船長常常通過測定角度來確定是否會遇到暗礁.如圖1,A,B表示燈塔,暗礁分布在經(jīng)

過4B兩點(diǎn)的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，優(yōu)弧上任一點(diǎn)。都是有觸礁危險(xiǎn)的臨界點(diǎn)，/ACB就是“危險(xiǎn)角”.

當(dāng)船P位于安全區(qū)域時(shí),它與兩個(gè)燈塔的夾角/a與“危險(xiǎn)角”有怎樣的大小關(guān)系？

【解決問題】

（1）數(shù)學(xué)小組用已學(xué)知識判斷/a與“危險(xiǎn)角”的大小關(guān)系,步驟如下：

如圖2,AP與。。相交于點(diǎn)。，連接,由同弧或等弧所對的圓周角相等，可知NACB=NADB,

,:NADB是4BDP的外角，

NAPB/（填或“V”），

.?./a/ACB（填或“V”）；

【問題探究】

⑵如圖3,已知線段4B與直線Z,在直線，上取一點(diǎn)P,過4B兩點(diǎn)，作⑷。使其與直線Z相切,切點(diǎn)為P,

不妨在直線上另外任取一點(diǎn)Q,連接AQ、BQ,請你判斷/APB與的數(shù)量關(guān)系,并說明理由；

【問題拓展】

（3）一位足球左前鋒球員在某場賽事中有一精彩進(jìn)球，如圖4,他在點(diǎn)P處接到球后，沿PQ方向帶球跑動，

球門AB=7米，DP=7.5米，=15.5米，ZADC=90°,tanZQPC=”.該球員在射門角度

（乙4MB）最大時(shí)射門,球員在PQ上的何處射門？（求出此時(shí)?的長度.）

與圓有關(guān)問題的壓軸題之四大題型

題型導(dǎo)向

目錄

【題型一與圓中線段相等及相似的有關(guān)問題】

【題型二與圓中證明直線是切線的有關(guān)問題】

【題型三與圓中求弧長、扇形面積的有關(guān)問題】

【題型四與圓中實(shí)際應(yīng)用的有關(guān)問題】

典型例踽

【題型一與圓中線段相等及相似的有關(guān)問題】

網(wǎng)］1（2023?廣東深圳?三模）如圖，AB為。。的直徑，。為OO上一點(diǎn)，AD與過點(diǎn)。的切線互相垂直，垂足

為點(diǎn)。，AD交。。于點(diǎn)E,連接CE,CB.

⑴求證：CE=CB；

（2）若入。=g，C￡=2,求CD的長.

【答案】（1）見解析

⑵竽

O

【分析】（1）連接O。、OE,根據(jù)切線的性質(zhì)得到CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)得到

NDAC=AOAC,根據(jù)圓周角定理、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理證明結(jié)論；

⑵根據(jù)勾股定理求出AB,證明△DAC?△CAB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式,代入計(jì)算得到答

案.

【詳解】（1）解:證明：

連接OC、OE,

???CD是（DO的切線,

OC±CD,

-.-AD±CD,

：.OCHAD,

：.ADAC=AOCA,

?：OA=OC,???

???ZOAC=ZOCA,

：.ADAC^AOAC,

由圓周角定理得，乙BOC=2乙OAC,4EOC=2/DAC,

???/BOC=/EOC,

:,CE=CB;

⑵

由⑴不知，BC=CE=2,

???AB是。。的直徑，

???乙4cB=90°,

??.AB=VAC2+BC2=7(V5)2+22=3,

???ZDAC=ABAC,AADC=ZACB=90°,

???△ZZ4C?△C4B,

.DCAC即生=遁

?,BCAB923'

解得，。。=當(dāng)顯.

o

【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)

的半徑是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

［題目Q（2023?廣東深圳?三模）如圖，AB是。。的直徑，AC切。。于點(diǎn)A,連接交。。于點(diǎn)。，點(diǎn)H是

曲的中點(diǎn)，連接AE交于點(diǎn)F

（1）求證：力。=CF；

⑵若=4,4。=3,求/BAE的正切值.

