中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：三線奔馳模型（類費馬點模型）含答案及解析

中考復(fù)習(xí)三線奔馳模型（類費馬點模型）試題精選

選擇題（共5小題）

題目［］如圖，等邊△ABC中有一點P,且PA=3,PB=4,PC=5,則/APB的度數(shù)的為（）

C.120°D.1651

題目如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，且PA=3,PB=4,PC=5,以為邊在ZVlB。外作

△BQC第△BP4,連接PQ,則以下結(jié)論錯誤的是（）

A.AerQ是等邊三角形B.APQQ是直角三角形

C./APB=150°D.ZAFC=135°

題目叵|如圖，點。是等邊△AB。內(nèi)一點，AD=3,BD=3,8=，△人CE是由△ABD繞點A逆時

針旋轉(zhuǎn)得到的，則ZADC的度數(shù)是（）

C.105°D.55°

題目如圖，點P是等邊△ABC內(nèi)一點，且P4=3,PB=4,PC=5,若將△APB繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)

60°后得到△CQB,則/APB的度數(shù)為（）

1

C.135°D.120°

題目可如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，且P4=3,PB=4,PC=5,將△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)

60°到△CBQ位置.連接PQ,則以下結(jié)論錯誤的是（）

A.ZQFB=60°B.APQC=90°C.ZAPS=150°D.AAPC=135°

二.填空題（共7小題）

題目⑹已知，P為等邊三角形ABC內(nèi)一點，PA=3,PB=4,PC=5,則S△.=.

題目可點P是等邊三角形ABC內(nèi)部一點，PA=3,=4,PC=5,則三角形ACP的面積是.

題目回如圖，點P是等邊△4BC內(nèi)的一點，P4=6,PB=8,PC=10.若點P是△ABC外的一點，且

△P4B空△PAC,則乙4PB的度數(shù)為.

題目可如圖，點P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，且PA=3,PB=4,PC=5,若將ZVlPB繞著點B逆時針旋

轉(zhuǎn)后得到△CQB,則ZAPB的度數(shù)

2

B

題目正〔如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段AQ,連接BQ,

若P4=3,=4,PC=5,則四邊形APBQ的面積為

題目11汝口圖，點P為等邊△48。內(nèi)一點，若PC=3,PB=4,PA=5,則/BPC的度數(shù)是

題目12如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，且P4=3,PR=4,PC=5,以B。為邊在△AB。外作

△BQCaABPA,連接PQ,則以下結(jié)論中正確有（填序號）

①△BPQ是等邊三角形②是直角三角形③ZAPB=150°④/APO=120°

題目叵I如圖，已點P是△ABO的重心（三邊中線的交點），且P4=3,PB=4,PC=5,求S^.

A

題目兀如圖，點P是等邊△ABC外一點，PA=3,PB=4,PC=5

（1）將△APC繞點力逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△HAG,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形;

（2）在（1）的圖形中，求/APB的度數(shù).

題目正］如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點，且P4=6,PB=8,PC=10.若將△P4C繞點A逆時針旋

轉(zhuǎn)后，得到中/氏

（1）求點P與點P之間的距離；

（2）求/APB的度數(shù).

題目,數(shù)學(xué)探究課上老師處這樣一道題:“如圖，等邊AABC中有一點P,且P4=3,PB=4,PC=5,試

求AAPB的度數(shù).”小明和小軍探討時發(fā)現(xiàn)了一種求/APR度數(shù)的方法，下面是這種方法的一部分思路，

請按照下列思路要求畫圖或判斷

（1）在圖中畫出△4PC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°后的△ARB；

（2）試判斷AAPF的形狀，并說明理由；

（3）試判斷△mP的形狀，并說明理由；

（4）由（2）、⑶兩問可知：乙4PB=.

題目五〕（原題初探）（1）小明在數(shù)學(xué)作業(yè)本中看到有這樣一道作業(yè)題:如圖1,P是正方形ABCD內(nèi)一點，連

結(jié)PA,PB,PC現(xiàn)將APAB繞點、B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的△PCB,連接PP'.若PA=衣，PB=3,

/4PB=135°,則PC的長為，正方形ABCD的邊長為.

