高中數(shù)學(xué)(人教B版)選擇性必修一同步講義2.6.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(2知識(shí)點(diǎn)+6題型+鞏固訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

2.6.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)對(duì)雙曲線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)2.借助于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)1.掌握雙曲線的定義，會(huì)用雙曲線的定義解決實(shí)際問(wèn)題2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.理解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程并能運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問(wèn)題:知識(shí)點(diǎn)01雙曲線的定義1.定義：在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于0且）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線.2.焦距：這兩個(gè)定點(diǎn)、叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線的焦距.注意：1.若去掉定義中的“絕對(duì)值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；若（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；2.若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線（包括端點(diǎn)）；3.若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在；4.若常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線?！炯磳W(xué)即練1】（23-24高二上·江西·期末）已知點(diǎn)P是雙曲線C：x2?y215=1上一點(diǎn)，A．5 B．13 C．5或9 D．5或6【即學(xué)即練2】（23-24高二上·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2是平面內(nèi)兩個(gè)不同的定點(diǎn)，則“||MF1|?|MA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件知識(shí)點(diǎn)02雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1、當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；2、當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中注意：方程Ax2+By2=C（A、B、C均不為零）表示雙曲線的條件方程Ax2+By2=C可化為，即，所以只有A、B異號(hào)，方程表示雙曲線。當(dāng)時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上?！炯磳W(xué)即練3】（23-24高二上·廣東茂名·期末）雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)?1,0，焦點(diǎn)分別為F1?2,0、A．x22?y2=1 B．x【即學(xué)即練4】（23-24高二上·廣東肇慶·期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三邊邊長(zhǎng)分別稱為“勾”“股”“弦”．如圖一直角三角形ABC的“勾”“股”分別為6，8，以AB所在的直線為x軸，AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則以A，B為焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)C的雙曲線方程為（

）A．x2?yC．x249?難點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用示例1：（23-24高二下·安徽·期末）已知雙曲線E：x2a2?y2b2=1a>0,b【題型1：雙曲線的定義】例1．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)A．射線 B．直線C．橢圓 D．雙曲線的一支變式1．（22-23高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）到兩定點(diǎn)F1?3,0、F2A．橢圓 B．直線 C．雙曲線 D．兩條射線變式2．（22-23高二下·福建福州·期中）設(shè)P是雙曲線x2A．1 B．17 C．1或17 D．8變式3．（23-24高二上·廣東東莞·期中）設(shè)F1、F2是兩定點(diǎn)，F(xiàn)1A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．一條射線 D．軌跡不存在變式4.（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如果雙曲線x264?y236=1上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)變式5．（22-23高二上·山西晉中·期末）與兩圓x2+yA．橢圓 B．雙曲線的一支 C．拋物線 D．圓變式6．(多選)（23-24高二上·河南焦作·階段練習(xí)）平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1?3,0、A．橢圓 B．一條直線 C．兩條射線 D．雙曲線變式7．（多選）（21-22高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知F1(?3,0),F2(3,0)，滿足條件PA．12 B．2 C．?1 D．變式8．（23-24高二下·北京·期中）雙曲線x29?y216=1的左右焦點(diǎn)分別是F1變式9．（23-24高二上·湖南岳陽(yáng)·期末）如果雙曲線x24?y23=1右支上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)F1【題型2：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】例2．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,A．x25?y212=1 B．變式1．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，若a=6,A．y236?x264=1 B．x2變式2．（21-22高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為F10,5，F(xiàn)2A．x216?y29=1 B．變式3．（22-23高二上·北京·階段練習(xí)）已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為5,0，一個(gè)頂點(diǎn)為3,0，則雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．y216?C．x225?變式4．（22-23高二上·北京海淀·期中）已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為F1(0,4)，F(xiàn)2A．x27?y29=1 B．變式5．（22-23高二上·江蘇連云港·期末）經(jīng)過(guò)點(diǎn)(433,23)且焦點(diǎn)為變式6．（22-23高二下·上海黃浦·期中）雙曲線Γ經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A?2,?3，B15變式7．