江西省2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

江西省2024—2025學(xué)年第一學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)試卷試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.考查范圍：選擇性必修第一冊(cè).2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡指定位置上.3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知隨機(jī)變量，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)直接求解即可.【詳解】由，得，故．故選：B2.若隨機(jī)變量，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，故．故選：C．3.如圖，在四面體OABC中，為BC的中點(diǎn)，，且為OG的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意，,故選：A4.直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.無(wú)法判斷【答案】C【解析】【分析】求出圓心到直線距離，和半徑比較后得到答案.【詳解】的圓心為，半徑為25，到的距離為，故直線與圓相交，公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.故選：C5.已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，且與雙曲線有相同的漸近線，則的方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)雙曲線方程為，將代入，求出，可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)，且與雙曲線有相同的漸近線，所以設(shè)雙曲線方程，將代入，可得，則，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．故選：D．6.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，然后由指數(shù)為整數(shù)得到的取值，得出結(jié)果.【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為．其中當(dāng)k的值分別為0，2，4時(shí)，為有理項(xiàng)，共有3項(xiàng)．故選：B．7.已知圓與圓有三條公切線，則（）A.5 B.16 C.32 D.36【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩圓有三條公切線可判斷兩圓外切，再利用兩圓外切的判定方法列方程即得.【詳解】由可知圓心為，半徑為2；由可知且圓心為，半徑為.因兩個(gè)圓有三條公切線可知兩圓外切，即，解得：.故選：C.8.在正方體中，空間中一動(dòng)點(diǎn)滿足，則直線與直線所成角正弦值的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，由條件求得，設(shè)直線與直線所成角為，利用空間向量夾角公式求出，通過(guò)換元，將其化成，利用的范圍和不等式性質(zhì)即可求得.【詳解】如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.則，設(shè)點(diǎn)，則，由可得：，解得，則，，設(shè)直線與直線所成角為，則，于是，設(shè)，因，故，則即，因，則，則，即，因，則得.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解異面直線的夾角的方法主要有：平移法：將異面直線中的一條或兩條利用平移使其相交，通過(guò)解三角形求得；坐標(biāo)法：通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和向量坐標(biāo)，利用空間向量夾角的坐標(biāo)公式求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知向量，則（）A. B.同方向上的單位向量的坐標(biāo)為C. D.在上的投影向量的模為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)?，，所?對(duì)于A：因?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，即方向上的單位向量是，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由，故D正確.故選：BD.10.記，則（）A.若S的展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，則n是7的倍數(shù)B.若S的展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，則n是6的倍數(shù)C.若n是奇數(shù)，則第項(xiàng)一定是S的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)D.若n是偶數(shù)，則第項(xiàng)是S的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)【答案】AD【解析】【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式寫出的展開(kāi)式的通項(xiàng)，再研究常數(shù)項(xiàng)，及當(dāng)是奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)的情況即可.【詳解】易得該二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，對(duì)于A，B選項(xiàng)，若S的展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，則是常數(shù)，即，因?yàn)閞，n為正整數(shù)，故n是7倍數(shù)，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)閚是奇數(shù)，設(shè)，則，所以第項(xiàng)為，其系數(shù)為，不能確定正負(fù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)閚是偶數(shù)，設(shè)，則，所以第項(xiàng)為，其二項(xiàng)式系數(shù)最大，故D正確．