高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及高中數(shù)學(xué)解題思想方法全部?jī)?nèi)容

高中數(shù)學(xué)第一章■集合

考試內(nèi)容：

集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集.

邏輯聯(lián)結(jié)詞.四種命題.充分條件和必要條件.

考試要求：

（1）理解集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意義：了解屬于、包

含、相等關(guān)系的意義；掌握有關(guān)的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)，并會(huì)用它們正確表示一些簡(jiǎn)單的集合.

（2）理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義理解四種命題及其相互關(guān)系；掌握充

分條件、必要條件及充要條件的意義.

§01.集合與簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)要點(diǎn)

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)：

本章知識(shí)主要分為集合、簡(jiǎn)單不等式的解法（集合化簡(jiǎn)）、簡(jiǎn)易邏輯三部分：

二、知識(shí)回顧：

（一）集合

1.基本概念；集合、元素；有限集、無(wú)限集；空集、全集；符號(hào)的使用.

2.集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.

集合元素的特征：確定性、互異性、無(wú)序性.

集合的性質(zhì)：

①任何一個(gè)集合是它本身的子集，記為

②空集是任何集合的子集，記為。qA；

③空集是任何非空集合的真子集：

如果AqB,同時(shí)3gA,那么A=B

如果AqB,BcC,那么AqC.

［注］:①Z=｛整數(shù)｝（J）Z=｛全體整數(shù)｝（X）

②已知集合S中A的補(bǔ)集是一個(gè)有限集，則集合A也是有限集.（X）（例：S=N：A=N+,

則GA二⑼）

③空集的補(bǔ)集是全集.

④若集合4=集合8,則知=0,3=0G(c^)=o(i±：CA5=0).

3.①((x,y)\xy=0,y^R}坐標(biāo)軸上的點(diǎn)集.

②{(x,y)|xy<0,x^Rfy^R}二、四象限的點(diǎn)集.

③](x,y)附>0,x￡R,y^R}一、三象限的點(diǎn)集.

[注]:①對(duì)方程組解的集合應(yīng)是點(diǎn)集.

例：解的集合{(2,1)}.

[2%-3y=1

②點(diǎn)集與數(shù)集的交集是。.(例：A={(x,y)|y=x+l}B={)，|y=f+1}則AAB=0)

4.①〃個(gè)元素的子集有2"個(gè).②〃個(gè)元素的真子集有2〃一1個(gè).③〃個(gè)元素的非空真子

集有2”一2個(gè).

5.⑴①一個(gè)命題的否命題為真，它的逆命題一定為真.否命題O逆命題.

②一個(gè)命題為真，則它的逆否命題一定為真.原命題=逆否命題.

例：①若a+bw5,則“*2或b+3應(yīng)是真命題.

解：逆否：。=2且0=3,則。"=5,成立，所以此命題為真.

②x工1且y工2,Ax+yw3.

解：逆否：x+y=3#*x=1或y=2.

xwl且"2A尤+尸3,故工+尸3是工工1且"2的既不是充分，又不是必要條件.

⑵小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍.

3.例：若xa5,=x>5或xY2.

4.集合運(yùn)算：交、并、補(bǔ).

交：AflBoA且xeB}

并：A|J8={x|側(cè)5￡8}

補(bǔ)：，A<=>{xeU,且彳任A}

5.主要性質(zhì)和運(yùn)算律

(1)包含關(guān)系；

A,①qA,4qU,/AqU,

4=B,B=CnAdflBaA,AnB=B;AUB“,AUB3B

(2)等價(jià)關(guān)系：Aq3oAnB=AoAUB=BO&AU3=U

(3)集合的運(yùn)算律：

交換律：AnB=BQA;A\jB=B\jA.

結(jié)合律：(AnB)nC=An(3nC)；(AUB)UC=AU(5UC)

分配律:.An(Buc)=(4nB)u(Anc)；Au(8nc)=(AU8)n(Auc)

0-1律：①nA=a），①U4=AunA=AUUA=U

等籍律：AC|A=AAUA=A

求補(bǔ)律：AnCuA=6AUGA=U□GU=6DCu4>=U

反演律：Ci(AnB)=(CiA)U(CLB)CI(AUB)=(C(A)A(QB)

6.有限集的元素個(gè)數(shù)

定義：有限集A的元素的個(gè)數(shù)叫做集合A的基數(shù)，記為card(A)規(guī)定card(4))=0.

