高中數(shù)學(xué)(人教B版)選擇性必修一同步講義1.1.1空間向量及其運(yùn)算(10知識(shí)點(diǎn)+9題型+鞏固訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

1.1.1空間向量及其運(yùn)算課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解空間向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共線向量等概念.2.會(huì)用平行四邊形法則、三角形法則作出向量的和與差，掌握數(shù)乘向量運(yùn)算的意義及遠(yuǎn)算律，3.掌握空間向量夾角概念及衣示方法4.掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)、計(jì)算方法及運(yùn)算律;掌握兩個(gè)向量數(shù)量積的主要用途，能運(yùn)用數(shù)量積求向量夾角和判斷的量的共線與垂直。1.理解空間向量的觀點(diǎn)，掌握其表示方法:2.會(huì)用圖形說明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運(yùn)算律:3.能用空間向量的運(yùn)算意義及運(yùn)算律解決簡(jiǎn)單的立體幾何中的問題.知識(shí)點(diǎn)01空間向量1.定義：空間中既有大小又有方向的量稱為空間向量．2.模(或長(zhǎng)度)：向量的大?。?.表示方法：①幾何表示法：可以用有向線段來直觀的表示向量，如始點(diǎn)為A終點(diǎn)為B的向量，記為eq\o(AB,\s\up7(→))，模為|eq\o(AB,\s\up7(→))|．②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模為|a|，|b|，|c|，…．【即學(xué)即練1】（22-23高二上·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）下列命題中是假命題的是（

）A．任意向量與它的相反向量不相等B．和平面向量類似，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小C．如果a=0，則D．兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同【即學(xué)即練2】（21-22高二·全國(guó)·課后作業(yè)）下列命題中，正確的是（

）.A．若a≠b，則a≠b C．若a=b，則a=b 知識(shí)點(diǎn)02幾類特殊的向量1.零向量：始點(diǎn)和終點(diǎn)相同的向量稱為零向量，記作0．2.單位向量：模等于1的向量稱為單位向量．3.相等向量：大小相等、方向相同的向量稱為相等向量．4.相反向量：方向相反，大小相等的向量稱為相反向量．5.平行向量：方向相同或者相反的兩個(gè)非零向量互相平行，此時(shí)表示這兩個(gè)非零向量的有向線段所在的直線平行或重合．通常規(guī)定零向量與任意向量平行．【即學(xué)即練3】（23-24高二上·福建泉州·期中）在正方體ABCD?A1BA．C1B B．BC1 C．【即學(xué)即練4】（23-24高二上·山西臨汾·階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D

(1)單位向量共有多少個(gè)？(2)試寫出與AB相等的所有向量．(3)試寫出AA知識(shí)點(diǎn)03空間向量的加法、減法與數(shù)乘名稱運(yùn)算法則特點(diǎn)圖示加法運(yùn)算三角形法則首尾相接首尾連（通過平移）平行四邊形法則起點(diǎn)相同（共起點(diǎn)）（通過平移）減法運(yùn)算平行四邊形法則起點(diǎn)相同連終點(diǎn)，被減向量定指向。數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)λ的作用：正負(fù)定方向，數(shù)值定模比【即學(xué)即練5】（23-24高二下·甘肅·期中）在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，則AF?A．?EF B．BD C．EF D．【即學(xué)即練6】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)M,G分別是BC和CD的中點(diǎn)，則AB+A．AD B．GA C．AG D．MG知識(shí)點(diǎn)04空間向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算律1.加法交換律：2.加法結(jié)合律：3.數(shù)乘運(yùn)算律：①λ(μa)(λμ)a；②(λ＋μ)aλa＋μv；③λ(a＋b)λa＋λb；【即學(xué)即練7】（21-22高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列各式計(jì)算正確的是（

）A．a(chǎn)B．2(C．3(D．a(chǎn)【即學(xué)即練8】（23-24高二上·全國(guó)·階段練習(xí)）化簡(jiǎn)下列算式：(1)32(2)OA?知識(shí)點(diǎn)05向量共線及共線定理1.共線向量或平行向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫作共線向量或平行向量.向量a與b平行，記作a//b.規(guī)定，零向量與任意向量共線.2.共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b（a≠0），b與a共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使b=λa.【即學(xué)即練9】（23-24高二上·河北邯鄲·期末）已知x,y,z是不共面的空間向量，若p=3x?2A．16 B．-13 C．3 D．-3【即學(xué)即練10】（22-23高二下·江蘇·課后作業(yè)）若空間非零向量e1,e2不共線，則使2ke知識(shí)點(diǎn)06空間向量線性運(yùn)算的理解類似于平面向量，可以定義空間向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算．圖1圖2(1)如圖1，eq\o(OB,\s\up7(→))eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))a＋b，eq\o(CA,\s\up7(→))eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))a－b．(2)如圖2，eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(DD1,\s\up7(→))eq\o(DB1,\s\up7(→))．即三個(gè)不共面向量的和，等于以這三個(gè)向量為鄰邊的平行六面體中，與這三個(gè)向量有共同始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量．(3)給定一個(gè)實(shí)數(shù)λ與任意一個(gè)空間向量a，則實(shí)數(shù)λ與空間向量a相乘的運(yùn)算稱為數(shù)乘向量，記作λa．其中：①當(dāng)λ≠0且a≠0時(shí)，λa的模為|λ||a|，而且λa的方向：(ⅰ)當(dāng)λ＞0時(shí)，與a的方向相同；(ⅱ)當(dāng)λ＜0時(shí)，與a的方向相反．②當(dāng)λ0或a0時(shí)，λa0．【即學(xué)即練11】（23-24高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱ABC?A1B1C1中，E是A．13AB?C．?13AB【即學(xué)即練12】（23-24高二下·江蘇·課前預(yù)習(xí)）如圖所示，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，設(shè)(1)AP；(2)A1(3)MP.知識(shí)點(diǎn)07空間兩個(gè)向量的夾角夾角定義a,b是空間兩個(gè)向量，過空間任意一點(diǎn)O，作OA=a，OB=b,∠AOB=θ（0≤θ≤π）叫做向量a,圖示?表示〈a,b〉.范圍[0,π]2.空間兩個(gè)向量的關(guān)系（1）若〈a,b〉=0,則向量a,b方向相同;（2）若〈a,b〉=π,則向量a,b方向相反;（3）若〈a,b〉=π2,則向量a,b互相垂直，記作a⊥【即學(xué)即練13】（22-23高二下·江蘇·課后作業(yè)）在正四面體ABCD中，BC與CD的夾角等于（

）A．30° B．80° C．170° D．120°【即學(xué)即練14】（22-23高二下·江蘇·課后作業(yè)）如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，求向量AC分別與向量A'B'，B'A'，知識(shí)點(diǎn)08空間兩個(gè)向量的數(shù)量積空間向量的數(shù)量積的定義定義已知兩個(gè)非零向量a,b,則|a||b|cos〈a,b〉

叫做a,b的數(shù)量積,記作

a·b

.即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.規(guī)定零向量與任意向量的數(shù)量積為0

2.空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律a·b=?

b·a

結(jié)合律(λa)·b=⑩

λ(a·b)

,λ∈R分配律a·(b+c)=?

a·b+a·c

3.空間向量數(shù)量積的性質(zhì)=1\*GB3①若a,b為非零向量,則a⊥b??

a·b=0

;=2\*GB3②若a,b同向，a·b=|a||b|；若a,b反向，a·b=-|a||b|；特別的，a·a=|a|2，或|a|=aa2=3\*GB3③若θ為a,b的夾角，則cosθ=aaa·b=4\*GB3④|a·b|≤|a||b|4.與數(shù)量積有關(guān)的2個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)①兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量，它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零.②向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足消去律和乘法的結(jié)合律，即ab=ac?b=c，（a·b）·c=a·（b·c）都不不成立.【即學(xué)即練15】（22-23高二上·湖南懷化·期末）如圖，各棱長(zhǎng)都為2的四面體ABCD中CE=ED，AF=2FD，則向量BE?A．?13 B．13 C．?12【即學(xué)即練16】（23-24高二下·江蘇常州·期中）已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，則AM?CD的值為知識(shí)點(diǎn)09向量的投影1.向量在向量上的投影向量①定義：對(duì)于空間任意兩個(gè)非零向量a，b，設(shè)向量OA=a，OB=b，如圖，過點(diǎn)A作AA1⊥0B，垂足為A1.上述由向量a得到向量OA1的變換稱為向量a向向量b投影，向量OA1稱為向量②幾何意義：向量a，b的數(shù)量積就是向量a在向量b上的投影向量與向量b的數(shù)量積，即a·b=OA2．向量在平面上的投影向量①定義：設(shè)向量m=CD，過C，D分別作平面α的垂線，垂足分別為C1，D1，得向量C1D1.我們將上述由向量m得到向量C1D1的變換稱為向量②幾何意義：空間向量m，n的數(shù)量積就是向量m在平面α上的投影向量與向量n的數(shù)量積，即m?n=C1【即學(xué)即練17】（2023高二·全國(guó)·專題練習(xí)）四棱錐P?ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，則BP在向量AD上的投影向量為.【即學(xué)即練18】（2023高二·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，向量AB在向量A1

