《高考總復習優(yōu)化設計二輪復習》?？夹☆}點

高考總復習優(yōu)化設計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI?？夹☆}點第一編2022小題點1集合、常用邏輯用語必備知識?精要梳理1.集合(1)A∪B={x|x∈A,或x∈B};A∩B={x|x∈A,且x∈B};?UA={x|x∈U,且x?A};A∪B=A?B?A,A∩B=A?A?B.規(guī)律方法若已知的集合是不等式的解集,用數軸求解;若已知的集合是點集,用數形結合法求解;若已知的集合是抽象集合,用Venn圖求解.(2)含有n(n∈N*)個元素的集合,其子集、真子集、非空真子集的個數依次為2n,2n-1,2n-2.

子集中包括空集和其本身2.常用邏輯用語(1)若p?q,則p是q的充分條件,q是p的必要條件;若p?q,則p是q的充要條件.(2)充要條件的三種判斷方法:①定義法;②集合法;③等價轉化法.名師點析判斷充分條件、必要條件時要注意三點(1)要弄清先后順序.“A的充分不必要條件是B”和“A是B的充分不必要條件”是不一樣的.(2)要善于舉反例.當從正面判斷或證明一個命題的真假不易實現時,可以通過舉恰當的反例來說明.(3)要注意合理轉化.

p是

q的必要不充分條件?p是q的充分不必要條件,等等.(3)“?x∈M,p(x)”的否定為“?x0∈M,

p(x0)”;“?x0∈M,p(x0)”的否定為“?x∈M,

p(x)”.考向訓練?限時通關熱點小題1

集合1.(2021·全國乙,文1)已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},則?U(M∪N)=(

)A.{5} B.{1,2}C.{3,4} D.{1,2,3,4}答案A

解析

(方法一)∵M∪N={1,2,3,4},∴?U(M∪N)={5}.(方法二)∵?UM={3,4,5},?UN={1,2,5},∴?U(M∪N)=(?UM)∩(?UN)={5}.答案

D

2.(2021·北京豐臺一模)已知集合A={x|-2<x≤1},B={x|0<x≤3},則A∪B=(

)A.{x|-2<x<0} B.{x|0<x≤1}C.{x|1<x≤3} D.{x|-2<x≤3}解析

因為集合A={x|-2<x≤1},B={x|0<x≤3},所以A∪B={x|-2<x≤3}.3.(2021·山東實驗中學月考)設集合P={y|y=x2+1},M={x|y=x2+1},則集合M與集合P的關系是(

)A.M=P B.P∈M C.M?P D.P?M答案D

解析

P={y|y=x2+1}={y|y≥1},M={x|y=x2+1}=R,所以P?M.答案

B

4.(2021·山東煙臺一模)已知集合A={x|-x2+2x>0},B={x|x>1},則A∩(?RB)=(

)A.(0,1) B.(0,1] C.(-∞,0) D.(1,2)解析

因為A={x|-x2+2x>0}={x|0<x<2},?RB={x|x≤1},所以A∩(?RB)=(0,1].5.(2021·山東臨沂一模)已知全集U=A∪B=(0,4],A∩?UB=(2,4],則集合B=(

)A.(-∞,2] B.(-∞,2) C.(0,2] D.(0,2)答案C

解析

因為A∪B=(0,4],A∩?UB=(2,4],所以B=?U(A∩?UB)=(0,2].6.(2021·全國乙,理2)已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},則S∩T=(

)A.? B.S C.T D.Z答案C

解析

當n=2k,k∈Z時,s=4k+1,k∈Z;當n=2k+1,k∈Z時,s=4k+3,k∈Z,所以T?S,故S∩T=T.7.(2021·湖南長郡中學月考)已知集合A={(x,y)|x+y=8,x∈N*,y∈N*},B={(x,y)|y>x+1},則A∩B的真子集個數為(

)A.3 B.6C.7 D.8答案C

解析

依題意A={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(7,1)},其中滿足y>x+1的有(1,7),(2,6),(3,5),所以A∩B={(1,7),(2,6),(3,5)},有3個元素,故其真子集有23-1=7(個).8.設集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},則a=(

)A.-4 B.-2C.2 D.4答案B

答案ACD

9.(多選題)(2021·山東菏澤檢測)已知集合M={2,-5},N={x|mx=1},且M∪N=M,則實數m的值可以為(

)解析

因為M∪N=M,所以N?M.當m=0時,N=?,滿足N?M,所以m=0符合題意,10.(2021·河北張家口一模)已知A,B都是R的子集,且A?B,則B∪(?RA)=(

)A.A B.B C.? D.R答案D

解析

由題意畫出Venn圖如圖所示,易知B∪(?RA)=R.11.(2021·江蘇徐州二模)某班45名學生參加“3·12”植樹節(jié)活動,每位學生都參加除草、植樹兩項勞動.依據勞動表現,評定為“優(yōu)秀”“合格”2個等級,結果如下表:項目等級合計優(yōu)秀合格除草301545植樹202545若在兩項勞動中都“合格”的學生最多有10人,則在兩項勞動中都“優(yōu)秀”的學生最多為(

