《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)教案

第1章函數(shù)、極限與連續(xù)

授偏序號01

教學(xué)基本指標

教學(xué)課題第1章第1節(jié)函數(shù)課的類型新知識課

教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合

教學(xué)重點反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)教學(xué)難點反三角函數(shù)

參考教材同濟七版《高等數(shù)學(xué)》作業(yè)布置課后習(xí)題

大綱要求1.理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，并會建立簡單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式。

2.了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。

3.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。

4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。

教學(xué)基本內(nèi)容

預(yù)備知識

1.集合

(1)集合的定義：一般說來，由一些確定的不同的研究對象構(gòu)成的整體稱為集合.構(gòu)成集合的對象，稱

為集合的元素.

(2)集合的表示.

(3)集合的元素的性質(zhì)：確定性、互異性、無序性.

(4)高等數(shù)學(xué)中常用數(shù)集及其記法.

2.區(qū)間與鄰域

(1)有限區(qū)間與無限區(qū)間及其記法.

(2)鄰域：集合｛那一垢上色3＞0｝表示開區(qū)間(/一夕天十力，稱之為點X。的內(nèi)鄰域，記作

1/(%,6).七稱為鄰域中心，5稱為鄰域半徑.

(3)去心鄰域：集合何0小一七|vS,b＞。｝,表示(%-3,天川(入0，豌＞+3),稱之為點七的b去心

鄰域，記作6(/,b).

3.映射

(1)定義：設(shè)x、y是兩個非空集合，如果存在一個法則了,使得對x中每個元素x按照法則/，在y中

有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，則稱f為從X到Y(jié)的映射,記作

其中y稱為元素x(在映射/下)的像，并記作了(勸，即

y=/a)，

而元素1稱為元素y(在映射/下)的一個原像；集合X稱為映射/的定義域，記作即

Df=X.

X中所有元素的像所組成的集合稱為映射，的值域，記為R/,或/(X),即

Rf=f(X)={f(x)\xeX}.

(2)滿射、單射和雙射

設(shè)/是從集合x到集合丫的映射，若勺=丫,即丫中任一元素y都是x中某元素的像，則稱/為x

到y(tǒng)上的滿射；若對x中任意兩個不同元素玉工W，它們的像/(%)工八工2)，則稱/為x到丫的單射；若映

射了既是單射，又是滿射，則稱/為雙射(或一一映射).

(3)逆映射與復(fù)合映射

設(shè)/是X到y(tǒng)的單射，則由定義，對每個ywR/,有唯一的xwx,適合/Cr)=y,于是，我們可定

義一個從勺到X的新映射g,即

g：Rf—x,

對每個規(guī)定g(y)=x,其中x滿足/(x)=y.這個映射g稱為/的逆映射，記作其定義域

D—Rf,值域&T=X.

設(shè)有兩個映射

g：x->K,/：公->z，

其中Xu^.則由映射g和/可以定出一個從X到Z的對應(yīng)法則，它將每個xeX映射成/[g(x)]￡Z.顯

然，這個對應(yīng)法則確定了一個從X到Z的映射，這個映射稱為映射g和7構(gòu)成的復(fù)合映射，記作/。8，即

fog:X-Z,

(fog)(x)=f(g(x)),xwX.

二.函數(shù)

1.函數(shù)定義

(1)設(shè)。是一個給定的非空數(shù)集.若對任意的VxwO,按照一定法則f,總有唯一確定的數(shù)值y與之對

應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，記為y=/(x).數(shù)集。稱為函數(shù)的定義域，x為自變量，y為因變量.函數(shù)值的

全體卬=卜|〉=/(司/￡。}稱為函數(shù)/(1)的值域.

(2)函數(shù)的兩要素：定義域與對應(yīng)法則是確定函數(shù)的兩要素，兩要素可以作為判斷兩個函數(shù)是否相同的

標準.

(3)兩函數(shù)相等

2.常見的分段函數(shù)

在自變量的不同變化范圍內(nèi)，對應(yīng)法則用不同數(shù)學(xué)式子來表示的函數(shù)稱為分段函數(shù).

(1)絕對值函數(shù)

(2)符號函數(shù)

(3)取整函數(shù)

(4)狄利克雷函數(shù)

3.函數(shù)的性質(zhì)及四則運算

(1)函數(shù)的有界性：有上界、有下界、有界

定理：函數(shù)y=在其定義域上有界的充分必要條件是它在定義域。上既有上界又有下界.