知識(shí)點(diǎn)1O共面向量1.共面向量一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫作共面向量.2.共面向量定理如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組（x，y），使得p=xa+yb,即向量p可以由兩個(gè)不共線的向量a，b線性表示。3.空間四點(diǎn)共面的條件已知OA，OB，OC不共面，若OP=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=1，則P，A，B，C四點(diǎn)共面.注意：共面向量不僅包括在同一個(gè)平面內(nèi)的向量，還包括平行于同一平面的向量.（2）空間任意兩個(gè)向量是共面的，但空間任意三個(gè)向量就不一定共面了.【即學(xué)即練19】（22-23高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）對(duì)于空間一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A，B，C，且有6OPA．O，A，B，C四點(diǎn)共面 B．P，A，B，C四點(diǎn)共面C．O，P，B，C四點(diǎn)共面 D．O，P，A，B，C五點(diǎn)共面【即學(xué)即練20】（多選）（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）在下列條件中，使M與A，B，C不一定共面的是（）A．OM=3OA?2C．MA+MB+難點(diǎn)：空間向量的線性運(yùn)算示例1：（23-24高二上·湖北荊州·期末）如圖，三棱錐O－ABC中，M是BC的中點(diǎn)，MN=2NO，設(shè)OA=a，OB=難點(diǎn)：向量共面問題示例2：（22-23高二上·上海普陀·階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是棱BB1、DD1的中點(diǎn)，P是棱A1B1上靠近A1的四等分點(diǎn)，過【題型1：空間向量的基本概念】例1．（23-24高二上·貴州·開學(xué)考試）關(guān)于空間向量，下列四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．方向相反的兩個(gè)向量是相反向量B．任意兩個(gè)空間向量總是共面的C．零向量沒有方向D．不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等變式1．（多選）（23-24高二上·重慶·期中）下列命題中，是真命題的為（

）A．設(shè)a，b是兩個(gè)空間向量，則aB．若空間向量a，b滿足a=bC．若空間向量m，n，p滿足m=n，nD．在正方體ABCD?A1變式2．（多選）（23-24高二上·貴州黔西·階段練習(xí)）下列說法，錯(cuò)誤的為（

）A．若兩個(gè)空間向量相等，則表示它們有向線段的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同B．若向量AB,CD滿足AB>CD，且ABC．若兩個(gè)非零向量AB與CD滿足AB+CD=D．AB=CD的充要條件是A與C重合，B與變式3．（23-24高二上·山西臨汾·階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D

(1)試寫出與AB相等的所有向量．(2)試寫出AA變式4．（23-24高二上·上海·課后作業(yè)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C

(1)AB的相等向量，A1(2)用另外兩個(gè)向量的和或差表示BB(3)用三個(gè)或三個(gè)以上向量的和表示BE．【方法技巧與總結(jié)】1.關(guān)鍵點(diǎn)：緊緊抓住向量的兩個(gè)要素，即大小和方向.2.注意點(diǎn)：注意一些特殊向量的特性.①零向量不是沒有方向，而是它的方向是任意的，且與任何向量都共線，這一點(diǎn)說明了共線向量不具備傳遞性.②單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長(zhǎng)度都是1.③兩個(gè)向量模相等，不一定是相等向量；反之，若兩個(gè)向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同．若兩個(gè)向量模相等，方向相反，則它們?yōu)橄喾聪蛄浚绢}型2：空間向量的加減數(shù)乘運(yùn)算】例2．（23-24高二下·北京·階段練習(xí)）在四面體OABC中，記OA=a，OB=b，A．12a+C．12a?變式1．（23-24高二下·北京·開學(xué)考試）已知平行六面體ABCD?AA．ABB．AC．AD．AB變式2．（23-24高二上·河南·期中）如圖所示，在三棱錐P?ABC中，M,N分別是棱AB,PC的中點(diǎn)，則12A．BM B．MB C．BA D．MN變式3．（23-24高二上·河北·階段練習(xí)）在四面體OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，OM=λMAλ>0A．13 B．3 C．12變式4．（23-24高二上·湖北恩施·階段練習(xí)）如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，點(diǎn)P在線段AN上，且MN=12ON,AP=34

A．1112 B．1 C．34 變式5．（多選）（23-24高二下·甘肅白銀·期中）如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P?ABCD中，E為PC的中點(diǎn)，則（

）A．PA=PB+C．AB+AD+變式6．（多選）（23-24高二上·山西長(zhǎng)治·期末）在三棱錐O?ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點(diǎn)M在直線OA上，且A．ON=12C．NA=12【方法技巧與總結(jié)】空間任意兩個(gè)向量都是共面向量，所以它們可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示。因此凡是涉及空間任意兩個(gè)向量的問題，平面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用于它們.【題型3：空間向量共線問題】例3.（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）設(shè)e1，e2是空間兩個(gè)不共線的非零向量，已知AB=2e1A．-8 B．-4 C．-2 D．8變式1．（2023·貴州六盤水·模擬預(yù)測(cè)）已知e1，e2，e3不共面，若AB=e1+A．0 B．1 C．2 D．3變式2．（20-21高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）若空間中任意四點(diǎn)O，A，B，P滿足OP=mA．P∈AB B．P?ABC．點(diǎn)P可能在直線AB上 D．以上都不對(duì)變式3．（多選）（21-22高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）（多選題）下列命題中不正確的是（

）A．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B．向量a，b，c共面，即它們所在的直線共面C．若兩個(gè)非零空間向量AB，CD，滿足AB+CD=0D．若a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a=λb變式4．（多選）（23-24高二下·山西長(zhǎng)治·階段練習(xí)）如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C

A．若λ=μ，則點(diǎn)P的軌跡為線段BB．若λ+μ=1，則點(diǎn)P的軌跡為線段BC．存在λ,μ∈0,1，使得D．存在λ,μ∈0,1，使得AP∥平面變式5．（21-22高二上·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E在（1）用a,b,（2）求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線.變式6．（21-22高二·湖南·課后作業(yè)）已知向量a，b，c不共面，AB=4a+5b+3【方法技巧與總結(jié)】向量共線的判定及應(yīng)用（1）判斷或證明兩向量a，b（b≠0）共線，就是尋找實(shí)數(shù)λ，使a=λb不成立，為此常結(jié)合題目圖形，運(yùn)用空間向量的線性運(yùn)算法則將目標(biāo)向量化簡(jiǎn)或用同一組向量表達(dá).（2）判斷或證明空間中的三點(diǎn)（如P，A，B）共線的方法：是否存在實(shí)數(shù)λ，使PA=λ【題型4：向量的數(shù)量積】例4．（23-24高二上·北京房山·期中）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1BA．22 B．42 C．2變式1．（19-20高二上·廣東廣州·期末）在空間四邊形ABCD中，AB·A．?1 B．0 C．1 D．不確定變式2．（23-24高二上·四川成都·階段練習(xí)）已知空間向量a,b的夾角為π3,|a變式3．（2023高二·全國(guó)·專題練習(xí)）正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，則EF?DC=變式4．（21-22高二上·陜西西安·期末）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則EF?BA的值為變式5．（22-23高二上·全國(guó)·期中）在正方體ABCD?A1B1C1D變式6．（23-24高二上·廣東廣州·期中）如圖,給定長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1,AD=AA1=2,AB=6,點(diǎn)E