（22-23高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸的等軸雙曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)4,13，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為變式8．（20-21高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(5，0)和(－5，0)，點(diǎn)P在雙曲線上，且PF1⊥PF2變式9．（21-22高二·全國(guó)·課后作業(yè)）求焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4,2)與Q【方法技巧與總結(jié)】用待定系數(shù)法求雙曲線方程的一般步驟為：【題型3：雙曲線定義的應(yīng)用】例3．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）若曲線x2A．?4,1 B．?∞,?4C．?4,1 D．?∞,?4變式1．（23-24高二上·湖北十堰·階段練習(xí)）方程x24?t+y2t?2=1所表示的曲線為C，有下列命題：①若曲線C為橢圓，則2<t<4；②若曲線C為雙曲線，則t>4或t<2以上命題正確的是（

）A．②③ B．①④ C．②④ D．①②④變式2．（22-23高二上·遼寧沈陽(yáng)·期末）若方程x2A．?1,2 B．?∞,?1C．2,+∞ D．?∞,?1變式3．（22-23高二下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）方程x21+m+y變式4．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期末）若方程x2+my變式5．（23-24高二上·遼寧大連·階段練習(xí)）若方程mx2+1?my變式6．（23-24高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，方程x2k?1+y變式7．（21-22高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若方程y24?變式8．（22-23高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知x2m?3(1)方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；(2)方程表示雙曲線.【題型4：焦點(diǎn)三角形】例4．（2022·海南·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線x24?y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，A．30° B．45° C．60°變式1．（22-23高二上·貴州貴陽(yáng)·期末）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2?y2A．1 B．3 C．2 D．2變式2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x24?y2A．24 B．152 C．123變式3．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)F1,F2是雙曲線C:x24?y23=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在CA．4 B．6 C．210 變式4.（20-21高二上·上海寶山·階段練習(xí)）已知橢圓x2m+y2=1(m>1)和雙曲線三角形（填銳角，直角，鈍角）.變式5．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知雙曲線y23?x25=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1,F2，點(diǎn)變式6．（23-24高二上·上海青浦·階段練習(xí)）雙曲線x2?y24=1的左右兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)變式7.（21-22高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知F1、F2是雙曲線x216?y29【方法技巧與總結(jié)】求雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積的方法：①根據(jù)雙曲線的定義求出||PF1|－|PF2||2a；②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之間滿足的關(guān)系式；③利用公式eq\f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面積．利用公式eq\f(1,2)×|F1F2|×|yP|(yP為P點(diǎn)的縱坐標(biāo))求得面積④結(jié)論：S【題型5：和差最值問(wèn)題】例5．（23-24高二上·浙江金華·階段練習(xí)）已知圓C:x2+(y?4)2=1上有一動(dòng)點(diǎn)PA．42?1 B．42?5 C．變式1．（21-22高二上·山西運(yùn)城·期中）已知橢圓x29+y225=1的一個(gè)焦點(diǎn)為F，雙曲線xA．5 B．5+3 C．10 變式2．（20-21高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知F是雙曲線x24?y212=1A．9 B．5 C．8 D．4變式3．（20-21高二上·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）已知A(-4，0)，B是圓x2+(A．9 B．25+4 C．8變式4．（20-21高二上·河南開(kāi)封·期中）已知F是雙曲線C：x29?y27=1的右焦點(diǎn)，PA．65?3 B．65?6 C．65變式5．（21-22高二上·重慶北碚·階段練習(xí)）已知雙曲線x23?y2=1的左右焦點(diǎn)分別為F1?F2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)變式6．（20-21高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知雙曲線的方程為x2?y24=1，如圖所示，點(diǎn)A?5,0，B是圓變式7．（20-21高二上·北京·期中）已知點(diǎn)A?2,0，B2,0，C3,變式8．（20-21高一下·江西景德鎮(zhèn)·期末）若P是雙曲線x2?y248=1的右支上的一點(diǎn),M,N分別是圓【方法技巧與總結(jié)】最值問(wèn)題：利用三角形：和最小問(wèn)題，兩邊之和≥第三邊，三點(diǎn)共線，動(dòng)點(diǎn)必須在中間。差的絕對(duì)值最大問(wèn)題，兩邊之差的絕對(duì)值≤第三邊，三點(diǎn)共線，動(dòng)點(diǎn)必須在兩邊?！绢}型6：軌跡方程問(wèn)題】例6．（23-24高二上·重慶·期中）已知M?2,0，圓C:x2?4x+y2=0A．x2?yC．x2?y變式1．（24-25高二·上?！るS堂練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)變式2．（23-24高三下·云南昆明·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)F1?2,0和F22,0變式3．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知點(diǎn)A?2,0點(diǎn)B(2,0)，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于34動(dòng)點(diǎn)P變式4．（23-24高二上·河南周口·期末）動(dòng)點(diǎn)Mx,y與定點(diǎn)F0,3的距離和它到直線l:變式5．（22-23高二·全國(guó)·課堂例題）如圖，在△ABC中，已知AB=42，且三內(nèi)角A，B，C滿足2sin

