2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)第4講二次函數(shù)與冪函數(shù)分層演練理含解析新人教A版

PAGEPAGE1第4講二次函數(shù)與冪函數(shù)1．如圖是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的圖象，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．c<b<a B．a(chǎn)<b<cC．b<c<a D．a(chǎn)<c<b解析：選D.依據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，可知選D.2．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋4x在區(qū)間[－1，n]上的值域是[－5，4]，則n的取值范圍是()A．[2，5] B．[1，5]C．[－1，2] D．[0，5]解析：選A.f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，所以f(2)＝4，又由f(x)＝－5，得x＝－1或5，由f(x)的圖象知：2≤n≤5.3．已知函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，假如a>b>c，且a＋b＋c＝0，則它的圖象是()解析：選D.因?yàn)閍>b>c，且a＋b＋c＝0，得a>0，且c<0，所以f(0)＝c<0，所以函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向上，與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上．4．f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函數(shù)，則f(－1)，f(－eq\r(2))，f(eq\r(3))的大小關(guān)系為()A．f(eq\r(3))>f(－eq\r(2))>f(－1)B．f(eq\r(3))＜f(－eq\r(2))＜f(－1)C．f(－eq\r(2))＜f(eq\r(3))＜f(－1)D．f(－1)＜f(eq\r(3))＜f(－eq\r(2))解析：選B.因?yàn)閒(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3為偶函數(shù)，所以得m＝0，即f(x)＝－x2＋3，其在[0，＋∞)上為減函數(shù)，又因?yàn)閒(－eq\r(2))＝f(eq\r(2))，f(－1)＝f(1)且1<eq\r(2)<eq\r(3)，所以f(1)>f(eq\r(2))>f(eq\r(3))，即f(eq\r(3))<f(－eq\r(2))<f(－1)．5．已知函數(shù)f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)右側(cè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．[0，1] B．(0，1)C．(－∞，1) D．(－∞，1]解析：選D.當(dāng)m＝0時(shí)，令f(x)＝0得，－3x＋1＝0，則x＝eq\f(1,3)>0，符合題意；當(dāng)m>0時(shí)，由f(0)＝1可知：要滿意題意，需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝（m－3）2－4m≥0，,－\f(m－3,2m)>0，))解得0<m≤1；當(dāng)m<0時(shí)，由f(0)＝1可知，函數(shù)圖象恒與x軸正半軸有一個(gè)交點(diǎn)．綜上可知，m的取值范圍是(－∞，1]．6．已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象過點(diǎn)(2，4)，那么函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．解析：因?yàn)閒(2)＝2α＝4，所以α＝2，故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝x2，則其單調(diào)遞增區(qū)間為[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)7．已知二次函數(shù)為y＝x2＋2kx＋3－2k，則頂點(diǎn)位置最高時(shí)拋物線的解析式為________．解析：由題意可知：y＝x2＋2kx＋3－2k＝(x＋k)2－k2－2k＋3，所以該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－k，－k2－2k＋3)．設(shè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y＝－k2－2k＋3＝－(k＋1)2＋4，所以當(dāng)k＝－1時(shí)，頂點(diǎn)位置最高．此時(shí)拋物線的解析式為y＝x2－2x＋5.解析：y＝x2－2x＋58．已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：由題意知2ax2＋2x－3<0在[－1，1]上恒成立．當(dāng)x＝0時(shí)，－3<0，符合題意；當(dāng)x≠0時(shí)，a<eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,3)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,6)，因?yàn)閑q\f(1,x)∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以當(dāng)x＝1時(shí)，右邊取最小值eq\f(1,2)，所以a<eq\f(1,2).綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))9．已知冪函數(shù)f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，eq\r(2))，試確定m的值，并求滿意條件f(2－a)>f(a－1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，eq\r(2))，所以eq\r(2)＝2(m2＋m)－1，即2eq\s\up6(\f(1,2))＝2(m2＋m)－1，所以m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.又因?yàn)閙∈N*，所以m＝1，f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,2)).又因?yàn)閒(2－a)>f(a－1)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－a≥0，,a－1≥0，,2－a>a－1，))解得1≤a<eq\f(3,2)，故函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，eq\r(2))時(shí)，m＝1.滿意條件f(2－a)>f(a－1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍為1≤a<eq\f(3,2).10．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5]．(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值；(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y＝f(x)在區(qū)間[－5，5]上是單調(diào)函數(shù)．解：(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5，5]，所以當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得最小值1；當(dāng)x＝－5時(shí)，f(x)取得最大值37.