2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象（4）教學(xué)教學(xué)實(shí)錄 新人教A版必修4

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象（4）教學(xué)教學(xué)實(shí)錄新人教A版必修4學(xué)校授課教師課時(shí)授課班級(jí)授課地點(diǎn)教具教材分析2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象（4）教學(xué)教學(xué)實(shí)錄新人教A版必修4。本節(jié)課以正切函數(shù)的定義和性質(zhì)為基礎(chǔ)，通過(guò)實(shí)例分析和數(shù)學(xué)推導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生理解正切函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性和漸近線(xiàn)等性質(zhì)，進(jìn)而繪制正切函數(shù)的圖象。課程內(nèi)容與課本緊密相連，符合教學(xué)實(shí)際，實(shí)用性較強(qiáng)。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)。通過(guò)探究正切函數(shù)的性質(zhì)，學(xué)生能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象思維理解函數(shù)概念，運(yùn)用邏輯推理分析函數(shù)特征，通過(guò)數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)直觀(guān)想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，同時(shí)提高數(shù)據(jù)分析的能力。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)

①理解正切函數(shù)的單調(diào)性和周期性，能夠運(yùn)用公式和圖象進(jìn)行分析。

②掌握正切函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱(chēng)性，并能識(shí)別和描述函數(shù)圖象的基本特征。

③能夠根據(jù)正切函數(shù)的定義域和值域，繪制其基本圖象，并理解漸近線(xiàn)的概念。

2.教學(xué)難點(diǎn)

①正切函數(shù)性質(zhì)的理解和推導(dǎo)過(guò)程，需要學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推理和抽象思維能力。

②正切函數(shù)圖象的繪制，特別是理解漸近線(xiàn)在圖象上的作用，對(duì)學(xué)生空間想象能力有較高要求。

③在實(shí)際應(yīng)用中，如何運(yùn)用正切函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題，需要學(xué)生能夠?qū)⒗碚撝R(shí)與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有本節(jié)課所需的教材或?qū)W習(xí)資料，包括人教版《高中數(shù)學(xué)》必修4中的正切函數(shù)相關(guān)章節(jié)。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的圖片、圖表和視頻等多媒體資源，如正切函數(shù)圖象的動(dòng)態(tài)展示和實(shí)例分析。

3.教學(xué)工具：準(zhǔn)備直尺、圓規(guī)等繪圖工具，用于學(xué)生繪制正切函數(shù)的圖象。

4.教室布置：根據(jù)教學(xué)需要，布置教室環(huán)境，包括設(shè)置分組討論區(qū)，為學(xué)生提供合作學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)。教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入新課

（1）課堂開(kāi)始，我會(huì)首先提問(wèn)：“同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，它們都有哪些性質(zhì)呢？”

（2）引導(dǎo)學(xué)生回顧正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)，如周期性、奇偶性、單調(diào)性等。

（3）接著，我會(huì)引入本節(jié)課的主題：“今天，我們將學(xué)習(xí)正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象，看看它有哪些獨(dú)特的特點(diǎn)?！?/p>

二、新課講授

1.正切函數(shù)的定義

（1）我會(huì)先解釋正切函數(shù)的定義：“正切函數(shù)是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的比值，即tanθ=sinθ/cosθ?！?/p>

（2）通過(guò)實(shí)際例子，如三角形的邊角關(guān)系，幫助學(xué)生理解正切函數(shù)的定義。

2.正切函數(shù)的性質(zhì)

（1）單調(diào)性

-我會(huì)講解正切函數(shù)的單調(diào)性：“正切函數(shù)在(-π/2,π/2)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)?！?/p>

-通過(guò)圖象展示和數(shù)學(xué)推導(dǎo)，讓學(xué)生理解正切函數(shù)的單調(diào)性。

（2）周期性

-解釋正切函數(shù)的周期性：“正切函數(shù)的周期是π，即tan(θ+π)=tanθ?！?/p>

-展示周期性的圖象，讓學(xué)生直觀(guān)感受周期性。

（3）奇偶性

-講解正切函數(shù)的奇偶性：“正切函數(shù)是奇函數(shù)，即tan(-θ)=-tanθ?！?/p>

-通過(guò)圖象和數(shù)學(xué)推導(dǎo)，讓學(xué)生理解奇偶性。

（4）漸近線(xiàn)