(1)試用a,b,(2)求AD?變式7．（22-23高二上·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，求：(1)EF·BA；(2)EF·BD；(3)AB·CD.【方法技巧與總結(jié)】1.兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由cosθ的符號(hào)所決定.2.兩個(gè)向量的數(shù)量積寫成a?b；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積ax3.在數(shù)量積中，若a≠0，且a?4.在實(shí)數(shù)中，有abc=a(bc)，但是（a?b）c=【題型5：利用空間向量求夾角】例5．（19-20高二上·安徽滁州·期末）已知a,b是兩個(gè)空間向量，若|a|=2,|b|=2，變式1．（23-24高二上·河北張家口·期末）已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都相等，且變式2．（2023高二·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在正四面體OABC中，E，F(xiàn)分別為AB，OC的中點(diǎn)，則OE與BF的夾角的余弦值為．

變式3．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知a,b是異面直線，A∈a,B∈a,C∈b,D∈b，AC⊥b,BD⊥b，且AB=2,CD=1，則a與b所成的角為．變式4．（23-24高二上·四川綿陽(yáng)·期中）如圖，在平行六面體ABCD?A'B'C'D(1)AC(2)直線BD'與變式5．（23-24高二上·吉林松原·期中）已知空間四邊形OABC中，OB=OC,∠AOB=∠AOC=π3，求變式6．（22-23高二·全國(guó)·課堂例題）如圖，長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D

(1)求AC(2)求AC1與BD所夾角變式7．（2023高二·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)是(1)求CD(2)求AO與CB的夾角的余弦值(3)判斷AO與CD【方法技巧與總結(jié)】1.兩異面直線所成角的范圍是（0，π22.利用數(shù)量積求直線夾角或余弦值的方法①取向量:根據(jù)題設(shè)條件在所求的異面直線上取兩個(gè)向量②角轉(zhuǎn)化:異面直線所成角的問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題=3\*GB3③求余弦值:利用數(shù)量積求余弦值或角的大小④定結(jié)果:異面直線所成的角為銳角或直角，利用向量的夾角求余弦值應(yīng)將余弦值加上絕對(duì)值，繼而求角的大小【題型6：利用空間向量求長(zhǎng)度】例6．（23-24高二上·河南·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐P?ABC中，AB=AC=2，AP=3，cos∠BAP=cos∠CAP=13，cos∠BAC=14，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，O為△BCP的重心，A．45 B．1 C．54 變式1．（多選）（23-24高二上·湖南長(zhǎng)沙·期中）如圖，兩條異面直線a，b所成的角為60°，在直線a，b上分別取點(diǎn)A，O和點(diǎn)C，B，使AO⊥OC，OC⊥CB.已知AO=4，CB=3，AB=7，則線段OC的長(zhǎng)為（

）

A．6 B．8 C．23 D．變式2．（23-24高二上·湖南長(zhǎng)沙·期末）如圖所示，已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6，則PC

變式3．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知向量a,b,c兩兩夾角為60°，且a=變式4．（23-24高二上·山東濟(jì)寧·期中）在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，若底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，變式5．（23-24高二上·遼寧大連·期中）已知空間向量a,b,c兩兩夾角均為60°變式6．（23-24高二上·福建泉州·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，M，N分別是A1B，A1

(1)試用a,b,(2)若∠BAC=90°，∠BAA1=∠CA【方法技巧與總結(jié)】利用向量的數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離，可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題，其基本思路是先選擇以兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量，將此向量表示為幾個(gè)已知向量的和的形式，求出這幾個(gè)已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a|=aa【題型7：投影向量】例7．（23-24高二上·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知a=4，空間向量e為單位向量，a,e=2πA．2 B．?2 C．?12 變式1．（23-24高二上·廣東深圳·期中）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A．23AB C．34AB 變式2．（23-24高二上·安徽合肥·期中）若空間向量e1，e2滿足e1A．3 B．0 C．?332變式3．（多選）（2023·湖北十堰·二模）《九章算術(shù)》中，將上、下底面為直角三角形的直三棱柱叫做塹堵，在如圖所示的塹堵中，B1A．ADB．ADC．向量AD在向量AB上的投影向量為2D．向量AD在向量AC上的投影向量為2變式4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知空間向量a,b,|a|=1,|b|=2,變式5．（2023高二·全國(guó)·專題練習(xí)）四棱錐P?ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，則BP在向量AD上的投影向量為.變式6．（21-22高二上·北京·階段練習(xí)）已知a=4，向量e為單位向量，<a，e>=120°變式7．（23-24高二上·廣東惠州·期中）如圖，在三棱錐P?ABC中，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，則向量PC在向量BC上的投影向量為（用向量BC來表示）.

變式8．（20-21高二·江蘇·課后作業(yè)）如圖，在三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB=BC=a，PA=b．(1)確定PC在平面ABC上的投影向量，并求PC?(2)確定PC在AB上的投影向量，并求PC?【方法技巧與總結(jié)】類比平面向量投影的概念，借助圖形，敘述作出向量AB，已知圖形向量AB=a，l為軸，向量e是l上與軸l同方向的單位向量，作點(diǎn)A在l上的射影A’,作點(diǎn)B在l上的射影B’，則A'B’稱為向量AB在軸l上或在e的方向上的正射影；可以證明A’B’=|AB|cos<a,注意：軸l上的正射影A'B’對(duì)應(yīng)的數(shù)值A(chǔ)’B’是一個(gè)可正可負(fù)可零的實(shí)數(shù)，它的符號(hào)代表向量AB與l的方向的對(duì)應(yīng)關(guān)系，大小代表在l上射影的長(zhǎng)度.【題型8：共面問題】例8．（23-24高二上·廣東江門·期中）若{aA．c+b，b，c?b B．a(chǎn)C．a(chǎn)+c，a?c，b D．a(chǎn)變式1．（23-24高二上·浙江杭州·期末）設(shè)平面α內(nèi)不共線的三點(diǎn)A，B，C以及平面外一點(diǎn)P，若平面α內(nèi)存在一點(diǎn)D滿足PD=xPA+A．0 B．?19 C．?1變式2．（23-24高二上·四川宜賓·期中）在四面體OABC中，空間的一個(gè)點(diǎn)M滿足OM=14OA+A．1221 B．1120 C．35變式3．（22-23高二上·江西·階段練習(xí)）已知點(diǎn)P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，O為平面ABC外一點(diǎn)，若OP=mOA+nA．1 B．?1 C．2 D．?2變式4．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期末）在空間四面體PABC中，對(duì)空間內(nèi)任意一點(diǎn)Q，滿足PQ=xPA+13PB+14A．x=512 B．x=712 C．x=變式5．（23-24高二上·廣東廣州·期末）在下列條件中，一定能使空間中的四點(diǎn)M,A,B,C共面的是（