【答案】（1）證明見解析

⑵,

【分析】（1）如圖，連接BE,由C4是。O的切線，可得ZCAB=90°,由是直徑，可得NAEB=90°,由

方汾=俞，可得NBAS=ZDBE,證明ZCAF=/CFA,進(jìn)而可證=CF;

（2）由勾股定理得，3。=，48+4。2=5,由（1）可知,CF=AC=3,則BF=3C-CF=2.由

cosAABC用=*=4,可得BD=單，DF=BD—BF=§,由勾股定理得，AD=y/AB2-BD-二

ABBC555

衛(wèi)■，由點(diǎn)E是曲的中點(diǎn)，可得ZBAE=Z.DAE，根據(jù)tanZBAS=tanADAE=

5

耳，計(jì)算求解即可.

【詳解】（1）證明：如圖，連接BE,

???CA是。。的切線，

.?./CAB=90°,

：AB是直徑，

乙4EB=90°,

?.?點(diǎn)E是互力的中點(diǎn)，

：.DE—BE,

：.NBAE=NDBE,

?：/CAF=90°—NBAE,ACFA=NBFE=180°-ADBE-/AEB=90°-ZDBE,

：.ZCAF^ZCFA,

：.AC=CF-,

（2）解：由勾股定理得，BC=y/AB2+AC2=5,

由（1）可知，CF=AC=3,

：.BF=BC-CF=2.

AB是直徑，

/ADB=90°,

../A”BDAB4

.cosZABC=—

RD=學(xué),DF=BD-BF=±,

55

由勾股定理得,AD=-JAB2-BD2=孕,

5

??,點(diǎn)E是互力的中點(diǎn)，

：.DE=BEf

：./BAE=/DAE,

DFi

ZBAE=tanZZ?AE=——=--,

AD2

/.tan/BAE=].

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、直徑所對的圓周角為直角、等角對等邊、同弧或等弧所對的圓周角相等、勾

股定理、三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵在于確定角度、線段之間的關(guān)系.

題目習(xí)（2023.廣東深圳.一模）如圖，已知是OO的直徑，直線OC是?。的切線,切點(diǎn)為

垂足為E.連接AC.

⑴求證：AC平分NBAE；

⑵若47=5,tan乙4c8=■!■，求OO的半徑.

【答案】（1）見解析

⑵得

【分析】（1）連接OC,由直線。。是。。的切線得到OC_LDC,又由AE_L得到OC〃AE,則AEAC

=乙4co，由OC=OA得到乙4CO=/OAC,則/94C=/OAC,即可證明結(jié)論；

（2）連接，由AB是。。的直徑得到ZACB=90°,則AOAC+ZABC=90°,又由AE_L

3

AEAC+/ACE=90°,由(1)得/EAC=/OAC,則NABC=/ACE,在AtZVlBC中，tan/ABC=

tan/ACE=4,則條==；，得到BC=空，在Rt/XABC中，由勾股定理得到4B=孕，即可得到

4433

。。的半徑.

【詳解】(1)證明：連接OO,

??,直線7X7是。O的切線，切點(diǎn)為C,

???OCrDC,

又???？!￡；_LOC,垂足為E,

??.OC//AE,

??.ZEAC=AACO,

???OC=OA,

AACO^AOAC,

ZEAC=AOAC,

???AC平分/A4E;

(2)解:連接BC,

???AB是。O的直徑，

??.ZACB=90°,

??.ZOAC+ZABC=90°,

義???AE_LDC,

??.ZAEC=90°f

??.ZEAC+ZACE=90°f

由(1)得：ZEAC=ZOACf

??.ZABC=AACE,

在Rt/XABC中，tan/AB。=tanZACE=j,

.』。=5=3

**BC-BC

??.8。=引

o

在Rt^ABC中，AB=VAC2+BC2=^52+(^-)2=-y-,

，OA=餐.