(2)函數(shù)的單調(diào)性

嚴格單調(diào)增加和嚴格單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為嚴格單調(diào)函數(shù).一般情況下，若不單獨說明，本書所指單調(diào)增

加(減少)即為嚴格單調(diào)增加(減少).

(3)函數(shù)的奇偶性

(4)函數(shù)的周期性

(5)函數(shù)的四則運算

4.反函數(shù)

(1)定義：設(shè)函數(shù)y=(。是定義域，W是值域).若對于任意一個ywW,。中都有唯

一確定的x與之對應(yīng)，這時“是以W為定義域的y的函數(shù)，稱它為y=/(x)的反函數(shù)，記作x=fT(y),ycW.

習(xí)慣上往往用字母x表示自變量，字母y表示函數(shù).為了與習(xí)慣一致，將反函數(shù)x=/T(y),yeW的變量對

調(diào)字母X、y,改寫成y=.

今后凡不特別說明，函數(shù))，=f(x)的反函數(shù)均記為)，=/-'(x),JVwW形式.

在同一直角坐標系下，y=與反函數(shù)y=的圖形關(guān)于直線尸x對稱.

(2)定理：單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)，且單調(diào)增加(減少)的函數(shù)的反函數(shù)也是單調(diào)增加(減少)的.

(3)介紹反三角函數(shù).

5.復(fù)合函數(shù)

(1)定義：設(shè)有函數(shù)鏈y=/(〃)，“上巧，u=g(x\xeDf且0J。,，則y=/k。)],xe。稱

為由式(1.1),(1.2)確定的復(fù)合函數(shù)，〃稱為中間變量.

這個新函數(shù)y=.f(g(x))稱做由尸/(“)和〃=g(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，〃=g(x)稱為內(nèi)層函數(shù)，y=fiu)

稱為外層函數(shù)，”稱為中間變量.

(2)復(fù)合函數(shù)不僅可以由兩個函數(shù)經(jīng)過復(fù)合而成，也可以由多個函數(shù)相繼進行復(fù)合而成.

6.初等函數(shù)

(1)基本初等函數(shù)：累函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).

(2)初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限次復(fù)合運算所構(gòu)成的并能用一個式子表示的

函數(shù)，稱為初等函數(shù).

(3)雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)

三.例題講解

x—\I

例1.確定函數(shù)y=arcsin------------/的定義域.

例2.某河道的一個斷面圖形，其深度y與一岸邊點O到測量點的距離工之間的對應(yīng)關(guān)系如圖1.3中曲線

所示.

xb

~o\~7~F

y

b

圖L3

這里深度y與測距工的函數(shù)關(guān)系是用圖形表示的，定義域。=[。,句.

2

[\l\-x9LI<L

例3.確定函數(shù)f（x）=〈的定義域并作出圖形.

[x2-1,1<|x|<2

例4.求函數(shù)y=sinx-sinN的值域.

例5.某城市制定每戶用水收費（含用水費和污水處理費）標準（參見下表）:

用水量不超出10立方的部分超出10立方的部分

收費（元/立方）1.302.00

污水處理費（元/立方）0.300.80

那么每戶用水量x（立方）和應(yīng)交水費y（元）之間的函數(shù)關(guān)系是怎樣的呢？

例6.某工廠生產(chǎn)某型號車床，年產(chǎn)量為〃臺，分若干批進行生產(chǎn)，每批生產(chǎn)準備費為方元.設(shè)產(chǎn)品均勻投入

市場，且上一批用完后立即生產(chǎn)下一批，即平均庫存為批量的一半.設(shè)每年每臺庫存費為。元.顯然生產(chǎn)批量大

則庫存費高；生產(chǎn)批量少則批量增多，因而生產(chǎn)準備費高.為了選擇最優(yōu)批量，試求出一年中庫存費與生產(chǎn)準備

費的和與批量的函數(shù)關(guān)系.

梭裸星號02

教學(xué)基本指標

教學(xué)課題第1章第2節(jié)極限的概念與性質(zhì)課的類型新知識課

教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合

教學(xué)重點數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念與性質(zhì)教學(xué)難點數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念

參考教材同濟七版《高等數(shù)學(xué)》上冊作業(yè)布置課后習(xí)題

大綱要求理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。

教學(xué)基本內(nèi)容

數(shù)列極限的概念

1數(shù).列定義

2.數(shù)列極限的定義

（1）對于數(shù)列｛七｝,當〃無限增大（〃—8）時，若相無限趨近于一個確定的常數(shù)Q,則稱。為〃趨于無窮大

時數(shù)列｛七｝的極限（或稱數(shù)列收斂于〃），記作:弱%=〃或（〃-8）：此時，也稱數(shù)列｛%｝的

極限存在；否則，稱數(shù)列｛玉｝的極限不存在（或稱數(shù)列是發(fā)散的）.

