2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.2.2指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)講義新人教A版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE2第2課時(shí)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)[基礎(chǔ)自測(cè)]1．下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是()A．y＝eq\f(1,x)B．y＝|x|C．y＝2xD．y＝x3解析：y＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以解除A；y＝|x|是偶函數(shù)，所以解除B；y＝2x為非奇非偶函數(shù)，所以解除C.選D.答案：D2．下列推斷正確的是()A．1.51.5＞1.52B．0.52＜0.5C．e2＜eq\r(2)eD．0.90.2＞0.90.5解析：因?yàn)閥＝0.9x是減函數(shù)，且0.5＞0.2，所以0.90.2＞0.90.5.答案：D3．已知y1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，則在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，它們的圖象為()解析：方法一y2＝3x與y4＝10x單調(diào)遞增；y1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x與y3＝10－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))x單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)作直線x＝1，該直線與四條曲線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)各底數(shù)，易知選A.方法二y2＝3x與y4＝10x單調(diào)遞增，且y4＝10x的圖象上升得快，y1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x與y2＝3x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，y3＝10－x與y4＝10x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以選A.答案：A4．已知函數(shù)f(x)＝4＋ax－1(a＞0且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．解析：令x－1＝0，得x＝1，此時(shí)f(1)＝5.所以函數(shù)f(x)＝4＋ax－1(a＞0且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)P(1,5)．答案：(1,5)題型一利用指數(shù)的單調(diào)性比較大小[教材P117例3]例1比較下列各題中兩個(gè)值的大?。?1)1.72.5,1.73；(2)0.8－eq\r(2)，0.8－eq\r(3)；(3)1.70.3,0.93.1.【解析】(1)1.72.5和1.73可看作函數(shù)y＝1.7x當(dāng)x分別取2.5和3時(shí)所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值．因?yàn)榈讛?shù)1.7＞1，所以指數(shù)函數(shù)y＝1.7x是增函數(shù)．因?yàn)?.5＜3，所以1.72.5＜1.73.(2)同(1)理，因?yàn)?＜0.8＜1，所以指數(shù)函數(shù)y＝0.8x是減函數(shù)．因?yàn)椋璭q\r(2)＞－eq\r(3)，所以0.8－eq\r(2)＜0.8－eq\r(3).(3)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知1．70.3＞1.70＝1，0．93.1＜0.90＝1，所以1.70.3＞0.93.1.eq\x(狀元隨筆)對(duì)于(1)(2)，要比較的兩個(gè)值可以看作一個(gè)指數(shù)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，因此可以干脆利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；對(duì)于(3)，1.70.3和0.93.1不能看作某一個(gè)指數(shù)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值．可以利用函數(shù)y＝1.7x和y＝0.9x的單調(diào)性，以及“x＝0時(shí)，y＝1”這條性質(zhì)把它們聯(lián)系起來.教材反思1.由例題可以看出，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，通過自變量的大小關(guān)系可以推斷相應(yīng)函數(shù)值的大小關(guān)系．2．比較冪值大小的三種類型及處理方法跟蹤訓(xùn)練1比較下列各題中兩個(gè)值的大?。?1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,7)))－1.8與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,7)))－2.5；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))－0.5與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))－0.5；(3)0.20.3與0.30.2解析：(1)因?yàn)?＜eq\f(5,7)＜1，所以函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,7)))x在其定義域R上單調(diào)遞減，又－1.8＞－2.5，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,7)))－1.8＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,7)))－2.5.(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出指數(shù)函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))x的圖象，如圖所示．當(dāng)x＝－0.5時(shí)，由圖象視察可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))－0.5＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))－0.5.(3)因?yàn)?＜0.2＜0.3＜1，所以指數(shù)函數(shù)y＝0.2x與y＝0.3x在定義域R上均是減函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上函數(shù)y＝0.2x的圖象在函數(shù)y＝0.3x的圖象的下方，所以0.20.2＜0.30.2又依據(jù)指數(shù)函數(shù)y＝0.2x的性質(zhì)可得0.20.3＜0.20.2，所以0.20.3＜0.30.2底數(shù)相同，指數(shù)不同；底數(shù)不同，指數(shù)相同；底數(shù)不同，指數(shù)不同．題型二指數(shù)函數(shù)的圖象問題例2(1)如圖所示是下列指數(shù)函數(shù)的圖象：①y＝ax②y＝bx③y＝cx④y＝dx則a，b，c，d與1的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＜b＜1＜c＜dB．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜dD．a(chǎn)＜b＜1＜d＜c(2)當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax－3－2必過定點(diǎn)________．【解析】(1)可先分為兩類，③④的底數(shù)肯定大于1，①②的底數(shù)肯定小于1，然后再由③④比較c，d的大小，由①②比較a，b的大?。?dāng)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于1時(shí)，圖象上升，且當(dāng)?shù)讛?shù)越大，圖象向上越靠近y軸；當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于1時(shí)，圖象下降，且當(dāng)?shù)讛?shù)越小，圖象向下越靠近x軸，故選B.(2)當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，總有f(3)＝a3－3－2＝－1，所以函數(shù)f(x)＝ax－3－2必過定點(diǎn)(3，－1)．【答案】(1)B(2)(3，－1)1．先由a＞1,0＜a＜1兩個(gè)角度來推斷函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)圖象．2．由y＝ax過定點(diǎn)(0,1)來求f(x)過定點(diǎn)．方法歸納指數(shù)函數(shù)的圖象隨底數(shù)改變的規(guī)律可歸納為：(1)無論指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a如何改變，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象與直線x＝1相交于點(diǎn)(1，a)，由圖象可知：在y軸右側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由小變大．(2)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與圖象間的關(guān)系可概括記憶為：在第一象限內(nèi)，底數(shù)自下而上依次增大．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知1＞n＞m＞0，則指數(shù)函數(shù)①y＝mx，②y＝nx的圖象為()(2)若a＞1，－1＜b＜0，則函數(shù)y＝ax＋b的圖象肯定在()A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．其次、三、四象限D(zhuǎn)．第一、二、四象限解析：(1)由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx與y＝nx都是減函數(shù)，故解除A、B，作直線x＝1與兩個(gè)曲線相交，交點(diǎn)在下面的是函數(shù)y＝mx的圖象，故選C.(2)∵a＞1，且－1＜b＜0，故其圖象如右圖所示．答案：(1)C(2)A由底數(shù)的范圍推斷函數(shù)圖象.題型三解簡(jiǎn)潔的指數(shù)不等式例3(1)不等式3x－2＞1的解為________．(2)若ax＋1＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))5－3x(a＞0，且a≠1)，求x的取值范圍．【解析】(1)3x－2＞1?3x－2＞30?x－2＞0?x＞2，所以解為(2，＋∞)．(2)因?yàn)閍x＋1＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))5－3x，所以當(dāng)a＞1時(shí)，y＝ax為增函數(shù)，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3.當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y＝ax為減函數(shù)，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3.綜上，當(dāng)a＞1時(shí)，x的取值范圍為(－∞，3)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x的取值范圍為(3，＋∞)．【答案】(1)(2，＋∞)(2)見解析eq\x(狀元隨筆)首先確定指數(shù)不等式對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，然后依據(jù)單調(diào)性確定x的取值范圍.方法歸納解指數(shù)不等式應(yīng)留意的問題(1)形如ax＞ab的不等式，借助于函數(shù)y＝ax的單調(diào)性求解，假如a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種狀況探討；(2)形如ax＞b的不等式，留意將b轉(zhuǎn)化為以a為底數(shù)的指數(shù)冪的形式，再借助于函數(shù)y＝ax的單調(diào)性求解．跟蹤訓(xùn)練3(1)解不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))≤3；(2)已知(a2＋2a＋3)x＞(a2＋2a＋3)1－x，求解析：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝(3－1)＝3，∴原不等式等價(jià)于3≤31.∵y＝3x是R上的增函數(shù)，∴2－x2≤1.∴x2≥1，即x≥1或x≤－1.∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}．(2)∵a2＋2a＋3＝(a＋1)2∴y＝(a2＋2a＋3)x在R∴x＞1－x，解得x＞eq\f(1,2).∴x的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞\f(1,2))))).(1)化成同底，確定指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．(2)推斷a2＋2a＋3的范圍．題型四指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例4已知函數(shù)f(x)＝a－eq\f(1,2x＋1)(x∈R)．(1)用定義證明：不論a為何實(shí)數(shù)，f(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)；(2)若f(x)為奇函數(shù)，求f(x)在區(qū)間[1,5]上的最小值．【解析】(1)證明：因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽，任取x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝a－eq\f(1,2＋1)－a＋eq\f(1,2x2＋1)＝eq\f(2－2,1＋21＋2).因?yàn)閤1＜x2，所以2－2＜0，又(1＋2)(1＋2)＞0.所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．所以不論a為何實(shí)數(shù)，f(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)．(2)因?yàn)閒(x)在x∈R上為奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即a－eq\f(1,20＋1)＝0，解得a＝eq\f(1,2).所以f(x)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2x＋1)，由(1)知，f(x)為增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[1,5]上的最小值為f(1)．因?yàn)閒(1)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，所以f(x)在區(qū)間[1,5]上的最小值為eq\f(1,6).(1)用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性需4步：①取值；②作差變形；③定號(hào)；④結(jié)論．