2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.3.3導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用學(xué)案新人教B版選修1-1

PAGE1-3.3.3導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.能利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題．(重點(diǎn))2.提高綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)學(xué)問(wèn)解題的實(shí)力，培育化歸與轉(zhuǎn)化意識(shí)．(難點(diǎn)).通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的學(xué)習(xí)，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).生活中的優(yōu)化問(wèn)題(1)生活中常常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱為優(yōu)化問(wèn)題．(2)利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)最值．(3)解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路上述解決優(yōu)化問(wèn)題的過(guò)程是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)建模過(guò)程1．將8分為兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和，使其立方和最小，則這兩個(gè)數(shù)為()A．2和6 B．4和4C．3和5 D．以上都不對(duì)B[設(shè)一個(gè)數(shù)為x，則另一個(gè)數(shù)為8－x，其立方和y＝x3＋(8－x)3＝512－192x＋24x2(0≤x≤8)，則y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.當(dāng)0≤x<4時(shí)，y′<0；當(dāng)4<x≤8時(shí)，y′>0.所以當(dāng)x＝4時(shí)，y取得微小值，也是最小值．所以這兩個(gè)數(shù)為4和4.]2．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(單位：萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為()A．13萬(wàn)件 B．11萬(wàn)件C．9萬(wàn)件 D．7萬(wàn)件C[定義域?yàn)?0，＋∞)，令y′＝－x2＋81＝－(x＋9)(x－9)＝0得x＝9或x＝－9(舍)，當(dāng)x∈(0,9)時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)x∈(9，＋∞)時(shí)，f′(x)＜0.∴x＝9為函數(shù)的極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn)，∴該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為9萬(wàn)件．]3．要做一個(gè)底面為長(zhǎng)方形的帶蓋的箱子，其體積為72cm3，其底面兩鄰邊長(zhǎng)之比為1∶2，則它的長(zhǎng)為_(kāi)_______，寬為_(kāi)_______，高為_(kāi)_______時(shí)，可使表面積最?。?cm3cm4cm[設(shè)底面寬為x，則長(zhǎng)為2x，高為eq\f(72,2x2)＝eq\f(36,x2)(0＜x＜6)，∴S表面積＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(54,x)))，令S′＝eq\f(8x3－27,x2)＝0得x＝3，當(dāng)x∈(0,3)時(shí)，S′＜0；當(dāng)x∈(3,6)時(shí)，S′＞0，∴x＝3為函數(shù)的微小值點(diǎn)也是最小值點(diǎn)，∴長(zhǎng)為6cm，寬為3cm，高為4cm時(shí)可使表面積最?。甝用料最省(成本最低)問(wèn)題【例1】一艘輪船在航行中燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比．已知速度為每小時(shí)10千米時(shí)，燃料費(fèi)是每小時(shí)6元，而其他與速度無(wú)關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)96元，問(wèn)輪船的速度是多少時(shí)，航行1千米所需的費(fèi)用總和為最??？[思路探究]eq\x(\a\al(列出燃,料費(fèi)與,速度關(guān)系))→eq\x(\a\al(確定,參數(shù),k))→eq\x(\a\al(每小時(shí),費(fèi)用))→eq\x(\a\al(確定,1千米,總費(fèi)用))→eq\x(\a\al(求,導(dǎo)))→eq\x(\a\al(利用,導(dǎo)數(shù)確,定最值))→eq\x(結(jié)論)[解]設(shè)速度為每小時(shí)v千米的燃料費(fèi)為每小時(shí)p元，由題意得p＝k·v3，其中k為比例常數(shù)，當(dāng)v＝10，p＝6，解得k＝eq\f(6,103)＝0.006.于是有p＝0.006v3.