（變式猜想）（2）如圖2,若點P是等邊AABC內(nèi)的一點，且P4=3,PB=4,PC=5,請猜想NAPB的度

數(shù),并說明理由.

（拓展應(yīng)用）（3）聰明的小明經(jīng)過上述兩小題的訓(xùn)練后，善于反思的他又提出了如下的問題：

如圖3,在四邊形ABOD中，AD=3,CD=2,乙4BC=乙4cB=乙4。。=45°,則BD的長度為.

頻目［18J問題:如圖1,在等邊△4BC內(nèi)部有一點P,已知P4=3,=4,PC=5,求ZAPB的度數(shù)？

（1）請寫出常見四組勾股數(shù):、、、.

（2）解決方法：通過觀察發(fā)現(xiàn)PA,PB,PC的長度符合勾股數(shù)，但由于P4,,PC不在一個三角形中，想

法將這些條件集中在一個三角形，于是可將△ABP繞A逆時針旋轉(zhuǎn)60°到△APC,此時△ABP空

△力CP,這樣利用等邊三角形和全等三角形知識，便可求出NAPB=.請寫出解題過程.

（3）應(yīng)用:請你利用（2）題的思路，解答下面的問題：

如圖2,在△4BC中，/C4B=90°,4B=AC,E,F為BC的點，且45°,若跳;=小，請

求出線段EF的長度（用m、n的代數(shù)式表示）.

圖1圖2

題目□□下面是一道例題及其解答過程，請補充完整.

（1）如圖1,在等邊三角形ABC內(nèi)部有一點P,PA=3,PB=4,PC=5,求NAPB的度數(shù).

解:將△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△力,連接PP',則△APP為等邊三角形.

；PP'=PA=3,PB=4,P'B=PC=5,

：.P'P2+PB2=P'B2.

：.^BPP'為三角形.

/.NAPB的度數(shù)為.

（2）類比延伸

如圖2，在正方形ABCD內(nèi)部有一點P,若AAPD=135°,試判斷線段P4、PB、PD之間的數(shù)量關(guān)系，并說

明理由.

題目①⑴如圖1,點P是等邊△48。內(nèi)一點，已知24=3,93=4,。。=5,求/4?汨的度數(shù).

分析:要直接求乙4PB的度數(shù)顯然很困難,注意到條件中的三邊長恰好是一組勾股數(shù)，因此考慮借助旋轉(zhuǎn)

把這三邊集中到一個三角形內(nèi).

解:如圖2,作ZPAD=60°使AD=AP,連接PD,CD,則AF4D是等邊三角形.

=AD=AP=3,NADP=ZPAD=60°

???△ABC是等邊三角形

AC=AB,ABAC=60°/LBAP=

△ABPT4ACD

：.BP=CD=4,=AADC

?：在APCD中，PD=3,PC=5,CD=4,PD2+CD2^PC2

：.2PDC=°

ZAPS=/ADC=AADP+乙PDC=60°+90°=150°

(2)如圖3,在△ABC中，AB=BC,2ABC=90°,點P是△ABC內(nèi)一點，PA=1,PB=2,PC=3,求

/APB的度數(shù).

(3)拓展應(yīng)用.如圖⑷，△ABC中，AABC=30°,AB=4,BC=5,P是4ABC內(nèi)部的任意一點,連接

PA,PB,PC,則PA+PB+PC的最小值為.

題目121](1)如圖1,點P是等邊△48。內(nèi)一點，已知P4=3,PB=4,PC=5,求/4PB的度數(shù).

要直接求乙4的度數(shù)顯然很困難，注意到條件中的三邊長恰好是一組勾股數(shù),因此考慮借助旋轉(zhuǎn)把這三邊

集中到一個三角形內(nèi)，如圖2,作/PAD=60°使AD=AP,連接PD,CD,則△PAD是等邊三角形.

