充分必要條件的綜合考查-2025年北京高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習（解析版）

重難點02：充分必要條件的綜合考查

一、知識點梳理

L總方針

①定義法：若pnq,則p是q的充分條件（或q是p的必要條件）；若pnq,且q分p,則p是q的充分不必要

條件（或q是p的必要不充分條件）.

②集合法：利用集合間的包含關(guān)系.例如，命題p：xEA,命題q：xEB,若AUB,則p是q的充分條件

（q是p的必要條件）；若AIZIB,則p是q的充分不必要條件（q是p的必要不充分條件）；若人=13,則p是q

的充要條件.

2.充分必要條件涉及知識點1（平面向量）

①向量數(shù)量積的坐標表示

（1）已知兩個非零向量。=（%，乂），b=（x2,y2）,a-b=xtx2+y^2

（2）設(shè)Z=（尤,y）,則㈤2=[+,2或㈤=商+y2

（3）如果表示向量￡的有向線段的起點和終點的坐標分別為（占,%）、（x2,y2）,那么

Ici|=小&-x?）~+（M—%）?（平面內(nèi)兩點間的距蜀公式）.

②平面向量平行（共線）的坐標表示

設(shè)非零向量2=（占,必）,方=（%,%），則&//方=，即J%,或

[%=&必

玉％一%乂=°?

③三點共線的判斷方法

判斷三點是否共線，先求每兩點對應(yīng)的向量，然后再按兩向量共線進行判定，即已知

A（X1,B（X2,y2）,C（x；,y3）,AB=（x2-xlty2-yt）,AC=（x3-xt,y3-yt）,

若（%2—演）（%—y）—（冗3—%）（＞2—8）=°，則A，B,。二點共線.

④向量在幾何中的應(yīng)用

（1）證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行（共線）的充要條件

a/lba=Ab（bw0）o（項,%）=2（%2,^2）

（2）證明垂直問題，常用垂直的充要條件oa=0o玉%+%%=。

（3）求夾角問題，利用cosO=^^=,

⑷?聞不育.西不

（4）求線段的長度，可以利用同=笳或用耳卜-爐+（為FI

3.充分必要條件涉及知識點2（空間線面）

①要證線〃面，條件為3個，其中必有《線?面》

②要證線，面，條件為2個，其中必有《線〃線或面〃面》

③要證線〃線（面〃面），條件為2或3個，其中必有《兩個線，面》

④要證線，線（面，面），條件為2個，其中必有《，、〃（u）》

⑤要證線，線（面_L面），條件為3個，其中必有《卜心工、》

、線，面、〃〃

4.充分必要條件涉及知識點3（不等式）

①兩個同號實數(shù)相加，和的符號不變，符號語言：a>0,b>0na+b>0；a<0,b<0=>a+b<0

②兩個同號實數(shù)相乘，積是正數(shù)，符號語言：a>0,b>0^>ab>0；a<Q,b<Q^ab>0

③兩個異號實數(shù)相乘，積是負數(shù)，符號語言：a>0,b<0^ab<0

④任何實數(shù)的平方為非負數(shù)，0的平方為0,符號語言：XG/?^X2>0,%=0O%2=（）.

（1）對稱性：QVQ（2）傳遞性：b>cm>c（3）可力口性：Q>5OQ+C>5+C（C￡R）

c>0ac>be

（4）可乘性：a>b,vc=0=>〃c=Ac（5）可加法則：a>b,c>d^>a+c>b+d.

c<0^=>ac<be

(6)可乘法貝！J：a>b>0,c>d>0^a-c>b-d>0(7)可乘方性：a>b>b,neN*=a">bn>0

11

/c、2,廣，a+b,a?+/..a+b.2a-vb.?.~

(8)-——-<yjab<——<J——-——(Q>0/>0)或a。W(——)<——-——(a>0,Z?>0)

ab

5.充分必要條件涉及知識點4(數(shù)列)

(1)等差數(shù)列中，公差為d,則

①若W，P，9EN*,且m+〃二夕+4，則%i+%=〃p+4，特別地，當m+〃=2p時金+%=2羯.

②下標成公差為根的等差數(shù)列的項4,%+小a-小…組成的新數(shù)列仍為等差數(shù)列，公差為那?

2/14

③若數(shù)列也｝也為等差數(shù)列，則｛?！啊?｝，｛kan±b｝,（k,6為非零常數(shù)）也是等差數(shù)列.

（4）%+%+%,+。5+“6,。7+。8+。9，.............仍是等差列.

⑤數(shù)列｛%%+"（九6為非零常數(shù)）也是等差數(shù)列.