)人.A.5 B.10 C.15 D.20答案C

解析

用集合A表示除草優(yōu)秀的學生,B表示植樹優(yōu)秀的學生,全班學生用全集U表示,則?UA表示除草合格的學生,則?UB表示植樹合格的學生,作出Venn圖如圖所示.設兩個項目都優(yōu)秀的學生人數為x,兩個項目都合格的學生人數為y,由圖可得20-x+x+30-x+y=45,x=y+5,因為ymax=10,所以xmax=10+5=15.熱點小題2

充分條件與必要條件12.(2021·廣東韶關一模)“p:x2-x-2<0”是“q:0<x<1”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案B

解析

x2-x-2<0?-1<x<2,所以pq,q?p.故p是q的必要不充分條件.A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件13.(2021·江蘇常州一模)“sinα=”是“sinα=cosα”的(

)答案

D

14.(2021·浙江,3)已知非零向量a,b,c,則“a·c=b·c”是“a=b”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案B

解析

若a·c=b·c,則(a-b)·c=0,不一定有a=b;若a=b,則(a-b)·c=0,即a·c=b·c,故“a·c=b·c”是“a=b”的必要不充分條件.15.(2021·北京門頭溝一模)“l(fā)n(x+1)<0”的一個必要不充分條件是(

)A.-1<x<- B.x>0C.-1<x<0 D.x<0答案D

解析

ln(x+1)<0等價于0<x+1<1,即-1<x<0.因為-1<x<0可以推出x<0,而x<0不能推出-1<x<0,所以“x<0”是“-1<x<0”的必要不充分條件,所以“l(fā)n(x+1)<0”的一個必要不充分條件是“x<0”.16.(2021·廣東深圳一模)設α,β,γ為三個不同的平面,若α⊥β,則“γ∥β”是“α⊥γ”的(

)A.充分不必要條件B.充要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件答案A

解析

因為α⊥β,γ∥β,則α⊥γ,所以由α⊥β,γ∥β可以得出α⊥γ;若α⊥β,α⊥γ,則γ與β可能相交或平行,所以α⊥β,α⊥γ,不能推出γ∥β,所以若α⊥β,則“γ∥β”是“α⊥γ”的充分不必要條件.17.(2021·山東青島期末)“?x>0,a≤x+”的充要條件是(

)A.a>2 B.a≥2C.a<2 D.a≤2答案D

答案

D

18.(2021·浙江麗水檢測)已知p:x2-3x+2≤0,q:x2-4x+4-m2≤0.若p是q的充分不必要條件,則實數m的取值范圍是(

)A.(-∞,0]B.[1,+∞)C.{0}D.(-∞,-1]∪[1,+∞)熱點小題3

全稱量詞與存在量詞19.(2021·山東實驗中學月考)已知命題p:?x>0,總有(x+1)ex>1,則

p為(

)C.?x>0,總有(x+1)ex≤1D.?x≤0,總有(x+1)ex≤1答案B

解析

因為命題p:?x>0,總有(x+1)ex>1是全稱量詞命題,所以其否定為存在量詞命題,即

p:?x0>0,使得(x0+1)1.答案

C

20.(2021·福建福州期末)已知命題p:?x∈(-∞,0),tan2021x>x3,則

p為(

)A.?x∈[0,+∞),tan2021x>x3B.?x∈[0,+∞),tan2021x≤x3C.?x∈(-∞,0),tan2021x≤x3D.?x∈(-∞,0),tan2021x<x3解析

存在量詞命題的否定為全稱量詞命題,所以命題p:?x∈(-∞,0),tan

2

021x>x3的否定為?x∈(-∞,0),tan

2

021x≤x3.21.(2021·河北石家莊一中月考)命題p:?x∈{x|1≤x≤9},使得x2-ax+36≤0,若p是真命題,則實數a的取值范圍為(

)A.a≥37 B.a≥13C.a≥12 D.a≤13答案C

小題點2二次函數與一元二次方程、不等式必備知識?精要梳理1.不等式的性質對于不等式a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bc;a>b>0,c>d>0?ac>bd.2.基本不等式(2)在利用基本不等式求最值時,要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件.誤區(qū)警示多次使用基本不等式求最值,要注意只有同時滿足等號成立的條件才能取得等號,若等號不成立,一般利用函數的單調性求解.3.二次函數與一元二次方程、不等式(1)二次函數的一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0),其圖象是以直線x=-為對稱軸的拋物線;頂點式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),(h,k)為頂點坐標;零點式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2為函數f(x)的零點.(2)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個不等實根分別為x1,x2,則