=AD=A?=3,AADP=NPAD=60°

是等邊三角形

AC^AB,/BAG=60°

2BAP=

：.AABP^AACD

：.BP=CD=4,=AADC

在△PCD中，PD=3,PC=5,CD=4,Pn2+CL>2=PC2

：.NPDC=°

6

ZAPS=2ADC=4ADP+4PDC=60°+90°=150°

（2）如圖3,在△ABC中，4B=BC,90°,點P是△ABC內(nèi)一點，PA=1,PB=2,PC=3,求

/APB的度數(shù).

圖1圖2圖3

［題目|22〕【方法呈現(xiàn)】：

（1）已知，點P是正方形內(nèi)的一點，連PA、PB、PC.將△PAB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到△PCB的

位置（如圖1）,設(shè)的長為a,PB的長為6（6<a）,求4PAB旋轉(zhuǎn)至U△PCB的過程中邊P4所掃過區(qū)域

（圖1中陰影部分）的面積；

【實際運用】：

（2）如圖2,點P是等腰放△ABC內(nèi)一點，AB=BC,連接PA,PB,PC.若PA=2,=4,PC=6,求

/4PB的大??；

【拓展延伸】：

（3）如圖3,點P是等邊△48。內(nèi)一點，PA=3,PB=4,PC=5,則△APC的面積是（直接填答案）

［題目〔23〕閱讀下面材料：

小偉遇到這樣一個問題:如圖1,在正三角形ABC內(nèi)有一點P,且PA=3,=4,PC=5,求NAPB的度

數(shù)；

小偉是這樣思考的：如圖2,利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識構(gòu)造△AP，。,連接PP',得到兩個特殊的三角形,從而

將問題解決.

（1）請你回答:圖1中ZAPB的度數(shù)等于.（直接寫答案）

參考小偉同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：

如圖3,在正方形ABCD內(nèi)有一點P,且PA=22,PB=1,PD=JT7.

（2）求乙4PB的度數(shù)；

（3）求正方形的邊長.

If亙）（1）在一次數(shù)學(xué)探究活動中，陳老師給出了一道題.

如圖1,已知△ABC中，NACB=90°,AC=BC,P是△ABC內(nèi)的一點，且PA=3,=1,PC=2,求

/BPC的度數(shù).

小強在解決此題時，是將△APC繞C旋轉(zhuǎn)到4CBE的位置（即過。作CE，CP,且使CE=CP,連接

EP、EB）.你知道小強是怎么解決的嗎？

（2）請根據(jù)⑴的思想解決以下問題：

如圖2所示，設(shè)P是等邊△ABC內(nèi)一點，？4=3,_?3=4,_?。=5,求乙4「8的度數(shù).

題目,閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個問題:如圖1,在等邊三角形ABC內(nèi)有一點P,且24=3,9=4,。。=5,求AAPB度

數(shù).

小明發(fā)現(xiàn),利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識構(gòu)造△APC,連接PP,得到兩個特殊的三角形，從而將問題解決（如圖

2）.

請回答:圖1中AAPB的度數(shù)等于，圖2中/PPC的度數(shù)等于.

參考小明思考問題的方法，解決問題：

如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A坐標(biāo)為（-V3,1）,連接AO.如果點B是,軸上的一動點，以AB

為邊作等邊三角形ABC.當(dāng)。（①歷在第一象限內(nèi)時,求9與c之間的函數(shù)表達式.

圖1

三線奔馳模型（類費馬點模型）試題精選

參考答案與試題解析

一.選擇題（共5小題）

建目工如圖，等邊△ABC中有一點P,且PA=3,PB=4,PC=5,則乙4PB的度數(shù)的為（）

A.150°B.135°C.120°D.165,

【分析】將/\BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得&BEA，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE=BP=4,AE=PC=5,

NPBE=60°,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到PE=PB=4,ABPE=60°,根據(jù)勾股定理的逆定理可得到

△APE為直角三角形，且NAPE=90°,即可得到AAPB的度數(shù).