(2)函數(shù)f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的圖象的對(duì)稱軸為直線x＝－a，因?yàn)閥＝f(x)在區(qū)間[－5，5]上是單調(diào)函數(shù)，所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5.故a的取值范圍是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．1．已知函數(shù)f(x)＝x2＋x＋c，若f(0)>0，f(p)<0，則必有()A．f(p＋1)>0 B．f(p＋1)<0C．f(p＋1)＝0 D．f(p＋1)的符號(hào)不能確定解析：選A.由題意知，f(0)＝c>0，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x＝－eq\f(1,2)，則f(－1)＝f(0)>0，設(shè)f(x)＝0的兩根分別為x1，x2(x1<x2)，則－1<x1<x2<0，依據(jù)圖象知，x1<p<x2，故p＋1>0，f(p＋1)>0.2．(2024·陜西西安模擬)已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，2))，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1<x2)是函數(shù)圖象上隨意不同的兩點(diǎn)，給出以下結(jié)論：①x1f(x1)>x2f(x2)；②x1f(x1)<x2f(x2)；③xeq\o\al(2,2)f(x1)>xeq\o\al(2,1)f(x2)；④xeq\o\al(2,2)f(x1)<xeq\o\al(2,1)f(x2)．其中正確結(jié)論的序號(hào)為()A．①③ B．①④C．②③ D．②④解析：選C.設(shè)函數(shù)f(x)＝xα，依題意有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(α)＝2，所以α＝－eq\f(1,2)，因此f(x)＝x－eq\s\up6(\f(1,2)).令g(x)＝xf(x)＝x·x－eq\s\up6(\f(1,2))＝xeq\s\up6(\f(1,2))，則g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，而0<x1<x2，所以g(x1)<g(x2)，即x1f(x1)<x2f(x2)，故①錯(cuò)誤，②正確；令h(x)＝eq\f(f（x）,x2)＝，則h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，而0<x1<x2，所以h(x1)>h(x2)，即eq\f(f（x1）,xeq\o\al(2,1))>eq\f(f（x2）,xeq\o\al(2,2))，于是xeq\o\al(2,2)f(x1)>xeq\o\al(2,1)f(x2)，故③正確，④錯(cuò)誤，故選C.3．設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－1，對(duì)隨意x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,m)))－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析：依據(jù)題意，得eq\f(x2,m2)－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上恒成立，即eq\f(1,m2)－4m2≤－eq\f(3,x2)－eq\f(2,x)＋1在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上恒成立．當(dāng)x＝eq\f(3,2)時(shí)，函數(shù)y＝－eq\f(3,x2)－eq\f(2,x)＋1取得最小值－eq\f(5,3)，所以eq\f(1,m2)－4m2≤－eq\f(5,3)，即(3m2＋1)(4m2－3)≥0，解得m≤－eq\f(\r(3),2)或m≥eq\f(\r(3),2).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，＋∞))4．定義：假如在函數(shù)y＝f(x)定義域內(nèi)的給定區(qū)間[a，b]上存在x0(a<x0<b)，滿意f(x0)＝eq\f(f（b）－f（a）,b－a)，則稱函數(shù)y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，x0是它的一個(gè)均值點(diǎn)，如y＝x4是[－1，1]上的平均值函數(shù)，0就是它的均值點(diǎn)．現(xiàn)有函數(shù)f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函數(shù)，設(shè)x0為均值點(diǎn)，所以eq\f(f（1）－f（－1）,1－（－1）)＝m＝f(x0)，即關(guān)于x0的方程－xeq\o\al(2,0)＋mx0＋1＝m在(－1，1)內(nèi)有實(shí)數(shù)根，解方程得x0＝1或x0＝m－1.所以必有－1<m－1<1，即0<m<2，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0，2)．答案：(0，2)5．已知函數(shù)f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.(1)若函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0，＋∞)，求a的值；(2)若函數(shù)f(x)的函數(shù)值均為非負(fù)數(shù)，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域．解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)閇0，＋∞)，所以Δ＝16a2－4(2a＋6)＝0，即2a2－a－3＝0，解得a＝－1或a＝eq\f(3,2).(2)因?yàn)閷?duì)一切x∈R函數(shù)值均為非負(fù)，所以Δ＝8(2a2－a－3)≤0?－1≤a≤eq\f(3,2).所以a＋3＞0.所以g(a)＝2－a|a＋3|＝－a2－3a＋2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(17,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2))))).因?yàn)槎魏瘮?shù)g(a)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))上單調(diào)遞減，所以geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))≤g(a)≤g(－1)，即－eq\f(19,4)≤g(a)≤4.所以g(a)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(19,4)，4)).6．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝x2＋2x.現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示，請(qǐng)依據(jù)圖象：(1)寫出函數(shù)f(x)(x∈R)的增區(qū)間；(2)寫出函數(shù)f(x)(x∈R)的解析式；(3)若函數(shù)g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1，2])，求函數(shù)g(x)的最小值．解：(1)f(x)在區(qū)間(－1，0)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增．(2)設(shè)x>0，則－x<0，函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝x2＋2x，所以f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x