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文檔簡介
中考復(fù)習(xí)三線奔馳模型(類費馬點模型)試題精選
選擇題(共5小題)
題目[]如圖,等邊△ABC中有一點P,且PA=3,PB=4,PC=5,則/APB的度數(shù)的為()
C.120°D.1651
題目如圖,P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點,且PA=3,PB=4,PC=5,以為邊在ZVlB。外作
△BQC第△BP4,連接PQ,則以下結(jié)論錯誤的是()
A.AerQ是等邊三角形B.APQQ是直角三角形
C./APB=150°D.ZAFC=135°
題目叵|如圖,點。是等邊△AB。內(nèi)一點,AD=3,BD=3,8=,△人CE是由△ABD繞點A逆時
針旋轉(zhuǎn)得到的,則ZADC的度數(shù)是()
C.105°D.55°
題目如圖,點P是等邊△ABC內(nèi)一點,且P4=3,PB=4,PC=5,若將△APB繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)
60°后得到△CQB,則/APB的度數(shù)為()
1
C.135°D.120°
題目可如圖,P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點,且P4=3,PB=4,PC=5,將△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)
60°到△CBQ位置.連接PQ,則以下結(jié)論錯誤的是()
A.ZQFB=60°B.APQC=90°C.ZAPS=150°D.AAPC=135°
二.填空題(共7小題)
題目⑹已知,P為等邊三角形ABC內(nèi)一點,PA=3,PB=4,PC=5,則S△.=.
題目可點P是等邊三角形ABC內(nèi)部一點,PA=3,=4,PC=5,則三角形ACP的面積是.
題目回如圖,點P是等邊△4BC內(nèi)的一點,P4=6,PB=8,PC=10.若點P是△ABC外的一點,且
△P4B空△PAC,則乙4PB的度數(shù)為.
題目可如圖,點P是等邊三角形ABC內(nèi)一點,且PA=3,PB=4,PC=5,若將ZVlPB繞著點B逆時針旋
轉(zhuǎn)后得到△CQB,則ZAPB的度數(shù)
2
B
題目正〔如圖,P是等邊三角形ABC內(nèi)一點,將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段AQ,連接BQ,
若P4=3,=4,PC=5,則四邊形APBQ的面積為
題目11汝口圖,點P為等邊△48。內(nèi)一點,若PC=3,PB=4,PA=5,則/BPC的度數(shù)是
題目12如圖,P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點,且P4=3,PR=4,PC=5,以B。為邊在△AB。外作
△BQCaABPA,連接PQ,則以下結(jié)論中正確有(填序號)
①△BPQ是等邊三角形②是直角三角形③ZAPB=150°④/APO=120°
題目叵I如圖,已點P是△ABO的重心(三邊中線的交點),且P4=3,PB=4,PC=5,求S^.
A
題目兀如圖,點P是等邊△ABC外一點,PA=3,PB=4,PC=5
(1)將△APC繞點力逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△HAG,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形;
(2)在(1)的圖形中,求/APB的度數(shù).
題目正]如圖,P是正三角形ABC內(nèi)的一點,且P4=6,PB=8,PC=10.若將△P4C繞點A逆時針旋
轉(zhuǎn)后,得到中/氏
(1)求點P與點P之間的距離;
(2)求/APB的度數(shù).
題目,數(shù)學(xué)探究課上老師處這樣一道題:“如圖,等邊AABC中有一點P,且P4=3,PB=4,PC=5,試
求AAPB的度數(shù).”小明和小軍探討時發(fā)現(xiàn)了一種求/APR度數(shù)的方法,下面是這種方法的一部分思路,
請按照下列思路要求畫圖或判斷
(1)在圖中畫出△4PC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°后的△ARB;
(2)試判斷AAPF的形狀,并說明理由;
(3)試判斷△mP的形狀,并說明理由;
(4)由(2)、⑶兩問可知:乙4PB=.
題目五〕(原題初探)(1)小明在數(shù)學(xué)作業(yè)本中看到有這樣一道作業(yè)題:如圖1,P是正方形ABCD內(nèi)一點,連
結(jié)PA,PB,PC現(xiàn)將APAB繞點、B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的△PCB,連接PP'.若PA=衣,PB=3,
/4PB=135°,則PC的長為,正方形ABCD的邊長為.