(3)求一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)(a≠0)的解集,先求其對應一元二次方程的根,再結合其對應的二次函數的圖象確定一元二次不等式的解集.名師點析解一元二次不等式的步驟:一化(將二次項系數化為正數);二判(判斷判別式Δ的符號);三解(解對應的一元二次方程);四寫(大于取兩邊,小于取中間).規(guī)律方法解含有參數的一元二次不等式一般要分類討論,往往從以下幾個方面來考慮:(1)二次項系數,它決定二次函數圖象的開口方向;(2)判別式Δ,它決定根的情形,一般分Δ>0,Δ=0,Δ<0三種情況;(3)在有根的條件下,要比較兩根的大小.4.恒成立與能成立問題(1)恒成立問題的轉化:a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max;a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.(2)能成立問題的轉化:a≥f(x)能成立?a≥f(x)min;a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.考向訓練?限時通關熱點小題1

不等式的性質與基本不等式1.(2021·北京房山一模)已知a,b∈R,且a>b,則下列各式成立的是(

)答案

B

解析

由題意a,b∈R,且a>b,對于A:若a=1,b=-1,則

,故選項A中不等式不成立;對于B:因為函數y=x3在定義域R上單調遞增,所以a3>b3,故選項B中不等式成立;對于C:若b=0,則ab=b2=0,故選項C中不等式不成立;對于D:若a=1,b=-1,則2|a|=2|b|,故選項D中不等式不成立.2.(2021·重慶七中期中)已知x>0,y>0,2x+3y=1,則4x+8y的最小值是(

)答案C

3.(2021·北京房山二模)某公司購買一批機器投入生產,若每臺機器生產的產品可獲得的總利潤s(單位:萬元)與機器運轉時間t(單位:年,t∈N*)的關系為s=-t2+23t-64,要使年平均利潤最大,則每臺機器的運轉時間t為(

)年.A.5 B.6 C.7 D.8答案

D

解析

因為每臺機器生產的產品可獲得的總利潤s(單位:萬元)與機器運轉時間t(單位:年,t∈N*)的關系為s=-t2+23t-64,所以年平均利潤4.(多選題)(2021·江蘇鹽城模擬)已知a,b,c,d均為實數,則下列命題為真命題的是(

)A.若a>b,c>d,則ac>bd答案C

5.(2021·全國乙,文8)下列函數中最小值為4的是(

)答案C

D項,因為當x∈(0,1)時,ln

x<0,所以存在x使y<0,故該項不符合題意.6.(2021·北京豐臺二模)能夠說明“若a,b,m均為正數,則”是假命題的一組整數a,b的值依次為

.

答案

1,1(答案不唯一)

7.(2021·山東青島五十八中月考)已知a>1,b>0,且a+2b=4,則ab的最大值為

;的最小值為

.

答案

2

3

當且僅當a=2b,即a=2,b=1時等號成立.由a+2b=4,可得a-1+2b=3.熱點小題2

二次函數的圖象與性質8.(2021·北京人大附中月考)若函數f(x)=x2-6x-16的定義域為[0,m],值域為[-25,-9],則實數m的取值范圍是(

)A.[3,6] B.[3,7]C.[6,7] D.以上都不對答案D

解析

由題意,得f(x)=x2-6x-16=(x-3)2-25,即函數f(x)的圖象關于直線x=3對稱,且f(x)min=f(3)=-25.∵f(x)的定義域為[0,m],值域為[-25,-9],f(0)=-16,∴m>3.令f(x)=-9,即x2-6x-16=-9,解得x=-1(舍去)或x=7.故m=7.9.(2021·江蘇南通期中)已知函數f(x)=mx2-(3-m)x+1,g(x)=mx,若對于任意實數x,f(x)與g(x)的值至少有一個為正數,則實數m的取值范圍是(

)A.(1,9) B.(3,+∞)C.(-∞,9) D.(0,9)答案D

解析

當m<0時,二次函數f(x)=mx2-(3-m)x+1的圖象開口向下,g(x)=mx單調遞減,故存在x,使得f(x)與g(x)同時為負,不符合題意;當m=0時,f(x)=-3x+1,g(x)=0顯然不符合題意;當m>0時,方程f(x)=mx2-(3-m)x+1=0的根的判別式Δ=m2-10m+9.若Δ<0,則1<m<9,f(x)>0恒成立,符合題意.若Δ=0,則m=1或m=9.當m=1時f(x)=(x-1)2,g(x)=x,符合題意;若Δ>0,則0<m<1或m>9.f(0)=1,如圖,若要f(x)與g(x)的值至少有一個為正數,則必須有

>0,故0<m<1.綜上可得,實數m的取值范圍為(0,9).10.(2021·浙江杭州二中月考)若函數f(x)=-x2+4ax在區(qū)間[1,3]內不單調,則實數a的取值范圍是

.

解析

由題意,得f(x)=-x2+4ax圖象的對稱軸為直線x=2a.11.(2021·海南瓊山中學月考)已知二次函數f(x)的二次項系數為正,且對于任意實數x恒有f(3+x)=f(3-x),若f(1-2x2)<f(1+2x-x2),則實數x的取值范圍是

.