(2)先由f(x)為奇函數(shù)求a,再由單調(diào)性求最小值．方法歸納(1)求解含參數(shù)的由指數(shù)函數(shù)復(fù)合而成的奇、偶函數(shù)中的參數(shù)問題，可利用奇、偶函數(shù)的定義，依據(jù)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)建立方程求參數(shù)；(2)若奇函數(shù)在原點(diǎn)處有定義，則可利用f(0)＝0，建立方程求參數(shù)．跟蹤訓(xùn)練4已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝2x＋eq\f(a,2x)，a為常數(shù)，若f(x)為偶函數(shù)，(1)求a的值；(2)推斷函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義賜予證明；(3)求函數(shù)f(x)的值域．解析：(1)由f(x)為偶函數(shù)得對(duì)隨意實(shí)數(shù)x都有2x＋eq\f(a,2x)＝eq\f(1,2x)＋a·2x成立，即2x(1－a)＝eq\f(1,2x)·(1－a)，所以1－a＝0，所以a＝1.(2)由(1)知f(x)＝2x＋eq\f(1,2x)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．證明如下：任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝2＋eq\f(1,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,2)))＝(2－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)))＝(2－2)＋eq\f(2－2,2·2)＝(2－2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝(2－2)·eq\f(2－1,2)，因?yàn)閤1＜x2，且x1，x2∈(0，＋∞)，所以2＜2，2＞1，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．(3)由(2)知f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，又由f(x)為偶函數(shù)知函數(shù)f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，所以f(x)≥f(0)＝2.故函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇2，＋∞)．(1)由偶函數(shù)求a.(2)4步法證明f(x)在(0，＋∞)上的單調(diào)性．(3)利用單調(diào)性求最值，得值域．一、選擇題1．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|，x∈R，那么f(x)是()A．奇函數(shù)且在(0，＋∞)上是增函數(shù)B．偶函數(shù)且在(0，＋∞)上是增函數(shù)C．奇函數(shù)且在(0，＋∞)上是減函數(shù)D．偶函數(shù)且在(0，＋∞)上是減函數(shù)解析：因?yàn)閒(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|－x|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)．又當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在(0，＋∞)上是減函數(shù)，故選D.答案：D2．函數(shù)y＝a|x|(0<a<1)的圖像是()解析：y＝a|x|(0<a<1)是偶函數(shù)，先畫出x≥0時(shí)的圖像，再作關(guān)于y軸對(duì)稱的圖像，∵0<a<1，故選C.答案：C3．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2a＋1＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3－2a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(1，＋∞)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C．(－∞，1)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))解析：函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在R上為減函數(shù)，所以2a＋1＞3－2a，所以a＞eq\f(1,2).答案：B4．設(shè)x＞0，且1＜bx＜ax，則()A．0＜b＜a＜1B．0＜a＜b＜1C．1＜b＜aD．1＜a＜b解析：∵1＜bx，∴b0＜bx.又x＞0，∴b＞1.∵bx＜ax，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))x＞1，又x＞0，∴eq\f(a,b)＞1，∴a＞b，即1＜b＜a.答案：C二、填空題5．三個(gè)數(shù)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)))中，最大的是________，最小的是________．解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)))x在R上是減函數(shù)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)))＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)))，又在y軸右側(cè)函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)))x的圖象始終在函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)))x的圖象的下方，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)))＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7))).即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)))＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)))＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)))6．函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的單調(diào)增區(qū)間是________．解析：令t＝x2－4x＋3，則其對(duì)稱軸為x＝2.當(dāng)x≤2時(shí)，t隨x增大而減小，則y增大，即y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，2]．答案：(－∞，2]7．已知f(x)＝a－x(a＞0且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，則a的取值范圍是________．解析：f(x)＝a－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x，∵f(－2)＞f(－3)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))－2＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))－3，即a2＞a3.∴a＜1，即0＜a＜1.答案：(0,1)三、解答題8．比較下列各組值的大?。?1)1.8－0.1與1.8－0.2；(2)1.90.3與0.73.1；(3)a1.3與a2.5(a＞0，且a≠1)．解析：(1)由于1.8＞1，所以指數(shù)函數(shù)y＝1.8x，在R上為增函數(shù)