(變式猜想)(2)如圖2,若點P是等邊AABC內(nèi)的一點,且P4=3,PB=4,PC=5,請猜想NAPB的度
數(shù),并說明理由.
(拓展應(yīng)用)(3)聰明的小明經(jīng)過上述兩小題的訓(xùn)練后,善于反思的他又提出了如下的問題:
如圖3,在四邊形ABOD中,AD=3,CD=2,乙4BC=乙4cB=乙4。。=45°,則BD的長度為.
頻目[18J問題:如圖1,在等邊△4BC內(nèi)部有一點P,已知P4=3,=4,PC=5,求ZAPB的度數(shù)?
(1)請寫出常見四組勾股數(shù):、、、.
(2)解決方法:通過觀察發(fā)現(xiàn)PA,PB,PC的長度符合勾股數(shù),但由于P4,,PC不在一個三角形中,想
法將這些條件集中在一個三角形,于是可將△ABP繞A逆時針旋轉(zhuǎn)60°到△APC,此時△ABP空
△力CP,這樣利用等邊三角形和全等三角形知識,便可求出NAPB=.請寫出解題過程.
(3)應(yīng)用:請你利用(2)題的思路,解答下面的問題:
如圖2,在△4BC中,/C4B=90°,4B=AC,E,F為BC的點,且45°,若跳;=小,請
求出線段EF的長度(用m、n的代數(shù)式表示).
圖1圖2
題目□□下面是一道例題及其解答過程,請補充完整.
(1)如圖1,在等邊三角形ABC內(nèi)部有一點P,PA=3,PB=4,PC=5,求NAPB的度數(shù).
解:將△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△力,連接PP',則△APP為等邊三角形.
;PP'=PA=3,PB=4,P'B=PC=5,
:.P'P2+PB2=P'B2.
:.^BPP'為三角形.
/.NAPB的度數(shù)為.
(2)類比延伸
如圖2,在正方形ABCD內(nèi)部有一點P,若AAPD=135°,試判斷線段P4、PB、PD之間的數(shù)量關(guān)系,并說
明理由.
題目①⑴如圖1,點P是等邊△48。內(nèi)一點,已知24=3,93=4,。。=5,求/4?汨的度數(shù).
分析:要直接求乙4PB的度數(shù)顯然很困難,注意到條件中的三邊長恰好是一組勾股數(shù),因此考慮借助旋轉(zhuǎn)
把這三邊集中到一個三角形內(nèi).
解:如圖2,作ZPAD=60°使AD=AP,連接PD,CD,則AF4D是等邊三角形.
=AD=AP=3,NADP=ZPAD=60°
???△ABC是等邊三角形
AC=AB,ABAC=60°/LBAP=
△ABPT4ACD
:.BP=CD=4,=AADC
?:在APCD中,PD=3,PC=5,CD=4,PD2+CD2^PC2
:.2PDC=°
ZAPS=/ADC=AADP+乙PDC=60°+90°=150°
(2)如圖3,在△ABC中,AB=BC,2ABC=90°,點P是△ABC內(nèi)一點,PA=1,PB=2,PC=3,求
/APB的度數(shù).
(3)拓展應(yīng)用.如圖⑷,△ABC中,AABC=30°,AB=4,BC=5,P是4ABC內(nèi)部的任意一點,連接
PA,PB,PC,則PA+PB+PC的最小值為.
題目121](1)如圖1,點P是等邊△48。內(nèi)一點,已知P4=3,PB=4,PC=5,求/4PB的度數(shù).
要直接求乙4的度數(shù)顯然很困難,注意到條件中的三邊長恰好是一組勾股數(shù),因此考慮借助旋轉(zhuǎn)把這三邊
集中到一個三角形內(nèi),如圖2,作/PAD=60°使AD=AP,連接PD,CD,則△PAD是等邊三角形.