答案

(-2,0)

解析

因為f(3+x)=f(3-x),所以直線x=3是函數f(x)圖象的對稱軸,又二次函數f(x)的二次項系數為正,所以f(x)在區(qū)間(-∞,3]上單調遞減,在區(qū)間[3,+∞)上單調遞增.又1-2x2≤1,1+2x-x2=-(x-1)2+2≤2,所以由f(1-2x2)<f(1+2x-x2),得1-2x2>1+2x-x2,解得-2<x<0.故實數x的取值范圍為(-2,0).12.(2021·山東龍口模擬)已知當x∈(0,+∞)時,不等式9x-m·3x+m+1>0恒成立,則實數m的取值范圍是

.

解析

令3x=t,當x∈(0,+∞)時,t∈(1,+∞).則由題意,得f(t)=t2-mt+m+1>0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,即函數f(t)在區(qū)間(1,+∞)上的圖象在x軸的上方,而判別式Δ=(-m)2-4(m+1)=m2-4m-4,熱點小題3

二次函數與一元二次方程、不等式的綜合13.(2021·江蘇海門中學月考)若?x∈[-1,2],使得不等式x2-2x+a<0成立,則實數a的取值范圍為(

)A.a<-3 B.a<0C.a<1 D.a>-3答案C

解析

因為?x∈[-1,2],使得不等式x2-2x+a<0成立,所以?x∈[-1,2],使得不等式a<-x2+2x成立.令f(x)=-x2+2x,x∈[-1,2].因為函數f(x)圖象的對稱軸為直線x=1,且f(x)的圖象開口向下,所以f(x)max=f(1)=1,所以a<1.14.已知函數f(x)=ax2+bx+c(ac≠0).若f(x)<0的解集為(-1,m),則下列說法正確的是(

)A.f(m-1)<0B.f(m-1)>0C.f(m-1)必與m同號D.f(m-1)必與m異號答案D

解析

∵f(x)<0的解集為(-1,m),∴-1,m是一元二次方程ax2+bx+c=0(ac≠0)的兩個實數根,且a>0,∴f(x)=a(x+1)(x-m),∴f(m-1)=-am與m必異號.15.(2021·浙江寧波檢測)已知當a∈[-1,1]時,不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,則實數x的取值范圍為(

)A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3)答案C

解析

不等式x2+(a-4)x+4-2a>0(a∈[-1,1])恒成立,即關于a的函數f(a)=(x-2)a+x2-4x+4>0(a∈[-1,1])恒成立,16.(2021·福建莆田模擬)設函數f(x)是定義在區(qū)間(-∞,+∞)上的增函數,如果不等式f(1-ax-x2)<f(2-a)對于任意x∈[0,1]恒成立,則實數a的取值范圍是

.

答案

(-∞,1)

解析

因為f(x)是定義在R上的增函數,且f(1-ax-x2)<f(2-a)對于任意x∈[0,1]恒成立,所以1-ax-x2<2-a對任意x∈[0,1]恒成立,等價于x2+ax+1-a>0對任意x∈[0,1]恒成立.令g(x)=x2+ax+1-a,x∈[0,1],所以原問題等價于g(x)min>0.因為g(x)的圖象的當a<-2時,由g(x)min>0,得2>0成立,則a<-2.綜上可得,實數a的取值范圍為(-∞,1).小題點3復數、平面向量必備知識?精要梳理1.復數(1)復數的加、減、乘的運算法則與實數運算法則相同,除法的運算就是分母實數化.即分子、分母同乘分母的共軛復數

(2)復數z=a+bi(a,b∈R)與復平面內的點Z(a,b)及平面向量

一一對應,|z-(a+bi)|=r(r,a,b∈R)表示復平面內以點(a,b)為圓心,r為半徑的圓.(3)復數的幾個常見結論

名師點析1.復數問題實數化是解決復數問題的關鍵.2.利用復數相等a+bi=c+di列方程時,a,b,c,d∈R是前提.2.平面向量(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2)為非零向量,且a與b的夾角為θ,則a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2.(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?a=λb(b≠0)?x1y2-x2y1=0;a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.(3)平面內三點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共線??(x2-x1)(y3-y2)-(x3-x2)(y2-y1)=0.名師點析在平面向量的化簡與運算中,要根據平面向量基本定理選好基底,注意向量的方向不能盲目轉化.3.三角形“四心”向量形式的充要條件設O為△ABC所在平面上一點,內角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,則考向訓練?限時通關熱點小題1