（2）（C—N定義）設(shè)｛玉｝為一數(shù)列，〃是常數(shù)，如果對X/￡>0,3/VeN+,使得對于滿足〃〉N的一切七，

總有-a]<￡.則稱。為數(shù)列｛xM>的極限（或稱數(shù)列收斂于a）,記作limxn=a或xnfa（/?—>oo）.

（3）數(shù)列極限的幾何意義：任意給定正數(shù)￡,當〃>N時，所有的點七都落在（〃-￡,〃+￡）內(nèi)，只有有限

個（至多只有N個）落在其外.

數(shù)列極限的性質(zhì)

1.（唯一性）收斂數(shù)列的極限是唯一的.

2.（有界性）收斂數(shù)列是有界的.

注（1）定理1.3中的M顯然不是唯一的，重要的是它的存在性.

（2）有界性是數(shù)列收斂的必要條件，例如，數(shù)列｛（一1）向｝有界但不收斂.

（3）無界數(shù)列必定發(fā)散.

3.（保序性）若limX”=4,lim%=6,且貝歸NGN',使得當時，有xn>yn.

注：（1）若mNwN+,使得當時，>0（或K0）,則々NO[或aKO）.

（2）（保號性）若。>0（或<0）,則mNwNJ使得當〃〉N時，%>0（或怎v0）.

三.子列

1.定義：在數(shù)列｛X』中任意抽取無限多項，保持這些項在原數(shù)列中的先后次序不變，這樣得到的新數(shù)列稱為數(shù)

列｛X，的子數(shù)列，簡稱子列.

2.定理：(收斂數(shù)列與子列的關(guān)系)若數(shù)列｛X.｝收斂于則其任意子數(shù)列也收斂于〃.

注：該定理的逆否命題常用來證明數(shù)列｛x“｝發(fā)散，常見情形如下：

(1)若數(shù)列｛X」有兩個子數(shù)列分別收斂于不同的極限值，則數(shù)列｛￡｝發(fā)散；

(2)若數(shù)列｛%“｝有一個發(fā)散的子數(shù)列，則數(shù)列｛*“)發(fā)散.

四.函數(shù)極限的概念

1.自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限

(1)定義：(描述性定義)設(shè)函數(shù)y=/(x),在|工|>。〉0時有定義，當工的絕對值無限增大(X—8)E寸,

若函數(shù)/(x)的值無限趨近于一個確定的常數(shù)A,則稱常數(shù)A為XT8時函數(shù)/(x)的極限.記作

limf(幻=A或/(x)->A(xf8).

NT8

比時也稱極限lim/(x)存在，否則稱極限lim/(x)不存在.

XTQOX—>00

(2)定義：(￡-X定義)設(shè)函數(shù)y=/(x)在國大于某一正數(shù)時有定義，如果存在常數(shù)A,對于任意給定的

正數(shù)￡(不論它有多小)，總存在正數(shù)X,使得當不滿足不等式W>X時，對應(yīng)的函數(shù)值/(%)都滿足不等式

則稱常數(shù)A為x-8時函數(shù)/㈤的極限.記作則/(x)=A或/⑴-A(X-8).

(3)極限場/(幻=4的幾何意義：任意給定正數(shù)￡,作直線〉=4+￡與〉=4一￡,總能找到一個

X>0,當k|>X時，函數(shù)》=/(幻的圖像全部落在這兩條直線之間.

(4)定理：極限lim/(x)存在的充分必要條件是limf(x)與lim都存在且相等，即

limf(x)=Aolimf(x)=A=limf(x).

X->-00

2.自變量趨向有限值時函數(shù)的極限

(1)定義：(描述性定義)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點］。的某一去心鄰域有定義，當不無限地趨近于%(但xw%)時,

若函數(shù)/(?無限地趨近于一個確定的常數(shù)A,則稱A為當/時函數(shù)的極限.記作

lim/*)=A或f(x)-A(x-.

這時也稱極限limf(x)存在，否則稱極限limf(x)不存在.