故選：AD.11.已知某高校開(kāi)展一項(xiàng)課外研學(xué)活動(dòng)，參與活動(dòng)并提交研學(xué)論文可以獲得學(xué)分，且該高校對(duì)論文的評(píng)定分為兩個(gè)等級(jí)：合格，不合格．評(píng)定為合格可以獲得0.2學(xué)分，評(píng)定為不合格不能獲得學(xué)分．若評(píng)定為不合格，則下一次評(píng)定為合格的概率為，若評(píng)定為合格，則下一次評(píng)定為合格的概率為．已知包括小明與小剛在內(nèi)共名同學(xué)均參加了3次研學(xué)活動(dòng)，且每次研學(xué)活動(dòng)結(jié)束后，這名同學(xué)排隊(duì)依次提交研學(xué)論文，則（）A.若小明第一次評(píng)定為不合格，則小明最終獲得0.4學(xué)分的概率為B.若小剛第一次評(píng)定為合格，則小剛第三次評(píng)定為合格的概率為C.若在某一次研學(xué)活動(dòng)中，小明和小剛既不是最先也不是最后提交研學(xué)論文，則有種提交順序D.若在某一次研學(xué)活動(dòng)中，小明和小剛提交研學(xué)論文的順序不相鄰，則有種提交順序【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)獨(dú)立事件乘法公式計(jì)算判斷A，應(yīng)用全概率公式結(jié)合對(duì)立事件概率計(jì)算判斷B，應(yīng)用乘法原理結(jié)合組合公式計(jì)算判斷C，先求所有排序情況減去小明和小剛相鄰時(shí)的排法判斷D.【詳解】對(duì)于A，若小明第一次評(píng)定為不合格，則小明獲得0.4學(xué)分的概率為，故A正確；對(duì)于B，設(shè)事件“第i次評(píng)定為合格”，由全概率公式可得小剛第三次合格的概率為，故B正確；對(duì)于C，先排小明，有種方式，再排小剛，有種方式，最后排其余所有人，有種方式，則一共有種方式，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，無(wú)限制時(shí)，排序方式有種方式，小明和小剛相鄰時(shí)，將小明和小剛視一組，有2種方式，與其余人排序，有種方式，所以一共有種方式，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線滿足，則______.【答案】1【解析】【分析】由兩直線垂直的判定方法列方程求解即得.【詳解】由可得：，解得：或（舍去），即.故答案為：1.13.根據(jù)下表數(shù)據(jù)得到y(tǒng)關(guān)于x的線性回歸方程，則______．x1234y1458【答案】1【解析】【分析】根據(jù)給定的數(shù)表求出樣本的中心點(diǎn)，再利用回歸直線方程求出的值.【詳解】，所以，解得．故答案為：114.現(xiàn)將8個(gè)體積相同但質(zhì)量均不同的小球放入恰好能容納8個(gè)小球且底面圓直徑與小球直徑相同的圓柱形卡槽內(nèi)，這8個(gè)小球分別為2個(gè)紅球、4個(gè)白球、2個(gè)黑球，若4個(gè)白球互不相鄰，且其中一個(gè)白球不能放入卡槽的兩端，則共有______種不同的放法；若2個(gè)紅球之間恰好有白球和黑球各1個(gè)，則共有______種不同的放法．【答案】①.1728②.3840【解析】【分析】依題意可將把8個(gè)小球放入卡槽內(nèi)的過(guò)程轉(zhuǎn)化為這8個(gè)小球位置上的排列組合問(wèn)題，若4個(gè)白球互不相鄰，且其中一個(gè)白球不能放入卡槽的兩端，先排紅球和黑球，再利用插空法排白球，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；若2個(gè)紅球之間恰好有白球和黑球各1個(gè)，先任選1個(gè)白球，1個(gè)黑球放入2個(gè)紅球中間，再將1個(gè)白球，1個(gè)黑球和2個(gè)紅球進(jìn)行捆綁與剩余的4個(gè)小球進(jìn)行全排列，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【詳解】由題意可將把8個(gè)小球放入卡槽內(nèi)的過(guò)程轉(zhuǎn)化為這8個(gè)小球位置上的排列組合問(wèn)題，若4個(gè)白球互不相鄰，且其中一個(gè)白球不能放入卡槽的兩端，先排紅球和黑球共有種方法，再排其中1個(gè)白球有種方法，最后排剩余的3個(gè)白球有種方法，所以共有種不同的放法．若2個(gè)紅球之間恰好有白球和黑球各1個(gè)，先任選1個(gè)白球，1個(gè)黑球放入2個(gè)紅球中間，有種方法，又2個(gè)紅球的放法有種，再將1個(gè)白球，1個(gè)黑球和2個(gè)紅球進(jìn)行捆綁與剩余的4個(gè)小球進(jìn)行全排列有種，所以共有種不同的放法．故答案為：；四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，且.（1）求的準(zhǔn)線方程；（2）若點(diǎn)位于第一象限，求在點(diǎn)處的切線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線焦半徑公式計(jì)算得出，再得出拋物線方程進(jìn)而得出準(zhǔn)線方程即可；（2）先設(shè)直線方程，再聯(lián)立方程組，再分和..兩種情況，直線與相切求參即可得出直線方程.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閽佄锞€，，所以，所以，可得所以的準(zhǔn)線方程為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，又位于第一象限，所以，所以，過(guò)點(diǎn)的直線與相切，若直線斜率不存在，不符合題意；設(shè)直線與，由，得，當(dāng)時(shí)，，即，即，當(dāng)時(shí)，，與拋物線相交，不符合題意；所以的方程為，即.16.現(xiàn)有一質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個(gè)面分別標(biāo)著數(shù)字1~6），連續(xù)投擲兩次，記m，n分別為第一次、第二次投擲后朝上的點(diǎn)數(shù)，設(shè)離散型隨機(jī)變量．