遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試模擬測(cè)試卷C（解析版）

絕密★啟用并使用完畢前測(cè)試時(shí)間：年月日時(shí)分——時(shí)分遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2023-2024學(xué)年第一學(xué)期高三開學(xué)測(cè)試卷C本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘一、選擇題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合，集合。若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵，，∴，故選C。2．已知扇形的半徑為，周長(zhǎng)為，則扇形的圓心角等于（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵扇形的弧長(zhǎng)，∴其圓心角，故選B。3．函數(shù)的圖像大致為（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，∵，∴函?shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，∴，排除C、D選項(xiàng)，A選項(xiàng)，為奇函數(shù)，函數(shù)值符合圖像的變化規(guī)律，結(jié)合以上分析，A正確，故選A。4．已知，則（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵，，∴，故選A。5．已知、、，則、、的大小關(guān)系是（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】，，，設(shè)，定義域?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，時(shí)恒成立，∴在內(nèi)單調(diào)遞減，∴，即，∴，∵，，∴，∴，綜上所述，，故選C。6．已知函數(shù)，使得不等式恒成立的條件是（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】，則函數(shù)在上為偶函數(shù)，且，在上均單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增，∵，則，∴，，故選C。7．設(shè)，若不等式在時(shí)恒成立，則的最大值為（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵，∴，∵是的反函數(shù)，∴與關(guān)于對(duì)稱，原問(wèn)題等價(jià)于對(duì)一切恒成立，即，令，定義域?yàn)?，，令，解得，?dāng)時(shí)，，∴在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，∴在內(nèi)單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)取得極小值，也是最小值，，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴做函數(shù)的圖像如圖所示，∴，∴，故選C。8．設(shè)函數(shù)在上滿足、，且在閉區(qū)間上只有，則方程在閉區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】在上滿足、，∴關(guān)于直線和直線對(duì)稱，∴、，∴，∴，∴的周期為，又在閉區(qū)間上只有，則、，且當(dāng)時(shí)，通過(guò)其關(guān)于直線對(duì)稱，得其值對(duì)應(yīng)著的值，則在閉區(qū)間上只有，同理可推得在也只有兩個(gè)零點(diǎn)，∵，則在共有個(gè)零點(diǎn)，∵，且在的圖像與的圖像相同，則在上有個(gè)零點(diǎn)，則方程在閉區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)為個(gè)，故選C。【點(diǎn)睛】利用零點(diǎn)存在性定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)。二、選擇題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得分，有選錯(cuò)的得分，部分選對(duì)的得分。9．下列函數(shù)的定義域均為，則最小值是的函數(shù)有（）。A、B、C、D、【答案】AD【解析】A選項(xiàng)，，可得，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，∴在區(qū)間內(nèi)的最小值是，對(duì)，B選項(xiàng)，，，∴在區(qū)間內(nèi)的最小值不是，錯(cuò)，C選項(xiàng)，，，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，∴在區(qū)間內(nèi)的最小值不是，錯(cuò)，D選項(xiàng)，，，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，∴在區(qū)間內(nèi)的最小值是，對(duì)，故選AD。10．如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像，則以下命題正確的是（）。A、是函數(shù)的極值點(diǎn)B、函數(shù)在處切線的斜率小于零C、函數(shù)在處取最小值D、函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增【答案】AD【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖像可得，當(dāng)上，，在上，，故當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)和時(shí)單調(diào)遞增，∴是函數(shù)的極小值點(diǎn)，∴A選項(xiàng)對(duì)，由圖像可得，∴函數(shù)在處的切線的斜率大于零，∴B選項(xiàng)錯(cuò)，由圖像可知時(shí)函數(shù)的單調(diào)性不變，則在處函數(shù)不可能取得最小值，∴C選項(xiàng)錯(cuò)，由圖像可得，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，∴D選項(xiàng)對(duì)，故選AD。11．下列命題正確的是（）。A、若、均為第一象限的角，且，則B、C、函數(shù)是周期函數(shù)且最小正周期為D、函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）【答案】BC【解析】A選項(xiàng)，若、，則、均為第一象限的角，且，但，錯(cuò)，B選項(xiàng)，∵、、，∴，對(duì)，C選項(xiàng)，做函數(shù)的圖像如圖所示，則是周期函數(shù)且最小正周期為，對(duì)，D選項(xiàng)，令，即，即，即，解得或（），即或（），令，即，即，即，解得或（），即或（），∴的定義域?yàn)椋ǎ?，，∴的最小正周期為∴的單調(diào)遞增區(qū)間為和，，單調(diào)遞減區(qū)間為和，，錯(cuò)，故選BC。變式1：下列結(jié)論正確的是（）。A、若，則是第一象限角或第二象限角B、C、函數(shù)的最小正周期為D、函數(shù)與函數(shù)的圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為【答案】CD【解析】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)既不是第一象限角，也不是第二象限角，錯(cuò)，B選項(xiàng)，∵，∴，∴，錯(cuò)，C選項(xiàng)，，∴函數(shù)的最小正周期為，對(duì)，又：，∴函數(shù)的最小正周期為，對(duì)，D選項(xiàng)，設(shè)，則的定義域?yàn)椋?，∴為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，證明：如圖所示，在單位圓中，，，當(dāng)時(shí)，，則，則，則。根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，又，∴在內(nèi)有唯一一個(gè)零點(diǎn)，∴與的圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，對(duì)，故選CD。變式2：下列命題正確的是（）。A、函數(shù)是偶函數(shù)B、函數(shù)的最小正周期為C、把函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后可以得到的圖像D、函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)【答案】ABC【解析】A選項(xiàng)，的定義域?yàn)椋?