基本公式：

(\)card(A(JB)=card(A)-^-card(B)-card(AQB)

(2)card(AU8UC)=card(A)+card(B)+card。)

-card(AD8)—card(B0Q-card。AA)

+card(A[\B[}C)

(3)card(OtA)=card(U)-card(A)

（二）含絕對(duì)值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式的解法

根軸法（零點(diǎn)分段法）

①將不等式化為a0（x-xj（x-x2）…（x-x，》0《0）形式，并將各因式x的系數(shù)化“+”；（為

了統(tǒng)一方便）

②求根，并在數(shù)軸上表示出來(lái)；

③由右上方穿線(xiàn)，經(jīng)過(guò)數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)（為什么？）；

④若不等式（x的系數(shù)化“+”后）是“>0”，則找“線(xiàn)”在x軸上方的區(qū)間；若不等

式是“<0”，則找“線(xiàn)”在x軸下方的區(qū)間.

（自右向左正負(fù)相間）

貝IJ不等式工〃“+???+〃〃>0（<。）（勺>0）的解可以根據(jù)各區(qū)間的符號(hào)

確定.

特例①一元一次不等式ax>b解的討論；

②一元二次不等式ax2+box>0（a>0）解的討論.

A>0A=0A<0

二次函數(shù)*

y=ax2+bx+c

(a>0)的圖象

11X1=X2X

一元二次方程

有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根

ax2+bx+c=0b

xx（x<x）x,——----無(wú)實(shí)根

（a>0的根l92t22a

ax2+bx+c>0f]b

卜工V玉或V＞工2}

<xx^----

(〃>0)的解集2a,R

ax2+/?x+c<0

冏玉<X

<x2)0

(。>0)的解集0

2.分式不等式的解法

(1)標(biāo)準(zhǔn)化：移項(xiàng)通分化為位＞0(或以。＜0)；/⑷201或△?W())的形式,

g(x)g(x)g(x)g(x)

⑵轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)斂＞0of(x)g(x)＞0;四NO=〃依笠)-0

g(x)g(x)lg("NU

3.含絕對(duì)值不等式的解法

(1)公式法：1ax+a＜c,與同+耳＞(?9＞0)型的不等式的解法.

(2)定義法：用“零點(diǎn)分區(qū)間法”分類(lèi)討論.

(3)幾何法：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合思想方法解題.

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax2+bx+c=O(a^O)

(1)根的“零分布”：根據(jù)判別式和韋達(dá)定理分析列式解之.

(2)根的“非零分布”：作二次函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合思想分析列式解之.

(三)簡(jiǎn)易邏輯

1、命題的定義：可以判斷真假的語(yǔ)句叫做命題。

2、邏輯聯(lián)結(jié)詞、簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題：

“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題是簡(jiǎn)單

命題；由簡(jiǎn)單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”構(gòu)成的命題是復(fù)合命題。

構(gòu)成復(fù)合命題的形式：p或q(記作“pVq”)；p且q(記作“pAq”);非P(記

作“1q”)o

3、“或”、“口，’、"非”的真值判斷

原命題逆命題

(1)“非P”形式復(fù)合命題的真假與F的真假相若P則q|若q則3|

T

反；互八

(2)“p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)P與q同為真時(shí)

否

為真，其他情況時(shí)為假；7

I逆否命題I

否命題

(3)“p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時(shí)|若iq則10

若1p則1q

為假，其他情況時(shí)為真.

4、四種命題的形式：

原命題：若P則q；逆命題：若q則p；

否命題：若1P則1q；逆否命題：若1q則1Po

(1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題；

(2)同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題；

(3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得的命題是逆否命題.

5、四種命題之間的相互關(guān)系：

一個(gè)命題的真假與其他三個(gè)命題的真假有如下三條關(guān)系：（原命題O逆否命題）

①、原命題為真，它的逆命期不一定為真。

②、原命題為真，它的否命題不一定為真。

③、原命題為真，它的逆否命題一定為真。

6、如果已知p=>q那么我們說(shuō)，p是q的充分條件，q是p的必要條件。

若pnq且q=p,則稱(chēng)p是q的充要條件，記為p0q.