設(shè)當(dāng)速度為每小時(shí)v千米時(shí)，行1千米所需的總費(fèi)用為q元，那么每小時(shí)所需的總費(fèi)用是(0.006v3＋96)元，而行1千米所需時(shí)間為eq\f(1,v)小時(shí)，所以行1千米的總費(fèi)用為q＝eq\f(1,v)(0.006v3＋96)＝0.006v2＋eq\f(96,v)，q′＝0.012v－eq\f(96,v2)＝eq\f(0.012,v2)(v3－8000)，令q′＝0，解得v＝20.因?yàn)楫?dāng)v<20時(shí)，q′<0；當(dāng)v>20時(shí)，q′＞0，所以當(dāng)v＝20時(shí)取得最小值．即當(dāng)速度為20千米/小時(shí)時(shí)，航行1千米所需費(fèi)用總和最小．解決實(shí)際生活中用料最省、費(fèi)用最低、損耗最小、最節(jié)約時(shí)間等問(wèn)題，須要求相應(yīng)函數(shù)的最小值，此時(shí)依據(jù)f′x＝0求出極值點(diǎn)留意依據(jù)實(shí)際意義舍去不合適的極值點(diǎn)后，推斷函數(shù)在該點(diǎn)旁邊滿意左減右增，則此時(shí)的微小值就是所求函數(shù)的最小值.1．為了在夏季降溫柔冬季供暖時(shí)削減能源損耗，房屋的屋頂和外墻須要建立隔熱層．某幢建筑物要建立可運(yùn)用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建立成本為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單元：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿意關(guān)系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元．設(shè)f(x)為隔熱層建立費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值．[解](1)設(shè)隔熱層厚度為xm，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為C(x)＝eq\f(k,3x＋5).再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5).而建立費(fèi)用為C1(x)＝6x，最終得隔熱層建立費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,3x＋52)，令f′(x)＝0，即eq\f(2400,3x＋52)＝6.解得x＝5或x＝－eq\f(25,3)(舍去)．當(dāng)0＜x＜5時(shí)，f′(x)＜0，當(dāng)5＜x＜10時(shí)，f′(x)＞0，故x＝5是f(x)的最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為f(5)＝6×5＋eq\f(800,15＋5)＝70.當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值為70萬(wàn)元.利潤(rùn)最大問(wèn)題【例2】當(dāng)前，網(wǎng)校教學(xué)越來(lái)越受到廣高校生的寵愛(ài)，它已經(jīng)成為學(xué)生課外學(xué)習(xí)的一種趨勢(shì)．假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y(單位：千套)與銷售價(jià)格x(單位：元/套)滿意的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\f(m,x－2)＋4(x－6)2，其中2<x<6，m為常數(shù)．已知銷售價(jià)格為4元/套時(shí)，每日可售出套題21千套．(1)求m的值；(2)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等全部開(kāi)銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數(shù))，試確定銷售價(jià)格x的值，使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤(rùn)最大．(精確到0.1)[思路探究](1)依據(jù)售價(jià)為4元/套時(shí)可售出套題21千套，求出m的值；(2)假設(shè)網(wǎng)校員工工資、辦公等全部開(kāi)銷折合為每套題2元，也就是每套題的成本為2元，則每套題的利潤(rùn)為(x－2)元，已知銷售價(jià)格，則利潤(rùn)＝(銷售價(jià)格－成本)×銷售量，利用導(dǎo)數(shù)求最值．[解](1)當(dāng)x＝4時(shí)，y＝21，代入函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(m,x－2)＋4(x－6)2，得eq\f(m,2)＋16＝21，解得m＝10.(2)由(1)可知，套題每日的銷售量為y＝eq\f(10,x－2)＋4(x－6)2，所以每日銷售套題所獲得的利潤(rùn)為f(x)＝(x－2)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(10,x－2)＋4x－62))＝10＋4(x－6)2(x－2)＝4x3－56x2＋240x－278(2<x<6)，所以f′(x)＝12x2－112x＋240＝4(3x－10)(x－6)(2<x<6)．令f′(x)＝0，得x＝eq\f(10,3)或x＝6(舍去)．