-介紹正切函數(shù)的漸近線(xiàn)：“正切函數(shù)的漸近線(xiàn)是y=kπ，其中k為整數(shù)。”

-通過(guò)圖象展示漸近線(xiàn)，讓學(xué)生理解漸近線(xiàn)的作用。

3.正切函數(shù)的圖象

（1）我會(huì)引導(dǎo)學(xué)生繪制正切函數(shù)的基本圖象：“首先，在坐標(biāo)系中畫(huà)出正切函數(shù)的漸近線(xiàn)，然后畫(huà)出幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，最后連接這些點(diǎn)，得到正切函數(shù)的圖象。”

（2）通過(guò)小組合作，讓學(xué)生動(dòng)手繪制正切函數(shù)的圖象，并觀(guān)察其特征。

三、課堂練習(xí)

1.單項(xiàng)選擇題

（1）我會(huì)給出幾個(gè)關(guān)于正切函數(shù)性質(zhì)的選擇題，讓學(xué)生獨(dú)立完成。

（2）學(xué)生完成后，我會(huì)請(qǐng)他們舉手發(fā)言，解釋自己的答案，并給予點(diǎn)評(píng)。

2.應(yīng)用題

（1）我會(huì)給出一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，要求學(xué)生運(yùn)用正切函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答。

（2）學(xué)生完成解答后，我會(huì)請(qǐng)他們展示自己的解題過(guò)程，并給予指導(dǎo)和反饋。

四、課堂小結(jié)

1.回顧本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容：“今天我們學(xué)習(xí)了正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象，包括單調(diào)性、周期性、奇偶性和漸近線(xiàn)等?！?/p>

2.強(qiáng)調(diào)正切函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用：“正切函數(shù)在物理學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，希望大家能夠靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)?！?/p>

五、布置作業(yè)

1.完成課后練習(xí)題，鞏固所學(xué)知識(shí)。

2.查閱資料，了解正切函數(shù)在其他領(lǐng)域的應(yīng)用。

六、課堂評(píng)價(jià)

1.觀(guān)察學(xué)生在課堂上的參與度，了解他們對(duì)正切函數(shù)性質(zhì)的理解程度。

2.收集學(xué)生的作業(yè)，評(píng)估他們對(duì)知識(shí)的掌握情況。知識(shí)點(diǎn)梳理1.正切函數(shù)的定義

-正切函數(shù)是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的比值，即tanθ=sinθ/cosθ。

-定義域：所有實(shí)數(shù)除去了kπ+π/2（k為整數(shù)），即(-∞,kπ-π/2)∪(kπ+π/2,+∞)。

2.正切函數(shù)的性質(zhì)

-單調(diào)性：在(-π/2,π/2)區(qū)間內(nèi)，正切函數(shù)是增函數(shù)；在(kπ-π/2,kπ+π/2)區(qū)間內(nèi)，正切函數(shù)是減函數(shù)（k為整數(shù)）。

-周期性：正切函數(shù)的周期是π，即tan(θ+π)=tanθ。

-奇偶性：正切函數(shù)是奇函數(shù)，即tan(-θ)=-tanθ。

-漸近線(xiàn)：正切函數(shù)的漸近線(xiàn)是y=kπ（k為整數(shù)），即在x=kπ+π/2時(shí)，函數(shù)值趨向于正無(wú)窮或負(fù)無(wú)窮。

3.正切函數(shù)的圖象

-正切函數(shù)的圖象有無(wú)數(shù)條漸近線(xiàn)，每條漸近線(xiàn)垂直于x軸，并且穿過(guò)y=kπ（k為整數(shù)）。

-圖象在第一和第三象限內(nèi)，隨著x的增加，函數(shù)值逐漸增大；在第二和第四象限內(nèi)，隨著x的增加，函數(shù)值逐漸減小。

-圖象在每個(gè)周期內(nèi)，從y=kπ開(kāi)始，逐漸逼近漸近線(xiàn)，然后轉(zhuǎn)向下一個(gè)周期。

4.正切函數(shù)的應(yīng)用

-在物理學(xué)中，正切函數(shù)可以用來(lái)描述物體在斜面上的運(yùn)動(dòng)。

-在工程學(xué)中，正切函數(shù)可以用來(lái)計(jì)算三角形的斜率。

-在幾何學(xué)中，正切函數(shù)可以用來(lái)求解三角形的邊角關(guān)系。

5.正切函數(shù)與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的關(guān)系

-正切函數(shù)是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的比值，即tanθ=sinθ/cosθ。