）A．OM=2OA?C．OM+OA+變式6．（23-24高二上·河南信陽(yáng)·期中）已知PA，PB，PC不共面，PM=A．?x，y∈R，A，B，C，M四點(diǎn)共面 B．?x，y∈C．?x，y∈R，A，B，C，P四點(diǎn)共面 D．?x，y∈變式7．（22-23高二上·湖南郴州·階段練習(xí)）O為空間任意一點(diǎn)，若OP=34OA+18OB+tOC，若A．1 B．12 C．18 【方法技巧與總結(jié)】利用向量法證明向量共面的策略（1）若已知點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，則有OP=xAB＋yAC或OP=xOA＋yOBzOc（x+y＋z=1），然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù)．（2）證明三個(gè)向量共面（或四點(diǎn)共面），需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進(jìn)行向量的分解與合成，將其中一個(gè)向量用另外兩個(gè)向量來表示.【題型9：最值取值范圍問題】例9．（23-24高二上·湖南·期中）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，球A．0,4 B．2?2C．4,2+22 D．變式1．（22-23高二上·湖南·期中）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．在如圖所示的鱉臑A?BCD中，AB⊥平面BCD，∠BDC=90°，BD=2AB=2CD=2，E是BC的中點(diǎn)，H是△ABD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且EH//平面ACD，則A．0,3 B．12,3 C．12變式2．（21-22高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方形ABCD?A1B1C1DA．[14,54] B．[?變式3．（多選）（23-24高三下·全國(guó)·強(qiáng)基計(jì)劃）正四面體ABCD中，棱長(zhǎng)為22．點(diǎn)P滿足PA+PBA．最小值為4?22B．最大值為2+2C．最小值為2?2D．最大值為4+2變式4．（23-24高二下·山東煙臺(tái)·階段練習(xí)）已知球O的半徑為1,AB是球O的直徑，點(diǎn)D在球O的球面上.若空間中一點(diǎn)C與點(diǎn)D間的距離為3，則CA?CB的最小值為變式5．（23-24高二上·重慶黔江·階段練習(xí)）已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)P在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，正方體的棱長(zhǎng)是2，則PM?PN的最大值是，最小值是變式6.（23-24高二上·上?！て谥校┮阎臻g三個(gè)向量a,b,c的模均為1，它們相互之間的夾角均為80°．若ka+b變式7．（22-23高二·浙江溫州·階段練習(xí)）正四面體A-BCD的棱長(zhǎng)為2，空間動(dòng)點(diǎn)P滿足|PB+PC一、單選題1．（23-24高二上·河北·期中）如圖，在正三棱臺(tái)ABC?A1B1C1中，AC=2A1C1，P為A1B1中點(diǎn)，Q為PC中點(diǎn)，設(shè)ABA．14a+12b+122．（23-24高二上·北京西城·期中）如圖，E，F(xiàn)分別是長(zhǎng)方體ABCD?A'BA．AD' B．AC' C．3．（21-22高二上·甘肅隴南·期末）已知a=2i?2j+λk，b=4i?j+5A．?1 B．1 C．?2 D．24．（2022高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在三棱錐O?ABC中，設(shè)OA=a,OB=b,A．12a+16b?235．（23-24高二下·江蘇·課前預(yù)習(xí)）已知a=3p?2q,A．1 B．2C．3 D．46．（21-22高二上·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）已知四面體ABCD，G是CD的中點(diǎn)，連接AG，則AB+A．AG B．CG C．BC D．17．（23-24高二下·甘肅·期末）在所有棱長(zhǎng)均為2的平行六面體ABCD?A1B1CA．23 B．25 C．28．（23-24高二下·浙江杭州·期中）正方體ABCD?A1BA．1 B．0 C．?1 D．2二、多選題9．（23-24高一下·吉林·期末）已知a,A．a(chǎn)+2c，aB．a(chǎn)+2b，aC．a(chǎn)?b，aD．a(chǎn)+b，a10．（23-24高一下·山東淄博·期中）已知a，b，c是平面上的三個(gè)非零向量，那么下列說法正確的是（

）A．若a=b，則aB．若a+bC．若a=b=a+bD．在正方體ABCD?A111．（23-24高二下·湖南郴州·期末）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為2,M為A．動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為π；B．異面直線MP與BBC．MP?D．三棱錐P?MAD的外接球表面積為25π三、填空題12．（23-24高三上·福建福州·期中）已知向量a,b的夾角的余弦值為14,13．（23-24高二上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）在四面體ABCD中，AB=a?2c,CD=514．（23-24高一下·河北邢臺(tái)·期末）如圖所示，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，側(cè)面都是矩形，底面四邊形ABCD是菱形，且AB=BC=2，∠ABC=120°，若異面直線四、解答題15．（23-24高二上·新疆·階段練習(xí)）如圖，在平行六面體ABCD?A'B'C'D'中，AB=4，(1)AA(2)AB16．（23-24高二上·河南開封·期末）如圖，在空間四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，AD=5，∠ABC=∠BAD=120°，AD⊥BC.(1)求BA?(2)求CD的長(zhǎng).17．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，正四面體（四個(gè)面都是正三角形）OABC的棱長(zhǎng)為1，M是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足ON=2NM，點(diǎn)P滿足(1)用向量OA，OB，(2)求|OP18．（23-24高二上·湖北·期末）如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D(1)求A1(2)求異面直線CA1與19．（23-24高二上·重慶·期末）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，∠A1AD=π4，∠A1

(1)求AB?(2)求A120．（23-24高二上·遼寧葫蘆島·期末）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，E為BC中點(diǎn)，AD=2AB.以DE為折痕將四邊形ABED折起，使A，B分別達(dá)到A1，B1，當(dāng)異面直線CD，B1E成角為π3A．12 B．33 C．2221．(多選)（23-24高二下·江蘇常州·階段練習(xí)）在正方體ABCD－A．AB．AC．AD．正方體ABCD?A122.（多選）（23-24高二上·山東濟(jì)寧·期末）如圖，二面角α－l－β的大小為60°，其棱l上有兩個(gè)點(diǎn)A,B，線段AC與BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱l．若AB＝3,AC＝

23．（23-24高二上·浙江·期中）平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱AA1=4，且∠A1AD=∠A

(1)用向量a，b，c表示向量PM；(2)求線段PM的長(zhǎng)度．24．（20-21高二上·山東濰坊·期中）如圖，在空間四邊形OABC中，2BD=DC，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，設(shè)OA=a(1)試用向量a，b，c表示向量OE；(2)若OA=OC=3，OB=2，∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，求OE?1.1.1空間向量及其運(yùn)算課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解空間向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共線向量等概念.2.會(huì)用平行四邊形法則、三角形法則作出向量的和與差，掌握數(shù)乘向量運(yùn)算的意義及遠(yuǎn)算律，3.掌握空間向量夾角概念及衣示方法4.掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)、計(jì)算方法及運(yùn)算律;掌握兩個(gè)向量數(shù)量積的主要用途，能運(yùn)用數(shù)量積求向量夾角和判斷的量的共線與垂直。1.理解空間向量的觀點(diǎn)，掌握其表示方法:2.會(huì)用圖形說明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運(yùn)算律:3.能用空間向量的運(yùn)算意義及運(yùn)算律解決簡(jiǎn)單的立體幾何中的問題.知識(shí)點(diǎn)01空間向量1.定義：空間中既有大小又有方向的量稱為空間向量．2.模(或長(zhǎng)度)：向量的大?。?.表示方法：①幾何表示法：可以用有向線段來直觀的表示向量，如始點(diǎn)為A終點(diǎn)為B的向量，記為eq\o(AB,\s\up7(→))，模為|eq\o(AB,\s\up7(→))|．②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模為|a|，|b|，|c|，…．【即學(xué)即練1】（22-23高二上·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）下列命題中是假命題的是（

）A．任意向量與它的相反向量不相等B．和平面向量類似，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小C．如果a=0，則D．兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同【答案】A【分析】由零向量的定義可判斷AC，由向量的性質(zhì)可判斷BD.【詳解】對(duì)于A，零向量0的相反向量是它本身，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，空間向量是有向線段，不能比較大小，B正確；對(duì)于C，如果a=0，則a對(duì)于D，兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同，D正確..【即學(xué)即練2】（21-22高二·全國(guó)·課后作業(yè)）下列命題中，正確的是（

）.A．若a≠b，則a≠b C．若a=b，則a=b 【答案】D【分析】根據(jù)向量模長(zhǎng)的定義以及向量的定義即可逐一判斷.【詳解】對(duì)于A;比如a=(0,0,1),b=(1,0,0),a對(duì)于B;向量的模長(zhǎng)可以有大小之分，但是向量不可以比較大小，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C;向量相等，則其模長(zhǎng)相等，方向相同，故C正確；對(duì)于D；若a=(0,0,1),b=(1,0,0)，a知識(shí)點(diǎn)02幾類特殊的向量1.零向量：始點(diǎn)和終點(diǎn)相同的向量稱為零向量，記作0．2.單位向量：模等于1的向量稱為單位向量．3.相等向量：大小相等、方向相同的向量稱為相等向量．4.相反向量：方向相反，大小相等的向量稱為相反向量．5.平行向量：方向相同或者相反的兩個(gè)非零向量互相平行，此時(shí)表示這兩個(gè)非零向量的有向線段所在的直線平行或重合．通常規(guī)定零向量與任意向量平行．【即學(xué)即練3】（23-24高二上·福建泉州·期中）在正方體ABCD?A1BA．C1B B．BC1 C．【答案】A【分析】根據(jù)正方體的特征及相反向量的概念判定即可.【詳解】

如圖所示，可知C1B是【即學(xué)即練4】（23-24高二上·山西臨汾·階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D