（1）求和的值；（2）求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1），（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）由古典概型概率公式求解即可；（2）由古典概型概率公式求得概率，再結(jié)合期望公式求解即可；【小問(wèn)1詳解】由題意可得離散型隨機(jī)變量X表示連續(xù)兩次投擲得到的點(diǎn)數(shù)中大的點(diǎn)數(shù)與小的點(diǎn)數(shù)的差，連續(xù)投擲兩次骰子，得到的點(diǎn)數(shù)共有36種可能，其中得到的點(diǎn)數(shù)中點(diǎn)數(shù)之差為0的可能情況有6種，故．其中得到的點(diǎn)數(shù)中大的點(diǎn)數(shù)與小的點(diǎn)數(shù)的差為1的可能情況有10種，，故．【小問(wèn)2詳解】由題意可得X的可能取值有0，1，2，3，4，5，的情況有，8種，的情況有，6種，的情況有，4種，的情況有，2種，所以，，可得分布列如下：X012345P故．17.如圖，三棱錐的棱上存在一點(diǎn)，使得平面底面，點(diǎn)在棱上，且平面.（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直可得線面垂直，再得線線垂直，可得線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求平面與平面夾角的余弦即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槠矫娴酌?，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所?又因?yàn)槠矫?，平面，所?又，平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】由（1）知平面，平面，所以，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，過(guò)點(diǎn)A垂直底面的直線為軸，建立如圖所示的空直角坐標(biāo)系.因?yàn)槠矫妫矫妫?又，所以，得則，故，依題意，平面的一個(gè)法向量為設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則設(shè)平面與平面的夾角為，所以，因此平面與平面夾角的余弦值為18.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率不為0的直線交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作的垂線，交于兩點(diǎn).當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，四邊形的面積為6.（1）求的方程；（2）求的取值范圍；（3）證明：.【答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，橢圓方程中，令，得坐標(biāo)，則由四邊形面積建立方程，結(jié)合解方程組可得；（2）設(shè)點(diǎn)，則，利用兩點(diǎn)距離公式得求函數(shù)最值可得；（3）設(shè)相關(guān)各點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合（2）式，化斜為直，將所證結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明，再設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理得關(guān)系進(jìn)而消參，同樣的方法處理，再利用直線方程分別化簡(jiǎn)可得相等關(guān)系.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，①當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，在橢圓方程中，令，可得，所以，由題意可知四邊形為矩形，則其面積，②聯(lián)立①②解得故的方程為．【小問(wèn)2詳解】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，且斜率不為0，則，且，所以，則，由，故．【小問(wèn)3詳解】設(shè)，且，故，且.由（2）可得，，同理有.故要證，即證（）.由題意直線斜率不為，則直線和的斜率存在，設(shè)斜率為，則的方程為，聯(lián)立，得，即，當(dāng)時(shí)，由韋達(dá)定理得，故；當(dāng)時(shí)，由韋達(dá)定理得，也適合上式；故；同理可得.所以代入（）式化簡(jiǎn)整理可得，（）左邊；（）右邊；①當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí)，的方程為，故，則，且，則（）左邊；（）右邊；故．②當(dāng)?shù)男甭什淮嬖诩磿r(shí)，則，等式顯然成立．綜上所述，得證．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)，一是借助橢圓方程坐標(biāo)代入，將化簡(jiǎn)為（利用橢圓第二定義也可得到），同理可化簡(jiǎn)，進(jìn)而將所證結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明；二是聯(lián)立直線與橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理得到及的關(guān)系，進(jìn)而代入消參、化簡(jiǎn)求證結(jié)論.19.對(duì)于樣本空間中的隨機(jī)事件A和隨機(jī)事件B，定義：表示在事件A發(fā)生的條件下事件B的發(fā)生強(qiáng)度，表示在事件發(fā)生的條件下事件B的發(fā)生強(qiáng)度．某著名生物科研所為研究上班族患有肥胖癥與經(jīng)常喝“肥宅快樂(lè)水”的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了某地區(qū)100位上班族，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示．患有肥胖癥不患有肥胖癥合計(jì)經(jīng)常喝16不經(jīng)常喝1852合計(jì)100（1）完善上述列聯(lián)表并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為該地區(qū)上班族患有肥胖癥與經(jīng)常喝“肥宅快樂(lè)水”之間有關(guān)聯(lián)；（2）證明；（3）從該地區(qū)的上班族中任取一位，記事件A為“此人患有肥胖癥”，B為“此人經(jīng)常喝肥宅快樂(lè)水”，利用調(diào)查的樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)的值．附：，其中．0.10.050.0