當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，6))時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．所以x＝eq\f(10,3)是函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,6)上的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，所以當(dāng)x＝eq\f(10,3)≈3.3時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值．故當(dāng)銷售價(jià)格約為3.3元/套時(shí)，網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤(rùn)最大．1經(jīng)濟(jì)生活中優(yōu)化問(wèn)題的解法：經(jīng)濟(jì)生活中要分析生產(chǎn)的成本與利潤(rùn)及利潤(rùn)增減的快慢，以產(chǎn)量或單價(jià)為自變量很簡(jiǎn)潔建立函數(shù)關(guān)系，從而可以利用導(dǎo)數(shù)來(lái)分析、探討、指導(dǎo)生產(chǎn)活動(dòng).2關(guān)于利潤(rùn)問(wèn)題常用的兩個(gè)等量關(guān)系：①利潤(rùn)＝收入－成本.②利潤(rùn)＝每件產(chǎn)品的利潤(rùn)×銷售件數(shù).2．某商場(chǎng)銷售某種商品的閱歷表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿意關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3<x<6，a為常數(shù)．已知當(dāng)銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克．(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大．[解](1)因?yàn)楫?dāng)x＝5時(shí)，y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，所以a＝2.(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量為y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2，所以商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)為f(x)＝(x－3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x－3)＋10x－62))＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.從而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)·(x－6)．于是，當(dāng)x變更時(shí)，f′(x)，f(x)的變更狀況如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)↗極大值42↘由上表可得x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)．所以當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.即當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.幾何中的最值問(wèn)題[探究問(wèn)題]利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題一般有哪些步驟？[提示]【例3】某企業(yè)擬建立如圖所示的容器(不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，依據(jù)設(shè)計(jì)要求容器的體積為eq\f(64π,3)立方米．假設(shè)該容器的建立費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱形部分每平方米建立費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建立費(fèi)用為4千元．設(shè)該容器的總建立費(fèi)用為y千元．(1)將y表示成r的函數(shù)，并求該函數(shù)的定義域；(2)確定r和l為何值時(shí)，該容器的建立費(fèi)用最小，并求出最小建立費(fèi)用．[思路探究]建立數(shù)學(xué)模型，列出函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)求最值．[解](1)因?yàn)槿萜鞯捏w積為eq\f(64π,3)立方米，所以eq\f(4πr3,3)＋πr2l＝eq\f(64,3)π，解得l＝eq\f(64,3r2)－eq\f(4,3)r，所以圓柱的側(cè)面積為2πrl＝2πreq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(64,3r2)－\f(4,3)r))＝eq\f(128π,3r)－eq\f(8πr2,3)，兩端兩個(gè)半球的表面積之和為4πr2，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(128π,3r)－\f(8πr2,3)))×3＋4πr2×4＝eq\f(128π,r)＋8πr2.又l＝eq\f(64,3r2)－eq\f(4,3)r＞0?r＜2eq\f(4,3)，所以定義域?yàn)?0,2eq\f(4,3))．