高中數(shù)學(人教B版)選擇性必修二同步講義第3章第02講二項式定理與楊輝三角(學生版+解析)

第02講二項式定理與楊輝三角課程標準學習目標1．能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理，會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題2．楊輝三角的性質．1.利用計數(shù)原理分析二項式的展開過程，歸納、猜想出二項式定理，并用計數(shù)原理加以證明；2.通過經歷二項式定理的探究過程，體驗“歸納、猜想、證明”的數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程，提高自己觀察、分析、概括的能力，以及“從特殊到一般”、“從一般到特殊”等數(shù)學思想的應用能力；3.會應用二項式定理求解二項展開式.知識點01二項式定理1．二項式定理一般地，對于任意正整數(shù)n，都有=++++++.(*)公式(*)叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式，其中各項的系數(shù)(k∈{0,1,2,,n})叫做二項式系數(shù)，叫做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第k+1項：=.(2)二項展開式的規(guī)律①二項展開式一共有(n+1)項.②(n+1)項按a的降冪b的升冪排列.③每一項中a和b的冪指數(shù)之和為n.【即學即練1】1.（23-24高二下·北京通州·期中）二項式的展開式為（

）A． B．C． D．2.(x＋2)n的展開式共有11項，則n等于（

）A．9 B．10 C．11 D．8知識點02二項式系數(shù)的性質對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等(即)增減性當時，二項式系數(shù)逐漸增大；當時，二項式系數(shù)逐漸減小，因此二項式系數(shù)在中間取得最大值最大值當n是偶數(shù)時，展開式的中間一項的二項式系數(shù)最大；當n是奇數(shù)時，展開式的中間兩項與的二項式系數(shù)，相等且最大各二項式系數(shù)的和【即學即練2】（24-25高二上·全國·隨堂練習）的展開式中二項式系數(shù)最大的項是（

）A．第3項 B．第6項 C．第6，7項 D．第5，7項知識點03二項展開式的應用問題1．求二項展開式的特定項的解題策略求二項展開式中的特定項，一般是化簡通項公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項數(shù)k+1，代回通項公式即可.2．兩個二項式之積、三項展開式問題的解題策略(1)對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般都可以根據因式連乘的規(guī)律，結合組合思想求解，但要注意適當?shù)剡\用分類方法，以免重復或遺漏；也可利用排列組合的知識求解.(2)對于三項式問題一般先變形化為二項式再解決，或利用展開式的原理求解.3．二項式系數(shù)的和與各項系數(shù)的和問題（1）賦值法“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法.（2）系數(shù)之和問題的解題策略若，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項系數(shù)之和為.（3）展開式的逆用根據所給式子的特點結合二項式展開式的要求，使之具備二項式定理右邊的結構，然后逆用二項式定理求解.4．二項式系數(shù)最大項問題當n為偶數(shù)時，展開式中第項的二項式系數(shù)最大，最大值為；當n為奇數(shù)時，展開式中第和第項的二項式系數(shù)開式中第最大，最大值為或.【即學即練3】（23-24高二上·北京昌平·期末）若，則（

）A．8 B．16 C．32 D．64知識點04楊輝三角的性質(1)最外層全是1，第二層(含1)是自然數(shù)列1,2,3,4，…，第三層(含1,3)是三角形數(shù)列1,3,6,10,15，….(2)對稱性：每行中與首末兩端“等距離”之數(shù)相等，即Ceq\o\al(r,n)Ceq\o\al(n－r,n).(3)遞歸性：除1以外的數(shù)都等于肩上兩數(shù)之和，即Ceq\o\al(r,n)Ceq\o\al(r－1,n－1)＋Ceq\o\al(r,n－1).(4)第n行奇數(shù)項之和與偶數(shù)項之和相等，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋….(5)第n行所有數(shù)的和為2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)2n.(6)自左(右)腰上的某個1開始平行于右(左)腰的一條線上的連續(xù)n個數(shù)的和等于最后一個數(shù)斜左(右)下方的那個數(shù)．【即學即練4】楊輝是我國南宋的一位杰出的數(shù)學家，在他所著的《詳解九章算法》一書中，畫的一張表示二項式展開后的系數(shù)構成的三角圖形，稱為“開方做法本源”．現(xiàn)在簡稱為“楊輝三角”．下面是，當時展開式的二項式系數(shù)表示形式．借助上面的表示形式，判斷與的值分別是（

）A． B．C． D．題型01二項展開式的應用【典例1】（22-23高二下·江蘇宿遷·期中）設，化簡（

）．A． B． C． D．【變式1】若，則（

）A． B． C． D．【變式2】24-25高三·上?！ふn堂例題）計算的值是．【變式3】（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）若(a，b為有理數(shù))，則a＋b.【變式4】化簡：.題型02求二項展開式的特定項【典例2】（2024·浙江·三模）的展開式的常數(shù)項為（