（2）設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q

①I若m,n,p,qeN,,.1.m+n=p+q,則4，4,=?4，特別地，當〃z+"=2p時耳,?%=a；.

②下標成等差數(shù)列且公差為機的項做，ak+m,q+2,“，…組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列，公比為小.

③若僅“｝,｛a｝是項數(shù)相同的等比數(shù)列，則｛〃,“｝、｛。9）、｛她｝（左是常數(shù)且左/0）、｛—｝>｛?。?〃eN+,

a?

，〃是常數(shù)）、｛““?/｝、｛%｝也是等比數(shù)列；

b?

④連續(xù)七項和（不為零）仍是等比數(shù)列.即%S2k-Sk,S3「邑&，…成等比數(shù)列.

6.充分必要條件涉及知識點5（直線與圓）

已知4:\x+與丫+C]=0,l2:+B2y+C2=0

6_L4oA4+B[B2=0

/"http://2oA與—4媯=o且AC2-4C產(chǎn)o或4C2-22C產(chǎn)o，記憶式（4L=竺力9）

4B2C2

4與6重合，462—44=0，4G—4ci=。，4G—32cl=。

7.充分必要條件涉及知識點6（常規(guī)不等式）

1.一元二次不等式

一元二次不等式+/?%+c>0（〃w0）,其中A=〃-4ac,x1,x2是方程+/?%+<?>Q（aw0）的兩個

根，且玉<々

（1）當〃>。時，二次函數(shù)圖象開口向上.（2）①若△>（）,解集為｛%|1>%2或^<%｝,

②若A=0,解集為且xw—（1.③若A<0,解集為H.

（2）當。<0時，二次函數(shù)圖象開口向下.①若A>0,解集為｛%|不<%<9｝②若AW。，解集為。

2、分式不等式

(1)^^〉O=/(x)?g(x)〉O(2)^^<0o/(x)?g(x)<0(3)之Oo</(x).^(x)>0

g(x)g(x)g(x)g(x)豐0

dooV(x)?g(x)W0

(4)

g(x)g(x)豐0

3、絕對值不等式

(1)|/(x)|>|g(x)|o"(x)]2>[g(x)/⑵|/(x)|>g(x)(g(x)>。)o/(x)>g(x)或f(x)<—g(x)；

|/U)|<g(x)(g(x)>0)o-g(x)</(x)<g(x);

8.充分必要條件涉及知識點7(三角函數(shù))

(1)平方關(guān)系：sin2?+cos2a=l.

(2)商數(shù)關(guān)系：si"=tana(a一生+一萬)；

COSCT2

(3)奇變偶不變，符號看象限，說明：(1)先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作九?二±a；(2)無論有多大，

2

一律視為銳角，判斷〃?工土a所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負；(3)當〃為奇數(shù)是，“奇

2

變”，正變余，余變正；當“為偶數(shù)時，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可

(4)兩角和與差的正余弦與正切

3n

①sin(a±6)=sinacos/3±cosasin/3；②cos(?±￡)=cosacos尸干sinasin力；③tan(a±/?)='"-'皿'

1+tanortan/3

(5)二倍角公式

①sin2a=2sincrcosa；②cos2a=cos2a-sin2a=2cos26r-l=l-2sin2a；③tan2a="皿：；

1-tana

/一、八為.1.入?21-cos2a21+cos2a

(6)降次(累)公式：sinacosa=—sm2a;sina=--------------;cosa-----------------;

222

二、題型精講精練

【題型訓(xùn)練-刷模擬】

1.已知向量M=(x+1,-1),b=(x,2),則()

A."％=-2”是“1/區(qū)”的充分條件B.“x=l”是“益1戶的充分條件

4/14

2

C.“x=-2”是“1/5”的必要條件D.“x=i”是“萬〃方”的必要條件

【答案】B

【分析】由向量平行和垂直的條件計算即可.

2

【詳解】若@//方，貝iJ2(x+l)+x=0,解得彳=一(；

若&，貝i]x(x+l)-2=0,解得尤=1或x=-2；

所以ACD錯誤，B正確.

故選：B.

2.已知P：x2-x<0,那么命題P的一個充分不必要條件是()

121

A.0<x<1B.—1<x<1C.—<x<—D.—<x<2

232

【答案】C

【分析】首先解不等式，一元<0,得到不等式的解，利用集合之間的關(guān)系判斷充分必要性，得到結(jié)果.

【詳解】??,x2-x<0,?"：0cx<1,運用集合的知識易知，

A中0<x<l是P的充要條件；

B中-1<尤<1是P的必要不充分條件；

C中:<x<《是°的充分必要條件條件；

D中g(shù)<尤<2是P的既不充分也不必要條件.