7、反證法：從命題結(jié)論的反面出發(fā)（假設(shè)），引出（與己知、公理、定理…）矛盾，從

而否定假設(shè)證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。

高中數(shù)學(xué)第二章?函數(shù)

考試內(nèi)容：

映射、函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性.

反函數(shù).互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系.

指數(shù)概念的擴(kuò)充.有理指數(shù)希的運(yùn)算性質(zhì).指數(shù)函數(shù).

對(duì)數(shù).對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).對(duì)數(shù)函數(shù).

函數(shù)的應(yīng)用.

考試要求：

（1）了解映射的概念，理解函數(shù)的概念.

（2）了解函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的方法.

（3）了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的反函數(shù).

（4）理解分?jǐn)?shù)指數(shù)暴的概念，掌握有理指數(shù)暴的運(yùn)算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和

性質(zhì).

（5）理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì).

（6）能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

§02.函數(shù)知識(shí)要點(diǎn)

一、本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)：

定義------------R:A—>B

廠(chǎng)一反函數(shù)

艇研究T一圖像

映射

性質(zhì)

二次的數(shù)

數(shù)J-指數(shù)數(shù)函數(shù)

J對(duì)數(shù)一對(duì)數(shù)函數(shù)

二、知識(shí)回顧:

(一)映射與函數(shù)

1.映射與--映射

2.函數(shù)

函數(shù)三要素是定義域，對(duì)應(yīng)法則和值域，而定義域和對(duì)應(yīng)法則是起決定作用的要素，因

為這二者確定后，值域也就相應(yīng)得到確定，因此只有定義域和對(duì)應(yīng)法則二者完全相同的函數(shù)

才是同一函數(shù).

3.反函數(shù)

反函數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)了=/。)(工￡A)的值域是C,根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x,y的關(guān)系，用y把x表

示出，得到x=e(y).若對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過(guò)x=e(y),x在A中都有唯一

的值和它對(duì)應(yīng)，那么,x=°(y)就表示y是自變量,x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x=°(y)

(y￡C)叫做函數(shù)y=/(%)(1￡A)的反函數(shù)，記作x=/T(y),習(xí)慣上改寫(xiě)成

y=fl(x)

(二)函數(shù)的性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性

定義：對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值XI,X2.

⑴若當(dāng)X1<X2時(shí)，都有f(X|)<f(X2),則說(shuō)f(X)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)；

⑵若當(dāng)X1<X2時(shí)，都有f(X[)>f(X2),則說(shuō)f(X)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).

若函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格

的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)戶(hù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.此時(shí)也說(shuō)函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).

2.函數(shù)的奇偶性

偶函數(shù)的定義：如果對(duì)于函數(shù)f(X)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有

f(?x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).

f(X)是偶函數(shù)0/(-x)=/(x)o/(-j)-/(x)=Oo綱=1C/⑺w。

/W

奇函數(shù)的定義：如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有

f(?x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).

/&)是奇函數(shù)C+/(x)=0o^t^=-l(/(x)#0)

正確理解奇、偶函數(shù)的定義。必須把握好兩個(gè)問(wèn)題：

(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)/(X)為奇

函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件；(2)八-幻=/5)或

/(-X)=是定義域上的恒等式。

2.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形，偶函數(shù)

的圖象關(guān)于、軸成軸對(duì)稱(chēng)圖形。反之亦真，因此，也

可以利用函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性去判斷函數(shù)的奇偶性。

3,奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間同增同減；偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間增

減性相反.

4.如果/(x)是偶函數(shù)，則f(x)=/(|x|),反之亦成立。

若奇函數(shù)在x=0時(shí)有意義，則〃。)=。。

7.奇函數(shù)，偶函數(shù)：

⑴偶函數(shù)：=f[x}

設(shè)(a力)為偶函數(shù)上一點(diǎn)，則(-々力)也是圖象上一點(diǎn).

偶函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿(mǎn)足

①定義域一定要關(guān)于「軸對(duì)稱(chēng)，例如：)，=，+1在口「1)上不是偶函數(shù).

②滿(mǎn)足〃一x)=〃x),或/(一幻一/(")=0,若/(力工0時(shí)，士空=1.

f(-x)

⑵奇函數(shù)：f(-x)=-/(x)

設(shè)(a,b)為奇函數(shù)上一點(diǎn)，則(-4-6)也是圖象上一點(diǎn).