(2)因?yàn)閥′＝－eq\f(128π,r2)＋16πr＝eq\f(16πr3－8,r2)，所以令y′＞0得2＜r＜2eq\f(4,3)；令y′＜0得0＜r＜2，所以當(dāng)r＝2時(shí)，該容器的建立費(fèi)用最小為96π千元，此時(shí)l＝eq\f(8,3).1．(變更問(wèn)法)本題問(wèn)題改為試求該容器表面積的最小值．[解]因?yàn)槿萜鞯捏w積為eq\f(64π,3)立方米，所以eq\f(4πr3,3)＋πr2l＝eq\f(64,3)π，解得l＝eq\f(64,3r2)－eq\f(4,3)r，所以圓柱的側(cè)面積為2πrl＝2πreq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(64,3r2)－\f(4,3)r))＝eq\f(128π,3r)－eq\f(8πr2,3)，兩端兩個(gè)半球的表面積之和為4πr2，故該容器的表面積y＝eq\f(128π,3r)－eq\f(8πr2,3)＋4πr2＝eq\f(128π,3r)＋eq\f(4πr2,3)，則y′＝－eq\f(128π,3r2)＋eq\f(8πr,3)＝eq\f(8πr3－16,3r2)，令y′＝0，解得r＝eq\r(3,16)，易知當(dāng)r＝eq\r(3,16)時(shí)，表面積取得最小值，ymin＝16π·eq\r(3,4).2．(變換條件)本題中若由于場(chǎng)地的限制，該容器的半徑要限制在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))范圍內(nèi)，求容器建立費(fèi)用的最小值．[解]因?yàn)閥′＝－eq\f(128π,r2)＋16πr＝eq\f(16πr3－8,r2)，所以令y′＞0得2＜r＜2eq\f(4,3)；令y′＜0得0＜r＜2，故當(dāng)r∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)r＝eq\f(3,2)時(shí)，ymin＝eq\f(310π,3).1平面圖形中的最值問(wèn)題一般涉及線段、三角形、四邊形等圖形，主要探討與面積相關(guān)的最值問(wèn)題，一般將面積用變量表示出來(lái)后求導(dǎo)數(shù)，求極值，從而求最值.2立體幾何中的最值問(wèn)題往往涉及空間圖形的表面積、體積，在此基礎(chǔ)上解決與實(shí)際相關(guān)的問(wèn)題.(3)解決此類問(wèn)題必需熟識(shí)簡(jiǎn)潔幾何體的表面積與體積公式，假如已知圖形是由簡(jiǎn)潔幾何體組合而成，則要分析其組合關(guān)系，將圖形進(jìn)行拆分或組合，以便簡(jiǎn)化求值過(guò)程．1．思索辨析(1)生活中常見(jiàn)到的收益最高，用料最省等問(wèn)題就是數(shù)學(xué)中的最大、最小值問(wèn)題． ()(2)解決應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型． ()(3)解決實(shí)際問(wèn)題，其中就包括確定函數(shù)的定義域，在求定義域時(shí)，肯定要依據(jù)題目的條件，考慮自變量的實(shí)際意義． ()[提示](1)√(2)√(3)√2．要做一個(gè)圓錐形漏斗，其母線長(zhǎng)為20cm，要使其體積最大，則其高應(yīng)為()A．eq\f(\r(3),3)cm B．eq\f(10\r(3),3)cmC．eq\f(16\r(3),3)cm D．eq\f(20\r(3),3)cmD[設(shè)高為h，則底面半徑r＝eq\r(400－h(huán)2)(0＜h＜20)，∴體積V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(π,3)(400h－h(huán)3)，令V′＝eq\f(π,3)(400－3h2)＝0得h＝eq\f(20\r(3),3)，當(dāng)h∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(20\r(3),3)))時(shí)，V′＞0；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20\r(3),3)，20))時(shí)，V′＜0，∴h＝eq\f(20\r(3),3)為函數(shù)的極大值點(diǎn)，即最大值點(diǎn)，即高為eq\f(20\r(3),3)cm時(shí)，漏斗體積最大．]3．做一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形水桶，若需使其體積是27π，且用料最省，則圓柱的底面半徑為_(kāi)_______．3[設(shè)底面半徑為r，則高h(yuǎn)＝eq\f(27π,πr2)＝eq\f(27,r2)(0＜h＜3eq\r(3))，∴表面積S＝πr2＋2πrh＝πr2＋eq\f(54π,r)，令S′＝2πeq\f(r3－27,r2)＝0得r＝3.當(dāng)r∈(0,3)時(shí)，S′＜0；當(dāng)r∈(3,3eq\r(3))時(shí)，S′＞0，∴r＝3為函數(shù)的微小值點(diǎn)，即最小值點(diǎn)，即圓柱的底面半徑為3時(shí)，用料最?。甝4．某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地占用費(fèi)y1(萬(wàn)元)與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成反比，而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2(萬(wàn)元)與到車站的距離成正比，假如在距離車站10千米處建倉(cāng)庫(kù)，y1