變式6．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)A?3,0，B3,0構(gòu)成△MAB，且直線MA變式7．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F1?17,0，F(xiàn)217,0【方法技巧與總結(jié)】求軌跡方程的常見(jiàn)方法有:①直接法，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x,y，根據(jù)題意列出關(guān)于x,y的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把x,y分別用第三個(gè)變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將x0=gx一、單選題1．（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知圓C1：x+32+y2=1和圓C2：x?3A．x2?yC．x2?y2．（23-24高二下·上海·階段練習(xí)）設(shè)P是雙曲線x216?y220=1A．1 B．17 C．1或17 D．5或133．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知曲線C:x28+y2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2024·遼寧·二模）已知雙曲線C：x2?yA．x2?y2=1 B．y25．（23-24高二上·寧夏吳忠·期末）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，焦點(diǎn)為?4,0,A．x24?C．x2?y6．（24-25高三上·云南·階段練習(xí)）設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為?3,0，(3,0)，直線AM與BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為23A．x29+C．y29+7．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知兩定點(diǎn)A?1,0,B1,0，動(dòng)點(diǎn)PxA．x2?yC．x2+y8．（2023高三上·湖北孝感·專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)2,2且與橢圓9xA．x26?y28=1 B．二、多選題9．（23-24高二上·吉林延邊·期中）希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)0<e<1時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)e=1時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)e>1時(shí)，軌跡為雙曲線．現(xiàn)有方程A．22 B．3 C．2310．（23-24高二上·山東煙臺(tái)·期末）（多選）已知曲線Γ：x21?mA．Γ可能是等軸雙曲線B．若Γ表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則?1<C．?？赡苁前霃綖?的圓D．若Γ表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則m11．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選）滿足下列條件的點(diǎn)P的軌跡一定在雙曲線上的有（）A．A（2，0），B（－2，3），|PA－PB|5B．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB2C．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB1D．A（2，0），B（－2，3），PA－PB2三、填空題12．（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知F1,F2分別是雙曲線C:x2a2?13．（23-24高二下·廣西南寧·期末）若雙曲線C:x2?y23=114．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）雙曲線C：x2a2?y2b2=1a四、解答題15．（24-25高二上·全國(guó)·課堂例題）根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)與雙曲線x216?(2)過(guò)點(diǎn)P3,15416．（24-25高二上·上海浦東新·階段練習(xí)）已知p：點(diǎn)M1,3不在圓x+m2+y?m2=16的內(nèi)部，(1)若p和q都不成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若q是s的必要不充分條件，求t的取值范圍．17．（23-24高三下·江蘇南京·開(kāi)學(xué)考試）已知圓M:x2+y2+4x?8=0，H(2,0)，(1)求點(diǎn)Q的軌跡方程；(2)設(shè)直線QH的傾斜角為α，直線QM的傾斜角為β，點(diǎn)Q不在x軸上，若α=2β，求點(diǎn)18．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知雙曲線x29?y2(1)若雙曲線上一點(diǎn)M到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于16，求點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離；(2)如圖，若P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且∠F1P19．（23-24高二上·湖北·階段練習(xí)）已知圓M：x2+y2+4(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P?2,3以及圓M與圓N(2)若動(dòng)圓T和圓M、圓N均外切，求T點(diǎn)的軌跡方程.2.6.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)對(duì)雙曲線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)2.借助于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)1.掌握雙曲線的定義，會(huì)用雙曲線的定義解決實(shí)際問(wèn)題2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.理解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程并能運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問(wèn)題:知識(shí)點(diǎn)01雙曲線的定義1.定義：在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于0且）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線.2.焦距：這兩個(gè)定點(diǎn)、叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線的焦距.注意：1.若去掉定義中的“絕對(duì)值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；若（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；2.若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線（包括端點(diǎn)）；3.若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在；4.若常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線。【即學(xué)即練1】（23-24高二上·江西·期末）已知點(diǎn)P是雙曲線C：x2?y215=1上一點(diǎn)，A．5 B．13 C．5或9 D．5或6【答案】D【分析】由雙曲線的定義求解.