復數及其運算

答案

A

1.(2021·北京海淀二模)設a∈R,若(2+i)(a-i)=-1-3i,則a=(

)A.-1 B.-2C.1 D.2解析

因為(2+i)(a-i)=(2a+1)+(a-2)i=-1-3i,所以

解得a=-1.2.(2021·全國甲,理3)已知(1-i)2z=3+2i,則z=(

)答案B

答案

A

解析

設z=a+bi(a,b∈R).所以-2b=2,得b=-1,所以復數z的虛部是-1.4.(2021·北京海淀一模)如圖,在復平面內,復數z對應的點為P,則復數

的虛部為(

)A.1 B.-1C.2 D.-2答案A

解析

因為復數z對應的點P的坐標為(-1,2),所以復數z=-1+2i,答案C

答案

AC

7.(多選題)(2021·山東德州二模)已知復數z1=

(i為虛數單位),則下列說法正確的是(

)A.z1對應的點在第三象限B.z1的虛部為-1D.滿足|z|=|z1|的復數z對應的點在以原點為圓心,2為半徑的圓上

答案

AB

8.(多選題)(2021·福建龍巖三模)下列說法正確的是(

)答案AB

對于D:根據復數的幾何意義,可知|z+3|-|z-3|=4表示在復平面內,復數z對應的點到F1(-3,0)與F2(3,0)的距離之差為常數4,所以復數z在復平面內對應點的軌跡是以F1(-3,0),F2(3,0)為焦點的雙曲線的右支,故選項D錯誤.9.(多選題)(2021·河北石家莊一模)設z為復數,則下列說法正確的是(

)A.|z|2=zB.z2=|z|2C.若|z|=1,則|z+i|的最大值為2D.若|z-1|=1,則0≤|z|≤2答案ACD

對于B:設z=a+bi(a,b∈R),則z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,|z|2=a2+b2,當a,b均不為0時,z2=|z|2不成立;對于C:由|z|=1可知,在復平面內,復數z對應的點Z的軌跡為以O(0,0)為圓心,1為半徑的圓,|z+i|可以看成點Z到點Q(0,-1)的距離,當點Z位于點(0,1)處時,|z+i|取得最大值2;對于D:由|z-1|=1可知,在復平面內,復數z對應的點N的軌跡為以M(1,0)為圓心,1為半徑的圓,則|z|表示點N到原點的距離,故當點O,N(O為坐標原點)重合時,|z|=0最小,當O,M,N三點共線且點O,N位于點M兩側時,|z|=2最大,故0≤|z|≤2.10.(2021·福建莆田三模)寫出一個虛數z,使得z2+3為純虛數,則z=

.

答案

1+2i(答案不唯一)

解析

設z=a+bi(a,b∈R,b≠0),則z2+3=a2-b2+3+2abi,因為z2+3為純虛數,所以a2-b2=-3且ab≠0.任取不為零的實數a,求出b即可得,答案不唯一,如z=1+2i.11.(2021·重慶七中期中)已知i表示虛數單位,則1+i+i2+…+i2020=

.

答案

1

解析

因為i1=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,i5=i,……所以i4n-3=i,i4n-2=-1,i4n-1=-i,i4n=1且i4n-3+i4n-2+i4n-1+i4n=0(n∈N*),所以熱點小題2

平面向量的概念及線性運算

12.(2021·陜西寶雞三模)如圖,向量a-b=(

)A.e1-3e2 B.e1+3e2C.-3e1+e2 D.-e1+3e2答案D

13.(2021·四川成都三模)已知a,b是兩個不共線的非零向量,若(2a+3b)∥(3a+λb),則實數λ=(

)答案A

14.(多選題)(2021·山東萊西一中月考)給出下列四個命題,其中為真命題的有(

)A.若|a|=|b|,則a=bB.若A,B,C,D是不共線的四點,則“”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件C.若a=b,b=c,則a=cD.a=b的充要條件是|a|=|b|且a∥b答案BC

解析

對于A,兩個向量的模相等,不能推出兩個向量的方向關系,故選項A中命題為假命題;對于B,因為A,B,C,D是不共線的四點,且

等價于AB∥DC且AB=DC,即等價于四邊形ABCD為平行四邊形,故選項B中命題為真命題;對于C,若a=b,b=c,則a=c,故選項C中命題為真命題;對于D,由a=b可以推出|a|=|b|且a∥b,但是由|a|=|b|且a∥b不能推出a=b,故選項D中命題為假命題.15.(2021·安徽蕪湖二模)如圖,不共線的三個向量a,b,c以圓心O為起點,終點落在同一圓周上,且兩兩夾角相等,若c=xa+yb,則x+y=(

)答案A

解析

如圖,因為不共線的三個向量a,b,c以圓心O為起點,終點落在同一圓周上,且兩兩夾角相等,所以三個向量的終點A,B,C組成一個等邊三角形,即O是這個等邊三角形的中心也是重心.故有a+b+c=0?a+b+xa+yb=0?(x+1)a+(y+1)b=0?x=-1,y=-1?x+y=-2.熱點小題3

平面向量基本定理及坐標表示

16.(多選題)(2021·山東德州期末)已知向量a=(2,1),b=(-3,1),則(

)A.(a+b)⊥aB.|a+2b|=5C.a·b=5答案

ABD

解析

對于A:∵a+b=(-1,2),∴(a+b)·a=(-1)×2+2×1=0,∴(a+b)⊥a.故選項A正確;對于B:∵a+2b=(2,1)+2(-3,1)=(-4,3),答案

A

解析

如圖.18.(2021·新高考Ⅰ,10)已知O為坐標原點,點P1(cosα,sinα),P2(cosβ,-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),則(

)答案AC

19.(2021·全國乙,文13)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,則λ=

.