故選：C.

3.已知“，6都是實數(shù)，則?"是“a>"0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】通過舉反例可以證明充分性不成立，再利用重要不等式可以證明必要性

【詳解】取。=1,b=-l,止匕時匕曰=0,『+(T?二i，

滿足"2<歸運，止匕時。>6>0不成立;

2V2

當1>人>0時，因為々2+/>2曲,

所以2(/+燈>(0+6)2,

所以“2+”>("+“',所以FZE>1.+琦=a+b

24V2V42

綜上，“等<J巴丁”是>6>0”的必要不充分條件.

故選：B.

b

4.匕>0"是“a-b>ln-"的()

a

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分不必要的定義即可判斷.

b

【詳角軍】由。>人>。，得。一人>0,0<—<1,

a

bb

則In—<0,從而.

aa

b

取1=-1,〃=一2,滿足〃—b〉ln—,不滿足a>Z?>0.

a

b

故“。>b>0"是“。In—”的充分不必要條件.

a

故選：A.

5.設(shè)aeR,則“a=-1"是"直線L：x+y-2a=0與直線4：-2)x-y+2=0平行”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)直線平行求得a=-1,結(jié)合充分、必要條件分析判斷.

【詳解】因為貝也2)=lx(-l),解得q=±i,

若。=-1,則//x+y+2=0,4：x+y-2=0,兩直線平行，符合題意;

6/14

若。=1,則/[：x+y-2=0,/2：x+y-2=0,兩直線重合，不符合題意;

綜上所述：?〃冊等價于。=-1.

所以“a=-1”是“直線/1：尤+y-2a=0與直線4：(〃-2卜-y+2=0平行，，的充要條件.

故選：C.

6.“x>3”是，k-1>2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】求出絕對值不等式的解，由充分、必要條件概念得解.

【詳解】由忖-[>2,得x>3或x<-L,

故“x>3”是“|尤-1|>2”的充分不必要條件.

故選：A

7.已知實數(shù)則“此〉弧'是“c>0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.

【詳解】實數(shù)。>>，則a-6>0,

當即>歷時，ac-bc=c(a-b)>0,因止匕。>0,

當c>0時，而〃>人，則以>>￡?(?,

所以“歐Abe”是“c>0”的充要條件.

故選：C

8.已知a,beR,貝!l“a=6=0"是(：)"=(；)”成立的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合對數(shù)運算判斷即可.

【詳解】若a=6=0,則（；）"=1=（乎，

反之，取6=l,a=log4,（；）“=（；產(chǎn)”=:=《）〃，即§）“=《）〃成立，不能推出a=6=o,

所以"°=6=0”是（夕=（乎成立的充分不必要條件.

故選：A

TT

9.已知xeR,貝!|“5苗5+/）=1”是"5由尤=0''的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合誘導(dǎo)公式及同角公式判斷得解.

【詳解】由sin（x+,）=l,得cosx=l,而sin2%+cos2?x=l,貝"sin尤=0；

兀

當sinx=0時，由sin2%+cos2X=l,解得cosx=±l,則sinO+5）=±1,

JT

所以“sin（x+5）=1”是“sin%=0”的充分不必要條件.

故選：A

10.設(shè)xeR,則小一2|>3”是“爐一5工一6>0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】先解不等式，然后根據(jù)充分、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】因為|x-2]>3,所以彳-2<-3或彳-2>3,解得或x>5,

所以不等式|x-2]>3的解集為｛x|x<-l或x>5｝；

因為尤2—5x—6>0,所以（x-6）（x+l）>。，解得尤<—1或x>6,

所以不等式/一5彳一6>0的解集為口|》<-1或尤>6｝；

因為｛x|尤<一1或x>6｝是｛x|無<-1或x>5｝的真子集，

所以5-2|>3”是-5x-6>0”的必要不充分條件.

故選：B.

8/14

ii.若p：i<x<2,q：2x>i,則p是q的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

【答案】B

【分析】分析由P能否推出4，由4能否推出P,結(jié)合充分條件與必要條件的定義判斷結(jié)論.

【詳解】因為由xe{x[l<x<2}可推出xw{x|2x>l},

所以故P是4的充分條件，

由xe{x|2x>l}不能推出xe{x[l<x<2},

所以44P，。不是4的必要條件，

所以P是4的充分不必要條件.

故選:B.

12.是“工>4”的()

4m

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義研究條件的充分性和必要性.