【解答】解：???△ABC為等邊三角形，

:.BA=BC,

可將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得4BEA,

連EP,如圖，

:.BE=BP=4,AB=PC=5,NPBE=60°,

為等邊三角形，

:.PE=PB=4,/BPE=60°,

在△AEF中，AB=5,AP=3,PE=4,

：.AE2^PE2+P^,

：./XAPE為直角三角形，且/4PE=90°,

NAPB=900+60°=150°.

故選：A.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理，求得/APE=90°是解題的

關(guān)鍵.

題目如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，且。人=3,93=4,_?。=5,以3。為邊在4人8。外作

△BQC空△BPA,連接PQ,則以下結(jié)論錯誤的是（）

?M

A.△印心是等邊三角形B.aPGQ是直角三角形

C./APB=150°D./APC=135°

【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出/ABC=60°,根據(jù)全等得出NBPA=NBQC,BP=BQ=4,QC^PA

=3,/ABP=/QBC,求出/PBQ=60°,即可判斷A,根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷B;求出4BQP=

60°,/PQC=90°,即可判斷C,求出乙4PC+/QPC=150°和PQKQC即可判斷O.

【解答】解：???△ABC是等邊三角形，

AZABC=60°,

MBQC"BPA,

：.NBPA=NBQC,BP=BQ=4,QC=PA=3,ZABP=NQBC,

：.NPBQ=2PBe+ACBQ=ZPBC+AABP=ZABC=60°,

.?.△BPQ是等邊三角形，

PQ=BP=4,

?：PQ2+QC2=42+32=25,PC2=52=25,

APQ2+QC2^PC2,

：.APQC=90°,即APQC是直角三角形，

???△BPQ是等邊三角形，

A/BOQ=/BQP=60°,

ANBPA=4BQC=60°+90°=150°,

：./APC=360°-150°-60°—/QPC=150°-AQPC,

■：/PQC=90°,PQWQC,

AZQPC^45°,

即乙4PCW135°,

A選項A、B、。正確,選項D錯誤.

故選：D.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用定理進行

推理的能力.

［題目■如圖，點。是等邊△ABC內(nèi)一點，AD=3,BD=3,CD=3，，/VICE是由LABD繞點A逆時針

旋轉(zhuǎn)得到的，則/AOC的度數(shù)是（）

10

A

A.40°B.45°C.105°D.55°

（分析】連接AE,由旋轉(zhuǎn)可知，4ACE咨AABD;由此可得"DE是等邊三角形，△CDE是等腰直角三角

形，由此ZADE^60°,=45°,得4ADC=105°.

【解答】解:連接DE,

由旋轉(zhuǎn)可知，△力CE篤/\ABD,

/.AE=AD=3,CE=BD=3,CD=3V2

/BAD=/CAE,

?：A4BC是等邊三角形，

/BAG=60°,

ZBAD+ADAC=6Q°,

：.ZCAE+ADAC=60°,即NDAE=60°,

.?.△D4E是等邊三角形，

DE—AD—3,

32+32=（3V2）2,

：.DE2+CE2=CD2,

：.△DEC是直角三角形，且2DEC=90°,

DE=CE,ZEDC=45°,

ANADC=ZADE+ZCDE=105°,

故選：C.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練運用這些性質(zhì)進行推

理是本題的關(guān)鍵.

題目［魚I如圖，點P是等邊△AB。內(nèi)一點，且P4=3,PB=4,PC=5,若將△APB繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)

60°后得到△CQB,則/APB的度數(shù)為（）

A.150°B.145°C.135°D.120°

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得=ZFBQ=60°,2APB=/BQC,=QC=3,可證△BPQ是等邊

三角形，可得BP=BQ=PQ=4,Z.BQP=60°,由勾股定理的逆定理可求/PQC=90°,即可求解.