-正切函數(shù)的周期是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)周期的公倍數(shù)，即π。

-正切函數(shù)的奇偶性與正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的奇偶性相同。

6.正切函數(shù)的極限

-當(dāng)x趨向于kπ+π/2（k為整數(shù)）時(shí)，正切函數(shù)的值趨向于正無(wú)窮或負(fù)無(wú)窮。

-當(dāng)x趨向于kπ（k為整數(shù)）時(shí)，正切函數(shù)的值趨向于0。

7.正切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

-正切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是sec2θ，即dtanθ/dθ=sec2θ。

8.正切函數(shù)的反函數(shù)

-正切函數(shù)的反函數(shù)是反正切函數(shù)，記作arctanθ。

-反正切函數(shù)的定義域是(-∞,+∞)，值域是(-π/2,π/2)。板書(shū)設(shè)計(jì)1.正切函數(shù)定義

①tanθ=sinθ/cosθ

②定義域：(-∞,kπ-π/2)∪(kπ+π/2,+∞)

③值域：(-∞,+∞)

2.正切函數(shù)性質(zhì)

①單調(diào)性：在(-π/2,π/2)區(qū)間內(nèi)增，在(kπ-π/2,kπ+π/2)區(qū)間內(nèi)減

②周期性：周期為π，tan(θ+π)=tanθ

③奇偶性：奇函數(shù)，tan(-θ)=-tanθ

④漸近線(xiàn)：y=kπ（k為整數(shù)）

3.正切函數(shù)圖象

①漸近線(xiàn)：垂直于x軸，穿過(guò)y=kπ（k為整數(shù)）

②圖象特征：每個(gè)周期內(nèi)從y=kπ開(kāi)始，逼近漸近線(xiàn)，轉(zhuǎn)向下一個(gè)周期

4.正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)關(guān)系

①正切函數(shù)是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的比值

②正切函數(shù)周期是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)周期的公倍數(shù)

③正切函數(shù)奇偶性與正弦函數(shù)和余弦函數(shù)相同

5.正切函數(shù)應(yīng)用

①物理學(xué)：描述物體在斜面上的運(yùn)動(dòng)

②工程學(xué)：計(jì)算三角形的斜率

③幾何學(xué)：求解三角形的邊角關(guān)系

6.導(dǎo)數(shù)與反函數(shù)

①導(dǎo)數(shù)：dtanθ/dθ=sec2θ

②反函數(shù)：arctanθ，定義域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)典型例題講解1.例題一：求正切函數(shù)的周期

解答：已知函數(shù)y=tanθ，求其周期。

解：由于正切函數(shù)的周期是π，所以函數(shù)y=tanθ的周期為π。

2.例題二：判斷正切函數(shù)的單調(diào)性

解答：已知函數(shù)y=tanθ，求其在區(qū)間(0,π)上的單調(diào)性。

解：在區(qū)間(0,π)上，函數(shù)y=tanθ是增函數(shù)。

3.例題三：求正切函數(shù)的值

解答：已知tan60°=√3，求tan(60°+π)的值。

解：由于tan(θ+π)=tanθ，所以tan(60°+π)=tan60°=√3。

4.例題四：求正切函數(shù)的反函數(shù)

解答：已知y=tanx，求其反函數(shù)。

解：由于y=tanx，可以得到x=arctany。因此，正切函數(shù)的反函數(shù)為y=arctanx。

5.例題五：利用正切函數(shù)的性質(zhì)解題

解答：已知tanα=2，tanβ=3，求tan(α+β)的值。

解：根據(jù)兩角和的正切公式，我們有：

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

代入tanα=2和tanβ=3，得到：

tan(α+β)=(2+3)/(1-2*3)=5/(1-6)=-5/5=-1。

1.正切函數(shù)的周期是π，這意味著每隔π個(gè)單位長(zhǎng)度，函數(shù)的值會(huì)重復(fù)。

2.正切函數(shù)在其定義域內(nèi)是周期性的，但在每個(gè)周期的特