111_L<_L=41

【詳解】若一>4,假設(shè)加則由m可知加一1一，矛盾，所以加<:，這表明條件是必要的;

m44-4

4

對加=-1,有〃7=-1<2，—=-7=-1^4,這表明條件不是充分的.

4w-1

11

所以“加〈丁'是“一>4”的必要不充分條件.

4m

故選：B.

13.對于任意實數(shù)。，b,>2.6”是的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】賦值法可知""+匕2>2a6"是"a?>戶”的不充分條件,由42>戶，所以從而可得a?+b2>2ab>

可得結(jié)論.

【詳解】當a=2,8=3時，滿足/+加>2a6成立，但不滿足/成立，

所以“小+〃>2"”是“。2>片”的不充分條件，

因為。2>萬2,所以Xa2+b2-2ab=(a-b)2>0,所以片+^立必，

所以“/+從>2必，是>/,，的必要條件,

所以“標+廿>2"”是“/>〃”的必要不充分條件.

故選：B.

14.設(shè)aeR,則''111&=￡：0$0：”是'飛11120：=1”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)Sil?0+cos?e=l以及倍角公式，結(jié)合充要條件分析判斷即可.

【詳解】因為sin?cr+cos?c=1,

則sina=cos<z,等價于(sina-costz)~=sin2tz+cos2tz-2sin?cosa=1-sin2(z=0,

等價于sin2ar=l,所以“sina=cosar"是"sin2tz=l”的充要條件.

故選：C.

15.已知集合4={尤卜2+2》<3},3={電+%<3},則“xeA”是的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】求得集合A,8,可得結(jié)論.

【詳解】由尤2+2X<3,可得一3<X<1,所以A={x卜3Vx<1},

因為/(x)=2'+x在R上單調(diào)遞增，又/(1)=3,

由2，+x<3,可得x<l,所以B={x|x<l},所以Au5,

所以“xeA”是“尤e夕’的充分不必要條件.

故選：A.

16.設(shè)尤,yeR,貝!T^+l=x+y”的充要條件為()

A,為'至少有一個為1B.x，>都為1

C.x,y都不為1D.%2+y2=2

10/14

【答案】A

【分析】將孫+i=x+y化為求解，結(jié)合充分、必要性定義即可得答案.

【詳解】由移+i=x+y,貝15一1）（〉一1）=。，可得x=i或y=i,即蒼y至少有一個為1,

所以“孫+l=x+y”的充要條件為x,y至少有一個為1,故只有A符合，其它選項均不符.

故選：A

17.“x>2024”是“白<^—”的()

x2024

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】A

【分析】由不等式的性質(zhì)分析即可求得.

卜康，故充分性成立;

【詳解】若x>2024,則由不等式的性質(zhì)知,

11112024-r

若上（焉，貝I，-去7<°，即々；<0，解得尤<?；?>2024,故必要性不成立;

x2024x20242024.x

所以“x>2024”是"工<±”的充分不必要條件.

x2024

故選：A.

4

18.對于實數(shù)x,“xw2”是“1+->4”成立的（）

x

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】去絕對值符號后由分式不等式的解法求出即可；

44

【詳解】不等式等價于x+—〉4或x+—<-4,

XX

4丫2-4丫-|-4/x7

當％+—〉4時，即X今…>0,即］（%—2了>0,解得X>0且XW2；

XX

當x+±<-4時，即廠+4尤+4<o,即%（了+2）2<0,解得彳<0且XH—2；

XX

所以不等式的解集為{X|XH0,且XH±2},

4

所以“xw2”是“％+—>4”成立的必要而不充分條件，

x

故選：B.

1T

19.已知xeR,貝『(=5+%兀(keZ)”是“cosx=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷.

兀71

【詳解】COS%=0=X=24?！馈狾%=EdGZ,

22

故選：C.

20.若向量。=（2x,l）,B=（尤-1,爐），則“z是"x=|■"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】先證明充分性，然后構(gòu)造反例說明條件不是必要的.

【詳解】當工=，時，=2尤（無一1）+Y=2xgx［g-"+（g：=0,所以日,5,故條件是必要的.

當x=0時，有但此時灑B=2X（X-1）+X2=0+0=0,故萬_1_日，所以條件不是充分的.

故選：B.

21.已知平面向量4=（1,2）,5=（加,-1）,則“加＜2”是“苕與5的夾角為鈍角”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】若a與B的夾角為鈍角，則商啰＜0且苕與萬不共線，結(jié)合向量的坐標運算求得加得取值范圍，再

根據(jù)包含關(guān)系分析充分、必要條件.

【詳解】若方與5的夾角為鈍角，則苕出＜0且方與日不共線，

,（m—2＜0,1

可得］,解得