20.(2021·全國乙,理14)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,則λ=

.

解析

由已知得,a-λb=(1-3λ,3-4λ),由(a-λb)⊥b,得3(1-3λ)+4(3-4λ)=0,即15-25λ=0,解得λ=21.(2021·北京朝陽一模)已知向量a=(,1),b=(x,y)(xy≠0),且|b|=1,a·b<0,則向量b的坐標可以是

.(寫出一個即可)

熱點小題4

平面向量的數量積

答案B

解析

∵b⊥(4a-b),∴b·(4a-b)=0,即4a·b-b2=4a·b-|b|2=0,又|b|=4,∴a·b=4,答案C

答案C

25.(2021·全國甲,文13)若向量a,b滿足|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,則|b|=

.

解析

由|a-b|2=a2-2a·b+b2,得25=9-2×1+|b|2,解得|b|=326.(2021·山東淄博二模)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,|a-b|=,則向量a-b和b的夾角為

.

答案

-1

0

小題點4排列、組合、二項式定理必備知識?精要梳理1.兩個計數原理與排列組合(1)兩個計數原理“分類”與“分步”的區(qū)別:關鍵是看事件完成情況,如果每種方法都能將事件完成則是分類;如果必須連續(xù)若干步才能將事件完成則是分步.分類要用分類加法計數原理將種數相加;分步要用分步乘法計數原理將種數相乘.混合問題一般是先分類再分步

(2)排列、組合問題的求解方法與技巧①特殊元素優(yōu)先安排;②合理分類與準確分步;③排列、組合混合問題先選后排;④相鄰問題捆綁處理;⑤不相鄰問題插空處理;⑥定序問題縮倍法處理;⑦分排問題直排處理;⑧“小集團”排列問題先整體后局部;⑨構造模型;⑩正難則反,等價條件.名師點析對于有附加條件的排列、組合應用題,通常從三個途徑考慮(1)以元素為主考慮,即先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素.(2)以位置為主考慮,即先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置.(3)先不考慮附加條件,計算出排列數或組合數,再減去不合要求的排列數或組合數.2.排列數與組合數

乘積形式多用于數字計算,階乘形式多用于證明恒等式

規(guī)定0!=1.3.二項式定理

注意通項是展開式的第k+1項,不是第k項

名師點析應用二項式定理時要注意(1)區(qū)別“項的系數”與“二項式系數”,審題時要仔細.項的系數與a,b有關,可正可負,二項式系數只與n有關,恒為正.(2)運用通項求展開的一些特殊項,通常都是由題意列方程求出k,再求所需的某項;有時需先求n,計算時要注意n和k的取值范圍及它們之間的大小關系.(3)賦值法求展開式中的系數和或部分系數和,常賦的值為0,±1.(4)在化簡求值時,注意二項式定理的逆用,要用整體思想看待a,b.考向訓練?限時通關熱點小題1

兩個計數原理1.(2021·遼寧大連期末)為控制污染,保護環(huán)境,節(jié)約資源,某市開始實行生活垃圾分類管理.某單位有四個垃圾桶,分別是一個可回收物垃圾桶、一個有害垃圾桶、一個廚余垃圾桶、一個其他垃圾桶.因為場地限制,要將這四個垃圾桶擺放在三個固定角落,每個角落至少擺放一個,則不同的擺放方法共有(如果某兩個垃圾桶擺放在同一角落,它們的前后左右位置關系不作考慮)(

)A.18種 B.24種C.36種 D.72種答案C

解析

根據題意,將四個垃圾桶放到三個固定角落,其中有一個角落放兩個垃圾桶,先選出兩個垃圾桶,有

=6種選法,之后與另兩個垃圾桶分別放在三個不同的角落有

種放法;所以不同的擺放方法共有

=6×6=36種.2.(2021·全國乙,理6)將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓,每名志愿者只分配到1個項目,每個項目至少分配1名志愿者,則不同的分配方案共有(

)A.60種

B.120種C.240種 D.480種答案C

2.(2021·全國乙,理6)將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓,每名志愿者只分配到1個項目,每個項目至少分配1名志愿者,則不同的分配方案共有(