【解答】解:如圖，連接PQ,

-.?將AAPB繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°后得到ACQB,

AABP^ACBQ,

：.BP=BQ,NPBQ=60°,ZAPS=NBQC,AP=QC=3,

.?.△BPQ是等邊三角形，

:.BP=BQ=PQ=4,ZBQP=60°,

?/PC?=25,PQ2+QC2^9+16=25,

：.PQ2+QC2^PC2,

/PQC=90°,

ZBQC*=150°,

ZAPS=150°,

故選：A.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，靈活運用這些

性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵.

目可如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，且9=3,9=4,。。=5,將/\ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)

60。到△CBQ位置.連接PQ,則以下結(jié)論錯誤的是（）

A.ZQPB=60°B.ZFQC=90°C.ZAPS=150°D.ZAPC=135°

【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)以及勾股定理的逆定理，即可判斷B;依據(jù)&BPQ是等邊三角形，即可得到

ZQPB=APBQ=NBQP=60",進而得出ABPA=ABQC=60°+90°=150°,求出AQPC=15°即可判

斷。選項.

【解答】解：???△ABC是等邊三角形，

ZABC=60°,

-.?將△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°到△CBQ位置，

:△BQCW4BPA,

：.NBPA=NBQC,BP=BQ=4,QC=PA=3,NABP=NQBC,

：.NPBQ=4PBe+ACBQ=ZPBC+NABP=NABC=60°,

.?.△BPQ是等邊三角形，

:.PQ=BP=4,

?1-PQ2+QC'2^42+32=25,PC?=52=25,

APQ2+QC2^PC2,

：.APQC=90°,即APQC是直角三角形，故B正確，

???△BPQ是等邊三角形，

AQPB=APBQ=ZBQP=60°,故A正確，

AABPA=ABQC=60°+90°=150°，故。正確,

若/APC=135°,貝比NQPC=360°-135°-150°-60°=15°,與PA=3,PB=4,PC=5不符，故選項D錯

、口

7天.

故選：D.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用定理進行

推理的能力.

二.填空題(共7小題)

題目回已知，P為等邊三角形4BC內(nèi)一點，PA=3,PB=4,PC=5,則25V^+36.

【分析】將4BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得&BEA,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE=BP=4,AE=PC=5,

NPBE=60°,則△BPE為等邊三角形，得到PE=PB=4,/BPE=60°,在△AEP中，AB=5,延長BP,

作AF_LBP于點F,根據(jù)勾股定理的逆定理可得到AAPE為直角三角形，且/APE=90°,即可得到

AAPB的度數(shù),在RtAAPF中利用三角函數(shù)求得AF和PF的長，則在RtdABF中利用勾股定理求得AB

的長，進而求得三角形ABC的面積.

【解答】解：?.?△ABC為等邊三角形，

:.BA=BC,

可將&BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得4BEA,

連EP,且延長BP,作于點F.如圖，4

:.BE=BP=4,AE=PC=5,NPBE=60°,

.?.△BPE為等邊三角形，E三二一//X

PE=PB=4,NBPE=60°,\//p\\

在△AEP中，AE=5,AP=3,PE=4,\//

AE'2=PE2+P^,'飛〃

BC

/\APE為直角三角形，且/4PE=90°,

/APB=900+60°=150°.

ZAFF=30°,

：.在直角/XAPF中，AF=^-AP=-1,PF=興AP=

在直角AABF中，AB2=BF2+AF2=(4+學(xué)野+(-1)2=25+1273.

AABC的面積=乎AB?：亨(25+12V3)=25q+36；

故答案為：25已+36.

4

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)

角，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的逆定理.

題目曰點P是等邊三角形ABC內(nèi)部一點，PA=3,PB=4,PC=5,則三角形ACP的面積是

竽+3.

【分析】作出圖形，把AABP繞點人逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD=PA,CD=

PB,然后判斷出是等邊三角形，利用勾股定理逆定理判斷出△PCD是直角三角形，然后求出

乙4。。=150°并求出四邊形APCD的面積，過點。作CE_LAD交AD的延長線于E,求出/CDE=30°,

根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得CE=再求出4ACD的面積，然后求解即

可.