(1)單位向量共有多少個(gè)？(2)試寫出與AB相等的所有向量．(3)試寫出AA【答案】(1)8(2)A(3)A【分析】（1）根據(jù)單位向量的定義寫出即可；（2）根據(jù)相等向量的定義寫出即可；（3）根據(jù)相反向量的定義寫出即可.【詳解】（1）由題意，單位向量有AA1,（2）由題意，與AB相等有A1（3）由題意，AA1的相反向量有知識(shí)點(diǎn)03空間向量的加法、減法與數(shù)乘名稱運(yùn)算法則特點(diǎn)圖示加法運(yùn)算三角形法則首尾相接首尾連（通過平移）平行四邊形法則起點(diǎn)相同（共起點(diǎn)）（通過平移）減法運(yùn)算平行四邊形法則起點(diǎn)相同連終點(diǎn)，被減向量定指向。數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)λ的作用：正負(fù)定方向，數(shù)值定模比【即學(xué)即練5】（23-24高二下·甘肅·期中）在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，則AF?A．?EF B．BD C．EF D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量運(yùn)算計(jì)算即得.【詳解】在空間四邊形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，則AB+所以AF?【即學(xué)即練6】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)M,G分別是BC和CD的中點(diǎn)，則AB+A．AD B．GA C．AG D．MG【答案】D【分析】根據(jù)已知可得BD+【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，所以BD+所以AB+故選:C.知識(shí)點(diǎn)04空間向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算律1.加法交換律：2.加法結(jié)合律：3.數(shù)乘運(yùn)算律：①λ(μa)(λμ)a；②(λ＋μ)aλa＋μv；③λ(a＋b)λa＋λb；【即學(xué)即練7】（21-22高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列各式計(jì)算正確的是（

）A．a(chǎn)B．2(C．3(D．a(chǎn)【答案】A【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求解即可判斷各選項(xiàng)．【詳解】對(duì)于A，a→對(duì)于B，2(a對(duì)于C，3(a對(duì)于D，a+．【即學(xué)即練8】（23-24高二上·全國(guó)·階段練習(xí)）化簡(jiǎn)下列算式：(1)32(2)OA?【答案】(1)2a(2)CA.【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)乘運(yùn)算即可求得答案；（2）根據(jù)向量的線性運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】（1）32（2）OA?知識(shí)點(diǎn)05向量共線及共線定理1.共線向量或平行向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫作共線向量或平行向量.向量a與b平行，記作a//b.規(guī)定，零向量與任意向量共線.2.共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b（a≠0），b與a共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使b=λa.【即學(xué)即練9】（23-24高二上·河北邯鄲·期末）已知x,y,z是不共面的空間向量，若p=3x?2A．16 B．-13 C．3 D．-3【答案】D【分析】根據(jù)p∥q，結(jié)合【詳解】因?yàn)閤,y,故q=λp，則解得m=?13,n=16，所以m+n=3..【即學(xué)即練10】（22-23高二下·江蘇·課后作業(yè)）若空間非零向量e1,e2不共線，則使2ke【答案】－12/【分析】根據(jù)空間共線向量可得2ke【詳解】由題意知，存在實(shí)數(shù)λ使得2ke即λ=2k2λ(k+1)=?1，解得λ=?1故答案為：?知識(shí)點(diǎn)06空間向量線性運(yùn)算的理解類似于平面向量，可以定義空間向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算．圖1圖2(1)如圖1，eq\o(OB,\s\up7(→))eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))a＋b，eq\o(CA,\s\up7(→))eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))a－b．(2)如圖2，eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(DD1,\s\up7(→))eq\o(DB1,\s\up7(→))．即三個(gè)不共面向量的和，等于以這三個(gè)向量為鄰邊的平行六面體中，與這三個(gè)向量有共同始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量．(3)給定一個(gè)實(shí)數(shù)λ與任意一個(gè)空間向量a，則實(shí)數(shù)λ與空間向量a相乘的運(yùn)算稱為數(shù)乘向量，記作λa．其中：①當(dāng)λ≠0且a≠0時(shí)，λa的模為|λ||a|，而且λa的方向：(ⅰ)當(dāng)λ＞0時(shí)，與a的方向相同；(ⅱ)當(dāng)λ＜0時(shí)，與a的方向相反．②當(dāng)λ0或a0時(shí)，λa0．【即學(xué)即練11】（23-24高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱ABC?A1B1C1中，E是A．13AB?C．?13AB【答案】D【分析】依題意可得GE=【詳解】因?yàn)锳G=2GE，所以所以G==2【即學(xué)即練12】（23-24高二下·江蘇·課前預(yù)習(xí)）如圖所示，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，設(shè)(1)AP；(2)A1(3)MP.【答案】(1)a(2)?(3)1【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，結(jié)合圖形依次求解即可.【詳解】（1）∵P是C1∴AP=（2）∵N是BC的中點(diǎn)，∴A1（3）∵M(jìn)是AA∴MP=知識(shí)點(diǎn)07空間兩個(gè)向量的夾角夾角定義a,b是空間兩個(gè)向量，過空間任意一點(diǎn)O，作OA=a，OB=b,∠AOB=θ（0≤θ≤π）叫做向量a,圖示?表示〈a,b〉.范圍[0,π]2.空間兩個(gè)向量的關(guān)系（1）若〈a,b〉=0,則向量a,b方向相同;（2）若〈a,b〉=π,則向量a,b方向相反;（3）若〈a,b〉=π2,則向量a,b互相垂直，記作a⊥【即學(xué)即練13】（22-23高二下·江蘇·課后作業(yè)）在正四面體ABCD中，BC與CD的夾角等于（

）A．30° B．80° C．170° D．120°【答案】A【分析】根據(jù)正三角內(nèi)角為60°求解.【詳解】由正四面體每個(gè)面都是正三角形可知，<【即學(xué)即練14】（22-23高二下·江蘇·課后作業(yè)）如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，求向量AC分別與向量A'B'，B'A'，【答案】45°；135°；80°；120°；90°【分析】由圖形特征求向量夾角.【詳解】連接BD，則在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC45°，ACAD′CD′，所以AC,AC,AC,AC,AC,知識(shí)點(diǎn)08空間兩個(gè)向量的數(shù)量積空間向量的數(shù)量積的定義定義已知兩個(gè)非零向量a,b,則|a||b|cos〈a,b〉

叫做a,b的數(shù)量積,記作

a·b

.即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.規(guī)定零向量與任意向量的數(shù)量積為0

2.空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律a·b=?

b·a

結(jié)合律(λa)·b=⑩

λ(a·b)

,λ∈R分配律a·(b+c)=?

a·b+a·c

3.空間向量數(shù)量積的性質(zhì)=1\*GB3①若a,b為非零向量,則a⊥b??

a·b=0

;=2\*GB3②若a,b同向，a·b=|a||b|；若a,b反向，a·b=-|a||b|；特別的，a·a=|a|2，或|a|=aa2=3\*GB3③若θ為a,b的夾角，則cosθ=aaa·b=4\*GB3④|a·b|≤|a||b|4.與數(shù)量積有關(guān)的2個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)①兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量，它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零.②向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足消去律和乘法的結(jié)合律，即ab=ac?b=c，（a·b）·c=a·（b·c）都不不成立.【即學(xué)即練15】（22-23高二上·湖南懷化·期末）如圖，各棱長(zhǎng)都為2的四面體ABCD中CE=ED，AF=2FD，則向量BE?A．?13 B．13 C．?12【答案】A【分析】由向量的運(yùn)算可得BE=12【詳解】由題得BA,BC夾角，BD,BC夾角，∵CE∴BE∴=BA∴==.【即學(xué)即練16】（23-24高二下·江蘇常州·期中）已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，則AM?CD的值為【答案】?14【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算，得AM=12AB+【詳解】正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，∴AB又點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，∴AM又∵CD∴=1故答案為：?1知識(shí)點(diǎn)09向量的投影1.向量在向量上的投影向量①定義：對(duì)于空間任意兩個(gè)非零向量a，b，設(shè)向量OA=a，OB=b，如圖，過點(diǎn)A作AA1⊥0B，垂足為A1.上述由向量a得到向量OA1的變換稱為向量a向向量b投影，向量OA1稱為向量②幾何意義：向量a，b的數(shù)量積就是向量a在向量b上的投影向量與向量b的數(shù)量積，即a·b=OA2．向量在平面上的投影向量①定義：設(shè)向量m=CD，過C，D分別作平面α的垂線，垂足分別為C1，D1，得向量C1D1.我們將上述由向量m得到向量C1D1的變換稱為向量②幾何意義：空間向量m，n的數(shù)量積就是向量m在平面α上的投影向量與向量n的數(shù)量積，即m?n=C1【即學(xué)即練17】（2023高二·全國(guó)·專題練習(xí)）四棱錐P?ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，則BP在向量AD上的投影向量為.【答案】BC【分析】根據(jù)線面、線線位置關(guān)系，結(jié)合投影向量的定義確定BP在向量AD上的投影向量.【詳解】四棱錐P?ABCD，底面ABCD是矩形，則BC//AD,BC=AD，即AD=且BC⊥CD，由PD⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，則PD⊥BC，由PD∩CD=D，PD,CD?面PCD，則BC⊥面PCD，又PC?面PCD，則BC⊥PC，故向量BP在向量BC上的投影向量為BC，所以向量BP在向量AD上的投影向量為BC.故答案為：BC【即學(xué)即練18】（2023高二·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，向量AB在向量A1