，?duì)，B選項(xiàng)，，最小正周期，對(duì)，C選項(xiàng)，把的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖像，對(duì)，D選項(xiàng)，，在區(qū)間內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，錯(cuò)，故選ABC。12．已知、是函數(shù)與函數(shù)的圖像的兩條公切線，記的傾斜角為，的傾斜角為，且、的夾角為（），則下列說(shuō)法正確的有（）。A、B、C、若，則D、與的交點(diǎn)可能在第三象限【答案】ABC【解析】如圖所示，∵與互為反函數(shù)，∴兩函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則、關(guān)于對(duì)稱，∴，，A選項(xiàng)對(duì)，由題意可知、均為銳角，∴且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號(hào)，B選項(xiàng)對(duì)，設(shè)與兩個(gè)函數(shù)圖像分別切于、兩點(diǎn)，，則，即，解得（舍去）或（可?。?，對(duì)于，則，令，解得，∴切點(diǎn)為，∴曲線的斜率為的切線方程為，∴曲線的斜率為的切線方程為，同理可得的斜率為的切線方程為，∴曲線的斜率為的切線方程為，∴，則，則，C選項(xiàng)對(duì)，由圖可知點(diǎn)必在第一象限，D選項(xiàng)錯(cuò)，故選ABC。三、填空題：本題共小題，每小題分，共分。13．如果函數(shù)（）的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，則曲線在原點(diǎn)處的切線方程為?！敬鸢浮俊窘馕觥康亩x域?yàn)?，，又∵是偶函?shù)，∴，∴，∴，∴，，又∵切點(diǎn)為原點(diǎn)，∴切線斜率，∴切線方程為，即。14．已知函數(shù)，SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程有三個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為?！敬鸢浮縎KIPIF1<0【解析】畫出函數(shù)圖像如圖所示，要SKIPIF1<0有三個(gè)不同的根，需要紅色部分圖像在深藍(lán)色圖像的下方，即，解得SKIPIF1<0。15．已知正數(shù)、滿足，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值是。（本小題第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分）【答案】【解析】由可得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)取得最小值，。16．將函數(shù)（）的圖像與其對(duì)稱軸在軸右側(cè)的交點(diǎn)從左到右依次記為、、、…、，在點(diǎn)列中存在四個(gè)不同的點(diǎn)成為某菱形的四個(gè)頂點(diǎn)，將滿足上述條件的值從小到大組成的數(shù)列記為，則。【答案】【解析】根據(jù)題意作出圖像如下，設(shè)的最小正周期為，若為菱形，則，又且，∴，解得，若為菱形，則，又且，∴，解得，若為菱形，則，且，又且，∴，解得，∴滿足，，∴。【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的圖像及性質(zhì)的應(yīng)用，數(shù)列的通項(xiàng)，考查邏輯推理能力、數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題。四、解答題：本題共小題，共分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（本小題滿分分）已知函數(shù)（，，）的圖像如圖所示。（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)的圖像上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，再向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，求函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心坐標(biāo)。【解析】（1）由圖像可得，，解得，2分，解得，，∵，∴，∴；4分（2）由題意可知，6分令，解得，，∴函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸方程為，，8分令，解得，，∴函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心坐標(biāo)為，。10分18．（本小題滿分分）函數(shù)（），對(duì)任意、，都有且。（1）求的值；（2）證明：；（3）若的最大值為，求函數(shù)的解析式。【解析】（1）∵，∴，又恒成立，∴，2分∵，∴，又恒成立，∴，4分∴，∴，∴；5分（2）∵，∴，又恒成立，∴，7分即，又由（1）可知，∴，解得；8分（3），∵，∴，10分∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為，∴，11分∴、，∴。12分19．（本小題滿分分）定義在上的函數(shù)，若滿足：對(duì)任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界。（1）設(shè)，判斷在上是否為有界函數(shù)，若是，請(qǐng)說(shuō)明理由，并寫出的所有上界的值的集合，若不是，也請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍?！窘馕觥浚?），∴在上是增函數(shù)，2分∴，即，∴，4分∴為有界函數(shù)，所有上界的集合為；5分（2），在上是以為上界的有界函數(shù)，∴在上恒成立，7分∴在上恒成立，9分而的在定義域上的最大值為，在定義域上的最小值為，∴，則實(shí)數(shù)的取值范圍為。12分20．（本小題滿分分）設(shè)函數(shù)（），曲線過(guò)點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線方程為。（1）求實(shí)數(shù)、的值；（2）證明：當(dāng)時(shí)，；（3）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。【解析】（1）的定義域?yàn)?，?分∵，，∴，；3分（2）由（1）可知，，設(shè)（），，4分，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴；6分（3）設(shè)，定義域?yàn)?，，從?）可知，∴，∴，8分①當(dāng)即時(shí)，，∴在單調(diào)遞增，∴，成立，9分②當(dāng)即時(shí)，，，令，得，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，∴，不成立，11分綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為。12分21．（本小題滿分分）已知函數(shù)。（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）是否存在最小的正常數(shù)，使得：當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，不等式恒成立？給出你的結(jié)論，并說(shuō)明結(jié)論的合理性。【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，解得?分當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，3分當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增；4分（2）存在，理由如下：，5分構(gòu)造函數(shù)，定義域?yàn)椋瑒t，6分令，定義域?yàn)?，，顯然是減函數(shù)，且，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，8分，，∴在區(qū)間和上各有一個(gè)零點(diǎn)，分別為和，并且在區(qū)間和上，即，在區(qū)間上，即，從而可知在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，而是函數(shù)的極大值，則題目要求的，理由如下：當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意非零整數(shù)，，而在上單調(diào)遞減，∴恒成立，說(shuō)明，當(dāng)時(shí)，取，則且，題目中的不等式不能恒成立，∴說(shuō)明不能比小，