）A． B． C． D．4【變式1】（23-24高二下·浙江·期中）在的展開式中，第四項為（

）A．240 B． C． D．【變式2】（2014·山東青島·一模）展開式的常數(shù)項為.【變式3】的展開式中常數(shù)項是.（用數(shù)字作答）題型03求二項展開式的特定項系數(shù)【典例3】（2024·北京·模擬預測）在(x?2x)5的展開式中，xA．?20 B．20 C．?40 D．40【變式1】在1x?x10的展開式中，A．?45 B．?10 C．10 D．45【變式2】（23-24高二下·海南·期末）x2?x6的展開式中，A．154 B．52 C．54【變式3】（2023·天津·高考真題）在的展開式中，項的系數(shù)為．題型04求展開式的有理項【典例4】（2024·河南·模擬預測）已知x2?a3xA．6項 B．5項 C．4項 D．3項【變式1】寫出展開式中的一個有理項為.【變式2】在的展開式中，有理項有項．【變式3】2024·高三·江西·開學考試）已知的展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，寫出展開式中的一個有理項．題型05二項式乘積問題【典例5】（23-24高二下·廣東深圳·階段練習）在的展開式中，的系數(shù)為（

）A．20 B．25 C．30 D．35【變式1】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．【變式2】（2024·西藏·模擬預測）在yx?2xyx+yA．?4 B．4 C．?8 【變式3】（2024高三·全國·專題練習）已知ax+12x?17的展開式中x3的系數(shù)為448，則該展開式中xA．580 B．?98 C．106 D．?112題型06三項式問題【典例6】（2024·遼寧丹東·一模）的展開式中常數(shù)項為（

）A．24 B．25 C．48 D．49【變式1】下列各式中，不是的展開式中的項是（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·全國·模擬預測）在x+1?2x2A．721 B．-61 C．181 D．-59【變式3】（2024·河北滄州·二模）在(x?2y+3z)6的展開式中，xy2A．6480 B．2160 C．60 D．?2160題型07已知特定項求參數(shù)【典例7】（23-24高三下·湖南婁底·階段練習）已知，若的展開式中，常數(shù)項等于240，則（

）A．3 B．2 C．6 D．4【變式1】（2023·四川瀘州·二模）已知的展開式中存在常數(shù)項，則n的可能取值為（

）A．4 B．5 C．6 D．8【變式2】（22-23高二下·廣東揭陽·期中）在的展開式中存在常數(shù)項，寫出一個滿足條件的的值是.【變式3】（23-24高三下·陜西·階段練習）在的展開式中，的系數(shù)為84，則．【變式4】（23-24高三上·上海普陀·期末）的常數(shù)項為第3項，求題型08二項式系數(shù)的最值問題【典例8】已知二項式的展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，且展開式中各項的系數(shù)和為64，則正數(shù)的值為.【變式1】若的展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的項為.【變式2】已知二項式的展開式中僅有第4項的二項式系數(shù)最大，則.【變式3】的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則第四項為.題型09系數(shù)的最值問題【典例9】（2024·江西南昌·三模）若的展開式中有且僅有第五項的二項式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最大的是（

）A．第二項 B．第三項 C．第四項 D．第五項【變式1】（2024·全國·模擬預測）的展開式中系數(shù)最大的項為（

）A．70 B．580 C．或 D．【變式2】二項式的展開式中，系數(shù)最大項的是（

）A．第項 B．第項和第項C．第項 D．第項【變式3】已知的展開式中唯有第5項的系數(shù)最大，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型10展開式系數(shù)和問題【典例10】（多選）（23-24高三下·山東·開學考試）已知的展開式中，各項的二項式系數(shù)之和為128，則（

）A． B．只有第4項的二項式系數(shù)最大C．各項系數(shù)之和為1 D．的系數(shù)為5800【變式1】（多選）（23-24高二下·福建南平·階段練習）設，則下列選項正確的是（）A． B．C． D．【變式2】若的展開式中第3項的二項式系數(shù)是15，則展開式中所有項系數(shù)之和為．【變式3】已知，則（

）A．9 B．10C．19 D．29【變式4】若，則的值為（

）A． B． C．253 D．126【變式5】已知對任意實數(shù)x，，則下列結論不成立的是（

）A．B．C．D．題型11整除與余數(shù)問題【典例11】（2024·湖北荊州·三模）已知，則被3除的余數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【變式1】（2024·貴州黔南·二模）我國農歷用“鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬”這12種動物按順序輪流代表各年的生肖年號，今年2024年是龍年.那么從今年起的年后是（

）A．虎年 B．馬年 C．龍年 D．羊年【變式2】（2024·福建三明·三模）各種不同的進制在生活中隨處可見，計算機使用的是二進制，數(shù)學運算一般使用的是十進制，任何進制數(shù)均可轉換為十進制數(shù)，如八進制數(shù)轉換為十進制數(shù)的算法為．若將八進制數(shù)轉換為十進制數(shù)，則轉換后的數(shù)的末位數(shù)字是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式3】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）中國南北朝時期的著作《孫子算經》中，對同余除法有較深的研究，對于兩個整數(shù)a,b，若它們除以正整數(shù)m所得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為a≡bmodm．若a=C171A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【變式4】（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）若Cn1x+Cn2xA．x=4，n=6 B．x=4，n=8C．x=5，n=7 D．x=6，n=9題型12近似計算問題【典例12】（2024·湖南·二模）某銀行在2024年初給出的大額存款的年利率為3%，某人存入大額存款a0元，按照復利計算10年后得到的本利和為a10，下列各數(shù)中與aA．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34【變式1】（2024·安徽合肥·三模）某銀行大額存款的年利率為3%，小張于2024年初存入大額存款10萬元，按照復利計算8年后他能得到的本利和約為（

