浙江專用2025版高考數(shù)學大一輪復習第七章不等式第3講二元一次不等式組及簡單的線性規(guī)劃問題練習含解析

PAGEPAGE8第3講二元一次不等式（組）及簡潔的線性規(guī)劃問題[基礎達標]1．二元一次不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y≤12，,2x＋3y≥－6，,0≤x≤6))所表示的平面區(qū)域的面積為()A．18 B．24C．36 D．12eq\r(13)解析：選C.不等式組所表示的平面區(qū)域如圖陰影部分，四邊形ABCD是平行四邊形，由圖中數(shù)據(jù)可知其面積S＝(4＋2)×6＝36.2．(2024·高考天津卷)設變量x，y滿意約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y≥0，,x＋2y－2≥0，,x≤0，,y≤3，))則目標函數(shù)z＝x＋y的最大值為()A．eq\f(2,3) B．1C．eq\f(3,2) D．3解析：選D.作出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分所示，由z＝x＋y得y＝－x＋z，作出直線y＝－x，平移使之經(jīng)過可行域，視察可知，最優(yōu)解在B(0，3)處取得，故zmax＝0＋3＝3，選項D符合．3．(2024·高考全國卷Ⅲ)設x，y滿意約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y－6≤0,x≥0,y≥0))，則z＝x－y的取值范圍是()A．[－3，0] B．[－3，2]C．[0，2] D．[0，3]解析：選B.不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y－6≤0，,x≥0，,y≥0))表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，作出直線l0：y＝x，平移直線l0，當直線z＝x－y過點A(2，0)時，z取得最大值2，當直線z＝x－y過點B(0，3)時，z取得最小值－3，所以z＝x－y的取值范圍是[－3，2]，故選B.4．(2024·臺州高三質(zhì)檢)已知不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,x≥0，,y≥m))表示的平面區(qū)域的面積為2，則eq\f(x＋y＋2,x＋1)的最小值為()A．eq\f(3,2) B．eq\f(4,3)C．2 D．4解析：選B.畫出不等式組所表示的區(qū)域，由區(qū)域面積為2，可得m＝0.而eq\f(x＋y＋2,x＋1)＝1＋eq\f(y＋1,x＋1)，eq\f(y＋1,x＋1)表示可行域內(nèi)隨意一點與點(－1，－1)連線的斜率，所以eq\f(y＋1,x＋1)的最小值為eq\f(0－（－1）,2－（－1）)＝eq\f(1,3)，所以eq\f(x＋y＋2,x＋1)的最小值為eq\f(4,3).5．(2024·金華十校聯(lián)考)設變量x，y滿意約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤a，,x＋y≥8，,x≥6))且不等式x＋2y≤14恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[8，10] B．[8，9]C．[6，9] D．[6，10]解析：選A.不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，明顯a≥8，否則可行域無意義．由圖可知x＋2y在點(6，a－6)處取得最大值2a－6，由2a－6≤14得，a≤10，故選A.6．(2024·溫州適應性測試)在如圖所示的坐標平面的可行域內(nèi)(陰影部分且包括邊界)，若目標函數(shù)z＝x＋ay取得最小值的最優(yōu)解有多數(shù)個，則eq\f(y,x－a)的最大值是()A．eq\f(2,5) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,4)解析：選A.易知a≠0，那么目標函數(shù)可化為y＝－eq\f(1,a)x＋eq\f(1,a)z.要使目標函數(shù)z＝x＋ay取得最小值的最優(yōu)解有多數(shù)個，則－eq\f(1,a)＝kAC＝1，則a＝－1，故eq\f(y,x－a)＝eq\f(y,x＋1)，其幾何意義為可行域內(nèi)的點(x，y)與點M(－1，0)的連線的斜率，可知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x＋1)))eq\s\do7(max)＝kMC＝eq\f(2,5)，故選A.7．若x，y滿意約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))則z＝－x＋y的最小值是________．解析：作出不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，其中A(1，1)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))，C(0，4)．經(jīng)過點A時，目標函數(shù)z達到最小值．所以zmin＝－1＋1＝0.答案：08．