【詳解】由題意可知a=1，c=1+15=4，PF1>c+【即學(xué)即練2】（23-24高二上·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2是平面內(nèi)兩個(gè)不同的定點(diǎn)，則“||MF1|?|MA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】充分、必要條件的判斷，一方面需要判斷充分性，另一方面要判斷必要性，結(jié)合雙曲線的定義，只有“||MF1【詳解】充分性：當(dāng)“||MF1|?|M必要性：以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)M滿足“因此“||MF1|?|MF2.知識(shí)點(diǎn)02雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1、當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；2、當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中注意：方程Ax2+By2=C（A、B、C均不為零）表示雙曲線的條件方程Ax2+By2=C可化為，即，所以只有A、B異號(hào)，方程表示雙曲線。當(dāng)時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上?！炯磳W(xué)即練3】（23-24高二上·廣東茂名·期末）雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)?1,0，焦點(diǎn)分別為F1?2,0、A．x22?y2=1 B．x【答案】A【分析】由a,【詳解】由題意知a=1，c=2，所以所以雙曲線的方程為x2.【即學(xué)即練4】（23-24高二上·廣東肇慶·期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三邊邊長(zhǎng)分別稱為“勾”“股”“弦”．如圖一直角三角形ABC的“勾”“股”分別為6，8，以AB所在的直線為x軸，AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則以A，B為焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)C的雙曲線方程為（

）A．x2?yC．x249?【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、半焦距即可求解.【詳解】依題意，雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，焦距2c=|AB實(shí)軸長(zhǎng)2a=||AC|?|BC所以所求雙曲線方程為x2難點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用示例1：（23-24高二下·安徽·期末）已知雙曲線E：x2a2?y2b2=1a>0,b【答案】2+1/【分析】設(shè)雙曲線E的左焦點(diǎn)為F'，分析可知AF'BF為矩形，則【詳解】設(shè)雙曲線E的左焦點(diǎn)為F'，連接AF'由對(duì)稱性可知：OA=OB,且AF⊥BF，可知AF由題意可得：m2+n因?yàn)閙?n2整理可得b2故答案為：2+1【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：焦點(diǎn)三角形的作用在焦點(diǎn)三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來(lái)．【題型1：雙曲線的定義】例1．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)A．射線 B．直線C．橢圓 D．雙曲線的一支【答案】A【分析】利用兩點(diǎn)間的距離公式分析條件的幾何意義可得.【詳解】設(shè)F1?2,0,.變式1．（22-23高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）到兩定點(diǎn)F1?3,0、F2A．橢圓 B．直線 C．雙曲線 D．兩條射線【答案】A【分析】根據(jù)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和兩定點(diǎn)的距離關(guān)系判斷即可.【詳解】因?yàn)镸F1?故M的軌跡是已F1、F.變式2．（22-23高二下·福建福州·期中）設(shè)P是雙曲線x2A．1 B．17 C．1或17 D．8【答案】C【分析】先求出P點(diǎn)的位置，再根據(jù)雙曲線的定義求解.【詳解】對(duì)于x2PF1=9<a.變式3．（23-24高二上·廣東東莞·期中）設(shè)F1、F2是兩定點(diǎn)，F(xiàn)1A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．一條射線 D．軌跡不存在【答案】C【分析】由PF【詳解】依題意，F(xiàn)1、F且P滿足PF變式4.（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如果雙曲線x264?y236=1上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)【答案】22【分析】由雙曲線定義得到方程，進(jìn)行求解.【詳解】由題意得PF1?PF故答案為：22變式5．（22-23高二上·山西晉中·期末）與兩圓x2+yA．橢圓 B．雙曲線的一支 C．拋物線 D．圓【答案】C【分析】設(shè)所求動(dòng)圓圓心為P，圓P的半徑為r，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系結(jié)合雙曲線的定義可得出結(jié)論.【詳解】圓x2+y2=4圓x2+y2?8x+15=0設(shè)所求動(dòng)圓圓心為P，圓P的半徑為r，

由于動(dòng)圓P與圓O、圓B均外切，則PO=所以，PO?PB=1<.變式6．(多選)（23-24高二上·河南焦作·階段練習(xí)）平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1?3,0、A．橢圓 B．一條直線 C．兩條射線 D．雙曲線【答案】CCD【分析】由雙曲線的定義判斷．【詳解】當(dāng)a=0時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為F當(dāng)2a當(dāng)0<2a當(dāng)2a>|FCD變式7．（多選）（21-22高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知F1(?3,0),F2(3,0)，滿足條件PA．12 B．2 C．?1 D．【答案】CC【分析】根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的定義，列出不等式組2m【詳解】由雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(?3,0),F要使得滿足條件PF1?則滿足2m?1<62m結(jié)合選項(xiàng)，選項(xiàng)B、C符合題意.C.變式8．（23-24高二下·北京·期中）雙曲線x29?y216=1的左右焦點(diǎn)分別是F1【答案】1【分析】根據(jù)雙曲線的定義即可求解.【詳解】由雙曲線的定義可知，|M所以MF故答案為：1.變式9．（23-24高二上·湖南岳陽(yáng)·期末）如果雙曲線x24?y23=1右支上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)F1【答案】2【分析】借助雙曲線定義即可得.【詳解】由雙曲線定義可得PF又P為右支上一點(diǎn)，故PF即PF故答案為：2.【題型2：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】例2．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,A．x25?y212=1 B．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線定義求解即可.【詳解】由題意可知2a=10，c=a2所以雙曲線C的方程是x2．變式1．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，若a=6,A．