2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2講直線與圓的位置關(guān)系第3課時圓的切線的性質(zhì)及判定定理課后提能訓(xùn)練新人教A版選修4-1

PAGE1-第3課時圓的切線的性質(zhì)及判定定理素養(yǎng)訓(xùn)練1．如圖所示，已知I是△ABC的內(nèi)心，∠B＝80°，則∠AIC等于()A．110° B．120°C．130° D．140°【答案】C【解析】∠AIC＝180°－(∠IAC＋∠ICA)＝180°－eq\f(1,2)(∠BAC＋∠ACB)＝180°－50°＝130°.故選C．2.如圖所示，AC切⊙O于D，AO的延長線交⊙O于B，BC切⊙O于B，若AD∶AC＝1∶2，則AO∶OB＝()A．2∶1 B．1∶1C．1∶2 D．4∶3【答案】A【解析】連接DO，CO.∵AC是切線，D是切點(diǎn)，∴OD⊥AC．又∵BC是切線，B是切點(diǎn)，∴AB⊥BC．OD＝OB，OC為公共邊，∴Rt△CDO≌Rt△CBO.∴CD＝CB．又△ADO∽△ABC，∴eq\f(AO,OD)＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(AC,DC)＝eq\f(2,1)，∴eq\f(AO,OB)＝eq\f(2,1).故選A．3．如圖所示，MN是圓O的直徑，MN的延長線與圓O上過點(diǎn)P的切線PA相交于點(diǎn)A，若∠M＝30°，切線AP的長為2eq\r(3)，則圓O的直徑長等于()A．2 B．3C．4 D．3eq\r(3)【答案】C【解析】∵AP是切線，∴∠APO＝90°.∵∠M＝30°，∴∠AOP＝60°.∴OP＝eq\f(AP,tan60°)＝2.∴直徑為4.故選C．4．(2024年郴州模擬)如圖，已知PA是圓O的切線，切點(diǎn)為A，PO交圓O于點(diǎn)B，圓O的半徑為2，PB＝3，則PA的長為______．【答案】eq\r(21)【解析】由題可知PO＝PB＋BO，BO為圓O半徑，所以PO＝5，PA是圓O的切線，所以∠OAP＝90°，PA＝eq\r(OP2－OA2)＝eq\r(52－22)＝eq\r(21).5．(2015年汕頭一模)如圖，O是半圓的圓心，直徑AB＝2eq\r(6)，PB是圓的一條切線，割線PA與半圓交于點(diǎn)C，AC＝4，則PB＝________.【答案】2eq\r(3)【解析】連接BC，則∠ACB＝90°，∠ABP＝90°，∴BC＝eq\r(2\r(6)2－42)＝2eq\r(2).△ABC∽△APB，∴eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,PB)，∴PB＝eq\f(2\r(6)×2\r(2),4)＝2eq\r(3).6．(2015年永州三模)如圖，已知PA是圓O的切線，切點(diǎn)為A，直線PO交圓O于B，C兩點(diǎn)，AC＝1，∠BAP＝120°，則圓O的面積為________．【答案】π【解析】∵PA是圓O的切線，∴OA⊥AP.又∵∠PAB＝120°，∴∠BAO＝∠ABO＝30°.又∵在Rt△ABC中，AC＝1，∴BC＝2，即圓O的直徑2R＝2.∴圓O的面積S＝πR2＝π.7．如圖所示，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點(diǎn)為B，OC平行于弦AD．求證：DC是⊙O的切線．【證明】如圖所示，連接OD．∵AD∥OC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又∵OA＝OD，∴∠1＝∠3.∴∠2＝∠4.又∵OC＝OC，OB＝OD，∴△CDO≌△CBO.∴∠CDO＝∠CBO.∵BC是⊙O的切線，∴∠CDO＝∠CBO＝90°.∴DC是⊙O的切線．8．如圖所示，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，⊙O與腰AB相切于D，求證：AC與⊙O相切．【證明】如圖所示，連接OD，AO，過O作AC的垂線交AC于E.∵AB是⊙O的切線，∴OD⊥AB．∵△ABC為等腰三角形，∴∠BAO＝∠CAO.∴Rt△ADO≌Rt△AEO.∴OD＝OE.∴點(diǎn)E在圓上．∴AC與圓相切．實(shí)力提升9.如圖所示，∠ACB＝60°，半徑為2的⊙O切BC于點(diǎn)C，若將⊙O在CB上向右滾動，則當(dāng)滾動到⊙O與CA也相切時，圓心O移動的水平距離為()A．2π B．4πC．4 D．2eq\r(3)【答案】D【解析】滾動到⊙O與CA也相切時，如圖所示，O′N⊥AC，O′M⊥BC，N，M