A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9【變式2】（2024·高三·河北·開學考試）已知二項式的二項式系數(shù)的和為，則.試估算時，的值為.（精確到）【變式3】（2024·高三·山西朔州·開學考試）的計算結果精確到0.01的近似值是．題型13二項式定理與數(shù)列的交匯問題【變式13】（23-24高二·全國·課后作業(yè)）已知2?xnn≥2,n∈N，展開式中x的系數(shù)為fn，則A．2019110 B．2019505 C．10091010【變式1】（2024·江西九江·二模）第14屆國際數(shù)學教育大會（ICME-International

Congreas

of

Mathematics

Education）在我國上海華東師范大學舉行.如圖是本次大會的會標，會標中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦——3、7、4、4，這是中國古代八進制計數(shù)符號，換算成現(xiàn)代十進制是，正是會議計劃召開的年份，那么八進制換算成十進制數(shù)，則換算后這個數(shù)的末位數(shù)字是（

）

A．1 B．3 C．5 D．7【變式2】（2003·全國·高考真題）已知數(shù)列{an}(n為正整數(shù))是首項為a1，公比為q的等比數(shù)列．(1)求和：，；(2)由（1）的結果歸納概括出關于正整數(shù)n的一個結論，并加以證明．題型14二項式定理與比較大小問題【典例14】（2023·湖南株洲·統(tǒng)考一模）已知，，，則（

）A． B． C． D．【變式1】下列說法中，不正確的是（

）A． B．C． D．題型15證明組合恒等式【典例15】（2024高三·全國·專題練習）求證：【變式1】（2024高三·全國·專題練習）求證：題型16楊輝三角【典例17】（2024高二下·全國·專題練習）楊輝是我國南宋末年的一位杰出的數(shù)學家．他在《詳解九章算法》一書中，畫了一個由二項式展開式的系數(shù)構成的三角形數(shù)陣，稱作“開方作法本源”，這就是著名的“楊輝三角”．在“楊輝三角”中，從第2行開始，除1以外，其他每一個數(shù)值都是它上面的兩個數(shù)值之和，每一行第個數(shù)組成的數(shù)列稱為第斜列．該三角形數(shù)陣前5行如圖所示，則該三角形數(shù)陣前2022行第斜列與第斜列各項之和最大時，的值為（）A．1009 B．1010 C．1011 D．1012【變式1】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）楊輝三角，又稱帕斯卡三角，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在我國南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法》（1261年）一書中用如圖所示的三角形解釋二項式乘方展開的系數(shù)規(guī)律，現(xiàn)把楊輝三角中的數(shù)從上到下，從左到右依次排列，得數(shù)列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，記作數(shù)列an．若數(shù)列an的前n項和為，則等于（

）

A．235 B．512 C．521 D．1033【變式2】（多選）定義有n行的“楊輝三角”為n階“楊輝三角”，如圖就是一個8階“楊輝三角”.給出的下列命題中正確的是（

）.A．記第行中從左到右的第個數(shù)為，則數(shù)列的通項公式為B．第k行各個數(shù)的和是C．n階“楊輝三角”中共有個數(shù)D．n階“楊輝三角”的所有數(shù)的和是【變式3】（多選）（23-24高二下·江蘇南通·期中）南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中畫了一張表示二項式系數(shù)構成的三角形數(shù)陣（如圖所示），在“楊輝三角”中，下列選項正確的是（

）A．第10行所有數(shù)字的和為1024B．C．第6行所有數(shù)字的平方和等于D．若第行第個數(shù)記為，則【變式4】（23-24高二下·廣東佛山·階段練習）下圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調和三角形”，它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第n行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均為，每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)之和，如，，，則第11行第5個數(shù)（從左往右數(shù)）為．題型17新定義問題【典例17】（22-23高三上·江蘇南京·期末）對于伯努利數(shù)，有定義：．則（）A． B． C． D．【變式1】（23-24高三上·上海楊浦·階段練習）已知對任意正整數(shù)對，定義函數(shù)如下：，，，則下列正確的是（

）A． B．C． D．【變式2】（22-23高二下·湖北黃岡·期中）定義：兩個正整數(shù)a，b，若它們除以正整數(shù)m所得的余數(shù)相等，則稱a，b對于模m同余，記作，比如：．已知：，滿足，則p可以是（

）A．26 B．31 C．32 D．37【變式3】（23-24高二下·上?！て谀┓抡斩検较禂?shù)，可以定義“三項式系數(shù)”為的展開式中的系數(shù)，即其中．(1)求的值：(2)對于給定的，計算以下兩式的值：與(3)對于，記中偶數(shù)的個數(shù)為，奇數(shù)的個數(shù)為．是否存在使得？若存在，請給出一個滿足要求的并說明理由；若不存在，請給出證明．一、單選題1．（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）已知的展開式共有9項，則（

）A．6 B．7 C．8 D．92．（2023·山西·模擬預測）的展開式中常數(shù)項為（

）A．112 B．580 C．28 D．163．（18-19高二·全國·課后作業(yè)）化簡多項式的結果是（

）A． B． C． D．4．（23-24高二下·新疆克孜勒蘇·期中）若展開式中只有第7項的二項式系數(shù)最大，則（

）A．9 B．10 C．11 D．125．（2023·廣東江門·一模）已知多項式，則（

）A．－980 B．980 C．－480 D．4806．（23-24高二下·江蘇連云港·期中）被3除的余數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（23-24高二下·新疆克孜勒蘇·期末）已知的二項展開式中二項式系數(shù)和為32，若，則等于（