6

【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)定理、銳角三角函數(shù)、圓周角定理、勾股定理等知識，熟練掌握切線的性質(zhì)定

理、銳角三角函數(shù)、圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

題目⑶(2023?廣東深圳?模擬預(yù)測)如圖所示，CD為。。的直徑，AD.AB,BC分別與?O相切于點(diǎn)D、

E、C(AD<BC).連接DE并延長與直線B。相交于點(diǎn)P,連接OB.

(1)求證：BC=BP；

⑵若OE-OB=40,求AD-BC的值;

（3）在（2）條件下，若DE-.PE=4:5，求四邊形ABCD的面積.

【答案】（1）見解析

（2）20

（3）1875

［分析］⑴由于點(diǎn)。是CD的中點(diǎn)，所以要證BC=BP,只要證明OB//DP即可；

（2）由。E?03=40可以想到比例式，由題意可以證明△DEC?AOCB，由此得DE?OB=OC?=40,

則OC=2V5,再證△ADO?AOCB即可；

（3）易證△ADE?/XBPE，根相似三角形的性質(zhì)得慧=舞=金?，則BC=5,又四邊形ABCD是梯形，

DrJrL!JO

按其面積公式即可求解.

【詳解】⑴證明：連接OE,如圖①，

?.?反7、48分別與00相切于點(diǎn)。、后，

ZOCB=AOEB=90°,

在.。作與.四中，移言源黑籬，等)

Rt^OCB篤Rt^OEB(HL)

：./COB=/EOB

???同弧所對的圓周角是其所對的圓心角的一半，

???4cOB=1乙COE=LCDP,

J.DP//OB,

又點(diǎn)O是CD的中點(diǎn)，

???OB是△CEP的中位線，

??.BC=BP.

⑵連接04OE、CS,如圖②所示

???CD是。。的直徑，

???ZDSC=90°,

又石。與。。相切于點(diǎn)C,

???/DEC=/OCB=9U°,

又N4=N6,

???△￡＞石。?△OCB,

.DE=DC

"~OC~~OB9

???DE?OB=OC?DC=40,

??.OC=2O。，

???OC2=20,OC=2V5,

???又Nl=/2,Z3=Z4,

.?.N1+N4=9O°,

又Nl+/5=90°,

??.Z4=Z5,

???AADO-AOCB,

.AD=OP

"~OC~'BCf

???AD-BC=OC-OD=OC2=20,

即：AD?BC=20,

5

⑶???AD、分別與。。相切于點(diǎn)。、C,如圖②所示,

:.CD_LAD,CDLPC,

???ADIIPB,

???4ADE?/\BPE,

.AD=DE=4

**BP-PE--5",

,4。=AD=4

**BC-BP

即：AD=3BC=&BP,

55

又：AD-BC=20,

BC2=25,

即：BC=5,

=OC（AD+BP）

=2A/5?注C

5

r-Q

=2V5x=x5

5

=1875,

即：四邊形ABCD的面積為18V5.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、相似的性質(zhì)與判定等知識點(diǎn)，本題的難點(diǎn)是相似的判定與性質(zhì)的應(yīng)

用，這也是解（2）、（3）兩個(gè)小題的關(guān)鍵.

［題目?（2023?廣東深圳?模擬預(yù)測）已知RtZXAB。中，/C=90°,AB=10,且tan乙4=,,M為線段AB的

中點(diǎn)，作。MLAB,點(diǎn)P在線段CB上，點(diǎn)Q在線段AC上，以PQ為直徑的圓始終過點(diǎn)且PQ交線段

DM于點(diǎn)、E.

（1）求線段ZW的長度；

⑵求tan/PQM的值；

（3）當(dāng)ZWPE是等腰三角形時(shí)，求出線段AQ的長.

【答案】⑴?

⑵去

O

⑶學(xué)或5

O

［分析］⑴在RtAAMD中，AM=^AB=5,然后在RtAAMD中利用三角函數(shù)即可求解;

⑵證明AACM=ZA=乙QPM,然后根據(jù)等角的三角函數(shù)值相等即可求解；???

（3）證明?故當(dāng)AMPE是等腰三角形時(shí)，則ZVlMQ為等腰三角形.然后分①當(dāng)AM^

AQ=5時(shí)，②當(dāng)AM=時(shí)，③當(dāng)AQ=時(shí)三種情況求解.