【解答】解:如圖，把/XABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得至U/XACD,

則AD=P4=3,CD=PB=4,

：.△APD是等邊三角形，

：.PD^PA^3,

?：PD2+CD2=32+42=25,

p02=52=25,

：.PD2+CD2^PC2,

由勾股定理逆定理得，AFCD是直角三角形,

乙4。。=150°,

S四邊形APCE>=S/\AP￡>+SAPC?=—x3x(3x+7X3x4=9^^+6,

過點。作_L交入。的延長線于E,

貝IZCDE=180°-ZADC=180°-150°=30°,

.-.CE=yCD=yX4=2,

S"CD=—AD'CE=—x3x2=3,

.Q一C—Q一IZ?_O-IQ

??QixACp-Q四邊舷AP。。-QAA。。一ro—0一—-rd.

故答案為：@￡+3.

4

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理逆定理的應(yīng)用，利用旋轉(zhuǎn)作輔助線構(gòu)

造成等邊三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵，難點在于考慮到并求出點。到AD的距離.

題目回如圖，點P是等邊△48。內(nèi)的一點，R4=6,PB=8,PC=10.若點P是△ABC外的一點，且

△P4B空力。，則乙4PB的度數(shù)為150°.

【分析】連接PP,由△PAC空^P,AB可知：PA=P'A,NP，AB=ZPAC,然后依據(jù)等式的性質(zhì)可得到

AP'AP=ABAC=60°,從而可得到△APP，為等邊三角形，得/4PP=60°,在/\PP'B中，用勾股定理逆

定理證出直角三角形，得出/PPB=90°,可求/4PB的度數(shù).B

【解答】解:連接PP,

由旋轉(zhuǎn)可知，△PACW/^P'AB,/八\

PA=P'A,AP'AB=APAC,P<]]\

ZP'AP=ABAC=60°,\

/./\APPf為等邊三角形,-?-----?-?

.?.PP=AP=AP=6;

,:PP%BP2=BP*,

：./\BPP'為直角三角形，且乙BRP'=90°,

AAPB=90°+60°=150°.

故答案為：150°.

【點評】本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定、勾股定理的逆定理的應(yīng)用，證得△APP

為等邊三角形、△BPP為直角三角形是解題的關(guān)鍵.

題目⑸如圖，點P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，且PA=3,PB=4,PC=5,若將△APB繞著點B逆時針旋

【分析】首先證明他PQ為等邊三角形，得NBQP=60°,由△ABP篤CBQ可得QC=R4,在4PQC中，已

知三邊，用勾股定理逆定理證出得出ZPQC=90°,可求/BQC的度數(shù),由此即可解決問題.

【解答】解:連接PQ,由題意可知&ABP篤ACBQ

則QB=PB=4,PA=QC=3,4ABP=NCBQ,

?：△ABC是等邊三角形，

AABC=NABP+APBC=60°,&

AAPBQ=ZCSQ+APBC=60°,

A4BPQ為等邊三角形，//

；.PQ=PB=BQ=4,//一\￥

又PQ=4,PC=5,QC=3,/\

：.PQ2+QC2=PC2,^\\\

Z.PQC—90°,----------------------—―

???△BPQ為等邊三角形，

ZBQP=60°,

ZBQC=ZBQP+ZPQC=150°

/APB=2BQC=150°

【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的逆定理等知識，解題的關(guān)鍵是勾股定

理逆定理的應(yīng)用，屬于中考?？碱}型.

題目回）如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段AQ,連接,

若P4=3,PB=4,PC=5,則四邊形4PB。的面積為6+皇

o

【分析】連接PQ,如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得ABAC=60°,AB=AC,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AP=AQ

=3,APAQ=60°,則可判斷AAPQ為等邊三角形，所以PQ=AP=3,接著證明4APC竺AABQ得到

PC=QB=5,然后利用勾股定理的逆定理證明4PBQ為直角三角形，再根據(jù)三角形面積公式，利用S四邊形

APBQ~SgPQ+S4ApQ進行計算.