）A． B． C． D．8．（23-24高二下·江蘇揚州·期中）若的展開式中第3項與第7項的系數(shù)相等，則展開式中系數(shù)最大的項為（

）A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7項二、多選題9．（23-24高二下·河南鄭州·期末）楊輝是我國古代數(shù)學史上一位著述豐富的數(shù)學家，著有《詳解九章算法》?《日用算法》和《楊輝算法》，楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》給出了如下圖1所示的表，我們稱這個表為楊輝三角，圖2是楊輝三角的數(shù)字表示，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早700年左右，由此可見我國古代數(shù)學的成就是非常值得中華民族自豪的.根據以上材料，以下說法正確的是（

）A．第2024行中，第1012個數(shù)最大B．楊輝三角中第8行的各數(shù)之和為2580C．記第行的第個數(shù)為，則D．在“楊輝三角”中，記每一行第個數(shù)組成的數(shù)列稱為第斜列，該三角形數(shù)陣前2024行中第斜列各項之和為10．（24-25高三上·重慶·階段練習）若，則下列選項正確的有（

）A．B．C．D．11．（24-25高三上·重慶·階段練習）已知二項式的展開式中各項系數(shù)之和是，則下列說法正確的是（

）A．展開式共有6項 B．二項式系數(shù)最大的項是第4項C．展開式的常數(shù)項為540 D．展開式含有三、填空題12．（19-20高二下·江蘇宿遷·期中）化簡：．13．（23-24高三上·山東德州·期末）在的二項展開式中任取一項，則該項系數(shù)為有理數(shù)的概率為．14．（2024·貴州遵義·模擬預測）在多項式的展開式中，的系數(shù)為32，則.四、解答題15．（24-25高三上·吉林白城·階段練習）若，其中.(1)求的值；(2)求.16．（23-24高二下·廣東中山·期末）已知的展開式中，第項與第項的二項式系數(shù)之比為．(1)求的值及展開式中的常數(shù)項；(2)求展開式中系數(shù)最大項．17．（2024高三·全國·專題練習）在等式（）的兩邊求導，得：，由求導法則，得，化簡得等式：．(1)利用上題的想法（或其他方法），結合等式（，正整數(shù)），證明：．(2)對于正整數(shù)，求證：（i）；（ii）；18．（24-25高二上·上海奉賢·階段練習）已知（n為正整數(shù)）.(1)若，求該式的展開式中所有項的系數(shù)之和；(2)若，求該式的展開式中無理項的個數(shù)；(3)若，求該式的展開式中系數(shù)最大的項.19．（2025·四川內江·模擬預測）楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學家?教育家，楊輝三角是楊輝的一項重要研究成果.楊輝三角中蘊藏了許多優(yōu)美的規(guī)律，它的許多性質與組合數(shù)的性質有關，圖1為楊輝三角的部分內容，圖2為楊輝三角的改寫形式(1)求圖2中第10行的各數(shù)之和；(2)從圖2第2行開始，取每一行的第3個數(shù)一直取到第15行的第3個數(shù)，求取出的所有數(shù)之和；(3)在楊輝三角中是否存在某一行，使該行中三個相鄰的數(shù)之比為？若存在，試求出這三個數(shù)；若不存在，請說明理由.第02講二項式定理與楊輝三角課程標準學習目標1．能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理，會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題2．楊輝三角的性質．1.利用計數(shù)原理分析二項式的展開過程，歸納、猜想出二項式定理，并用計數(shù)原理加以證明；2.通過經歷二項式定理的探究過程，體驗“歸納、猜想、證明”的數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程，提高自己觀察、分析、概括的能力，以及“從特殊到一般”、“從一般到特殊”等數(shù)學思想的應用能力；3.會應用二項式定理求解二項展開式.知識點01二項式定理1．二項式定理一般地，對于任意正整數(shù)n，都有=++++++.(*)公式(*)叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式，其中各項的系數(shù)(k∈{0,1,2,,n})叫做二項式系數(shù)，叫做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第k+1項：=.(2)二項展開式的規(guī)律①二項展開式一共有(n+1)項.②(n+1)項按a的降冪b的升冪排列.③每一項中a和b的冪指數(shù)之和為n.【即學即練1】1.（23-24高二下·北京通州·期中）二項式的展開式為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由二項式定理求解.【詳解】二項式，.2.(x＋2)n的展開式共有11項，則n等于（

）A．9 B．10 C．11 D．8【答案】C【分析】利用二項式定理的知識即可求解.【詳解】因為(x＋2)n的展開式共有n＋1項，而(x＋2)n的展開式共有11項，所以n10.故選:B.知識點02二項式系數(shù)的性質對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等(即)增減性當時，二項式系數(shù)逐漸增大；當時，二項式系數(shù)逐漸減小，因此二項式系數(shù)在中間取得最大值最大值當n是偶數(shù)時，展開式的中間一項的二項式系數(shù)最大；當n是奇數(shù)時，展開式的中間兩項與的二項式系數(shù)，相等且最大各二項式系數(shù)的和【即學即練2】（24-25高二上·全國·隨堂練習）的展開式中二項式系數(shù)最大的項是（