【答案】12A1【分析】空（1），法一：應(yīng)用向量投影的定義求投影向量；法二：根據(jù)投影向量的幾何求法，結(jié)合正方體性質(zhì)確定投影向量；空（2），連接AC，交BD于點(diǎn)O，應(yīng)用線面垂直的判定證AC⊥平面BDD【詳解】空（1）法一：在正方體ABCD?A1B1C向量AB與向量A1C1夾角為45°，AB所以向量AB在向量A1C1法二：設(shè)B1D1∩A1C向量AB在向量A1C1空（2）如圖，連接AC，交BD于點(diǎn)O，易知AC⊥BD，線面垂直性質(zhì)有AC⊥BB由BB1∩BD=B，BB1,BD?平面所以AB在平面BDD1B1上的投影向量就是

故答案為：12A知識(shí)點(diǎn)1O共面向量1.共面向量一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫作共面向量.2.共面向量定理如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組（x，y），使得p=xa+yb,即向量p可以由兩個(gè)不共線的向量a，b線性表示。3.空間四點(diǎn)共面的條件已知OA，OB，OC不共面，若OP=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=1，則P，A，B，C四點(diǎn)共面.注意：共面向量不僅包括在同一個(gè)平面內(nèi)的向量，還包括平行于同一平面的向量.（2）空間任意兩個(gè)向量是共面的，但空間任意三個(gè)向量就不一定共面了.【即學(xué)即練19】（22-23高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）對(duì)于空間一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A，B，C，且有6OPA．O，A，B，C四點(diǎn)共面 B．P，A，B，C四點(diǎn)共面C．O，P，B，C四點(diǎn)共面 D．O，P，A，B，C五點(diǎn)共面【答案】C【分析】利用向量加減法，根據(jù)空間向量的加減法，可得AP,【詳解】由6OP=OA即AP=2PB+3又因?yàn)槿齻€(gè)向量有同一公共點(diǎn)P，所以P,.【即學(xué)即練20】（多選）（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）在下列條件中，使M與A，B，C不一定共面的是（）A．OM=3OA?2C．MA+MB+【答案】ABD【分析】根據(jù)各項(xiàng)中向量之間的線性關(guān)系，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法判斷M與A，B，C是否存在不共面的情況即可.【詳解】A：OM+2OB+OC=3

由|OB|,|OC|,|OMB：OM+OA=?

此時(shí)，M與A，B，C不共面，滿足；C：因?yàn)镸A+MB+D：4(OM+OA

此時(shí)，M與A，B，C不共面，滿足；BD難點(diǎn)：空間向量的線性運(yùn)算示例1：（23-24高二上·湖北荊州·期末）如圖，三棱錐O－ABC中，M是BC的中點(diǎn)，MN=2NO，設(shè)OA=a，OB=【答案】?【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】AN=故答案為：?a難點(diǎn)：向量共面問題示例2：（22-23高二上·上海普陀·階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是棱BB1、DD1的中點(diǎn)，P是棱A1B1上靠近A1的四等分點(diǎn)，過【答案】34/【分析】設(shè)AB=a，AD=b，AA1=c，用基底a,b,c表示向量PM、【詳解】設(shè)AB=a，AD=b，NM=MQ=由題意可知，PM、NM、MQ共面，設(shè)MQ=即λb所以，34m+故答案為：34【題型1：空間向量的基本概念】例1．（23-24高二上·貴州·開學(xué)考試）關(guān)于空間向量，下列四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．方向相反的兩個(gè)向量是相反向量B．任意兩個(gè)空間向量總是共面的C．零向量沒有方向D．不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的相關(guān)定義即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)于A，方向相反長(zhǎng)度相等的向量是相反向量，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，空間中，任意兩個(gè)向量是共面的，故B正確，對(duì)于C，零向量的方向是任意的，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，兩個(gè)不相等的向量模長(zhǎng)可以相等，此時(shí)方向不相同，即為不相等的向量.故D錯(cuò)誤，變式1．（多選）（23-24高二上·重慶·期中）下列命題中，是真命題的為（

）A．設(shè)a，b是兩個(gè)空間向量，則aB．若空間向量a，b滿足a=bC．若空間向量m，n，p滿足m=n，nD．在正方體ABCD?A1【答案】ACD【分析】根據(jù)空間向量的相關(guān)概念和運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：根據(jù)數(shù)量積的定義可知：a?對(duì)于選項(xiàng)B：根據(jù)向量的定義可知，a=所以a=±對(duì)于選項(xiàng)C：根據(jù)向量相等的定義可知：若m=n，n=對(duì)于選項(xiàng)D：在正方體ABCD?A1B1C所以AC=CD.變式2．（多選）（23-24高二上·貴州黔西·階段練習(xí)）下列說法，錯(cuò)誤的為（

）A．若兩個(gè)空間向量相等，則表示它們有向線段的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同B．若向量AB,CD滿足AB>CD，且ABC．若兩個(gè)非零向量AB與CD滿足AB+CD=D．AB=CD的充要條件是A與C重合，B與【答案】ABD【分析】利用向量與有向線段的區(qū)別可判定A、D，利用向量的概念可判定B，利用相反向量的定義可判定C.【詳解】向量是具有方向和大小的量，向量可自由平移，而表示向量的有向線段是起點(diǎn)、方向、終點(diǎn)都確定的，故相等向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)不必相同，對(duì)應(yīng)表示它們的有向線段也不必起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同，即A、D錯(cuò)誤；向量的模長(zhǎng)可比大小，但向量不可以，故B錯(cuò)誤；由相反向量的定義可知C正確.BD.變式3．（23-24高二上·山西臨汾·階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D

(1)試寫出與AB相等的所有向量．(2)試寫出AA【答案】(1)A(2)A【分析】（1）根據(jù)相等向量的定義寫出即可；（2）根據(jù)相反向量的定義寫出即可.【詳解】（1）由題意，與AB相等有A1（2）由題意，AA1的相反向量有變式4．（23-24高二上·上海·課后作業(yè)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C

(1)AB的相等向量，A1(2)用另外兩個(gè)向量的和或差表示BB(3)用三個(gè)或三個(gè)以上向量的和表示BE．【答案】(1)A1B1、DC、D1(2)答案見解析(3)答案見解析【分析】（1）根據(jù)相等向量以及相反向量的概念即可得答案.（2）根據(jù)向量的加減運(yùn)算即可得答案.（3）利用向量首尾依次相接的規(guī)則，即可求得答案.【詳解】（1）根據(jù)正方體棱與棱之間的關(guān)系，AB的相等向量有A1B1、DCA1B的相反向量有：BA（2）用“首尾規(guī)則”求解，如果只在含BB1的三角形中考慮，有BB1=BE+（3）用“首尾規(guī)則”求解，則BE=BA（答案不唯一）【方法技巧與總結(jié)】1.關(guān)鍵點(diǎn)：緊緊抓住向量的兩個(gè)要素，即大小和方向.2.注意點(diǎn)：注意一些特殊向量的特性.①零向量不是沒有方向，而是它的方向是任意的，且與任何向量都共線，這一點(diǎn)說明了共線向量不具備傳遞性.②單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長(zhǎng)度都是1.③兩個(gè)向量模相等，不一定是相等向量；反之，若兩個(gè)向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同．若兩個(gè)向量模相等，方向相反，則它們?yōu)橄喾聪蛄浚绢}型2：空間向量的加減數(shù)乘運(yùn)算】例2．（23-24高二下·北京·階段練習(xí)）在四面體OABC中，記OA=a，OB=b，A．12a+C．12a?【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】由題意得：MN=.變式1．（23-24高二下·北京·開學(xué)考試）已知平行六面體ABCD?AA．ABB．AC．AD．AB【答案】A【分析】根據(jù)平行六面體的性質(zhì)及空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】對(duì)于A：AB?對(duì)于B：因?yàn)锽'C'對(duì)于C：AA對(duì)于D：因?yàn)锽B'=故D錯(cuò)誤.變式2．（23-24高二上·河南·期中）如圖所示，在三棱錐P?ABC中，M,N分別是棱AB,PC的中點(diǎn)，則12A．BM B．MB C．BA D．MN【答案】A【分析】化簡(jiǎn)式子，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，在三棱錐P?ABC中，M,N分別是棱AB,PC的中點(diǎn)，BM=∴1==.變式3．（23-24高二上·河北·階段練習(xí)）在四面體OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，OM=λMAλ>0A．13 B．3 C．12【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可得解.【詳解】如圖，