=AD=A?=3,AADP=NPAD=60°
是等邊三角形
AC^AB,/BAG=60°
2BAP=
:.AABP^AACD
:.BP=CD=4,=AADC
在△PCD中,PD=3,PC=5,CD=4,Pn2+CL>2=PC2
:.NPDC=°
6
ZAPS=2ADC=4ADP+4PDC=60°+90°=150°
(2)如圖3,在△ABC中,4B=BC,90°,點P是△ABC內(nèi)一點,PA=1,PB=2,PC=3,求
/APB的度數(shù).
圖1圖2圖3
[題目|22〕【方法呈現(xiàn)】:
(1)已知,點P是正方形內(nèi)的一點,連PA、PB、PC.將△PAB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到△PCB的
位置(如圖1),設(shè)的長為a,PB的長為6(6<a),求4PAB旋轉(zhuǎn)至U△PCB的過程中邊P4所掃過區(qū)域
(圖1中陰影部分)的面積;
【實際運用】:
(2)如圖2,點P是等腰放△ABC內(nèi)一點,AB=BC,連接PA,PB,PC.若PA=2,=4,PC=6,求
/4PB的大??;
【拓展延伸】:
(3)如圖3,點P是等邊△48。內(nèi)一點,PA=3,PB=4,PC=5,則△APC的面積是(直接填答案)
[題目〔23〕閱讀下面材料:
小偉遇到這樣一個問題:如圖1,在正三角形ABC內(nèi)有一點P,且PA=3,=4,PC=5,求NAPB的度
數(shù);
小偉是這樣思考的:如圖2,利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識構(gòu)造△AP,。,連接PP',得到兩個特殊的三角形,從而
將問題解決.
(1)請你回答:圖1中ZAPB的度數(shù)等于.(直接寫答案)
參考小偉同學(xué)思考問題的方法,解決下列問題:
如圖3,在正方形ABCD內(nèi)有一點P,且PA=22,PB=1,PD=JT7.
(2)求乙4PB的度數(shù);
(3)求正方形的邊長.
If亙)(1)在一次數(shù)學(xué)探究活動中,陳老師給出了一道題.
如圖1,已知△ABC中,NACB=90°,AC=BC,P是△ABC內(nèi)的一點,且PA=3,=1,PC=2,求
/BPC的度數(shù).
小強在解決此題時,是將△APC繞C旋轉(zhuǎn)到4CBE的位置(即過。作CE,CP,且使CE=CP,連接
EP、EB).你知道小強是怎么解決的嗎?
(2)請根據(jù)⑴的思想解決以下問題:
如圖2所示,設(shè)P是等邊△ABC內(nèi)一點,?4=3,_?3=4,_?。=5,求乙4「8的度數(shù).
題目,閱讀下面材料:
小明遇到這樣一個問題:如圖1,在等邊三角形ABC內(nèi)有一點P,且24=3,9=4,。。=5,求AAPB度
數(shù).
小明發(fā)現(xiàn),利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識構(gòu)造△APC,連接PP,得到兩個特殊的三角形,從而將問題解決(如圖
2).
請回答:圖1中AAPB的度數(shù)等于,圖2中/PPC的度數(shù)等于.
參考小明思考問題的方法,解決問題:
如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A坐標(biāo)為(-V3,1),連接AO.如果點B是,軸上的一動點,以AB
為邊作等邊三角形ABC.當(dāng)。(①歷在第一象限內(nèi)時,求9與c之間的函數(shù)表達式.
圖1
三線奔馳模型(類費馬點模型)試題精選
參考答案與試題解析
一.選擇題(共5小題)
建目工如圖,等邊△ABC中有一點P,且PA=3,PB=4,PC=5,則乙4PB的度數(shù)的為()
A.150°B.135°C.120°D.165,
【分析】將/\BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得&BEA,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE=BP=4,AE=PC=5,
NPBE=60°,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到PE=PB=4,ABPE=60°,根據(jù)勾股定理的逆定理可得到
△APE為直角三角形,且NAPE=90°,即可得到AAPB的度數(shù).