y236?x264=1 B．x2【答案】A【分析】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情形，一是焦點(diǎn)在x軸，另一種焦點(diǎn)在y軸，根據(jù)a與b寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程即可．【詳解】在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，a=6,當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，它的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，它的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是x236?變式2．（21-22高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為F10,5，F(xiàn)2A．x216?y29=1 B．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的定義求得正確答案.【詳解】依題意c=5，P所以b=由于雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2變式3．（22-23高二上·北京·階段練習(xí)）已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為5,0，一個(gè)頂點(diǎn)為3,0，則雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．y216?C．x225?【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線中a,【詳解】由題可知，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以可設(shè)方程為x2且c=5,a=3所以雙曲線方程為x2故選:D.變式4．（22-23高二上·北京海淀·期中）已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為F1(0,4)，F(xiàn)2A．x27?y29=1 B．【答案】D【分析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)特征設(shè)出雙曲線方程，根據(jù)雙曲線定義得到a=3，得到b【詳解】由題意得：雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)雙曲線方程為y2PF1?PF故b2故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2變式5．（22-23高二上·江蘇連云港·期末）經(jīng)過(guò)點(diǎn)(433,23)且焦點(diǎn)為【答案】y【分析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)得c=5，由定義得a【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且c=5因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)(433,23則b2=故答案為：y2變式6．（22-23高二下·上海黃浦·期中）雙曲線Γ經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A?2,?3，B15【答案】x【分析】設(shè)雙曲線的方程為mx2+【詳解】設(shè)雙曲線的方程為mx由題意可得：2m+3n所以雙曲線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2故答案為：x2變式7．（22-23高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸的等軸雙曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)4,13，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【答案】x【分析】利用等軸雙曲線的性質(zhì)得出a=b，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，將坐標(biāo)點(diǎn)代入求得a和【詳解】解：由題意，在等軸雙曲線C中，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，圖像過(guò)4,13當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時(shí)設(shè)C:x∴a=b∴C:當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時(shí)，不不成立，綜上，C:故答案為：x2變式8．（20-21高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(5，0)和(－5，0)，點(diǎn)P在雙曲線上，且PF1⊥PF2【答案】x2【分析】由已知可得|PF1|?|PF2|=2,|【詳解】由題意得|?(|PF1|－|PF2|)216，即2a4，解得a2，又c5，所以b1，故雙曲線的方程為x2故答案為：x2變式9．（21-22高二·全國(guó)·課后作業(yè)）求焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4,2)與Q【答案】x【分析】設(shè)出雙曲線方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)雙曲線方程為：x2a2?y2b2=1，將點(diǎn)P【方法技巧與總結(jié)】用待定系數(shù)法求雙曲線方程的一般步驟為：【題型3：雙曲線定義的應(yīng)用】例3．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）若曲線x2A．?4,1 B．?∞,?4C．?4,1 D．?∞,?4【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線方程的特征得到不等式，求出答案.【詳解】根據(jù)題意，若曲線x2k+4解得?4<k變式1．（23-24高二上·湖北十堰·階段練習(xí)）方程x24?t+y2t?2=1所表示的曲線為C，有下列命題：①若曲線C為橢圓，則2<t<4；②若曲線C為雙曲線，則t>4或t<2以上命題正確的是（

）A．②③ B．①④ C．②④ D．①②④【答案】D【分析】根據(jù)橢圓、雙曲線、圓的方程的特征逐一求出參數(shù)范圍即可判斷.【詳解】對(duì)于①，曲線C為橢圓時(shí)，4?t>0t?2>04?t≠對(duì)于②，曲線C為雙曲線時(shí)，(4?t)(t?2)<0，解得：t>4對(duì)于③，若曲線C是圓，則必有：4?t>0t?2>04?t=對(duì)于④，曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓時(shí)，4?t>0t?2>04?.變式2．（22-23高二上·遼寧沈陽(yáng)·期末）若方程x2A．?1,2 B．?∞,?1C．2,+∞ D．?∞,?1【答案】A【分析】由雙曲線方程定義列不等式求解.【詳解】依題意，得k+1k?2．變式3．（22-23高二下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）方程x21+m+y【答案】?1<【分析】通過(guò)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，列出不等式，求解即可.【詳解】方程x2可得1+m解得?1<m故答案為：?1<m變式4．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期末）若方程x2+my【答案】m【分析】根據(jù)雙曲線的方程即可求解.【詳解】若方程x2+m則由x2+m故m<0故答案為：m變式5．（23-24高二上·遼寧大連·階段練習(xí)）若方程mx2+1?my【答案】?