）A．第3項 B．第6項 C．第6，7項 D．第5，7項【答案】D【分析】根據n11為奇數(shù)，結合二項式系數(shù)的性質，由展開式中第項和第項相等且最大求解.【詳解】因為n11為奇數(shù)，所以的展開式中第項和項，即第6，7項的二項式系數(shù)相等，且最大．知識點03二項展開式的應用問題1．求二項展開式的特定項的解題策略求二項展開式中的特定項，一般是化簡通項公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項數(shù)k+1，代回通項公式即可.2．兩個二項式之積、三項展開式問題的解題策略(1)對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般都可以根據因式連乘的規(guī)律，結合組合思想求解，但要注意適當?shù)剡\用分類方法，以免重復或遺漏；也可利用排列組合的知識求解.(2)對于三項式問題一般先變形化為二項式再解決，或利用展開式的原理求解.3．二項式系數(shù)的和與各項系數(shù)的和問題（1）賦值法“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法.（2）系數(shù)之和問題的解題策略若，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項系數(shù)之和為.（3）展開式的逆用根據所給式子的特點結合二項式展開式的要求，使之具備二項式定理右邊的結構，然后逆用二項式定理求解.4．二項式系數(shù)最大項問題當n為偶數(shù)時，展開式中第項的二項式系數(shù)最大，最大值為；當n為奇數(shù)時，展開式中第和第項的二項式系數(shù)開式中第最大，最大值為或.【即學即練3】（23-24高二上·北京昌平·期末）若，則（

）A．8 B．16 C．32 D．64【答案】D【分析】根據給定條件，利用賦值法計算作答.【詳解】因為，所以當時，，.知識點04楊輝三角的性質(1)最外層全是1，第二層(含1)是自然數(shù)列1,2,3,4，…，第三層(含1,3)是三角形數(shù)列1,3,6,10,15，….(2)對稱性：每行中與首末兩端“等距離”之數(shù)相等，即Ceq\o\al(r,n)Ceq\o\al(n－r,n).(3)遞歸性：除1以外的數(shù)都等于肩上兩數(shù)之和，即Ceq\o\al(r,n)Ceq\o\al(r－1,n－1)＋Ceq\o\al(r,n－1).(4)第n行奇數(shù)項之和與偶數(shù)項之和相等，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋….(5)第n行所有數(shù)的和為2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)2n.(6)自左(右)腰上的某個1開始平行于右(左)腰的一條線上的連續(xù)n個數(shù)的和等于最后一個數(shù)斜左(右)下方的那個數(shù)．【即學即練4】楊輝是我國南宋的一位杰出的數(shù)學家，在他所著的《詳解九章算法》一書中，畫的一張表示二項式展開后的系數(shù)構成的三角圖形，稱為“開方做法本源”．現(xiàn)在簡稱為“楊輝三角”．下面是，當時展開式的二項式系數(shù)表示形式．借助上面的表示形式，判斷與的值分別是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用“楊輝三角”中的數(shù)的特點求解即可.【詳解】觀察分析出“楊輝三角”中的數(shù)的特點：1.每一行有個數(shù)字，每一行兩端的數(shù)字均為1，2.從第二行起，每一行中間的數(shù)字等于它上一行對應（即兩肩上）的兩個數(shù)字的和，所以..題型01二項展開式的應用【典例1】（22-23高二下·江蘇宿遷·期中）設，化簡（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據二項式定理化簡即可．【詳解】，．【變式1】若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二項式定理可得答案.【詳解】.【變式2】24-25高三·上?！ふn堂例題）計算的值是．【答案】【分析】利用二項式定理得解.【詳解】由二項式定理可得，.故答案為：.【變式3】（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）若(a，b為有理數(shù))，則a＋b.【答案】44【分析】根據二項式定理將展開，根據a，b為有理數(shù)對應相等求得的值即得解.【詳解】因為，所以，因為，且a，b為有理數(shù)，所以a28，所以.故答案為：44【變式4】化簡：.【答案】【分析】逆用二項式定理進行合并即可.【詳解】原式.題型02求二項展開式的特定項【典例2】（2024·浙江·三模）的展開式的常數(shù)項為（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】先求出展開式的通項，令指數(shù)等于0，求得，即可求解.【詳解】通項為常數(shù)項，令可得，所以，．【變式1】（23-24高二下·浙江·期中）在的展開式中，第四項為（