【解答】解:???△ABC為等邊三角形,
:.BA=BC,
可將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得4BEA,
連EP,如圖,
:.BE=BP=4,AB=PC=5,NPBE=60°,
為等邊三角形,
:.PE=PB=4,/BPE=60°,
在△AEF中,AB=5,AP=3,PE=4,
:.AE2^PE2+P^,
:./XAPE為直角三角形,且/4PE=90°,
NAPB=900+60°=150°.
故選:A.
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的逆定理,求得/APE=90°是解題的
關(guān)鍵.
題目如圖,P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點,且。人=3,93=4,_?。=5,以3。為邊在4人8。外作
△BQC空△BPA,連接PQ,則以下結(jié)論錯誤的是()
?M
A.△印心是等邊三角形B.aPGQ是直角三角形
C./APB=150°D./APC=135°
【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出/ABC=60°,根據(jù)全等得出NBPA=NBQC,BP=BQ=4,QC^PA
=3,/ABP=/QBC,求出/PBQ=60°,即可判斷A,根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷B;求出4BQP=
60°,/PQC=90°,即可判斷C,求出乙4PC+/QPC=150°和PQKQC即可判斷O.
【解答】解:???△ABC是等邊三角形,
AZABC=60°,
MBQC"BPA,
:.NBPA=NBQC,BP=BQ=4,QC=PA=3,ZABP=NQBC,
:.NPBQ=2PBe+ACBQ=ZPBC+AABP=ZABC=60°,
.?.△BPQ是等邊三角形,
PQ=BP=4,
?:PQ2+QC2=42+32=25,PC2=52=25,
APQ2+QC2^PC2,
:.APQC=90°,即APQC是直角三角形,
???△BPQ是等邊三角形,
A/BOQ=/BQP=60°,
ANBPA=4BQC=60°+90°=150°,
:./APC=360°-150°-60°—/QPC=150°-AQPC,
■:/PQC=90°,PQWQC,
AZQPC^45°,
即乙4PCW135°,
A選項A、B、。正確,選項D錯誤.
故選:D.
【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定,勾股定理的逆定理的應(yīng)用,主要考查學(xué)生綜合運用定理進行
推理的能力.
[題目■如圖,點。是等邊△ABC內(nèi)一點,AD=3,BD=3,CD=3,,/VICE是由LABD繞點A逆時針
旋轉(zhuǎn)得到的,則/AOC的度數(shù)是()
10
A
A.40°B.45°C.105°D.55°
(分析】連接AE,由旋轉(zhuǎn)可知,4ACE咨AABD;由此可得"DE是等邊三角形,△CDE是等腰直角三角
形,由此ZADE^60°,=45°,得4ADC=105°.
【解答】解:連接DE,
由旋轉(zhuǎn)可知,△力CE篤/\ABD,
/.AE=AD=3,CE=BD=3,CD=3V2
/BAD=/CAE,
?:A4BC是等邊三角形,
/BAG=60°,
ZBAD+ADAC=6Q°,
:.ZCAE+ADAC=60°,即NDAE=60°,
.?.△D4E是等邊三角形,
DE—AD—3,
32+32=(3V2)2,
:.DE2+CE2=CD2,
:.△DEC是直角三角形,且2DEC=90°,
DE=CE,ZEDC=45°,
ANADC=ZADE+ZCDE=105°,
故選:C.
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),熟練運用這些性質(zhì)進行推
理是本題的關(guān)鍵.
題目[魚I如圖,點P是等邊△AB。內(nèi)一點,且P4=3,PB=4,PC=5,若將△APB繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)
60°后得到△CQB,則/APB的度數(shù)為()
A.150°B.145°C.135°D.120°
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得=ZFBQ=60°,2APB=/BQC,=QC=3,可證△BPQ是等邊
三角形,可得BP=BQ=PQ=4,Z.BQP=60°,由勾股定理的逆定理可求/PQC=90°,即可求解.
【解答】解:如圖,連接PQ,
-.?將AAPB繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°后得到ACQB,
AABP^ACBQ,
:.BP=BQ,NPBQ=60°,ZAPS=NBQC,AP=QC=3,
.?.△BPQ是等邊三角形,
:.BP=BQ=PQ=4,ZBQP=60°,
?/PC?=25,PQ2+QC2^9+16=25,
:.PQ2+QC2^PC2,
/PQC=90°,
ZBQC*=150°,
ZAPS=150°,
故選:A.