【詳解】⑴AB,

△ADA1為直角三角形，

?：M為線段AB的中點(diǎn)，AB=10,

AM=^AB=b,

在Rt/\AMD中，

則DM=AMtanA=5x3=學(xué);

44

⑵連接CM,

在Rt/XABC中，：CM■是中線，

:.CM=BM=AM,

：.NMBC=AMCB,

?：MP—MP,,

ZMCB=APQM,

：.4MBe=4MCB=APQM,

在Rt/\ABC中，tanZA=岑="，則tan/4B。==--,

AC4BG3

4

tanZFQM=tan/ABC=--；

o

(3)???AQMA+AQMD=90°,APME+AQMD=90°,

???4QMA=4PME,

在此△ABC中，???CM■是中線，

：.CM=BM=AM,

???ZACM=ZA,

MQ=MQ,

：.ZACM=AQPM,

???ZACM=ZA=/QPM,

：.4AMQ?^PME,

：.當(dāng)4MPE是等腰三角形時(shí)，則為等腰三角形,

①當(dāng)AM=4Q=5時(shí)，

此時(shí)_AQ=5;

②當(dāng)時(shí)，

??.ZA=ZAQM.

???AAQM>ZACM=ZA,

???此種情況不存在；

③當(dāng)AQ=MQ時(shí)，

??.ZA=ZAMQ.

???ZA+ZADM=90°,ZAMQ+ADMQ=90°,

???4DMQ=/ADM,

??.DQ=MQ,

：.AQ=DQ,

AQ^^AD,???

在Rt/\AMD中，AD=y/AM2+DM2=，5?+（號丫=苧,

則人。=孕；

O

綜上，AQ=或5.

o

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半、等腰三角形的性質(zhì)、三角形相似、解直角三角

形等，其中（3）,要注意分類求解，避免遺漏.

【題型二與圓中證明直線是切線的有關(guān)問題】

題］（2023?廣東深圳?模擬預(yù)測）如圖,△ABC內(nèi)接于QO,48、CD是。。的直徑，七是D4長線上一點(diǎn)，且

ACED=ACAB.

⑴求證：?！晔恰?。的切線；

（2）若OE=3，^,tanB=y,求線段CE的長.

【答案】（1）見解析

（2）3

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得出=90°,再由各角之間的等量代換得出NDCE=2ACB=90°,利用

切線的判定證明即可；

⑵根據(jù)⑴可知，CD_LCE,再由正切函數(shù)的定義得出CD=2CE,利用勾股定理求解即可.

【詳解】（1）證明：:AB是。。的直徑，

乙4cB=90°,

/./CAB+/B=90°,

AGED=2CAB,Z.B=Z.D,

：./CEE>+/D=90°,

NDCE=NACB=90°,

：.CD_LCE,

???CD是。O的直徑，即OC是。O半徑，

.?.CE是。。的切線；

(2)由⑴知，CD_LCE,

在RtAABC和Rt^DEC中，

Z.B=Z.D,tanB=,

tanZB=tanZZ)=，普=],

ID/

：.CD=2CE,

在Rt^CDE中，CD2+CE2=DE2,DE=3-75,

(2CE)2+CE2=(3/)2,

解得CE=3(負(fù)值舍去)，

即線段CE的長為3.

【點(diǎn)睛】題目主要考查切線的判定和性質(zhì)，正切函數(shù)的定義，勾股定理解三角形等，理解題意，綜合運(yùn)用這

些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

題目Q（2023?廣東深圳?模擬預(yù)測）如圖，AB是。O的直徑，點(diǎn)。是。。上一點(diǎn)，AD和過點(diǎn)C的直線互相

垂直,垂足為。，人。交。。于點(diǎn)E,且AC平分/D4B.

（1）求證:直線CD是。。的切線；

⑵連接若5。=4,47=5,求AE的長.