）A．240 B． C． D．【答案】A【分析】根據二項展開式的通項公式可得，令計算即可求解.【詳解】由題意知，展開式的通項公式為，令，得，即第四項為.【變式2】（2014·山東青島·一模）展開式的常數(shù)項為.【答案】15【分析】利用二項式的展開式通項公式求解.【詳解】展開式的通項公式為，令，解得，所以常數(shù)項為，故答案為：15.【變式3】的展開式中常數(shù)項是.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】根據的展開式的通項公式可求出結果.【詳解】的展開式的通項為，令，得，所以的展開式中常數(shù)項是.故答案為：.題型03求二項展開式的特定項系數(shù)【典例3】（2024·北京·模擬預測）在(x?2x)5的展開式中，xA．?20 B．20 C．?40 D．40【答案】A【分析】由題意寫出展開式通項并化簡，令5?r2=4【詳解】在(x?2x)5由題意令5?r2=4，解得r=2，所以x.【變式1】在1x?x10的展開式中，A．?45 B．?10 C．10 D．45【答案】A【分析】由二項式展開式的通項公式即可求出x2【詳解】1x?x令32r?10=2，解得所以x2項的系數(shù)為：(?1).【變式2】（23-24高二下·海南·期末）x2?x6的展開式中，A．154 B．52 C．54【答案】A【分析】利用二項式展開式通項公式來求指定項系數(shù).【詳解】由Tk+1當6?k2=4所以x4的系數(shù)為?1.【變式3】（2023·天津·高考真題）在的展開式中，項的系數(shù)為．【答案】【分析】由二項式展開式的通項公式寫出其通項公式，令確定的值，然后計算項的系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項公式，令可得，，則項的系數(shù)為.故答案為：80.題型04求展開式的有理項【典例4】（2024·河南·模擬預測）已知x2?a3xA．6項 B．5項 C．4項 D．3項【答案】A【分析】運用二項展開式的通項公式可得n、a的值，結合有理項的定義賦值求解即可.【解答】展開式的第7項為T7由題意，得2n?14=0，?a6Cn6=7，（a>0則展開式的通項為Tk+1=?1令42?7k3∈Z.【變式1】寫出展開式中的一個有理項為.【答案】（答案不唯一）【解析】展開式的通項公式為（），所以展開式中的有理項分別為：時，；時，；時，；時，.故答案為：（四個有理項任寫其一均可）.【變式2】在的展開式中，有理項有項．【答案】【解析】的展開式的通項為，令為整數(shù)，則，共項.故答案為：.【變式3】2024·高三·江西·開學考試）已知的展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，寫出展開式中的一個有理項．【答案】（或，或，寫出其中一個即可）【解析】由題意知展開式中共有9項，所以，所以的展開式的通項為，，．若為有理項，則，所以，4，8，故展開式中所有的有理項為，，．故答案為：（或，或，寫出其中一個即可）題型05二項式乘積問題【典例5】（23-24高二下·廣東深圳·階段練習）在的展開式中，的系數(shù)為（

）A．20 B．25 C．30 D．35【答案】C【分析】寫出后面括號的通項，再分時分別求出系數(shù)，最后求和即可.【詳解】因為的通項為，當內取時，，則，此時系數(shù)為；當內取時，，則，此時系數(shù)為；所以系數(shù)為..【變式1】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．【答案】-28【分析】可化為，結合二項式展開式的通項公式求解.【詳解】因為，所以的展開式中含的項為，的展開式中的系數(shù)為-28故答案為：-28【變式2】（2024·西藏·模擬預測）在yx?2xyx+yA．?4 B．4 C．?8 【答案】A【分析】根據x+y6展開式通項公式得到x3y3，xy5的系數(shù)分別為C6【解答】在x+y6的展開式中，通項公式為T故x3y3，xy5所以在yx?2xyx+y．【變式3】（2024高三·全國·專題練習）已知ax+12x?17的展開式中x3的系數(shù)為448，則該展開式中xA．580 B．?98 C．106 D．?112【答案】A【分析】求出二項式2x?17的展開式的通項，由給定系數(shù)求出a，再求出x【解答】依題意，ax+12x?1二項式2x?17的展開式的通項T于是?aC75所以ax+12x?17的展開式中x2.題型06三項式問題【典例6】（2024·遼寧丹東·一模）的展開式中常數(shù)項為（

）A．24 B．25 C．48 D．49【答案】A【分析】利用二項式定理連續(xù)展開兩次，然后令，從而滿足題意的數(shù)組可以是：，將這些數(shù)組回代入通項公式即可運算求解.【詳解】的展開式通項為，令，得滿足題意的數(shù)組可以是：，規(guī)定，故所求為..【變式1】下列各式中，不是的展開式中的項是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意多項式展開式中，有一個因式選，有2個因式選，其余的2個因式選，有1個因式選，剩下的3個因式選，分別計算所得項，即可得到結果.【詳解】表示4個因式的乘積，在這4個因式中，有一個因式選，其余的3個因式選，所得的項為，所以是的展開式中的項，在這4個因式中，有2個因式選，其余的2個因式選，所得的項為，所以是的展開式中的項，在這4個因式中，有1個因式選，剩下的3個因式選，所得的項為，所以是的展開式中的項，在這4個因式中，有2個因式選，其余的2個因式中有一個選，剩下的一個因式選，所得的項為，所以不是的展開式中的項.故選:D.【變式2】（2024·全國·模擬預測）在x+1?2x2A．721 B．-61 C．181 D．-59【答案】A【分析】先求出展開式的通項公式Tr+1=C6rx+16?r?2x2r=C6r【解答】∵x+1?2xTr+1=C6其中x+66?r的展開式的通項公式為Tk+1=當r=0時，6?r?k=0，∴k=6，常數(shù)項為C6當r=1時，6?r?k=2，∴k=3，常數(shù)項為C6當r=2時，6?r?k=4，∴k=0，常數(shù)項為C6故常數(shù)項為C60C66.【變式3】（2024·河北滄州·二模）在(x?2y+3z)6的展開式中，xy2A．6480 B．2160 C．60 D．?2160【答案】A【分析】根據條件，利用組合知識，即可求出結果.【解答】(x?2y+3z)6相當于6個因式x?2y+3z相乘，其中一個因式取x，有C余下5個因式中有2個取?2y，有C52種取法，最后3個因式中全部取3z，有C33種取法，故(x?2y+3z)6.題型07已知特定項求參數(shù)【典例7】（23-24高三下·湖南婁底·階段練習）已知，若的展開式中，常數(shù)項等于240，則（