(2024·杭州中學高三期中)已知點A(3，eq\r(3))，O為坐標原點，點P(x，y)滿意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)x－y≤0,x－\r(3)y＋2≥0,y≥0))，則滿意條件的點P所形成的平面區(qū)域的面積為________，eq\o(OP,\s\up6(→))在eq\o(OA,\s\up6(→))方向上投影的最大值為________．解析：由已知得到平面區(qū)域如圖，P所在區(qū)域即為陰影部分，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)x－y＝0,x－\r(3)y＋2＝0))得到C(－2，0)，B(1，eq\r(3))，所以其面積為eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3).令eq\o(OP,\s\up6(→))在eq\o(OA,\s\up6(→))方向上投影為z＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))·\o(OP,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(OA,\s\up6(→))|))＝eq\f(3x＋\r(3)y,2\r(3))＝eq\f(\r(3),2)x＋eq\f(1,2)y，所以y＝－eq\r(3)x＋2z，過點B時z最大，所以，eq\o(OP,\s\up6(→))在eq\o(OA,\s\up6(→))方向上投影的最大值為eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)eq\r(3)9．給定區(qū)域D：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋4y≥4，,x＋y≤4，,x≥0，))令點集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的點}，則T中的點共確定________條不同的直線．解析：畫出平面區(qū)域D，如圖中陰影部分所示．作出z＝x＋y的基本直線l0：x＋y＝0.經(jīng)平移可知目標函數(shù)z＝x＋y在點A(0，1)處取得最小值，在線段BC處取得最大值，而集合T表示z＝x＋y取得最大值或最小值時的整點坐標，在取最大值時線段BC上共有5個整點，分別為(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，故T中的點共確定6條不同的直線．答案：610．(2024·溫州市高考實戰(zhàn)模擬)若變量x，y滿意約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0,y≥0,3x＋4y≤12))，則z＝2x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(y)的最大值為________．解析：作出不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0,y≥0,3x＋4y≤12))表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．又z＝2x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(y)＝2x－y，令u＝x－y，則直線u＝x－y在點(4，0)處u取得最大值，此時z取得最大值且zmax＝24－0＝16.答案：1611．(2024·杭州市高三模擬)若實數(shù)x，y滿意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥0,x≤1,x－2y≥0)).求：(1)x的取值范圍；(2)|x|＋|y|的取值范圍．解：(1)由約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥0,x≤1,x－2y≥0))作出可行域如圖，由圖可知，0≤x≤1.(2)當x≥0，y≥0時，z＝|x|＋|y|＝x＋y過(1，eq\f(1,2))時有最大值為eq\f(3,2)，過O(0，0)時有最小值0；當x≥0，y≤0時，z＝|x|＋|y|＝x－y過(1，－1)時有最大值為2，過O(0，0)時有最小值0.所以|x|＋|y|的取值范圍是[0，2]．12．若x，y滿意約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－y≥－1，,2x－y≤2.))(1)求目標函數(shù)z＝eq\f(1,2)x－y＋eq\f(1,2)的最值；(2)若目標函數(shù)z＝ax＋2y僅在點(1，0)處取得最小值，求a的取值范圍．解：(1)作出可行域如圖，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)．平移初始直線eq\f(1,2)x－y＋eq\f(1,2)＝0，過A(3，4)時z取最小值－2，過C(1，0)時z取最大值1.所以z的最大值為1，最小值為－2.(2)直線ax＋2y＝z僅在點(1，0)處取得最小值，由圖象可知－1<－eq\f(a,2)<2，解得－4<a<2.故a的取值范圍是(－4，2)．[實力提升]1．