【答案】（1）證明見解析；

-41

【分析】（1）如圖所示，連接根據(jù)南平分線的定義和等邊對等角證明/LOCA=ACAD,則AD//OC,由

AD±CD,可證OC,CD,即可證明直線CD是。O的切線；

⑵先求出CE=BC=4,利用勾股定理求出48=何，證明△ABC?△4CD求出。。=當(dāng)"，利用勾

股定理求出。E=-^L,AD=*L,則AE=AD-DE=^^.

V41V4141

【詳解】⑴證明：如圖所示，連接OC,

???AC平分/DAB,

：,ACAD=ACAB,

■：OA=OC,/\

A

AOAC=AOCA,rQ產(chǎn)

：.ZOCA=ACAD,\J

：.ADIIOC,

?：AD±CD,

OC^CD,

又：點(diǎn)C在。。上，

二.直線CD是?O的切線；

⑵解:如圖所示，連接CE,OC,

由（1）得ACAD=ZCAB,月/^J^L

：.CE=BC,

.CE=BC=4,心/

4Q

???AB是。。的直徑，rQr

：.ZACB=90°\J

：.AB=yjAC2+BC2=V52+42=V41,'------------/

?/NACB=2ADC=90°,ACAD=ACAB,

：.ZXABC?/\ACD,

.CD_AC

"BC~AB'

即92=工

4V41

DE=y/CE2-CD2=,AD=^AC2-CD2=,

：.AE^AD-DE^^^~.

41

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾

股定理等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

題目團(tuán)（2023?廣東深圳?模擬預(yù)測）如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)D是愈上一點(diǎn),且ZBDE=NCBE,BD

與AE交于點(diǎn)F.

⑴求證是。。的切線；

（2）若平分/ABE,DE=2,求證DF?DB是定值.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理即可得出/EAB+/EBA=90°,再由已知得出乙4BE+/CBE=90°,則CB

_LAB,從而證得是。。的切線；

（2）通過證得APEF?ADBE,得出相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可證得結(jié)論.

【詳解】（1）證明：??,AB是。。的直徑，

ZAEB=90°

：.AEAB+AABE^90°,

?：NBDE=NEAB,NBDE=NCBE,

：.NEAB=NCBE

：.AEBA+ACBE=^°,

：.CB±AB

AB是。。的直徑，

??.BC是。O的切線

（2）證明：；BD平分/ABE,

：.NABD=ZDBE,

?：4ABD=4DBE,

：.AD=DE

：.NAED=ADBE,

?：NEDF=ABDE,

10

：.2EF-￡\DBE

?DE=DF

??西一話’

DF-DB=DE?,故DF-BD是定值.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，三角形相似的判定和性質(zhì);要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連

接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可.

題目,（2023?廣東深圳?模擬預(yù)測）如圖，A4BC內(nèi)接于O。，延長直徑到。，使乙8。。=/BAC,過圓

心。作BC的平行線交DC的延長線于點(diǎn)E.

⑴求證：。。是。。的切線；

⑵若CD=4,儂=6,求。。的半徑及1211乙4及7.

【答案】（1）證明見解析

（2）。。的半徑為3,tan/ABC=2

【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)與已知條件得出，/OCA=/DCB,由圓周角定理可得/ACB=90°,進(jìn)而

得到AOCD=90°,即可得出結(jié)論；

⑵根據(jù)平行線分線段成比例定理得到黑=察=高，設(shè)8。=2c,則OB=OC=3a;,OD=OB+BD

Oi3CH3

二5/，在Rt/XOCD中，根據(jù)勾股定理求出力=1,即。O的半徑為3,由平行線的性質(zhì)得到40cB=

AEOC,在Rt^OCE中，可求得tan/EOC=2,即tan/ABC=tanZOCB=2.