∞,0【分析】根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)在y軸上有1?m【詳解】因方程mx2+則有1?m>0m所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為?∞,0.故答案為：?∞,0.變式6．（23-24高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，方程x2k?1+y【答案】(1,3)【分析】由題意可得k?1>03?k【詳解】將方程化為x2k?1所以k?1>03?k即k的取值范圍為(1,3)，故答案為：(1,3)變式7．（21-22高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若方程y24?【答案】m【分析】直接由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式得到不等式，解不等式即可.【詳解】由題意知：m?1>0，解得m故答案為：m>1變式8．（22-23高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知x2m?3(1)方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；(2)方程表示雙曲線.【答案】(1)3<(2)m<3或【分析】（1）結(jié)合橢圓幾何性質(zhì)即可；（2）結(jié)合雙曲線幾何性質(zhì)即可.【詳解】（1）由題知：11?m解得：3<（2）由題知:(m解得：m<3或【題型4：焦點(diǎn)三角形】例4．（2022·海南·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線x24?y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，A．30° B．45° C．60°【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的定義可得PF1?PF2=4，又P【詳解】根據(jù)雙曲線的定義得PF又因?yàn)镻F1=3PF又因?yàn)镕1所以在△Fcos∠F因?yàn)?°<∠F1P變式1．（22-23高二上·貴州貴陽(yáng)·期末）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2?y2A．1 B．3 C．2 D．2【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的定義可得PF1=4,PF【詳解】根據(jù)題意可知：a=1,b=2,c=3，由由于PF12=P將x=3代入x2變式2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x24?y2A．24 B．152 C．123【答案】A【分析】先利用題給條件及雙曲線定義求得△PF1【詳解】由3PF又P是是雙曲線x24?則PF2=6，則PF2則△PF變式3．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)F1,F2是雙曲線C:x24?y23=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在CA．4 B．6 C．210 【答案】D【分析】根據(jù)相似可得垂直關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)雙曲線定義，即可求解.【詳解】由雙曲線方程可得：a=2,由PQ2=F所以F1P⊥不妨設(shè)P在第一象限，則F1故F1P?又F1故F1

變式4.（20-21高二上·上海寶山·階段練習(xí)）已知橢圓x2m+y2=1(m>1)和雙曲線三角形（填銳角，直角，鈍角）.【答案】直角【分析】在焦點(diǎn)三角形中根據(jù)橢圓和雙曲線的定義證明求解即可.【詳解】因?yàn)闄E圓x2m+所以m?1=n+1根據(jù)橢圓的定義得PF根據(jù)雙曲線的定義得PF所以PF即2P所以PF所以△F故答案為:直角.變式5．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知雙曲線y23?x25=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1,F2，點(diǎn)【答案】10+4【分析】根據(jù)雙曲線的定義可得BF2?BF【詳解】由雙曲線的定義可得BF2?BF兩式相加得BF2?所以BF2+AF故答案為：10+4變式6．（23-24高二上·上海青浦·階段練習(xí)）雙曲線x2?y24=1的左右兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)【答案】433【分析】利用雙曲線的定義表達(dá)式和余弦定理聯(lián)立方程組，可求得|P【詳解】由x2?y24=1可得：a在△PF1F2由①②聯(lián)立，解得：mn=則三角形F1PF故答案為：43變式7.（21-22高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知F1、F2是雙曲線x216?y29【答案】16【分析】由雙曲線的定義可得答案.【詳解】由雙曲線方程得，2a由雙曲線的定義得PF2QF2①＋②，得PF所以PF故答案為：16.【方法技巧與總結(jié)】求雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積的方法：①根據(jù)雙曲線的定義求出||PF1|－|PF2||2a；②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之間滿足的關(guān)系式；③利用公式eq\f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面積．利用公式eq\f(1,2)×|F1F2|×|yP|(yP為P點(diǎn)的縱坐標(biāo))求得面積④結(jié)論：S【題型5：和差最值問(wèn)題】例5．（23-24高二上·浙江金華·階段練習(xí)）已知圓C:x2+(y?4)2=1上有一動(dòng)點(diǎn)PA．42?1 B．42?5 C．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】∵在雙曲線M:x29?y∴c2=16，∴設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F2，則F∵Q在雙曲線的右支上，∴QF?QF由題知，圓心C0,4，半徑r=1，P在圓∴PQ≥則PQ+當(dāng)C，Q，F(xiàn)2三點(diǎn)共線且Q位于另兩點(diǎn)之間時(shí)，QC+Q此時(shí)PQ+∴PQ+QF的最小值為.變式1．（21-22高二上·山西運(yùn)城·期中）已知橢圓x29+y225=1的一個(gè)焦點(diǎn)為F，雙曲線xA．5 B．5+3 C．10 【答案】A【分析】先確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用雙曲線的定義轉(zhuǎn)化邊的關(guān)系，最后根據(jù)三點(diǎn)共線即可求得最小值.【詳解】根據(jù)橢圓方程，不妨設(shè)F(0,4)，根據(jù)雙曲線方程，可知F1(?3,0),由雙曲線定義可知|PF2所以△PFF2要使其周長(zhǎng)最小，即求|PF1|+|PF|的最小值，顯然當(dāng)因此，△PFF2故選:D變式2．（20-21高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知F是雙曲線x24?y212=1A．9 B．5 C．8 D．4【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的定義轉(zhuǎn)化為|PF【詳解】設(shè)右焦點(diǎn)為F'，則F'(4,0)∴|PF|+|PA|=P故|PF.變式3．（20-21高二上·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）已知A(-4，0)，B是圓x2+(A．9 B．25+4 C．8【答案】D【分析】由雙曲線的定義結(jié)合圓的對(duì)稱性得出|PA【詳解】圓x2+由雙曲線的性質(zhì)可知，A為其左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)為C(4,0)，由定義可知|即|【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于利用雙曲線的定義得出|PA變式4．（20-21高二上·河南開(kāi)封·期中）已知F是雙曲線C：x29?y27=1的右焦點(diǎn)，PA．65?3 B．65?6 C．65【答案】C【解析】記雙曲線C的左焦點(diǎn)為F'，利用雙曲線的定義，得到PA【詳解】記雙曲線C的左焦點(diǎn)為F'，則F因?yàn)镻為C右支上一點(diǎn)，由雙曲線的定義可得，PF所以PA+當(dāng)且僅當(dāng)F'，P，A.變式5．（21-22高二上·重慶北碚·階段練習(xí)）已知雙曲線x23?y2=1的左右焦點(diǎn)分別為F1?F2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)【答案】5+23/【分析】利用雙曲線定義可將PQ+PF1轉(zhuǎn)化為【詳解】