KT麗Xf”

(2)定義：(￡—5定義)設(shè)函數(shù)y=/(x)在點小的某一去心鄰域有定義，如果存在常數(shù)A,對于任意給定的

正數(shù)￡(不論它有多小)，總存在正數(shù)b,使得當x滿足不等式0<卜<6時，對應(yīng)的函數(shù)值/(力都滿足不

等式

\f(x)-A\<￡,

則稱常數(shù)A為當工時函數(shù)/(X)的極限.記作：lim/(x)=A或/(x)->A(x^x0).

(3)極限limf(x)=A的幾何意義：任意給定正數(shù)￡,作直線y=4+￡與、=,總能找到點小的一個

XT%

5鄰域(%-夕天+㈤，使得當1￡(/-5,%11(毛,兒+5)時，函數(shù)y=/(幻的圖像全部落在這兩條直線之間.

(4)定義：設(shè)函數(shù)y=/(x)在點小的左鄰域有定義，如果自變量x從小于%的一側(cè)趨近于七時，函數(shù)無

限趨近于一個確定的常數(shù)A,則稱A為當時函數(shù)〃力的左極限，記作：

lim/(x)=4或f(x0-0)=A或/(溫)=A.

(5)定義：(￡一5定義)設(shè)函數(shù)y=/(x)在點/的左鄰域(與-6，工。)有定義，如果存在常數(shù)A.對于任意

給定的正數(shù)￡(不論它有多小)，總存在正數(shù)6(0<5<的)，使得當x滿足不等式』-b<xvx0時，有

|/(x)-4|<￡,則limf(x)=A.

XfqJ

(6)定義：設(shè)函數(shù))，=/(x)在點小的右鄰域有定義，如果自變量不從大于超的一側(cè)趨近于七時，函數(shù)無

限趨近于一個確定的常數(shù)A,則稱A為當x->.%時函數(shù)/。)的右極限，記作：

lim/3)=4或/(/+0)=A或f(x；)=A.

XT%'

⑺定義：(￡—5定義)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點七的右鄰域(％,與+2)有定義，如果存在常數(shù)A.對于任意給

定的正數(shù)￡(不論它有多小)，總存在正數(shù)5(0<5<心)，使得當不滿足不等式+5時，有

|/(x)-A\<￡t則limf(x)=A.

(8)定理：極限lim/(x)存在且等于A的充分必要條件是左極限limf(x)與右極限lim/(x)都存在且等

XT與4fM'

于A.即limf(x)=A<=>limf(x)=limf(x)=A.

Xf與XT0-X->AQ>

五.函數(shù)極限的性質(zhì)(以limf(x)為例說明)

1.(唯一性)若極限lim/(x)存在，則極限是唯一的.

2.(局部有界性)若limf[x｝存在，則/⑴在天的某去心鄰域灰工。)內(nèi)有界.

3.(局部保序性)設(shè)lim/㈤與limga)都存在，且在某去心鄰域灰與)內(nèi)有/a)4g(x),則

limf(x)<limg(x).

4.(局部保號性)若lim/U)=A>0(A<0),則對一切有/(x)>0或(/。)<0).

XT&

5.定理：(海涅定理)設(shè)函數(shù)y=/(x)在點小的某一去心鄰域有定義，則lim/(x)=A的充要條件是對

任何收斂于Xo的數(shù)列｛%｝(七二七,〃wN*),都有l(wèi)imf(xn)=A.

注海涅定理的否命題常用于證明函數(shù)在七點的極限不存在，常見情形如下:

(1)若存在以小為極限的兩個數(shù)列““｝與｛%｝,使得lim/(x〃)與都存在，但

limf(x)工lim/(v)，則limf(x)不存在；

00n00Xfq>

(2)若存在以天為極限的數(shù)列*“｝,使得lim/(乙)不存在，則lim/(幻不存在.

〃一?8XT%

六.例題講解

例1.已知Z=n+(~[)n,證明數(shù)列｛%｝的極限為1.

(-ir

例2.已知七=八一彳，證明limx,=0.

(rt+1)”T8

例3.設(shè)|q|<1,證明等比數(shù)列1,q,/I,…的極限是o

例4.考察極限limarctanx與lime'是否存在？

x->oox-?oo

X2—1

例5.考察極限lim——是否存在？

“IX-1

例6.考察下列函數(shù)當1.1時，極限11弋/(x)是否存在?

2Hx<1,

(2)f(x)=\0,

⑴八加2匚%=1,

x>\.

例7.討論當xf0時，函數(shù)f(x)=sin」的變化趨勢.