因?yàn)镺M=λMA，N為BC的中點(diǎn)，所以又因?yàn)镺N=所以MN=又MN=?34a+.變式4．（23-24高二上·湖北恩施·階段練習(xí)）如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，點(diǎn)P在線段AN上，且MN=12ON,AP=34

A．1112 B．1 C．34 【答案】D【分析】寫出OP的表達(dá)式即可求出x+y+z的值.【詳解】由題意，在四面體OABC中，MN=12ON,AP=34∴ON=∴OP=∵OP=x∴x=y=z=1∴x+y+z=3.變式5．（多選）（23-24高二下·甘肅白銀·期中）如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P?ABCD中，E為PC的中點(diǎn)，則（

）A．PA=PB+C．AB+AD+【答案】AD【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的線性運(yùn)算逐項(xiàng)計(jì)算判斷得解.【詳解】在四棱錐P?ABCD中，E為PC的中點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形，PA=AB+AD+D變式6．（多選）（23-24高二上·山西長(zhǎng)治·期末）在三棱錐O?ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點(diǎn)M在直線OA上，且A．ON=12C．NA=12【答案】CC【分析】根據(jù)題意，結(jié)合點(diǎn)M的位置，利用空間向量的線性運(yùn)算，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)镹是BC的中點(diǎn)，可得ON=對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)M在線段OA上時(shí)，因?yàn)镺M=2MA，此時(shí)OM=則MN=對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)M在線段OA的延長(zhǎng)線上時(shí)，因?yàn)镺M=2MA，此時(shí)A為OM的中點(diǎn)，可得NA=對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)M在線段OA上時(shí)，可得CM=當(dāng)點(diǎn)M在線段OA的延長(zhǎng)線上時(shí)，CM=當(dāng)點(diǎn)M在線段AO的延長(zhǎng)線上時(shí)，OM=2MA不可能不成立，所以D不正確.綜上可得，可能正確的結(jié)論為BC.C.【方法技巧與總結(jié)】空間任意兩個(gè)向量都是共面向量，所以它們可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示。因此凡是涉及空間任意兩個(gè)向量的問題，平面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用于它們.【題型3：空間向量共線問題】例3.（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）設(shè)e1，e2是空間兩個(gè)不共線的非零向量，已知AB=2e1A．-8 B．-4 C．-2 D．8【答案】A【分析】利用空間向量共線定理求解即可.【詳解】因?yàn)锳、B、D三點(diǎn)共線，所以?λ∈R,使得AB又AB=2e1+ke所以AD則2則λ=2,λk+4=k,.變式1．（2023·貴州六盤水·模擬預(yù)測(cè)）已知e1，e2，e3不共面，若AB=e1+A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)向量共線設(shè)AB=xBC，從而得到方程組，求出【詳解】因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線，所以AB=x即e1+e2+所以λ+μ=1+1=2.變式2．（20-21高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）若空間中任意四點(diǎn)O，A，B，P滿足OP=mA．P∈AB B．P?ABC．點(diǎn)P可能在直線AB上 D．以上都不對(duì)【答案】A【分析】由已知化簡(jiǎn)可得AP=n【詳解】因?yàn)閙＋n1，所以m1－n，所以O(shè)P=(1?n)OA+n即AP=nAB，所以AP與又AP，AB有公共起點(diǎn)A，所以P，A，B三點(diǎn)在同一直線上，即P∈AB..變式3．（多選）（21-22高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）（多選題）下列命題中不正確的是（

）A．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B．向量a，b，c共面，即它們所在的直線共面C．若兩個(gè)非零空間向量AB，CD，滿足AB+CD=0D．若a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a=λb【答案】ABD【分析】舉反例判斷AD，根據(jù)共面向量的定義判斷B，根據(jù)向量共線定理判斷C【詳解】對(duì)于A，若b=0，則a與b共線，b與c共線，但a與對(duì)于B，共面向量的定義是平行于同一平面的向量，表示這些向量的有向線段所在的直線不一定共面，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)锳B+CD=0，所以AB=?CD，所以AB與對(duì)于D，若b=0，a≠0，則不存在λ，使BD變式4．（多選）（23-24高二下·山西長(zhǎng)治·階段練習(xí)）如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C

A．若λ=μ，則點(diǎn)P的軌跡為線段BB．若λ+μ=1，則點(diǎn)P的軌跡為線段BC．存在λ,μ∈0,1，使得D．存在λ,μ∈0,1，使得AP∥平面【答案】ABC【分析】利用向量的線性運(yùn)算逐一計(jì)算判斷即可.【詳解】對(duì)于A：由BP=λBC+μBB若λ=μ，則BP=λBC+BB對(duì)于B：若λ+μ=1，則BP=λBC+1?λB又λ∈0,1，故點(diǎn)P的軌跡為線段B對(duì)于C：分別取棱BC,B1C1的中點(diǎn)D,E，連接DE，由題意易證當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上時(shí)，AP⊥BC，故存在λ,μ∈0,1，使得AP⊥BC對(duì)于D：若使AP∥平面A1B1C1，則點(diǎn)P必在棱BC使得AP∥平面A1BC.

變式5．（21-22高二上·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E在（1）用a,b,（2）求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線.【答案】（1）EB=【分析】（1）由已知得EB=（2）由已知得FB=3【詳解】解：（1）因?yàn)锳1E=2所以EB=所以EB=（2）AFB===3又EB與FB相交于B，所以E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線.變式6．（21-22高二·湖南·課后作業(yè)）已知向量a，b，c不共面，AB=4a+5b+3【答案】證明見解析【分析】將三點(diǎn)共線問題轉(zhuǎn)化為求證向量共線問題求證即可.【詳解】因?yàn)锳B=4a+5b+3所以BC=BD=所以BC=?所以BC//BD，又所以B，C，D三點(diǎn)共線．【方法技巧與總結(jié)】向量共線的判定及應(yīng)用（1）判斷或證明兩向量a，b（b≠0）共線，就是尋找實(shí)數(shù)λ，使a=λb不成立，為此常結(jié)合題目圖形，運(yùn)用空間向量的線性運(yùn)算法則將目標(biāo)向量化簡(jiǎn)或用同一組向量表達(dá).（2）判斷或證明空間中的三點(diǎn)（如P，A，B）共線的方法：是否存在實(shí)數(shù)λ，使PA=λ【題型4：向量的數(shù)量積】例4．（23-24高二上·北京房山·期中）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1BA．22 B．42 C．2【答案】A【分析】根據(jù)向量數(shù)量積定義計(jì)算即可.【詳解】在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A易知AA1因?yàn)锳A1=BB1，所以AA1與BCAA變式1．（19-20高二上·廣東廣州·期末）在空間四邊形ABCD中，AB·A．?1 B．0 C．1 D．不確定【答案】C【分析】令A(yù)B=【詳解】令A(yù)B=則AB·=a=a變式2．（23-24高二上·四川成都·階段練習(xí)）已知空間向量a,b的夾角為π3,|a【答案】13【分析】利用向量數(shù)量積運(yùn)算律即可求得a?(【詳解】空間向量a,b的夾角為則a?(故答案為：13變式3．（2023高二·全國(guó)·專題練習(xí)）正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，則EF?DC=【答案】?1【分析】得到EF=【詳解】如圖所示，正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，所以EF=故EF故答案為：?變式4．（21-22高二上·陜西西安·期末）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則EF?BA的值為【答案】14/【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案.【詳解】EF?故答案為：1變式5．（22-23高二上·全國(guó)·期中）在正方體ABCD?A1B1C1D【答案】2【分析】根據(jù)AB?【詳解】解：在正方體ABCD?A1B1C所以AB?故答案為：2.變式6．（23-24高二上·廣東廣州·期中）如圖,給定長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1,AD=AA1=2,AB=6,點(diǎn)E

