22直接證明與間接證明選修說課稿公開課一等獎(jiǎng)?wù)n件省賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件

2.2直接證明與間接證明2.2.1綜正當(dāng)和分析法復(fù)習(xí)合情推理的結(jié)論不一定對的,有待證明;演繹推理得到的結(jié)論一定對的.例1：已知a>0,b>0,求證a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc由于b2+c2≥2bc,a>0因此a(b2+c2)≥2abc.又由于c2+b2≥2bc,b>0因此b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.證明:1。綜正當(dāng)運(yùn)用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,通過一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明辦法叫做綜正當(dāng)用P表達(dá)已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表達(dá)所要證明的結(jié)論.則綜正當(dāng)用框圖表達(dá)為:…特點(diǎn):“由因?qū)Ч本C正當(dāng)又叫由因?qū)Чɑ蝽樛谱C法.例2：在△ＡＢＣ中，三個(gè)內(nèi)角Ａ、Ｂ、Ｃ對應(yīng)的邊分別為a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，求證△ＡＢＣ為等邊三角形．例2：在△ＡＢＣ中，三個(gè)內(nèi)角Ａ、Ｂ、Ｃ對應(yīng)的邊分別為a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，求證△ＡＢＣ為等邊三角形．證明：由A,B,C成等差數(shù)列，有2B=A+C，---------------------------------------①由于A,B,C是三角形的內(nèi)角，因此A+B+C=180o，----------------------②因此B=60o。---------------------------------------------------------------------③由a,b,c成等比數(shù)列，有b2=ac,-----------------------------------------------④則b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,再有④得a2+c2-ac=ac，即(a-c)2=0因此a=c。從而有A=C----------------------------------------------------------⑤則由②③⑤得A=B=C=60o。因此三角形ABC是等邊三角形。解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，往往先作語言轉(zhuǎn)換，如把文字語言轉(zhuǎn)換成符號語言，或把符號語言轉(zhuǎn)變成圖形語言等。還要通過細(xì)致的分析把其中的隱含條件明顯表達(dá)出來例：在銳角三角形ＡＢＣ中，求證sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC例：設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為Ｆ，通過點(diǎn)Ｆ的直線交拋物線于Ａ、Ｂ兩點(diǎn)，點(diǎn)Ｃ在拋物線的準(zhǔn)線上，且ＢＣ∥x軸（如圖），證明直線ＡＣ通過原點(diǎn)Ｏ42-2-4-65BACOF運(yùn)用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,通過一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明辦法叫做綜正當(dāng)用P表達(dá)已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表達(dá)所要證明的結(jié)論.則綜正當(dāng)用框圖表達(dá)為:…小結(jié)綜正當(dāng)?shù)亩x:回顧基本不等式：(a>0,b>0)的證明.證明:因?yàn)?所以所以所以成立證明:要證;只需證;只需證;只需證;因?yàn)?成立所以成立普通地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步謀求推證過程中，使每一步結(jié)論成立的充足條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為鑒定一種明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明的辦法叫做分析法．特點(diǎn)：執(zhí)果索因.用框圖表達(dá)分析法的思考過程、特點(diǎn).得到一個(gè)明顯成立的結(jié)論…分析法又叫執(zhí)果索因法或叫逆推證法例3:求證證明：由于都是正數(shù)，所覺得了證明只需證明展開得即只需證明21<25，由于21<25成立，因此不等式成立。練習(xí):設(shè)a,b,c為一種三角形的三邊,且s2=2ab,試證s<2a例:如圖,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,過A作SB的垂線,垂足為E,過E作SC的垂線,垂足為F,求證AF⊥SCFESCBA證明:要證AF⊥SC只需證:SC⊥平面AEF只需證:AE⊥SC只需證:AE⊥平面SBC只需證:AE⊥BC只需證:BC⊥平面SAB只需證:BC⊥SA只需證:SA⊥平面ABC由于:SA⊥平面ABC成立因此.AF⊥SC成立證:得到一個(gè)明顯成立的結(jié)論…也能夠是通過證明的結(jié)論②①①②①②③③例:已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an>0,(n∈N*),它的前n項(xiàng)的和記為sn,數(shù)列{s2n}是首項(xiàng)為3,公差為1的等差數(shù)列.(1)求an與sn的解析式;(2)試比較sn與3nan(n∈N*),的大小.普通地，運(yùn)用已知條件和某些已經(jīng)學(xué)過的定義、定理、公理等，通過一系列的推理、論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明辦法叫做綜正當(dāng)。特點(diǎn):“由因?qū)Ч毙〗Y(jié)綜正當(dāng)又叫由因?qū)Чɑ蝽樛谱C法.1.綜正當(dāng)?shù)亩x:普通地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步謀求推證過程中，使每一步結(jié)論成立的充足條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為鑒定一種明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明的辦法叫做分析法．2.分析法的定義:分析法又叫執(zhí)果索因法或叫逆推證法特點(diǎn):“執(zhí)果索因”2.2.2反證法思考？將9個(gè)球分別染成紅色或白色.那么無論如何染,最少有5個(gè)球是同色的,你能證明這個(gè)結(jié)論嗎?分析:假設(shè)有某種染法使紅色球和白色球的個(gè)數(shù)都不超出4,則球的總數(shù)應(yīng)不超出4+4=8,這與球的總數(shù)是9矛盾.因此,無論如何染,最少有5個(gè)球是同色的.反證法的證明過程：否認(rèn)結(jié)論——推出矛盾——必定結(jié)論，即分三個(gè)環(huán)節(jié)：反設(shè)—?dú)w謬—存真反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不成立；存真——由矛盾成果，斷定反設(shè)不成立，從而必定原結(jié)論成立。歸謬——從假設(shè)出發(fā)，通過一系列對的的推理，````````得出矛盾；用反證法證明命題的過程用框圖表達(dá)為：必定條件否認(rèn)結(jié)論導(dǎo)致邏輯矛盾反設(shè)不成立結(jié)論成立反證法的思維辦法：正難則反例5:已知直線a,b和平面,如果且a∥b,求證:a∥abP把這種不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明辦法稱為間接證明注：反證法是最常見的間接證法，普通地，假設(shè)原命題不成立（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），通過對的的推理，最后得出矛盾。因此闡明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明辦法叫做反證法（歸謬法）。理論歸納總結(jié)：三個(gè)環(huán)節(jié)：反設(shè)—?dú)w謬—存真歸繆矛盾：（1）與已知條件矛盾；（2）與已有公理、定理、定義矛盾；（3）自相矛盾。一般地，假設(shè)原命題不成立（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾。因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。練習(xí)已知a≠0，證明x的方程ax=b有且只有一種根。證：由于a≠0，因此方程最少有一種根x=b/a，注:結(jié)論中的有且只有(有且