X

梭德格號03

教學(xué)基本指標

教學(xué)課題第1章第3節(jié)極限的運算法則課的類型復(fù)習(xí)、新知識課

教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合

教學(xué)重點四則運算法則、復(fù)合函數(shù)的極限、夾逼準則、兩教學(xué)難點復(fù)合函數(shù)的極限、夾逼準則

個重要極限

參考教材同濟七版《高等數(shù)學(xué)》上冊作業(yè)布置課后習(xí)題

大綱要求1.掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則。

2.掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。

教學(xué)基本內(nèi)容

極限的四則運算法則

定理:如果lim/(x)與limg(x)都存在，且lim/*(*)=米,limg(x)=A，則

(1)lim[/(x)±g(x)]存在，且有l(wèi)im[/(x)±g(x)]=lim/(x)±limg(x)=A±3;

(2)lim[/(x)?g(x)]存在，且有l(wèi)im[/(x)?g(x)]=lim/(x)?limg(x)=A?8;

../(x)lim/(x)A

(3)若BHO,則]im旦也存在，且有hm,、=「/、=一

g(x)g(x)hmg(x)B

推論設(shè)lim/(x)存在，且lim/(x)=4，則

(1)若c是常數(shù)，則lim[c/(x)]存在，且有l(wèi)im0(x)]=clim/(x);

(2)若。為正整數(shù),則lim[/(x)『存在，且有l(wèi)im[f(x)『=[limf(x)『=A。

二.復(fù)合函數(shù)的極限

定理：設(shè)lim/(?)=A?lim(p(x)=M0?且在點x0的某去心鄰域內(nèi)*"0,則由y=/(?)和〃=(p(x)

復(fù)合而成的函數(shù)y=/[o(x)]的極限存在，且lim/[^(x)]=limf(u)=A.

XT??->?<>

三.極限存在準則

1.定理：(數(shù)列極限的夾逼準則)如果數(shù)列｛七｝,｛yn｝及｛zj滿足下列條件：

(1)yx?<z,H=1,2,???；(2)limy=limz=a,

nMW^OOnM—KOH

則數(shù)列｛七｝的極限存在，且!iy/=a.

2.定理：（函數(shù)極限的夾逼準則）設(shè)函數(shù)/（*）、g*）、h（x）在與的某去心鄰域譏（或

內(nèi)有定義，且滿足下列條件:

(1)當xclxIOVx-Xo|<5}(或時，有g(shù)(x)4力(x)成立;

⑵limg(x)=lim〃(x)=a,則limf(x)存在，且limf(x)=a.

XT鳳

(A->0O)(X->00)(x-xe)

3.定理：（單調(diào)有界原理）單調(diào)有界數(shù)列必有極限.

四.兩個重要極限

sinx

1.重要極限Ilim

XTOx

2.重要極限11lim(l+—

Lx

五.例題講解

例1.求lim(3x2-2x+l).

X>1

例2.求lim/3-1.

12V-5X+3

7r.1o1-2〃2—2〃+3

例3.求hm-----j-----

“->83〃+1

例4.求lim

:23

13X-9

例5.求lim

w-xo

例6.求極限黨（d+5x-l尸.

例7.求limf-3—----+,----+???+,-----

+in~+n+2n-+n+nj

例8.設(shè)〃>0,Xj>0?xn+l=—(xnH—)(n=1,2,-??),

2Z

(1)證明lim怎存在；⑵求hmx.

rr->00rr->con

例9.求lim螞二

KT。X

例10.求lim史上(&為非零常數(shù)).

XT°X

H一七1-1-COSX

例11.求lim---；—.

x-?0XT

￡

例12.求極限iim(l+2x)\

XTO

7

例13.求極限lim（l--）A+,.

I00X

例14.（信息傳播規(guī)律）信息傳播是現(xiàn)實生活中普遍存在的現(xiàn)象，口新月異發(fā)展的信息媒介給信息傳播提供

了溫床，使得信息給人類生活及認知帶來了更多的影響.在傳播學(xué)中有這樣一個規(guī)律：在一定的狀況下，信息

的傳播可以用下面的函數(shù)關(guān)系來表示：

其中〃（。表示，時刻人群中知道該信息的人數(shù)比例，Q、&均為正數(shù).

通過lim〃⑺=lim—二=1，我們知道，時刻人群中知道此信息的人數(shù)比例為100%,這就從數(shù)學(xué)理論上

解釋了信息傳播的威力.例如，在“SARS病毒”時期人們搶購板藍根藥物、白醋?、口罩等，甲流感病毒襲來時

人們“搶購大蒜”的瘋潮，日本發(fā)生核輻射泄漏后的驚動，在日本掀起了一場“搶鹽”的瘋狂行為.很顯然信

息傳播會呈現(xiàn)出這樣一個規(guī)律：隨著時間的慢慢推移，最終所有的人都洛會知道這個信息.