(1)試用a,b,(2)求AD?【答案】(1)AE(2)4【分析】（1）根據(jù)題意得CE=2（2）先由空間向量的線性運(yùn)算求得BD【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)E在棱CC1的延長(zhǎng)線上,且所以CE=2則AE=（2）由題意得AA則BD所以AD?變式7．（22-23高二上·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，求：(1)EF·BA；(2)EF·BD；(3)AB·CD.【答案】(1)1(2)2(3)0【分析】分別將EF，BD，CD轉(zhuǎn)化為AB，AC，AD后根據(jù)數(shù)量積定義計(jì)算即可.【詳解】（1）在正四面體ABCD中，|EF（2）EF（3）AB?CD在正四面體ABCD中，|AB|=|AD故AB【方法技巧與總結(jié)】1.兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由cosθ的符號(hào)所決定.2.兩個(gè)向量的數(shù)量積寫成a?b；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積ax3.在數(shù)量積中，若a≠0，且a?4.在實(shí)數(shù)中，有abc=a(bc)，但是（a?b）c=【題型5：利用空間向量求夾角】例5．（19-20高二上·安徽滁州·期末）已知a,b是兩個(gè)空間向量，若|a|=2,|b|=2，【答案】18【分析】將|a?b【詳解】由題意得|a|=2,|b則|a?b|則cos?故答案為：1變式1．（23-24高二上·河北張家口·期末）已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都相等，且【答案】0【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算及空間向量數(shù)量積計(jì)算即可得到答案.【詳解】因?yàn)锳1D1所以CD1//BA1，所以直線CD1又因?yàn)锽A1=A所以直線CD1與直線AD垂直，即直線CD故答案為：0.

變式2．（2023高二·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在正四面體OABC中，E，F(xiàn)分別為AB，OC的中點(diǎn)，則OE與BF的夾角的余弦值為．

【答案】?【分析】利用正四面體的性質(zhì)、向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積運(yùn)算即可得解.【詳解】解：設(shè)正四面體OABC棱長(zhǎng)為1，設(shè)OA=a，OB=b，∵∠AOB=∠BOC=∠AOC=60°，∴a?b=ab∵E，F(xiàn)分別為AB，OC的中點(diǎn)，△OAB，△OBC是等邊三角形，∴OE=12a+∴cos=1∴OE與BF的夾角的余弦值為?2故答案為：?2變式3．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知a,b是異面直線，A∈a,B∈a,C∈b,D∈b，AC⊥b,BD⊥b，且AB=2,CD=1，則a與b所成的角為．【答案】π【分析】利用AB=AC+【詳解】設(shè)AB,CD=θ得AC?CD=0,則AB=AC又AB=2，∴又θ∈[0,π]，∴θ=π3.所以異成直線故答案為：π3變式4．（23-24高二上·四川綿陽(yáng)·期中）如圖，在平行六面體ABCD?A'B'C'D(1)AC(2)直線BD'與【答案】(1)2(2)3【分析】（1）利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解；（2）利用空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律以及夾角公式求解.【詳解】（1）ABAB因?yàn)锳C所以|=1+1+4+2（2）BDBD'=1+1+4+2AC=B=?AB所以cos<因?yàn)橹本€BD'與AC所成角所以直線BD'與AC所成角的余弦值為變式5．（23-24高二上·吉林松原·期中）已知空間四邊形OABC中，OB=OC,∠AOB=∠AOC=π3，求【答案】0【分析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算，結(jié)合空間向量數(shù)量積的定義及夾角余弦公式即可得結(jié)論.【詳解】∵OB=OC，BC∴變式6．（22-23高二·全國(guó)·課堂例題）如圖，長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D

(1)求AC(2)求AC1與BD所夾角【答案】(1)A(2)?【分析】（1）設(shè)AB=a，AD=b，（2）先求AC【詳解】（1）設(shè)AB=a，AD=則a=4，b=2，ACBD=因?yàn)锳=a+=a2+0+b2（2）因?yàn)锽D2=b所以BD=25=b所以AC1與BD所夾角θ的余弦值為變式7．（2023高二·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)是(1)求CD(2)求AO與CB的夾角的余弦值(3)判斷AO與CD【答案】(1)a(2)6(3)垂直【分析】（1）利用數(shù)量積的公式可得；（2）先用AB,AD,AA1表示AO，利用數(shù)量積運(yùn)算律可得AO?（3）利用數(shù)量積運(yùn)算律得AO?CD1=0【詳解】（1）正方體ABCD?A1B故CD（2）由題意知，AB?AO=AO=故AO?故cosAO（3）由題意，AB?AO=1故AO與CD【方法技巧與總結(jié)】1.兩異面直線所成角的范圍是（0，π22.利用數(shù)量積求直線夾角或余弦值的方法①取向量:根據(jù)題設(shè)條件在所求的異面直線上取兩個(gè)向量②角轉(zhuǎn)化:異面直線所成角的問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題=3\*GB3③求余弦值:利用數(shù)量積求余弦值或角的大?、芏ńY(jié)果:異面直線所成的角為銳角或直角，利用向量的夾角求余弦值應(yīng)將余弦值加上絕對(duì)值，繼而求角的大小【題型6：利用空間向量求長(zhǎng)度】例6．（23-24高二上·河南·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐P?ABC中，AB=AC=2，AP=3，cos∠BAP=cos∠CAP=13，cos∠BAC=14，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，O為△BCP的重心，A．45 B．1 C．54 【答案】A【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合三點(diǎn)共線可得AG=【詳解】設(shè)AG=λAO(0<λ<1)則AG=λAO=λ設(shè)PG=μ則AG?AP=μ由13λ=1?μ,23λ=得AG=所以AG=15變式1．（多選）（23-24高二上·湖南長(zhǎng)沙·期中）如圖，兩條異面直線a，b所成的角為60°，在直線a，b上分別取點(diǎn)A，O和點(diǎn)C，B，使AO⊥OC，OC⊥CB.已知AO=4，CB=3，AB=7，則線段OC的長(zhǎng)為（

）

A．6 B．8 C．23 D．【答案】AC【分析】依題意，AB=【詳解】依題意，AB=平方得AB2=因?yàn)閍，b所成的角為60°，CB,AO=60°當(dāng)CB,AO=60°時(shí)，AO代入數(shù)據(jù)可得72所以，OC2=12，所以當(dāng)CB,AO=120°時(shí)，AO代入數(shù)據(jù)可得72所以，OC2=36，所以綜上所述，OC=23或OC=6C.變式2．（23-24高二上·湖南長(zhǎng)沙·期末）如圖所示，已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6，則PC

【答案】12【分析】首先表示向量PC=【詳解】PC=PC2因?yàn)镻A⊥平面ABC，AB,BC?平面ABC，所以PA⊥AB,PA⊥BC，PA→·所以PC2則PC=12故答案為：12變式3．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知向量a,b,c兩兩夾角為60°，且a=【答案】2【分析】利用空間向量數(shù)量積公式計(jì)算出a+【詳解】由題意可得：a==1+1+1+2×1故a+故答案為：2.變式4．（23-24高二上·山東濟(jì)寧·期中）在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，若底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，【答案】10【分析】由空間向量線性運(yùn)算及數(shù)量積的定義及性質(zhì)運(yùn)算即可得答案.【詳解】如圖，

可得AC則A=2故答案為：10變式5．（23-24高二上·遼寧大連·期中）已知空間向量a,b,c兩兩夾角均為60°【答案】7【分析】利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算法則計(jì)算即得.【詳解】單位向量a,b,c兩兩夾角均為所以a=1+4+9+2?3?6故答案為：7變式6．（23-24高二上·福建泉州·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，M，N分別是A1B，A1

(1)試用a,b,(2)若∠BAC=90°，∠BAA1=∠CA【答案】(1)?(2)27【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)、運(yùn)算，即可求解；（2）根據(jù)題意，求得a?b=0【詳解】（1）解：因?yàn)?BM=A根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得MN=A1（2）解：因?yàn)椤螧AC=90°，∠BAA可得a?b=0則MN=19(16+4+16?0+8?16)=即線段MN的長(zhǎng)27【方法技巧與總結(jié)】利用向量的數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離，可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題，其基本思路是先選擇以兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量，將此向量表示為幾個(gè)已知向量