奇函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿(mǎn)足

①定義域一定要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，例如：y=/在口=1)上不是奇函數(shù).

②滿(mǎn)足f(r)=-/(")，或f(T)+f(x)=O,若/")=0時(shí)，=-1.

f(-x)

8.對(duì)稱(chēng)變換：①(x).軸*

@y=f(x)拂.硬”，=-/(x)

③y寸(x)＜型柢”=_/(_X)

9.判斷函數(shù)單調(diào)性(定義)作差法：對(duì)帶根號(hào)的一定要分子有理化，例如：

)-f(x2)=&+，-振+廬二者若出壽』

收+b2+也;+b2

在進(jìn)行討論.

10.外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值域.

例如：已知函數(shù)f(x)=1+=^的定義域?yàn)锳,函數(shù)/(x)]的定義域是B,則集合4與

1-x

集合B藝黨的關(guān)系是.

解：/(x)的值域是/(/(?)的定義域B,7(x)的值域wR,故而從={x|xwl},故8nA.

11.常用變換：

①f(x+y)=f(x)f(y)=f{x-y)=裂.

f(y)

證：f(x-y)=翌O/'(X)=y)+用=f0-y)f(y)

f(x)

②/(-)=f(x)-f(y)=f[x-y)=J\x)+f(y)

y

證：/(x)=/(-y)=/(-)+/(y)

yy

12.⑴熟悉常用函數(shù)圖象：

例：、=23一|x|關(guān)于)，軸對(duì)稱(chēng).

值域{)，|)，工2,yeR}f值域工x前的系數(shù)之比.

(三)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)>=>0且。W1)的圖象和性質(zhì)

a>l0<a<l

圖

象

y?i

-

(1)定義域：R

性(2)值域:(0,+8)

質(zhì)(3)過(guò)定點(diǎn)(0,1),即x=0時(shí)，y=l

(4)x>0時(shí)，y>l;x<0時(shí)，0<y<l(4)x>0時(shí)，0<y<l;x<0時(shí)，y>l.

(5)在R上是增函數(shù)(5)在R上是減函數(shù)

a>l0<a<l

對(duì)數(shù)函數(shù)y=log(tx的圖象和性質(zhì)：

對(duì)數(shù)運(yùn)算：

log,(M?N)=log。M+log”N⑴

M

log,,—=logf/M-log^

logaM〃=〃log”(土M)⑵

logVM=-logM

flna

N=N

換底公式：logaN=g^

推論：log。b-log/?c?logca=1

nlogq〃2?log。2〃3?????log%-〃〃=log%0〃

(以上M>0,NAO,a>0,al,b>O,b^l,c>0,c^l,a],a2...an>0且w1)

y，

y=logax臺(tái)7一一一--一

圖

象Of

（1）定義域：（0,+8）

（2）值域：R

(3)過(guò)點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x=l時(shí)，y=0

性

質(zhì)(4)x￡(0J)時(shí)yvO%W（0,1）時(shí)y＞0

XG(L+OO)時(shí)y>0%￡（1,+8）時(shí)丁＜0

（5）在（0,+8）上是增函數(shù)在（0,+8）上是減函數(shù)

注⑴：當(dāng)a,力y0時(shí)，log（?b）=log（-a）+log（-Z＞）.

（2）：當(dāng)MAO時(shí)，取“+”，當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)且MYO時(shí)，ATAO,而MYO,故取“一”.

例如：log”產(chǎn)工2log/（2log,/中Q0而logqf中彳￡R）

（2）y=a*（）與y=log4fx互為反函數(shù).

當(dāng)時(shí)，y=log””的a值越大，越靠近x軸；當(dāng)0Y〃Y1時(shí)，則相反.

（四）方法總結(jié)

（1）.相同函數(shù)的判定方法：定義域相同且對(duì)應(yīng)法則相同.

⑴對(duì)數(shù)運(yùn)算：

log。(MN)=log[M+log,W⑴

M

loga—=log]M一logaN

10g“M〃=〃10ga(±M)l2)

log.VM=-logflM

n

/%N=N

換底公式：log[N=3^d

lOg｝。

推論:logablog^c?log。a=1

=log%〃2.log.2的?….l°g〃小?！?bgq/

(以上M>0,N>0,a>0,awl,bA0,brl,cA0,c￥l,a”a2...an>0且=1)

注⑴：當(dāng)?OYO時(shí)，log(a7>)=log(-?)+log(-Z>).