)A.60種

B.120種C.240種 D.480種答案A

解析

先填第一行,有3×2×1=6種不同填法,再填第二行第一列,有2種不同填法,當該單元格填好后,其他單元格唯一確定.根據分步乘法計數原理,共有6×2=12種不同的填法.4.(2021·山東泰安一模)2020年11月,中國國際進口博覽會在上海舉行,本次進博會設置了“云采訪”區(qū)域,通過視頻連線,幫助中外記者采訪因疫情影響無法來滬參加進博會的跨國企業(yè)CEO或海外負責人.某新聞機構安排4名記者和3名攝影師對本次進博會進行采訪,其中2名記者和1名攝影師負責“云采訪”區(qū)域的采訪,另2名記者和2名攝影師分兩組(每組記者和攝影師各1人),分別負責“汽車展區(qū)”和“技術裝備展區(qū)”的現場采訪.如果所有記者、攝影師都能承擔三個采訪區(qū)域的相應工作,則所有不同的安排方案有(

)A.36種 B.48種C.72種 D.144種答案

C解析

根據題意,分3步進行分析:①在4名記者中任選2人,在3名攝影師中選出1人,安排到“云采訪”區(qū)域采訪,有

=18種情況;②在剩下的2名記者中選出1人,2名攝影師中選出1人,安排到“汽車展區(qū)”采訪,有

=4種情況;③將最后的1名記者和1名攝影師,安排到“技術裝備展區(qū)”采訪,有1種情況.則共有18×4×1=72種不同的安排方案.5.(2021·山東臨沂二模)現有標號分別為①,②,③,④,⑤的5件不同新產品,要放到三個不同的機構進行測試,每件產品只能放到一個機構里.機構A,B各負責一個產品,機構C負責余下的三個產品,其中產品①不在機構A測試的情況有

種.(結果用具體數字表示)

答案

16解析

(1)若產品1在機構B測試,則情況數為

=4;(2)若產品1在機構C測試,則情況數為

=12,由分類加法計數原理,知總共有4+12=16種情況.6.(2021·江西南昌模擬)某市要將VR大會展廳前的廣場進行改造,在人行道(斑馬線)兩側劃分5塊區(qū)域(如圖),現有四種不同顏色的花卉,要求每塊區(qū)域隨機種植一種顏色的花卉,且相鄰區(qū)域(有公共邊的區(qū)域)所選花卉顏色不能相同,則不同的種植方式共有

種.

答案

288解析

根據題意,對于區(qū)域①②,可以在4種顏色中任選2種,有

=12種選法;對于區(qū)域③④⑤,可以在4種顏色中任選3種,有

=24種選法,則不同的種植方式有12×24=288種.熱點小題2

排列組合7.(2021·北京豐臺二模)某中學舉行“十八而志,青春萬歲”成人禮,現在需要從4個語言類節(jié)目和6個歌唱類節(jié)目中各選2個節(jié)目進行展演,則語言類節(jié)目A和歌唱類節(jié)目B至少有一個被選中的不同選法種數是(

)A.15 B.45C.60 D.75答案C

解析

從4個語言類節(jié)目和6個歌唱類節(jié)目中各選2個節(jié)目進行展演有

=90種選法,語言類節(jié)目A和歌唱類節(jié)目B都沒有被選中有

=30種選法,所以語言類節(jié)目A和歌唱類節(jié)目B至少有一個被選中的不同選法種數有90-30=60.8.(2021·河北邯鄲一模)中國古典樂器一般按“八音”分類,這是我國最早按樂器的制造材料來對樂器進行分類的方法,最早見于《周禮·春官·大師》.八音分為“金、石、土、革、絲、木、匏、竹”,其中“金、石、木、革”為打擊樂器,“土、匏、竹”為吹奏樂器,“絲”為彈撥樂器.某同學安排了包括“土、匏、竹”在內的六種樂器的學習,每種樂器安排一節(jié),連排六節(jié),并要求“土”與“匏”相鄰排課,但均不與“竹”相鄰排課,且“絲”不能排在第一節(jié),則不同的排課方式的種數為(

)A.960 B.1024C.1296 D.2021答案C

解析

由題意,排課可分為以下兩大類:9.(多選題)(2021·山東日照模擬)A,B,C,D,E五個人并排站在一起,則下列說法正確的有(

)A.若A,B兩人站在一起,則有24種站法B.若A,B不相鄰,則共有72種站法C.若A在B左邊,則有60種站法D.若A不站在最左邊,B不站在最右邊,則有78種站法答案BCD

10.(2021·北京牛欄山一中月考)五聲音階是中國古樂基本音階,故有成語“五音不全”.中國古樂中的五聲音階依次為:宮、商、角、徵、羽.如果把這五個音階全用上,排成一個五個音階的音序,且要求宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側,可排成

種不同的音序.

答案

32

解析

①若“角”在兩端,則宮、羽兩音階一定在角音階同側,此時有2=24種音序;②若“角”在中間,則不可能出現宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側的音序;③若“角”在第二個或第四個位置上,則有2=8種音序;綜上,共有24+8=32種音序.11.(2021·遼寧沈陽期末)一對夫婦帶著他們的兩個小孩去看電影,訂購的4張電影票恰好在同一排且連在一起.為安全起見,影院要求每個小孩子要有家長相鄰陪坐,則不同的坐法種數是

.