【解答】解:連接PQ,如圖，

△ABC為等邊三角形，

ABAC^6Q°,AB^AC,

?：線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ,

AP=AQ=3,/LPAQ=60°,

AAAPQ為等邊三角形，

PQ=AP=3,

?/ACAP+ABAP=60°,ABAP+ABAQ=60°,

ACAP=/R4Q,且AC=4B,4P=AQ

△APCnAABQ(SAS),

：.PC=QB=5,

在4BPQ中，：PB2=42=16,PQ2=32=9,BQ2=52=25,

：.PB2+PQ2=BQ2,

.?.△PBQ為直角三角形，ZBPQ=90°,

S四邊形APBQ=S^BPQ+S^APQ-/BPXPQ+xPQ~=6+

故答案為：6+當(dāng)③

4

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理以及逆定理，證明△4PQ為等邊三角形是本

題的關(guān)鍵.

題目n)如圖，點P為等邊△力BC內(nèi)一點，若PC=3,PB=4,PA=5,則/BFC的度數(shù)是150°.

【分析】將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△4BD,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BD=PB=4,AD=PC=3,

ZBPC=AADB，判斷出/\BDP是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得PD=PB,4BDP=60°,利用

勾股定理逆定理判斷出AADP是直角三角形，ZADP=90°,然后求出ZADB,即可得解.

【解答】解:如圖，將△BPC繞點3逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABD,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BD=PB=4,AD=PC=3,4BPC=NADB,

所以，ABDP是等邊三角形，A

所以，PD=PB=4,/BOP=60°,

AD2+DP2^32+42=25,PA2=52=25,D//1\

.-.Alf+DP^P^,訃、、\\

A/\ADP是直角三角形，NADP=90°,y\

ZADB=600+90°=150°,0》

ZBPC=150°.

故答案為：150°.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理逆定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)作輔助線構(gòu)造出直

角三角形和等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

題目叵如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，且P4=3,PB=4,PC=5,以BC為邊在△ABC外作

△BQC法△BP4,連接PQ,則以下結(jié)論中正確有①②③（填序號）

①4BPQ是等邊三角形②APCQ是直角三角形③/APB=150°④ZAPC=120°

O

【分析】①根據(jù)△ABC是等邊三角形，得出/48。=60°,根據(jù)43曜。篤八5。4,得出ACBQ=AABP,PB

=QB=4：,PA=QC=3,/BPA=/BQC,求出/PBQ=60°,即可判斷①；

②根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷得出②；

③根據(jù)ABPQ是等邊三角形,APCQ是直角三角形即可判斷；

④求出AAPC=150°—/QPC,和PC中2QC,可得2QPC手30°,即可判斷④.

【解答】解:①?.?△ABC是等邊三角形，

/ABC=60°,

MBQCWABPA,

：.ACBQ=NABP,PB=QB=4,

PA=QC=3,NBPA=ABQC,

：.APBQ=APBC+ACBQ=APBC+AABP=ZABC=60°,

.?.△BPQ是等邊三角形，

所以①正確；

②PQ=PB=4,

PQ2+QC2=42+32=25,

p°2=52=25,

：.PQ2+QC2^PC2,

：.ZFQC=90°,

.?.△PCQ是直角三角形，

所以②正確；

③???△BPQ是等邊三角形，

NPQB=NBPQ=60°,

：.NAPB=4BQC=ABQP+APQC=60°+90°=150°,

所以③正確；

④/APC=360°-150°-60°—/QPC=150°-ZQPC,

VZPQC=90°,PC豐2QC,

：.ZQPC^30°,

AAAPC^120°.

所以④錯誤.

所以正確的有①②③.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理，解決本題的關(guān)鍵是綜合應(yīng)用以上

知識.

三.解答題（共14小題）

題目叵如圖，己點P是&ABC的重心（三邊中線的交點），且P4=3,PB=4,PC=5，求S".