⑵：當(dāng)MA0時(shí)，取“+”，當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)且MYO時(shí)，”">0,而MYO,故取“一”.

例如：108“X2工2108“尸.,(2108'/中1>0而108“％2中%￡1<).

(2)y=ax()與y=log“x互為反函數(shù).

當(dāng)今1時(shí)，y=log。％的a值越大，越靠近x軸：當(dāng)OYaYl時(shí)，則相反.

(2).函數(shù)表達(dá)式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數(shù)法.

(3).反函數(shù)的求法：先解x,互換x、y,注明反函數(shù)的定義域(即原函數(shù)的值域).

(4).函數(shù)的定義域的求法：布列使函數(shù)有意義的自變量的不等關(guān)系式，求解即可求得函數(shù)

的定義域.常涉及到的依據(jù)為①分母不為0;②偶次根式中被開(kāi)方數(shù)不小于0;③對(duì)數(shù)的真數(shù)

大于0,底數(shù)大于零且不等于1;④零指數(shù)幕的底數(shù)不等于零；⑤實(shí)際問(wèn)題要考慮實(shí)際意義

等.

(5).函數(shù)值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；

⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法.

(6).單調(diào)性的判定法:①設(shè)X],一是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且'<x2；②判定f(X1)

與fix?)的大??；③作差比較或作商比較.

(7).奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，再計(jì)算f(-x)與f(x)之間的關(guān)

系：①f(-X)二f(X)為偶函數(shù)；f(-:<)二-f(x)為奇函數(shù)；②f(-X)-f(x)=0為偶；f(x)+f(-x)=o

為奇；③f(-x)/f(x)=l是偶；f(x)+f(-x)=T為奇函數(shù).

⑻.圖象的作法與平移：①據(jù)函數(shù)表達(dá)式，列表、描點(diǎn)、連光滑曲線(xiàn)；②利用熟知函數(shù)的

圖象的平移、翻轉(zhuǎn)、伸縮變換；③利用反函數(shù)的圖象與對(duì)稱(chēng)性描繪函數(shù)圖象.

高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)列

考試內(nèi)容：

數(shù)列.

等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

考試要求：

(1)理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并

能根據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng).

(2)理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)

際問(wèn)題.

(3)理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，井能解決簡(jiǎn)單的實(shí)

際問(wèn)題.

§03.數(shù)列知識(shí)要點(diǎn)

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義a〃+［一金=d皿=虱"0)

an

a

遞推公斯=n-\+d；an=am_n+md

%=%-闖；

式

通項(xiàng)公an=%+(〃-l)d

式

中項(xiàng)

A_a“_k+G=±^a_a(6_/“"A0)

12nkn+k

(〃/女>0)

前〃項(xiàng)

s”=/(9+?M)叫（夕=1）

和S/虱二⑹二也她（”2）

s〃一2d\—q\-q

重要性

質(zhì)

、

am+an=ap+aq(m,np,qwN",am-an=apaq(fn,n,p,qeN*,m+n=p+q)

rn+n=p+q)

L（1）等差、等比數(shù)歹ij：

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義

{4}為4?Po*+[-%=d(常數(shù))｛4｝為GPo2~=式常數(shù)）

an

通項(xiàng)公

%=《+(n-l)d=%+(n-k)d=d〃+4]-d%=%q'i=44

式

求和公

九(4+an)〃(〃一1)，2(q=1)

s?=-----!........-=na,+-----------a

式n212

=獷+⑷一凱%='4(1一/)=X―44g’1)

i-q\-q

中項(xiàng)公a+b八2

A-2推廣：2凡一%G=abo推廣：a：=anmxa...in

式

性1若m+n=p+q則a?,+a=a+a若m+n=p+q,則aa=a,a,

質(zhì)pqinnt(l

2

若伙”｝成A.P（其中幻￡N）則｛%J若伏，成等比數(shù)死（其中2“eN）,

也為A.Po

則｛4.｝成等比數(shù)列。

3

?力，$2”一％，$3”一$2〃成等差數(shù)列。%，$2"f，S3n一62〃成等比數(shù)列。

4

.a-a,a?,-a?、qi=",q〃f=%_

d=—n——L=———-(zmwn)

n-1tn-n66n

(m*n)

5

⑵看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法:

①勺一an_i=d（n>2,d為常數(shù)）

②2%=%+［+%_］（心2）

③冊(cè)（幾女為常數(shù)）.