(2024·浙江“七彩陽光”聯(lián)盟高三聯(lián)考)已知變量x，y滿意約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y≥－2,x－y≤0,x≥－4))，若不等式2x－y＋m2≥0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為()A．[－eq\r(6)，eq\r(6)]B．(－∞，－eq\r(6)]∪[eq\r(6)，＋∞)C．[－eq\r(7)，eq\r(7)]D．(－∞，－eq\r(7)]∪[eq\r(7)，＋∞)解析：選D.作出約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y≥－2,x－y≤0,x≥－4))所對應的可行域(如圖中陰影部分)，令z＝－2x＋y，當直線經(jīng)過點A(－4，－1)時，z取得最大值，即zmax＝(－2)×(－4)＋(－1)＝7.所以m2≥7，即實數(shù)m的取值范圍為(－∞，－eq\r(7)]∪[eq\r(7)，＋∞)，故選D.2．(2024·溫州校級月考)已知二元一次不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－4≥0,x－y－2≤0,x－3y＋4≥0))所表示的平面區(qū)域為M.若M與圓(x－4)2＋(y－1)2＝a(a>0)至少有兩個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5)) B．(1，5)C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5)) D．(1，5]解析：選C.如圖，若使以(4，1)為圓心的圓與陰影部分區(qū)域至少有兩個交點，結(jié)合圖形，當圓與直線x－y－2＝0相切時，恰有一個公共點，此時a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)，當圓的半徑增大到恰好過點C(2，2)時，圓與陰影部分至少有兩個公共點，此時a＝5，故實數(shù)a的取值范圍是eq\f(1,2)<a≤5.3．(2024·麗水模擬)已知變量x，y滿意約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y≥1，,x－y≤1，,y－1≤0，))若z＝x－2y的最大值與最小值分別為a，b，且方程x2－kx＋1＝0在區(qū)間(b，a)上有兩個不同實數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍是____________．解析：作出可行域，如圖所示，則目標函數(shù)z＝x－2y在點(1，0)處取得最大值1，在點(－1，1)處取得最小值－3，所以a＝1，b＝－3，從而可知方程x2－kx＋1＝0在區(qū)間(－3，1)上有兩個不同實數(shù)解．令f(x)＝x2－kx＋1，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－3）＞0，,f（1）＞0，,－3＜\f(k,2)＜1，,Δ＝k2－4＞0))?－eq\f(10,3)＜k＜－2.答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,3)，－2))4．設a＞0，集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）|\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤3，,x＋y－4≤0，,x－y＋2a≥0))))，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤a2}．若“點P(x，y)∈A”是“點P(x，y)∈B”的必要不充分條件，則a的取值范圍是____________．解析：由題意知BA，作出A表示的可行域，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜a≤3，,\f(|1＋1－4|,\r(2))≥a，,\f(|1－1＋2a|,\r(2))≥a，))解得0＜a≤eq\r(2).答案：0＜a≤eq\r(2)5．甲、乙兩工廠依據(jù)賽事組委會要求為獲獎者訂做某工藝品作為獎品，其中一等獎獎品3件，二等獎獎品6件；制作一等獎、二等獎所用原料完全相同，但工藝不同，故價格有所差異．甲廠收費便宜，但原料有限，最多只能制作4件獎品，乙廠原料足夠，但收費較貴，其詳細收費如下表所示，求組委會訂做該工藝品的費用總和最低為多少元．解：設甲廠生產(chǎn)一等獎獎品x件，二等獎獎品y件，x，y∈N，則乙廠生產(chǎn)一等獎獎品(3－x)件，二等獎獎品(6－y)件．則x，y滿意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤4，,3－x≥0，,6－y≥0，,x，y≥0，))設費用為z元，則z＝500x＋400y＋800(3－x)＋600(6－y)＝－300x－200y＋6000，作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖中陰影部分(包括邊界)所示．由圖象知當直線經(jīng)過點A時，直線在y軸上的截距最大，此時