【分析】延長P。'到P'使CP'=P。'，連4P',易知&ACP空△BC'P,得出AP'=,進而得出AAPP，

是直角三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得人。=0.5。9=2.5,從而得出4248是直角三角形，然后根

據(jù)三角形的面積公式計算即可.

【解答】解:如圖，延長PC到P'使OP=PO,連AP',

:AC=BC,ZAC'P'=ABC'P,CP'=PC,

△ACP當(dāng)LBCP,

則在△PAP中：PP=CP=5,AP=PB=4,而AP=3,

：.AP,2+AP2=PP'2,

：.△APP，是直角三角形，

：.PA±AP',

：.AC'=0.5PP'=2.5,

：.AB=5,

??.△PAB是直角三角形，

??.AP_LBP,

/.S"AB=0.5x3x4=6,

SABC=3s3力石=18.

【點評】本題主要考查了三角形的重心以及三角形的面積，正確作出輔助線，熟練掌握全等三角形的判定與

性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

題目回如圖，點P是等邊△48。外一點，PA=3,PB=4,PC=5

（1）將△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△舄AG，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形;

（2）在（1）的圖形中，求乙4PB的度數(shù).

【分析】⑴將4Ape繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得至IAnAC,如圖所示.

（2）只要證明△APR是等邊三角形，由PB2+PR2=RB2,推出/HPB=90°,即可解決問題.

【解答】解：⑴將△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BAG,如圖所示，

（2）V△ARG是由△APC旋轉(zhuǎn)所得，

A4HG篤△APC,

ARG=PC=5,AP=AR=3,60°,

A是等邊三角形，

APP=AP=3,/APR=60°,

?:PB=4,RB=5,PR=3,

:.PP+PP：=PB,

：./HPB=90°

ANAPB=NBPP—APP產(chǎn)30°.

【點評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題

的關(guān)鍵是學(xué)會利用旋轉(zhuǎn)變換添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考常考題

型.

題目五）如圖，P是正三角形48。內(nèi)的一點，且P4=6,PB=8,PC=10.若將△P4C繞點A逆時針旋

轉(zhuǎn)后，得到饃/次

（1）求點P與點P之間的距離；

（2）求乙4PB的度數(shù).

【分析】（1）由已知APAC繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到AP'AB,可得APACZVAB，尸A=,旋轉(zhuǎn)角

/PAP=ABAC=60°,所以AAPP'為等邊三角形，即可求得PP；

19

⑵由/\APP，為等邊三角形，得/APP=60°,在△PP'B中,已知三邊,用勾股定理逆定理證出直角三角

形，得出/P，PB=90°,可求乙4PB的度數(shù).

【解答】解：（1）連接PP,由題意可知BP=PC=10,AP'=AP,

/PAC=AP'AB,而ZPAC+乙BAP=60°,

所以/PAP'=60度.故△APP為等邊三角形，

所以PP'=AP=AP'=6;

（2）利用勾股定理的逆定理可知：

PP@+BP2=BP'2，所以△BPP為直角三角形，且NBPP，=90°

可求NAPB=90°+60°=150°.

【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變.

題目口可數(shù)學(xué)探究課上老師處這樣一道題:“如圖，等邊△ABC中有一點P,且P4=3,PB=4,PC=5,試

求乙4PB的度數(shù).”小明和小軍探討時發(fā)現(xiàn)了一種求度數(shù)的方法，下面是這種方法的一部分思路，

請按照下列思路要求畫圖或判斷

（1）在圖中畫出△APC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°后的AAPB

（2）試判斷△/1打?的形狀，并說明理由；

（3）試判斷的形狀，并說明理由；

（4）由（2）、（3）兩問可知：NAPB=150°.

【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的定義畫出△ABB；

（2）連接PPi，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AP,=AP,/P4P產(chǎn)60°,則利用等邊三角形的判定方法可判斷

△ARP為等邊三角形；

（3）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得期=PC=5,再利用為等邊三角形得到AP=3,然后根據(jù)勾股定

理的逆定理可證明