⑶看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：

①a?=an_｝q（n>2,4為常數(shù)，且工0）

②%=%+i?冊(cè)t（〃之2，anan+ian_1*0）?

注①：i.b=4ac,是a、b、c成等比的雙非條件，即b=b、c等比數(shù)列.

ii.h=4ac（ac>0）一為a、b、c等比數(shù)列的充分不必要.

iii.b=±疝一為a、b、。等比數(shù)列的必要不充分.

iv.6=且acxO一為a、6、c等比數(shù)列的充要.

注意：任意兩數(shù)a、c不一定有等比中項(xiàng)，除非有ac>0,則等比中項(xiàng)一定有兩個(gè).

③%=cg〃（c，4為非零常數(shù)）.

④正數(shù)列｛%｝成等比的充要條件是數(shù)列｛log,為｝（XA1）成等比數(shù)列.

?=%(〃=1)

⑷數(shù)列｛4”｝的前〃項(xiàng)和S與通項(xiàng)a”的關(guān)系：a

n(n>2)

［注］:①為=%+（〃-=（d可為零也可不為零一為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)

列也是等差數(shù)列）一若d不為0,則是等差數(shù)列充分條件）.

②等差(冊(cè)｝前〃項(xiàng)和S“=AM+8〃=(5)M+〃一髀以為零也可不為零一為等差

的充要條件一若d為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若d不為零，則是等差數(shù)列的充分條件.

③非等常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù)列）

2.①等差數(shù)列依次每k項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的F倍

Sk，S2k-Sk，s3k-S2k…；

（,o,5奇一以“

②若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2啟CN+,則S偶一S奇---—

3偶an+\

③若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2〃-1（〃GN+）,則S2“T=（2〃-1瓦，且S奇-5偶=冊(cè)，8.=」_

S做/i-1

=代入〃到2〃-1得到所求項(xiàng)數(shù).

3.常用公式：①1+2+3…+〃二區(qū)兇

2

2_〃伍+112"+1)

(2)12+22+32+???/?

6

③八2,…引粵)

[注]:熟悉常用通項(xiàng):9,99,999,...=>冊(cè)=10”-1；5,55,555,...=-(10fl-1).

9

4.等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式的常見(jiàn)應(yīng)用題：

⑴生產(chǎn)部門(mén)中有增長(zhǎng)率的總產(chǎn)量問(wèn)題.例如，第一年產(chǎn)量為*年增長(zhǎng)率為「，則每年的產(chǎn)

量成等比數(shù)列，公比為1+r.其中第〃年產(chǎn)量為a(l+r)”-l且過(guò)〃年后總產(chǎn)量為：

/,、/,、，n-i—(1+r)”]

ci+a(l+r)+a(l+r)~+…+a(l+r)x------------------.

l-(l+r)

⑵銀行部門(mén)中按復(fù)利計(jì)算問(wèn)題.例如：一年中每月初到銀行存〃元，利息為小每月利息按

復(fù):利計(jì)算，則每月的〃元過(guò)〃個(gè)月后便成為〃(1+一)”元.因此，第二年年初可存款：

12

。(1十r)'2十"(1十"丈十。(1十r)10十…十〃("")=‘川"出一。")(

l-(I+r)

⑶分期付款應(yīng)用題：a為分期付款方式貸款為。元；機(jī)為，〃個(gè)月將款全部付清；「為年利率.

a(l+4”=Ml+r)'i+乂1+r)時(shí)2+..…Ml+r)+xn《l+r)〃，=迎+?”，—=挖?：

5.數(shù)列常見(jiàn)的幾種形式：

(1)冊(cè)+2="什1+弼〃(〃、夕為二階常數(shù))-用特證根方法求解.

具體步驟:①寫(xiě)出特征方程對(duì)應(yīng)金”/對(duì)應(yīng)°川)，并設(shè)二根畫(huà),孫②若x產(chǎn)工2

可設(shè)a“=C[M+C2引，若％1=12可設(shè)冊(cè)=3+。2〃)/；；③由初始值即。2確定。1，。2?