由雙曲線方程知：a=3，b=1，c=2，則由雙曲線定義知：PF∴PQ+PF1又QF2=故答案為：5+23變式6．（20-21高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知雙曲線的方程為x2?y24=1，如圖所示，點(diǎn)A?5,0，B是圓【答案】10+1【分析】設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5,0)，得到點(diǎn)A,D是雙曲線的焦點(diǎn)，根據(jù)題意和雙曲線的定義，化簡(jiǎn)得到MA+【詳解】由雙曲線x2?y24如圖所示，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5,0)，則點(diǎn)根據(jù)雙曲線的定義，可得MA?所以MA+又由B是圓x2+y?5所以BD≥CD?1=當(dāng)點(diǎn)M,B在線段CD上時(shí)，取得等號(hào)，即MA+故答案為：10+1變式7．（20-21高二上·北京·期中）已知點(diǎn)A?2,0，B2,0，C3,【答案】4【分析】利用雙曲線的定義得到動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線右側(cè)一支，然后利用三點(diǎn)共線兩線段之和最大，求解即可得到答案.【詳解】解：點(diǎn)A?2,0，B所以MA?故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線右側(cè)一支，則動(dòng)點(diǎn)M到B，C兩點(diǎn)的距離之和MB+當(dāng)且僅當(dāng)M，A，C三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以動(dòng)點(diǎn)M到B，C兩點(diǎn)的距離之和的最小值為4.故答案為：4.變式8．（20-21高一下·江西景德鎮(zhèn)·期末）若P是雙曲線x2?y248=1的右支上的一點(diǎn),M,N分別是圓【答案】6【分析】由題設(shè)知|PF1|?|PF2【詳解】解：雙曲線x2∵a=1，b=4∴F1(?7,0)因?yàn)镸,N分別是圓(x+7)2+∵|P∴|MP|?|P∴?|PN所以|=2+1+3=6故答案為：6．【方法技巧與總結(jié)】最值問(wèn)題：利用三角形：和最小問(wèn)題，兩邊之和≥第三邊，三點(diǎn)共線，動(dòng)點(diǎn)必須在中間。差的絕對(duì)值最大問(wèn)題，兩邊之差的絕對(duì)值≤第三邊，三點(diǎn)共線，動(dòng)點(diǎn)必須在兩邊?！绢}型6：軌跡方程問(wèn)題】例6．（23-24高二上·重慶·期中）已知M?2,0，圓C:x2?4x+y2=0A．x2?yC．x2?y【答案】D【分析】首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，設(shè)動(dòng)圓P的半徑為R，分兩圓相內(nèi)切與外切兩種情況討論，結(jié)合雙曲線的定義計(jì)算可得.【詳解】圓C:x2?4x+y2設(shè)動(dòng)圓P的半徑為R，若動(dòng)圓P與圓C相內(nèi)切，則圓C在圓P內(nèi)，所以PM=R，所以PM?所以動(dòng)點(diǎn)P是以M?2,0、C2,0為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且a=1所以b=所以動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是x2若動(dòng)圓P與圓C相外切，所以PM=R，所以PC?所以動(dòng)點(diǎn)P是以M?2,0、C2,0為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且a=1所以b=所以動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是x2綜上可得動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是x2變式1．（24-25高二·上?！るS堂練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)【答案】y【分析】結(jié)合雙曲線的定義求得的軌跡方程.【詳解】設(shè)F1?2,0，F(xiàn)2故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是射線y=0故答案為：y變式2．（23-24高三下·云南昆明·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)F1?2,0和F22,0【答案】x【分析】設(shè)點(diǎn)P(【詳解】設(shè)點(diǎn)P(由已知得yx+2?所以點(diǎn)P的軌跡方程為x2故答案為：x2變式3．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知點(diǎn)A?2,0點(diǎn)B(2,0)，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于34動(dòng)點(diǎn)P【答案】x【分析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)x【詳解】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x因?yàn)閗PA=y所以yx+2?故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2故答案為：x變式4．（23-24高二上·河南周口·期末）動(dòng)點(diǎn)Mx,y與定點(diǎn)F0,3的距離和它到直線l:【答案】y【分析】利用直接法建立等式，化簡(jiǎn)即可.【詳解】解：動(dòng)點(diǎn)Mx,y與定點(diǎn)F0,3的距離和它到直線所以x?02+展開(kāi)整理得y2故答案為：y2變式5．（22-23高二·全國(guó)·課堂例題）如圖，在△ABC中，已知AB=42，且三內(nèi)角A，B，C滿足2sin

【答案】x【分析】以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，利用正弦定理結(jié)合已知條件可得AC?【詳解】以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A?22,0由正弦定理，得sinA=BC2R，sin