【詳解】（1）證明：?.?OA=OC,

??.AOAC=ZOCA,

???4DCB=/OAC,

：.ZOCA=ZDCBf

???AB是。。的直徑，

???ZACB=90°,

??.ZOCA+ZOCB=90°,

??.ZDCB+ZOCB=90°,

即/OCD=90°,

??.OC.LDCf

???O。是。。的半徑，

???C。是。O的切線；

（2）\-OE//BC,

.BD=CD

''~OB~~CE'

???CD=4,CE=6,

.BD=4=2

設(shè)BD=2%

11

則OB=OC=3c,OD=OB+BD=5c,

OC±DC,

：.△OCD是直角三角形，

在Rt/\OCD中，002+5=。。2,

.?.（302+42=（5x）2,

解得，2=1,

:.OC=3/=3,

即。O的半徑為3,

?：BC//OE,

：.AOCB=ZEOC,

?：OB=OC,

：.AOCB=ZOBCf

在Rt^OCE中,tan/EOC=-；=號=2,

i_zOo

tan/ABC=tan/OCB=lanAEOC—2.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，掌握圓周角定理、勾股定理、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、切

線的判定與性質(zhì)與平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵.

題目⑷（2023?廣東深圳?模擬預(yù)測）如圖，直線MN交。O于4B兩點(diǎn),AC是直徑,AD平分4cAM交0

。于D,過D作DE_LMN于E.

ME4-------BN

⑴求證：DE是OO的切線；

（2）若?！?6,40=2皿,求。。的半徑.

【答案】（1）證明見解析

⑵子

【分析】⑴連接。D,根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得NODE=/DEW=90°,且。在。。上，故。石是。O

的切線.

（2）由直角三角形的特殊性質(zhì),可得4。的長，又有△幺CD?Z\ADE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，

代入數(shù)據(jù)即可求得圓的半徑.

【詳解】（1）證明：連接OD

vOA=ODf/^/\

：.ZOAD=ZODA.（\

???

4D平分NC4MD個(gè)-——-JQ

：.ZOAD=ZDAEf\\/j

??.AODA=ADAE.____J

DO//MN.MEABN

???DE_LMN,

ZODE=ZDEM=90°

12

即。D_LDE.

?.?。在。。上，。。為。O的半徑，

.?.DE是OO的切線.

（2）VZAED=90°,DE=6,AE=22，

AD=y/DE2+AE2=V62+（2V2）2=2VTT.

連接CD.

?：AC是。。的直徑，

ZADC=ZAED=90°.

?：ACAD=ADAE,

：.AACD-^ADE.

?ADAC

"~AE~'AD

.2V11_AC

"2V2-2vH'

則AC=11V2.

的半徑是衛(wèi)盧.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的判定、圓周角定理、勾股定理切割線定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，在

圓中學(xué)會正確添加輔助線是解決問題的關(guān)鍵.

【題型三與圓中求弧長、扇形面積的有關(guān)問題】

網(wǎng)］1（2023?廣東深圳?二模）如圖，點(diǎn)P是。。的直徑4B延長線上一點(diǎn)，AO=AP,點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C,連接

CO交。。于點(diǎn)。，乙400=60°.

⑴求證：DP是OO的切線；

（2）若2,求陰影部分的面積.

【答案】（1）見解析

⑵空一專

【分析】（1）連接AD,根據(jù)題意推出△40。是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到ADAO=AADO

=60°,AO^AD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)求出AADP=30°,則APDO=90°,根據(jù)切線

的判定定理即可得解；

⑵根據(jù)陰影部分的面積=SAODP—S扇彩04。求解即可.

【詳解】（1）證明：如圖，連接AD,

根據(jù)題意得，乙40。=60°,

AO=OD,

：.A4OD是等邊三角形，

ZDAO=^ADO=60°,AO=AD,

?：AO=AP,

??.AP=AD,

：.AAPD=AADPf

???ZDAO=AAPD+AADP,

??.ZADF=30°,

??.ZFDO=AADP+AADO=90°,

：.PD±ODf

???OD是。O的半徑，

???OP是。O的切線；

(2)解：???4B=2,

??.AO=DO=1,

??.OP=24O=2,

DP=y/OP2-OD2=V22-l2=V3,

SAODP=與DP?OD=4^X1=,

陰影部分的面積=S^ODP—S能形OAD=~本

【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定與性質(zhì)、扇形面積的計(jì)算，熟練切線的判定與性質(zhì)、扇形面積的計(jì)算是解題

的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

題目工（2022.廣東深圳.模擬預(yù)測）如圖,在人力ZVIB。中，ZACB=90°,◎O與BC,分別相切于點(diǎn)E,

F,BO平分AABC,連接OA.