根謂星號

教學(xué)基本指標

教學(xué)課題第1章第4節(jié)無窮小與無窮大課的類型新知識課

教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合

教學(xué)重點無窮小與無窮大的定義，無窮小階的比較教學(xué)難點無窮小階的比較

參考教材同濟七版《高等數(shù)學(xué)》上冊作業(yè)布置課后習(xí)題

大綱要求理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限。

教學(xué)基本內(nèi)容

一.無窮小

1.定義：如果lim/(.T)=0，則稱函數(shù)為當X—時的無窮小.

XT%

在定義中，可將成Xf”，Xf-8,Xf8,X-K,x一廠以及〃一＞8可定義不同變化

過程中的無窮小.

注(1)一個變量是否為無窮小，除了與變量本身有關(guān)外，還與自變量的變化趨勢有關(guān).

(2)無窮小不是絕對值很小的常數(shù)，而是在自變量的某種變化趨勢下，函數(shù)的絕對值趨近于0的變量.特別

地，常數(shù)0可以看成任何一個變化過程中的無窮小.

2.定理：lim/a)=4的充分必要條件是/(x)=A+a,其中a=a(x)是xf/的無窮小，即

KT%

lima(x)=0.

XT%

3.無窮小的性質(zhì)

(1)有限個無窮小的代數(shù)和是無窮?。?/p>

(2)有限個無窮小的乘積是無窮?。?/p>

(3)有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮?。?/p>

(4)常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.

—?無窮大

1.定義：當Xf與時，如果函數(shù)的絕對值無限增大,則稱當x-＞小時/(x)為無窮大，記作lim/(x)=oo.

Xf3

在定義中，將Xf/換成尢f+8,Xf-OO,X-＞00,九一＞KfH以及〃一＞8可定義不同變化

過程中的無窮大.

注(D無窮大是變量，它不是很大的數(shù)，不要將無窮大與很大的數(shù)(如IO】000)混淆;

(2)無窮大是沒有極限的變量，但無極限的變量不一定是無窮大.

(3)無窮大一定無界，但無界函數(shù)不一定是無窮大.

(4)無窮大分為正無窮大與負無窮大.

2.無窮小量與無窮大量的關(guān)系

定理：設(shè)函數(shù)y=/(x)在點小的某一去心鄰域有定義，當時，

(D若/(“)是無窮大，則六是無窮小；

⑵若/(x)是無窮小，且則是無窮大.

/(x)

三.無窮小階的比較

1.定義：設(shè)a,,是自變量在同一變化過程中的兩個無窮小，且axO,

(1)如果lim，=0,則稱戶是比。高階的無窮小，記作；尸=o(a)；

(2)如果lim2=8,則稱是比a低階的無窮小；

a

(3)如果=c(c/0),則稱乃與a是同階的無窮??；

a

(4)如果lim2=l,則稱4與a是等價的無窮小，記作月~口；等價無窮小具有自反性和傳遞性；

a

(5)如果lim烏=c(cHO,Z￡N+),則稱戶是關(guān)于a的&階的無窮小.

a

注并非任何兩個無窮小都能進行比較.

2.等價無窮小代換

定理：若a,尸是同一自變量變化過程中的無窮小，且月，，limg；存在，則Iim2=lim2；.

aaa

注(1)該定理說明在求極限的過程中，可以把積或商中的無窮小用與之等價的無窮小替換，從而達到簡化運算

的目的.但須注意，在加減運算中一股不能使用等價無窮小代換.

(2)當x->0時，常用的等價無窮小有：

x~sinx?arcsinx~tanx~arctanx-ln(l+x)~er-1；

(。>0,。工1)；l-cosx-^x2；+?ax(a#0,且為常數(shù)).

定理1.20夕與a是等價無窮小的充要條件為〃=a+o(a).

四.例題講解

例1.求極限limfsin—.

iox

例2.求lim產(chǎn)一3

xfx-5x+4

?2

例3.求極限lim2/Sm*

2。x~(l+cosx)

3

例4.求極限limln(l+2r)ln(l+-).

X->+00X

例5.設(shè)x.0時ln(l+J)與x+五為等價無窮小，求人的值.