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),勾股定理的逆定理,靈活運用這些
性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵.
目可如圖,P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點,且9=3,9=4,。。=5,將/\ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)
60。到△CBQ位置.連接PQ,則以下結(jié)論錯誤的是()
A.ZQPB=60°B.ZFQC=90°C.ZAPS=150°D.ZAPC=135°
【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)以及勾股定理的逆定理,即可判斷B;依據(jù)&BPQ是等邊三角形,即可得到
ZQPB=APBQ=NBQP=60",進而得出ABPA=ABQC=60°+90°=150°,求出AQPC=15°即可判
斷。選項.
【解答】解:???△ABC是等邊三角形,
ZABC=60°,
-.?將△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°到△CBQ位置,
:△BQCW4BPA,
:.NBPA=NBQC,BP=BQ=4,QC=PA=3,NABP=NQBC,
:.NPBQ=4PBe+ACBQ=ZPBC+NABP=NABC=60°,
.?.△BPQ是等邊三角形,
:.PQ=BP=4,
?1-PQ2+QC'2^42+32=25,PC?=52=25,
APQ2+QC2^PC2,
:.APQC=90°,即APQC是直角三角形,故B正確,
???△BPQ是等邊三角形,
AQPB=APBQ=ZBQP=60°,故A正確,
AABPA=ABQC=60°+90°=150°,故。正確,
若/APC=135°,貝比NQPC=360°-135°-150°-60°=15°,與PA=3,PB=4,PC=5不符,故選項D錯
、口
7天.
故選:D.
【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定,勾股定理的逆定理的應(yīng)用,主要考查學(xué)生綜合運用定理進行
推理的能力.
二.填空題(共7小題)
題目回已知,P為等邊三角形4BC內(nèi)一點,PA=3,PB=4,PC=5,則25V^+36.
【分析】將4BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得&BEA,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE=BP=4,AE=PC=5,
NPBE=60°,則△BPE為等邊三角形,得到PE=PB=4,/BPE=60°,在△AEP中,AB=5,延長BP,
作AF_LBP于點F,根據(jù)勾股定理的逆定理可得到AAPE為直角三角形,且/APE=90°,即可得到
AAPB的度數(shù),在RtAAPF中利用三角函數(shù)求得AF和PF的長,則在RtdABF中利用勾股定理求得AB
的長,進而求得三角形ABC的面積.
【解答】解:?.?△ABC為等邊三角形,
:.BA=BC,
可將&BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得4BEA,
連EP,且延長BP,作于點F.如圖,4
:.BE=BP=4,AE=PC=5,NPBE=60°,
.?.△BPE為等邊三角形,E三二一//X
PE=PB=4,NBPE=60°,\//p\\
在△AEP中,AE=5,AP=3,PE=4,\//
AE'2=PE2+P^,'飛〃
BC
/\APE為直角三角形,且/4PE=90°,
/APB=900+60°=150°.
ZAFF=30°,
:.在直角/XAPF中,AF=^-AP=-1,PF=興AP=
在直角AABF中,AB2=BF2+AF2=(4+學(xué)野+(-1)2=25+1273.
AABC的面積=乎AB?:亨(25+12V3)=25q+36;
故答案為:25已+36.
4
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等,對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)
角,對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的逆定理.
題目曰點P是等邊三角形ABC內(nèi)部一點,PA=3,PB=4,PC=5,則三角形ACP的面積是
竽+3.
【分析】作出圖形,把AABP繞點人逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACD,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD=PA,CD=
PB,然后判斷出是等邊三角形,利用勾股定理逆定理判斷出△PCD是直角三角形,然后求出
乙4。。=150°并求出四邊形APCD的面積,過點。作CE_LAD交AD的延長線于E,求出/CDE=30°,
根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得CE=再求出4ACD的面積,然后求解即
可.