⑵冊(cè)=Pa〃T+r(P、r為常數(shù))f用①轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列；②逐項(xiàng)選代；③消去常數(shù)〃

轉(zhuǎn)化為%+2=尸％川+4%的形式，再用特征根方法求%;④%=C|+C2Pl(公式法)，

由外,。2確定.

①轉(zhuǎn)化等差，等比：an+l+x=P(a,,+x)=>an+i=Pan+Px-x=>x=-^—.

p—1

②選代法：a〃=&j+r=尸(&〃_2+「)+「=一=%=(勺+白""J白=(/+x)P"T-x

=P"-Li+P"-2.r+...+pr+「.

zjPar

n+，n

③用特征方程求解：>相減，=4/1+[-々“=尸4〃-&〃-1=>4“+1=(尸+1)?！ㄒ皇?〃_1.

a〃=&〃-i+r.

④由選代法推導(dǎo)結(jié)果：C*|=———?c2=a\+~~—??=C2PH-1+C1=(?]+———)P"T+―――.

1—pP—1nP—11—p

6.幾種常見(jiàn)的數(shù)列的思想方法:

⑴等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和為S〃，在dYO時(shí)，有最大值.如何確定使S”取最大值時(shí)的〃值，有

兩種方法：

一是求使知之0M向Y0,成立的及值；二是由+（%-?）〃利用二次函數(shù)的性質(zhì)求〃

的值.

⑵如果數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前八項(xiàng)和可依

照等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減求和.例如：1」,3匕“2〃-1），.…

242”

⑶兩個(gè)等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個(gè)新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個(gè)數(shù)列的第

一個(gè)相同項(xiàng)，公差是兩個(gè)數(shù)列公差4,4的最小公倍數(shù).

2.判斷和證明數(shù)列是等差（等比〕數(shù)列常有三種方法：（1）定義法:對(duì)于n22的任意自然數(shù),

驗(yàn)證an-an1（芻-）為同一常數(shù)。（2）通項(xiàng)公式法。（3）中項(xiàng)公式法：驗(yàn)證

%

2%+1=4+勺.2=44+2）〃￡N都成立。

3.在等差數(shù)列｛%｝中，有關(guān)Sn的最值問(wèn)題：（1）當(dāng)%>0,d<0時(shí)，滿(mǎn)足《"'一的項(xiàng)數(shù)m

VO

使得％取最大值.（2）當(dāng)/v0,d>0時(shí)，滿(mǎn)足《的項(xiàng)數(shù)m使得力取最小值。在解含絕

U用N0

對(duì)值的數(shù)列最值問(wèn)題時(shí)，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

（三）、數(shù)列求和的常用方法

1.公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。

2.裂項(xiàng)相消法:適用于其中｛%｝是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)：部

分無(wú)理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。

3.錯(cuò)位相減法:適用于｛〃/“｝其中｛%｝是等差數(shù)列，％,J是各項(xiàng)不為0的等比數(shù)列。

4.倒序相加法：類(lèi)似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.

5.常用結(jié)論

、n（n+1）

1）:l+2+3+...+n=------

2

2）l+3+5+...+（2n-l）=w2

「］￥

3）r+2，+…+_〃（〃+1）

4）l2+22+32+---+n2=-?（/?+1）（2/?+1）

、11111J1

5)=---------------------=-(----------)

n(n+1)n〃+1〃(〃+2)2n〃+2

6)—=(p<q)

pqQ-PPq

高中數(shù)學(xué)第四章?三角函數(shù)

考試內(nèi)容：

角的概念的推廣.弧度制.

任意角的三角函數(shù).單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn).同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.正弦、余弦的誘

導(dǎo)公式.

兩角和與差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì).周期函數(shù).函數(shù)y=Asin(sx+6)的圖像.正切函數(shù)的圖

像和性質(zhì).己知三角函數(shù)值求角.

正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.

考試要求：

(1)理解任意角的概念、弧度的意義能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算.

(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；了解余切、正割、余割的定義；掌握同角三

角函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式；了解周期函數(shù)與最小正周期的意義.

(3)掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.

(4)能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明.