梭偏本號05

教學(xué)基本指標

教學(xué)課題第1章第5節(jié)函數(shù)的連續(xù)性課的類型新知識課

教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合

教學(xué)重點函數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)的間斷點教學(xué)難點函數(shù)的間斷點的判別

參考教材同濟七版《高等數(shù)學(xué)》上冊作業(yè)布置課后習(xí)題

大綱要求1.理解函數(shù)連續(xù)性的概念(含左連續(xù)與右連續(xù))，會判別函數(shù)間斷點的類型。

2.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性定理、最大

值和最小值定理、介值定理)，并會應(yīng)用這些性質(zhì)。

教學(xué)基本內(nèi)容

函數(shù)連續(xù)的概念

1.定義：設(shè)變量〃從它的一個初值對變到終值〃2,終值與初值的差/一%稱為變量〃的增量，記為&，

即AM=U2-.

2.定義：(1)設(shè)函數(shù)>=/(%)在點z的某鄰域內(nèi)有定義，如果當自變量X有增量?時，函數(shù)相應(yīng)的芍

增量每，若limAy=O,則稱函數(shù)y=/(x)在點處連續(xù)，/為/㈤的連續(xù)點.

Ar->0

(2)設(shè)函數(shù))，=/(1)在點方的某鄰域內(nèi)有定義，若lim/a)=/(%),則稱y=/(x)在點小處連續(xù).

Xf”

(3)設(shè)函數(shù)y=/(x)在點七的其鄰域有定義，如果對于任意正數(shù)￡，總存在正數(shù)b,使得當X滿足不等式

卜一七|<3時，有|/(1)-/(/?<￡，則稱函數(shù)y=/(x)在點/處連續(xù).

3.定義：如果函數(shù)/a)在開區(qū)間(用。)內(nèi)每一點都連續(xù)，則稱在(。,6)內(nèi)連續(xù)；如果函數(shù)/(x)在

開區(qū)間3,6)內(nèi)每一點都連續(xù)，且在左端點x=〃處右連續(xù)，在右端點工=人處左連續(xù)，則稱/(幻在閉區(qū)間

團,句上連續(xù)，并稱切，切是/(%)的連續(xù)區(qū)間.

注(1)人幻在左端點x右連續(xù)是指滿足lim/(x)=/(?);

XT，

(2)/(x)在右端點x=8左連續(xù)是指滿足limf(x)=f(b).

x^b

4.定理：函數(shù)f(x)在點/處連續(xù)的充分必要條件是函數(shù)/(x)在點/處既左連續(xù)又右連續(xù).

二.函數(shù)的間斷點

1.定義：如果函數(shù)f(x)在點X。處不連續(xù)，則稱函數(shù)/(X)在點X。處間斷，點X。稱為f(x)的間斷點.

2./(x)在點七的左右極限/(￡-。)和/(小+0)都存在的間斷點為第一類間斷點.它包含兩種類型：可

去間斷點與跳躍間斷點.

3.稱/(%-0)和/(飛+0)中至少有一個不存在的間斷點為第二類間斷點.

三.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1.定理：連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)仍是連續(xù)函數(shù).

2.定理：設(shè)函數(shù)y=/(x)在區(qū)間上是單調(diào)的連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù)y=/7(x)是區(qū)間

Iy={f(X)|X￡/J上的單調(diào)連續(xù)函數(shù).

3.定理：設(shè)函數(shù)g(x)在點/連續(xù)，函數(shù)/(〃)在點〃0=g(Xo)連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)/(g(x))在點演連續(xù).

4.基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).

5.由初等函數(shù)的定義及連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)知，初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.

四.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1.定理：(最大值與最小值定理)如果函數(shù)/(X)在閉區(qū)間［凡句上連續(xù)，則函數(shù)/(幻在閉區(qū)間3，。］上

一定有最大值與最小值.

2.推論：(有界性定理)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.

3.定理：(介值定理)如果函數(shù)f(X)在閉區(qū)間［〃,句上連續(xù)，〃，和M分別為了(X)在［〃,加上的最小值

與最大值.則對介于用與M之間的任一實數(shù)C(即小vcvM),至少存在一點4e(a,b),使得/e)=c.

4.推論：(零點定理)如果函數(shù)/(X)在閉區(qū)間上連續(xù)，且f(〃)與/S)異號，則至少存在一點

"3"),使得/?=().

五.例題講解

例1.證明函數(shù)y=sinx在任意點X。處都是連續(xù)的.