∵2sinA∴2BC+AB由雙曲線的定義知，點(diǎn)C的軌跡為雙曲線的右支（除去與x軸的交點(diǎn)）.由題意，設(shè)所求軌跡方程為x2∵a=2，c=22故所求軌跡方程為x2故答案為：x變式6．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)A?3,0，B3,0構(gòu)成△MAB，且直線MA【答案】x【分析】設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用斜率坐標(biāo)公式列式并化簡(jiǎn)作答.【詳解】設(shè)點(diǎn)M(x,y)，而點(diǎn)A?3,0，B3,0，在△MAB中，于是yx+3?yx所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程x2變式7．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F1?17,0，F(xiàn)217,0【答案】x2【分析】利用雙曲線的定義可知軌跡C是以點(diǎn)F1、F2為左、右焦點(diǎn)雙曲線的右支，求出a、c的值，從而得b的值，即可得出軌跡【詳解】因?yàn)镸F軌跡C是以點(diǎn)F1、F設(shè)軌跡C的方程為x2a2?y2c=217，即c所以軌跡C的方程為x2【方法技巧與總結(jié)】求軌跡方程的常見(jiàn)方法有:①直接法，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x,y，根據(jù)題意列出關(guān)于x,y的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把x,y分別用第三個(gè)變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將x0=gx一、單選題1．（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知圓C1：x+32+y2=1和圓C2：x?3A．x2?yC．x2?y【答案】D【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系以及雙曲線的定義即可求解.【詳解】設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，則MC1=則MC根據(jù)雙曲線的定義知，動(dòng)圓的圓心M的軌跡為雙曲線x2．2．（23-24高二下·上海·階段練習(xí)）設(shè)P是雙曲線x216?y220=1A．1 B．17 C．1或17 D．5或13【答案】C【分析】先求出a,b,c，然后根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合【詳解】雙曲線x216?由雙曲線的定義可得PF因?yàn)镻F1=9，所以9?若PF2=1，則P若PF2=17，則P．3．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知曲線C:x28+y2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】易得充分性不成立，當(dāng)m<0時(shí)，曲線C:x【詳解】當(dāng)m∈(0,8)時(shí)，曲線C:x當(dāng)m<0時(shí)，曲線C:x故由曲線C的焦點(diǎn)在x軸上推不出m∈(0,8)所以“m∈(0,8)”是“曲線C的焦點(diǎn)在x．4．（2024·遼寧·二模）已知雙曲線C：x2?yA．x2?y2=1 B．y2【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線C的焦點(diǎn)為(0,±2)在縱軸上，所以λ<0且雙曲線C方程y2?λ故λ=?2，則C的方程為y．5．（23-24高二上·寧夏吳忠·期末）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，焦點(diǎn)為?4,0,A．x24?C．x2?y【答案】A【分析】根據(jù)題意設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程并列出關(guān)系式求解即可.【詳解】根據(jù)題意設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2則2a=4c所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x26．（24-25高三上·云南·階段練習(xí)）設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為?3,0，(3,0)，直線AM與BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為23A．x29+C．y29+【答案】A【分析】利用給定條件直接求解動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)Mx,y，則AM的斜率為yx+3故yx所以x27．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知兩定點(diǎn)A?1,0,B1,0，動(dòng)點(diǎn)PxA．x2?yC．x2+y【答案】C【分析】利用兩點(diǎn)的斜率公式表示夾角正切，化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】動(dòng)點(diǎn)Px,y滿足tan∠PAB化簡(jiǎn)可得x2．8．（2023高三上·湖北孝感·專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)2,2且與橢圓9xA．x26?y28=1 B．【答案】A【分析】求出橢圓的焦點(diǎn)可得雙曲線的焦點(diǎn)，結(jié)合雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,2，可求得雙曲線方程.【詳解】由9x2+3y2設(shè)雙曲線的方程為y2a2?x2b所以雙曲線的方程為y2．二、多選題9．（23-24高二上·吉林延邊·期中）希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)0<e<1時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)e=1時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)e>1時(shí)，軌跡為雙曲線．現(xiàn)有方程A．22 B．3 C．23【答案】AB【分析】根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式及點(diǎn)到直線的距離公式，雙曲線的第二定義，求出m的取值范圍，即可判斷．【詳解】因?yàn)榉匠蘭x由mx2+即m10x2其中x2+y?22x?3y+110表示點(diǎn)x,y直線則x2+(y?2)2x依題意可得e=10mB10．（23-24高二上·山東煙臺(tái)·期末）（多選）已知曲線Γ：x21?mA．?？赡苁堑容S雙曲線B．若Γ表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則?1<C．?？赡苁前霃綖?的圓D．若Γ表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則m【答案】CCD【分析】根據(jù)圓，橢圓，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，逐一判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，若Γ是等軸雙曲線，則1?m對(duì)于B，Γ表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則3+m>1?m對(duì)于C，Γ是圓，則3+m=1?m>0，解得對(duì)于D，Γ表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則1?m解得m<?3CD.11．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選）滿足下列條件的點(diǎn)P的軌跡一定在雙曲線上的有（）A．A（2，0），B（－2，3），|PA－PB|5B．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB2C．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB1D．A（2，0），B（－2，3），PA－PB2【答案】CCD【詳解】解析：因?yàn)閨PA－PB|5AB，所以點(diǎn)P的軌跡是兩條射線，故A不正確；設(shè)P（x，y）（x≠±2），因?yàn)閗PA·kPB·2，化簡(jiǎn)得y22（x2－4），即－1，此時(shí)P的軌跡在雙曲線上，故B正確；設(shè)P（x，y）（x≠±2），因?yàn)閗PA·kPB·1，化簡(jiǎn)得y2x2－4，即x2－y24，此時(shí)P的軌跡在雙曲線上，故C正確；因?yàn)镻A－PB2＜5AB，此時(shí)P的軌跡在雙曲線上，故D正確．三、填空題12．（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知F1,F2分別是雙曲線