答案

16

解析

將兩名家長、孩子全排列有

=24種坐法,其中兩個小孩相鄰且在兩端的有2=8種坐法,故每個小孩子要有家長相鄰陪坐的坐法有24-8=16種.12.(2021·陜西咸陽三模)某單位利用周日安排6名志愿者在某條東西走向的路上相鄰的6個十字路口進行“創(chuàng)文”宣傳活動,每個路口安排1名志愿者,則甲、乙兩名志愿者必須在相鄰兩個路口,丙不在兩端的安排方式共有

種.

答案

144

13.(2021·廣東湛江模擬)疫情期間,為了積極穩(wěn)妥復學工作,市教育局抽調5名工作人員去某街道3所不同的學校開展駐點服務,每個學校至少去1人,若甲、乙兩人不能去同一所學校,則不同的分配方法種數為

.

答案

114

熱點小題3

二項式定理

答案

B

14.(2021·北京海淀一模)在

的展開式中,x4的系數為12,則a的值為(

)A.2 B.-2C.1 D.-115.(2021·山東泰安二模)(

x-y)8的展開式中x2y6的系數是(

)A.28 B.-28 C.56 D.-56答案C

16.(2021·河北唐山三模)已知(1+ax)10(其中a≠0)的展開式的常數項與其各項系數之和相等,則其展開式中x2的系數為(

)A.-45 B.45C.-180 D.180答案D

17.(2021·河北滄州二模)(x2+3x-1)5展開式中x的系數為(

)A.-3 B.3C.-15 D.15答案D

解析

∵(x2+3x-1)5=[(3x-1)+x2]5=(3x-1)5+

(3x-1)4·x2+…+(x2)5,∴含x的項只存在于(3x-1)5中,∴x的系數為

(-1)4×3=15.18.(多選題)(2021·廣東廣雅中學月考)已知

(a>0)的展開式中第5項與第7項的二項式系數相等,且展開式的各項系數之和為1024,則下列說法正確的是(

)A.展開式中奇數項的二項式系數和為256B.展開式中第6項的系數最大C.展開式中存在常數項D.展開式中含x15項的系數為45答案BCD

19.(多選題)(2021·河北石家莊一模)已知(1-2x)2021=a0+a1·x+a2·x2+…+a2021·x2021(x∈R),則(

)A.a0=1B.a1+a2+a3+…+a2021=32021D.a1-a2+a3-a4+…+a2021=1-32021答案AD

解析

令x=0,則12

021=a0,即a0=1,故A正確;令x=1,則(1-2)2

021=a0+a1+a2+…+a2

021,即a0+a1+a2+a3+…+a2

021=-1,所以a1+a2+a3+…+a2

021=-2,故B錯誤;20.(2021·山東臨沂二模)的展開式中常數項為

.(用數字表示)

21.(2021·山東聊城二模)已知

的展開式中各項系數的和為3,則展開式中的常數項為

.

答案

-320

22.(2021·浙江,13)已知多項式(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,則a1=

,a2+a3+a4=

.

答案

5

10解析

因為a1為展開式中x3的系數,令x=1,則有1+a1+a2+a3+a4=(1-1)3+(1+1)4=16,所以a2+a3+a4=16-5-1=10.小題點5數學文化考向訓練?限時通關1.(2021·山東菏澤期末)明朝早期,鄭和在七下西洋的過程中,將中國古代天體測量方面所取得的成就創(chuàng)造性應用于航海,形成了一套自成體系且行之有效的先進航海技術——“過洋牽星術”.簡單地說,就是通過觀測不同季節(jié)、時辰的日月星辰在天空運行的位置和測量星辰在海面以上的高度來判斷方位,其采用的主要工具為牽星板,由12塊正方形木板組成,最小的一塊邊長約為2厘米(稱一指).觀測時,將木板立起,一手拿著木板,手臂垂直,眼睛到木板的距離大約為72厘米,使牽星板與海平面垂直,讓板的下邊緣與海平面重合,上邊緣對著所觀測的星辰,與其相切,依高低不同替換、調整木板,木板上邊緣與被觀測星辰重合時所用的是幾指板,觀測的星辰離海平面的高度就是幾指,然后就可以推算出船在海中的地理緯度.如圖所示,若在一次觀測中,所用的牽星板為九指板,則sin2α=(

)答案

C

2.(2021·山東臨沂二模)在天文學上恒星的亮度一般用星等來表示,直接測量到的天體亮度被稱為視星等m,而把天體置于10秒差距的距離處所得到的視星等稱為絕對星等M,它能反映天體的發(fā)光本領.如果我們觀測到了恒星的光譜,可以知道一些恒星的絕對星等,就可以利用光譜視差法來獲得這些恒星的距離.下表是某校天文愛好者社團在網上收集到一些恒星的相關數