【解答】解:如圖,把/XABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得至U/XACD,
則AD=P4=3,CD=PB=4,
:.△APD是等邊三角形,
:.PD^PA^3,
?:PD2+CD2=32+42=25,
p02=52=25,
:.PD2+CD2^PC2,
由勾股定理逆定理得,AFCD是直角三角形,
乙4。。=150°,
S四邊形APCE>=S/\AP£>+SAPC?=—x3x(3x+7X3x4=9^^+6,
過點。作_L交入。的延長線于E,
貝IZCDE=180°-ZADC=180°-150°=30°,
.-.CE=yCD=yX4=2,
S"CD=—AD'CE=—x3x2=3,
.Q一C—Q一IZ?_O-IQ
??QixACp-Q四邊舷AP。。-QAA。。一ro—0一—-rd.
故答案為:@£+3.
4
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理逆定理的應(yīng)用,利用旋轉(zhuǎn)作輔助線構(gòu)
造成等邊三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵,難點在于考慮到并求出點。到AD的距離.
題目回如圖,點P是等邊△48。內(nèi)的一點,R4=6,PB=8,PC=10.若點P是△ABC外的一點,且
△P4B空力。,則乙4PB的度數(shù)為150°.
【分析】連接PP,由△PAC空^P,AB可知:PA=P'A,NP,AB=ZPAC,然后依據(jù)等式的性質(zhì)可得到
AP'AP=ABAC=60°,從而可得到△APP,為等邊三角形,得/4PP=60°,在/\PP'B中,用勾股定理逆
定理證出直角三角形,得出/PPB=90°,可求/4PB的度數(shù).B
【解答】解:連接PP,
由旋轉(zhuǎn)可知,△PACW/^P'AB,/八\
PA=P'A,AP'AB=APAC,P<]]\
ZP'AP=ABAC=60°,\
/./\APPf為等邊三角形,-?-----?-?
.?.PP=AP=AP=6;
,:PP%BP2=BP*,
:./\BPP'為直角三角形,且乙BRP'=90°,
AAPB=90°+60°=150°.
故答案為:150°.
【點評】本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定、勾股定理的逆定理的應(yīng)用,證得△APP
為等邊三角形、△BPP為直角三角形是解題的關(guān)鍵.
題目⑸如圖,點P是等邊三角形ABC內(nèi)一點,且PA=3,PB=4,PC=5,若將△APB繞著點B逆時針旋
【分析】首先證明他PQ為等邊三角形,得NBQP=60°,由△ABP篤CBQ可得QC=R4,在4PQC中,已
知三邊,用勾股定理逆定理證出得出ZPQC=90°,可求/BQC的度數(shù),由此即可解決問題.
【解答】解:連接PQ,由題意可知&ABP篤ACBQ
則QB=PB=4,PA=QC=3,4ABP=NCBQ,
?:△ABC是等邊三角形,
AABC=NABP+APBC=60°,&
AAPBQ=ZCSQ+APBC=60°,
A4BPQ為等邊三角形,//
;.PQ=PB=BQ=4,//一\¥
又PQ=4,PC=5,QC=3,/\
:.PQ2+QC2=PC2,^\\\
Z.PQC—90°,----------------------—―
???△BPQ為等邊三角形,
ZBQP=60°,
ZBQC=ZBQP+ZPQC=150°
/APB=2BQC=150°
【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的逆定理等知識,解題的關(guān)鍵是勾股定
理逆定理的應(yīng)用,屬于中考??碱}型.
題目回)如圖,P是等邊三角形ABC內(nèi)一點,將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段AQ,連接,
若P4=3,PB=4,PC=5,則四邊形4PB。的面積為6+皇
o
【分析】連接PQ,如圖,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得ABAC=60°,AB=AC,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AP=AQ
=3,APAQ=60°,則可判斷AAPQ為等邊三角形,所以PQ=AP=3,接著證明4APC竺AABQ得到
PC=QB=5,然后利用勾股定理的逆定理證明4PBQ為直角三角形,再根據(jù)三角形面積公式,利用S四邊形
APBQ~SgPQ+S4ApQ進行計算.