⑴求證是。。的切線；

（2）若現(xiàn);=4。=6,。0的半徑是2,求圖中陰影部分的面積.

【答案】（1）證明見解析

（2）10-yTt

【分析】⑴連接OE,過點(diǎn)。作OGL48于點(diǎn)G,如圖，由切線的性質(zhì)得到BC,再由角平分線的性

質(zhì)得到OE=OG,由此即可證明4B是OO的切線；

（2）連接OE,OF,過點(diǎn)。作OG，4B于點(diǎn)G,如圖，先證明四邊形OECF為正方形.得到EC=FC=

OE=OF=2.求出BC=8,即可求出48=10.證明40平分/B4C,進(jìn)而推出/O4B+45°,

則AAOB=135°.即可得到S陰影=S/AB—S扇…=x10x2-叱產(chǎn)="_*=10,

【詳解】⑴證明：連接OE,過點(diǎn)O作OG，AB于點(diǎn)G,如圖，

???BC為。O的切線，

：.OE_LBC.

14

?.?BO平分/ABC,OGYAB,OE_LBC,A

：.OE=OG.

直線AB經(jīng)過半徑OG的外端G,且垂直于半徑OG,

.?.AB是OO的切線；

（2）解:連接OE,OF,過點(diǎn)、。作OG_LAB于點(diǎn)G,如圖,

?：@O與BC,47分別相切于點(diǎn)E,F,

：.OE±BC,OF±AC,

■：/ACS=90°,

四邊形OECF為矩形,

?：OE=OF,

四邊形OECF為正方形.

EC=FC=OE=OF=2.

；BE=AC=6,

:.BC=&,

：.AB=y/AC2+BC2=10.

由（1）知：OG=OE=2,

：.OG=OF,

-：OG±AB,OFAC,

AO平分/BA。，

ZOAB=ABAC.

???BO平分/ABC,

NOBA=AABC.

?：乙4cB=90°,

AABC+ABAC=9Q°,

：.AOAB+NOBC=y（ZABC+ABAC）=45°,

ZAOB=135°.

2

x1357tx23

S陰影=S^—OMN=-10x2—1in0一了兀10.

OAB360

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，角平分線的性質(zhì)與判定，求不

規(guī)則圖形面積得到，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【題型四與圓中實(shí)際應(yīng)用的有關(guān)問題】

血］1(2023?廣東深圳?模擬預(yù)測)已知：A、B、。三點(diǎn)不在同一直線上.

(1)若點(diǎn)A、B、C均在半徑為R的。。上,

（i）如圖①，當(dāng)/A=45°，五=1時(shí)，求/BOC的度數(shù)和BC的長；

（沉）如圖②，當(dāng)/A為銳角時(shí),求證：sinA=祟；

2lx

⑵若定長線段BC的兩個(gè)端點(diǎn)分別在/AMN的兩邊AM.AN（B、。均與A不重合）滑動,如圖③，當(dāng)

NMAN=60°,BC=2時(shí),分別作BP±AM,CPA.AN,交點(diǎn)為P,試探索在整個(gè)滑動過程中，P、A兩點(diǎn)

間的距離是否保持不變？請說明理由.

【答案】（1）⑴90°;BC=V2;（近）見解析

（2）見解析

【分析】⑴⑴根據(jù)圓周角定理得ZBOC=2=90°,再利用勾股定理即可求解；（助證法一：連接EB,

作直徑CE,則/E=/A,CE=2凡利用sinA=sinE即可求解;證法二：連接OB、OC,作OH_LBC于

點(diǎn)H,NA=ABOH,BH=利用sinA=sin乙BOH即可求解.

⑵連接4P,取AP的中點(diǎn)K,連接BK、CK,首先證明點(diǎn)4、B、P、。都在?K上，再利用sin60°二鼠,

得出AP==早（定值），即可求解