）A．3 B．2 C．6 D．4【答案】C【分析】根據二項展開式的通項公式求出常數(shù)項，建立方程得解.【詳解】由二項展開式的通項公式可得，令，解得，即常數(shù)項為，解得.【變式1】（2023·四川瀘州·二模）已知的展開式中存在常數(shù)項，則n的可能取值為（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】D【分析】首先寫出二項式展開的通式，根據題意存在常數(shù)項，可得，進而得到的可能取值.【詳解】二項式的展開式的通項為，令，即，由于，故必為的倍數(shù)，即的可能取值為.【變式2】（22-23高二下·廣東揭陽·期中）在的展開式中存在常數(shù)項，寫出一個滿足條件的的值是.【答案】4（答案不唯一，滿足即可）【分析】求出展開式的通項公式，然后令的指數(shù)為，根據的范圍即可求解.【詳解】展開式的通項公式為令，得,故令則故答案為：.【變式3】（23-24高三下·陜西·階段練習）在的展開式中，的系數(shù)為84，則．【答案】7【分析】先求出通項公式，再結合已知條件建立等量關系求解即可.【詳解】由題意知二項式展開式通項公式為，又因為的系數(shù)為84，所以，所以.故答案為：7.【變式4】（23-24高三上·上海普陀·期末）的常數(shù)項為第3項，求【答案】【分析】展開式的第項是常數(shù)項，即得指數(shù)為，求出的值即可．【詳解】因為的常數(shù)項為第3項，所以，，所以，即.故答案為：.題型08二項式系數(shù)的最值問題【典例8】已知二項式的展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，且展開式中各項的系數(shù)和為64，則正數(shù)的值為.【答案】3【解析】因為的展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，所以展開式一共有項，即，令，得展開式中所有項的系數(shù)和為，所以或（舍去），所以正數(shù)的值為3.故答案為：3.【變式1】若的展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的項為.【答案】【解析】由題意，只有第5項的二項式系數(shù)最大知，展開式中有共項，則，所以的展開式的通項為，令，解得，故展開式中的項為.故答案為：.【變式2】已知二項式的展開式中僅有第4項的二項式系數(shù)最大，則.【答案】【解析】因為二項式的展開式中僅有第4項的二項式系數(shù)最大，根據二項展開式的性質，可得中間項的二項式系數(shù)最大，所以展開式一共有7項，所以為偶數(shù)且，可得.故答案為：.【變式3】的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則第四項為.【答案】/【解析】因為展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，即，所以，所以.故答案為：題型09系數(shù)的最值問題【典例9】（2024·江西南昌·三模）若的展開式中有且僅有第五項的二項式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最大的是（

）A．第二項 B．第三項 C．第四項 D．第五項【答案】C【解析】因為的展開式中有且僅有第五項的二項式系數(shù)最大，所以，解得，則的展開式通項為，當為奇數(shù)時，系數(shù)為負數(shù)，當為偶數(shù)時，系數(shù)為正數(shù)，所以展開式中系數(shù)最大時，為偶數(shù)，由展開式通項可知，，，，，所以展開式中系數(shù)最大的是第三項，【變式1】（2024·全國·模擬預測）的展開式中系數(shù)最大的項為（

）A．70 B．580 C．或 D．【答案】A【解析】的展開式的通項公式為，，由二項式系數(shù)中，最大，此時該二項展開式中第5項的系數(shù)最大，∴的展開式中系數(shù)最大的項為，．【變式2】二項式的展開式中，系數(shù)最大項的是（

）A．第項 B．第項和第項C．第項 D．第項【答案】A【解析】由二項展開式的通項公式，可知系數(shù)為，與二項式系數(shù)相比只是符號的區(qū)別，二項式系數(shù)最大的項為第項和第項，又由第項系數(shù)為，第項系數(shù)為，故系數(shù)最大項為第項..【變式3】已知的展開式中唯有第5項的系數(shù)最大，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】的展開式的通項為，由題可知，解得．題型10展開式系數(shù)和問題【典例10】（多選）（23-24高三下·山東·開學考試）已知的展開式中，各項的二項式系數(shù)之和為128，則（