例2.試證函數(shù)f(x)=.Jsin?”*0,在x=0處連續(xù)

0,x=0,

X2-9~

例3.討論函數(shù)/(x)={x-3''在點x=3處的連續(xù)性.

A,x=3

例4.討論函數(shù)/(x)=sinL在點工=0處的連續(xù)性.

x

例5.求函數(shù)e(x)=—的間斷點并判斷其類型.

1戶

例6,求limJ￥(1。。+.勸m>0)

例7.證明：方程％3—3f—1+3=0在區(qū)間(-2,0),(0,2),(2,4)內(nèi)各有一個實根.

例8.證明：函數(shù)/(x)=e'-x-2在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少存在一點%,使e%-2=%.

極偏洋號06

教學(xué)基本指標

教學(xué)課題第1章第6節(jié)函數(shù)極限的建模應(yīng)用課的類型新知識課

教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合

教學(xué)重點函數(shù)極限的建模應(yīng)用教學(xué)難點如何根據(jù)實際問題構(gòu)建數(shù)學(xué)模

型

參考教材同濟七版《高等數(shù)學(xué)》上冊作業(yè)布置課后習(xí)題

大綱要求會根據(jù)實際問題構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

教學(xué)基本內(nèi)容

例題講解

例1.降水量預(yù)測

問題提出為了估計山上積雪融化后對下游灌溉的影響，在山上建立了一個觀察站，測量最大積雪深度X

與當年灌溉面積y.現(xiàn)有連續(xù)10年的實測資料，如表1.8所示.

表L8

年序最大積雪深度x(cm)灌溉面積y(公頃)

115.228.6

210.421.1

321.240.5

418.636.6

526.449.8

623.445.0

713.529.2

816.7S4.1

924.045.8

1019.136.9

⑴描點畫出濯溉面積隨積雪深度變化的圖象；

⑵建立一個能基本反映灌溉面積變化的函數(shù)模型，并畫出圖象；

⑶根據(jù)所建立的函數(shù)模型，若今年最大積雪深度為25cm,可以灌溉土地多少公頃？

例2.利潤問題

問題提出某桶裝水經(jīng)營部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進價是5元，銷售單價

與日均銷售量的關(guān)系如下表1.9所示：

表1.9

銷售單價/元6789101112

日均銷售量/桶480440400360320280240

請根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析，這個經(jīng)營部怎樣定價才能獲得最大利潤？

例3.汽車限制模型

問題提出某城市今年年末汽車保有量為A輛，預(yù)計此后每年報廢上一年末汽車保有量的f倍(0＜，vl),

且每年新增汽車量相同.為保護城市環(huán)境,要求該城市保有量不超過B量,那么每年新增汽車應(yīng)不超過多少輛？

例4.餐廳就餐模型

問題提出某校有A,8兩個餐廳供加名學(xué)生就餐，有資料表明，每次就餐選A餐廳的學(xué)生在下次就餐

時選B餐廳的幾率為/；%,而每次就餐選B餐廳的學(xué)生在下次就餐時選A餐廳的幾率為弓%.試判斷隨著時

同的推移，在4,N兩個餐廳就餐的學(xué)生人數(shù)犯，也分別大約穩(wěn)定在多少人.

*例5.選擇函數(shù)的擬合問題

問題提出某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如表1.10：

y(kg)與身高x(cm)的函數(shù)關(guān)系？：式寫出這個函數(shù)模型的解析式.

(2)若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個地區(qū)一名身高為

175cm,體重為78kg的在校男生的體重是否正常？

注依據(jù)問題給出的數(shù)據(jù)，建立反映數(shù)據(jù)變化規(guī)律的函數(shù)模型的探索方法：

(1)首先建立直角坐標系，畫出散點圖；

(2)根據(jù)散點圖設(shè)出比較接近的可能的函數(shù)模型的解析式；

(3)利用待定系數(shù)法求出解析式；

(4)對模型擬合程度進行檢驗，若擬合程度差，重新選擇擬合函數(shù)，若擬合程度好，符合實際問題，就用這

個函數(shù)模型解釋實際問題.

第2章導(dǎo)數(shù)與微分

授偏序號01

教學(xué)基本指標

教學(xué)課題第2章第1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念課的類型新知識課

教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合

教學(xué)重點導(dǎo)數(shù)的概念，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系教學(xué)難點用定義求導(dǎo)數(shù)

參考教材同濟七版《高等數(shù)學(xué)》作業(yè)布置課后習(xí)題

大綱要求理解導(dǎo)數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理