(5)理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦函數(shù)、余

弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(3x+6)的簡(jiǎn)圖，理解A.3、小的物理意義.

(6)會(huì)由已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)arcsinx\arc-cosx\arctanx表示.

(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形.

(8)“同角三角函數(shù)基本關(guān)系式：sin2a+cos2a=1,sina/cosa=tana,tana*cosa=1M.

§04.三角函數(shù)知識(shí)要點(diǎn)

1.①與a(0°<a<360°)終邊相同的角的集合(角a與角尸的終邊重合)：

如夕=&x36(T+a,2€z}

②終邊在x軸上的角的集合：缶4="18(TMcz}

③終邊在y軸上的角的集合：加|￡=0180。+90Fwz}

④終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：\p\fl=kx90\kez}

SIN\COS.:.角函數(shù)值大小關(guān)系圖

I,2.3、4表示第一、二、三、

四象限?半所在區(qū)域

⑤終邊在尸軸上的角的集合：MlQ=Zxl80°+45°,2ez}

⑥終邊在y=T軸上的角的集合:{"夕="18（r-45Zwz}

⑦若角a與角耳的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則角a與角6的關(guān)系：a=360%-夕

⑧若角a與角/的終邊關(guān)于），軸對(duì)稱(chēng)，則角a與角/的關(guān)系：a=360"+18（T-4

⑨若角a與角夕的終邊在一條直線(xiàn)上，則角a與角〃的關(guān)系：a=180%+4

⑩角a與角力的終邊互相垂直，則角a與角4的關(guān)系：a=360%+/?±90J

2.角度與弧度的互換關(guān)系：360。;24180°=^-1°=0.017451=57.30°=57°18,

注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.

、弧度與角度互換公式：lrad=!80°-57.30°=57°18'.1°=2L^0.01745(rad)

*180

3、弧長(zhǎng)公式：/=|01尸.扇形面積公式：s扇形=1>=1|團(tuán).產(chǎn)

6、三角函數(shù)線(xiàn)

16.幾個(gè)重要結(jié)論:

正弦線(xiàn)：MP;余弦線(xiàn)：0M;正切線(xiàn):

AT.

7.三角函數(shù)的定義域：

(3)若o<x<；,則sinx<x<tanx

三角函數(shù)定義域

f(x)=sinx

f(x)=cosx{x|.re/?}

/(x)=tanr

x|xcR目/w4乃+wZ

/(x)=COLT{x|xeR且x工ki,kGZ}

f(x)=secxx|xwRKxw左乃+：乃，A€Z

f(x)=esex{x|xeR且r*〃4,kGZ}

8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：包巴=1曲「史絲

costsina

tanacota=1cscasina=1seca-cosa=1

sin2a+cos2a=1sec2a-tan2a=1esc2a-cot2a—1

9、誘導(dǎo)公式：

把當(dāng)士a的三角函數(shù)化為a的三角函數(shù)，概括為:

“奇變偶不變，符號(hào)看象限”

三角函數(shù)的公式：（一）基本關(guān)系

公式組一公式組二公式組三

sinx.2.2i

sinx,csci=ltanx=-----sinx+cosx=lsin(2k/r+x)=sinxsin(-x)=-sinx

cosxcos(2^+x)=cosxcos(-x)=cosx

COSX.22

cosx,secx=lcot.x-——1+tAanx=secxtan(2^+x)=tanxtan(-x)=-tanx

sin

cot(2^+x)=cotxcot(-x)=-cotx

(aru,cotx-11+coCSC'

公式組四公式組五公式組六

sin(乃+%)=-sinxsin(2乃-x)=-sinxsin(乃一x)=sinx

cos(7r+x)=-COSKcos(2^-x)=COSJVCOS(TT-X)=-cosx

tan(^+x)=tanxtan(2^-x)=-tanxtan(笈-x)=-tanx

cotpr+x)=cotxcot(2^-x)=-cotxcotOr-x)=-cotx

（二）角與角之間的互換

公式組一公式組二

cos(a+P)=cosacosp-sinasin0sin"=2sinacosa

cos(a-cosacosp4-sinasinflcos2a=cos2'a-sin-2a=2cos~2a-\=1-2sin2a

2tana

sin(a+/?)=sinacosp+cosasinp

1-tan2a

1一cosa

sin(a一夕)=sinacosp-cosasinp峭=土