【解答】解:連接PQ,如圖,
△ABC為等邊三角形,
ABAC^6Q°,AB^AC,
?:線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ,
AP=AQ=3,/LPAQ=60°,
AAAPQ為等邊三角形,
PQ=AP=3,
?/ACAP+ABAP=60°,ABAP+ABAQ=60°,
ACAP=/R4Q,且AC=4B,4P=AQ
△APCnAABQ(SAS),
:.PC=QB=5,
在4BPQ中,:PB2=42=16,PQ2=32=9,BQ2=52=25,
:.PB2+PQ2=BQ2,
.?.△PBQ為直角三角形,ZBPQ=90°,
S四邊形APBQ=S^BPQ+S^APQ-/BPXPQ+xPQ~=6+
故答案為:6+當(dāng)③
4
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì),勾股定理以及逆定理,證明△4PQ為等邊三角形是本
題的關(guān)鍵.
題目n)如圖,點P為等邊△力BC內(nèi)一點,若PC=3,PB=4,PA=5,則/BFC的度數(shù)是150°.
【分析】將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△4BD,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BD=PB=4,AD=PC=3,
ZBPC=AADB,判斷出/\BDP是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得PD=PB,4BDP=60°,利用
勾股定理逆定理判斷出AADP是直角三角形,ZADP=90°,然后求出ZADB,即可得解.
【解答】解:如圖,將△BPC繞點3逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABD,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得,BD=PB=4,AD=PC=3,4BPC=NADB,
所以,ABDP是等邊三角形,A
所以,PD=PB=4,/BOP=60°,
AD2+DP2^32+42=25,PA2=52=25,D//1\
.-.Alf+DP^P^,訃、、\\
A/\ADP是直角三角形,NADP=90°,y\
ZADB=600+90°=150°,0》
ZBPC=150°.
故答案為:150°.
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),勾股定理逆定理,等邊三角形的判定與性質(zhì),利用旋轉(zhuǎn)作輔助線構(gòu)造出直
角三角形和等邊三角形是解題的關(guān)鍵.
題目叵如圖,P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點,且P4=3,PB=4,PC=5,以BC為邊在△ABC外作
△BQC法△BP4,連接PQ,則以下結(jié)論中正確有①②③(填序號)
①4BPQ是等邊三角形②APCQ是直角三角形③/APB=150°④ZAPC=120°
O
【分析】①根據(jù)△ABC是等邊三角形,得出/48。=60°,根據(jù)43曜。篤八5。4,得出ACBQ=AABP,PB
=QB=4:,PA=QC=3,/BPA=/BQC,求出/PBQ=60°,即可判斷①;
②根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷得出②;
③根據(jù)ABPQ是等邊三角形,APCQ是直角三角形即可判斷;
④求出AAPC=150°—/QPC,和PC中2QC,可得2QPC手30°,即可判斷④.
【解答】解:①?.?△ABC是等邊三角形,
/ABC=60°,
MBQCWABPA,
:.ACBQ=NABP,PB=QB=4,
PA=QC=3,NBPA=ABQC,
:.APBQ=APBC+ACBQ=APBC+AABP=ZABC=60°,
.?.△BPQ是等邊三角形,
所以①正確;
②PQ=PB=4,
PQ2+QC2=42+32=25,
p°2=52=25,
:.PQ2+QC2^PC2,
:.ZFQC=90°,
.?.△PCQ是直角三角形,
所以②正確;
③???△BPQ是等邊三角形,
NPQB=NBPQ=60°,
:.NAPB=4BQC=ABQP+APQC=60°+90°=150°,
所以③正確;
④/APC=360°-150°-60°—/QPC=150°-ZQPC,
VZPQC=90°,PC豐2QC,
:.ZQPC^30°,
AAAPC^120°.
所以④錯誤.
所以正確的有①②③.
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理,解決本題的關(guān)鍵是綜合應(yīng)用以上
知識.
三.解答題(共14小題)
題目叵如圖,己點P是&ABC的重心(三邊中線的交點),且P4=3,PB=4,PC=5,求S".
【分析】延長P。'到P'使CP'=P。',連4P',易知&ACP空△BC'P,得出AP'=,進而得出AAPP,
是直角三角形,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得人。=0.5。9=2.5,從而得出4248是直角三角形,然后根
據(jù)三角形的面積公式計算即可.
【解答】解:如圖,延長PC到P'使OP=PO,連AP',
:AC=BC,ZAC'P'=ABC'P,CP'=PC,
△ACP當(dāng)LBCP,
則在△PAP中:PP=CP=5,AP=PB=4,而AP=3,
:.AP,2+AP2=PP'2,
:.△APP,是直角三角形,
:.PA±AP',
:.AC'=0.5PP'=2.5,
:.AB=5,
??.△PAB是直角三角形,
??.AP_LBP,
/.S"AB=0.5x3x4=6,
SABC=3s3力石=18.
【點評】本題主要考查了三角形的重心以及三角形的面積,正確作出輔助線,熟練掌握全等三角形的判定與
性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.
題目回如圖,點P是等邊△48。外一點,PA=3,PB=4,PC=5
(1)將△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△舄AG,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形;
(2)在(1)的圖形中,求乙4PB的度數(shù).
【分析】⑴將4Ape繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得至IAnAC,如圖所示.
(2)只要證明△APR是等邊三角形,由PB2+PR2=RB2,推出/HPB=90°,即可解決問題.
【解答】解:⑴將△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BAG,如圖所示,
(2)V△ARG是由△APC旋轉(zhuǎn)所得,
A4HG篤△APC,
ARG=PC=5,AP=AR=3,60°,
A是等邊三角形,
APP=AP=3,/APR=60°,
?:PB=4,RB=5,PR=3,
:.PP+PP:=PB,
:./HPB=90°
ANAPB=NBPP—APP產(chǎn)30°.
【點評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識,解題
的關(guān)鍵是學(xué)會利用旋轉(zhuǎn)變換添加輔助線,構(gòu)造全等三角形,學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題,屬于中考常考題
型.
題目五)如圖,P是正三角形48。內(nèi)的一點,且P4=6,PB=8,PC=10.若將△P4C繞點A逆時針旋
轉(zhuǎn)后,得到饃/次
(1)求點P與點P之間的距離;
(2)求乙4PB的度數(shù).
【分析】(1)由已知APAC繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)后,得到AP'AB,可得APACZVAB,尸A=,旋轉(zhuǎn)角
/PAP=ABAC=60°,所以AAPP'為等邊三角形,即可求得PP;
19
⑵由/\APP,為等邊三角形,得/APP=60°,在△PP'B中,已知三邊,用勾股定理逆定理證出直角三角
形,得出/P,PB=90°,可求乙4PB的度數(shù).
【解答】解:(1)連接PP,由題意可知BP=PC=10,AP'=AP,
/PAC=AP'AB,而ZPAC+乙BAP=60°,
所以/PAP'=60度.故△APP為等邊三角形,
所以PP'=AP=AP'=6;
(2)利用勾股定理的逆定理可知:
PP@+BP2=BP'2,所以△BPP為直角三角形,且NBPP,=90°
可求NAPB=90°+60°=150°.
【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)變化前后,對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等,圖形的大小、形狀都不改變.
題目口可數(shù)學(xué)探究課上老師處這樣一道題:“如圖,等邊△ABC中有一點P,且P4=3,PB=4,PC=5,試
求乙4PB的度數(shù).”小明和小軍探討時發(fā)現(xiàn)了一種求度數(shù)的方法,下面是這種方法的一部分思路,
請按照下列思路要求畫圖或判斷
(1)在圖中畫出△APC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°后的AAPB
(2)試判斷△/1打?的形狀,并說明理由;
(3)試判斷的形狀,并說明理由;
(4)由(2)、(3)兩問可知:NAPB=150°.
【分析】(1)利用旋轉(zhuǎn)的定義畫出△ABB;
(2)連接PPi,如圖,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AP,=AP,/P4P產(chǎn)60°,則利用等邊三角形的判定方法可判斷
△ARP為等邊三角形;
(3)先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得期=PC=5,再利用為等邊三角形得到AP=3,然后根據(jù)勾股定
理的逆定理可證明
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