）A． B．只有第4項的二項式系數(shù)最大C．各項系數(shù)之和為1 D．的系數(shù)為5800【答案】AD【分析】根據二項式系數(shù)之和為運算求解，進而判斷A；根據二項式系數(shù)的性質分析判斷B；令，求各項系數(shù)之和，進而判斷C；對于D：結合二項式系數(shù)的通項分析判斷.【詳解】對于A：由題意可知：各項的二項式系數(shù)之和為，解得，故A正確；可得，對于B：因為，則第4項和第5項的二項式系數(shù)最大，故B錯誤；對于C：令，可得各項系數(shù)之和為，故C錯誤；對于D：因為二項展開式的通項為，令，解得，所以的系數(shù)為，故D正確；D.【變式1】（多選）（23-24高二下·福建南平·階段練習）設，則下列選項正確的是（）A． B．C． D．【答案】AB【分析】令，則，將原式變形，對于，為第二項的系數(shù)，由二項式定理即可求解；對于，令，即可得；對于，令，可求，令，即可求解；對于，令，即可求解.【詳解】令，所以，所以原式可變形為，所以，故正確；令，則，故正確；令，則，令，則，所以，故不正確；令，則，所以，故不正確.故選：.【變式2】若的展開式中第3項的二項式系數(shù)是15，則展開式中所有項系數(shù)之和為．【答案】【分析】利用第3項的二項式系數(shù)是求，然后將代入可求展開式中所有項系數(shù)之和.【詳解】的展開式中第3項的二項式系數(shù)為，，解得，所以.令，得到展開式中所有項系數(shù)之和為.故答案為：.【變式3】已知，則（

）A．9 B．10C．19 D．29【答案】D【解析】因為，所以分別對兩邊進行求導得，令，得，所以，【變式4】若，則的值為（

）A． B． C．253 D．126【答案】D【解析】令，得，，∴..【變式5】已知對任意實數(shù)x，，則下列結論不成立的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】因（*）對于A項，當時，代入（*）可得，當時，代入（*）可得，所以，故A項錯誤；對于B項，當時，代入（*）可得，又，所以，故B項錯誤；對于C項，當時，代入（*）可得，故C項正確；對于D項，對（*）兩邊求導可得，，當時，，故D項錯誤..題型11整除與余數(shù)問題【典例11】（2024·湖北荊州·三模）已知，則被3除的余數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【解析】令，得，令，得，兩式相減，，因為，其中被3整除，所以被3除的余數(shù)為1，綜上，能被3整除．.【變式1】（2024·貴州黔南·二模）我國農歷用“鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬”這12種動物按順序輪流代表各年的生肖年號，今年2024年是龍年.那么從今年起的年后是（

）A．虎年 B．馬年 C．龍年 D．羊年【答案】C【解析】由，故除以的余數(shù)為，故除以的余數(shù)為，故年后是馬年..【變式2】（2024·福建三明·三模）各種不同的進制在生活中隨處可見，計算機使用的是二進制，數(shù)學運算一般使用的是十進制，任何進制數(shù)均可轉換為十進制數(shù)，如八進制數(shù)轉換為十進制數(shù)的算法為．若將八進制數(shù)轉換為十進制數(shù)，則轉換后的數(shù)的末位數(shù)字是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】因為是的倍數(shù)，所以換算后這個數(shù)的末位數(shù)字即為的末位數(shù)字，由，末位數(shù)字為3，．【變式3】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）中國南北朝時期的著作《孫子算經》中，對同余除法有較深的研究，對于兩個整數(shù)a,b，若它們除以正整數(shù)m所得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為a≡bmodm．若a=C171A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】C【分析】根據給定條件，利用二項式定理變形，求出a除以8的余數(shù)即可得解.【解答】依題意，a=C17顯然C170×而2021，2022，2023，2024除以8的余數(shù)分別為5，6，7，0，所以b的值可以是2022..【變式4】（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）若Cn1x+Cn2xA．x=4，n=6 B．x=4，n=8C．x=5，n=7 D．x=6，n=9【答案】A【分析】利用二項式定理得展開式，對選項一一判斷即可得出答案.【解答】Cn當x=4，n=6時，1+xn當x=4，n=8時，1+xn當x=5，n=7時，1+xn當x=6，n=9時，1+xn．題型12近似計算問題【典例12】（2024·湖南·二模）某銀行在2024年初給出的大額存款的年利率為3%，某人存入大額存款a0元，按照復利計算10年后得到的本利和為a10，下列各數(shù)中與aA．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34【答案】A【分析】利用等比數(shù)列的通項公式、二項展開式計算可得答案.【解答】存入大額存款a0可得每年末本利和是以為a0首項，1+3所以a0可得a10.【變式1】（2024·安徽合肥·三模）某銀行大額存款的年利率為3%，小張于2024年初存入大額存款10萬元，按照復利計算8年后他能得到的本利和約為（

A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9【答案】C【分析】根據復利可知每年末本息和構成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項公式及二項式定理求解即可.【解答】存入大額存款10萬元，按照復利計算，每年末本利和是以10為首項，1+3%所以本利和S=10(1+3．【變式2】（2024·高三·河北·開學考試）已知二項式的二項式系數(shù)的和為，則.試估算時，的值為.（精確到）【答案】【解析】二項式的二項式系數(shù)的和為，解得，當時，.故答案為：；.【變式3】（2024·高三·山西朔州·開學考試）的計算結果精確到0.01的近似值是．【答案】1.34【解析】故答案為：題型13二項式定理與數(shù)列的交匯問題【變式13】（23-24高二·全國·課后作業(yè)）已知2?xnn≥2,n∈N，展開式中x的系數(shù)為fn，則A．2019110 B．2019505 C．10091010【解題思路】由題知fn=【解答過程】∵2?xnn≥2,n∈N，展開式中x∴則2=2+2C32=2+4×1．【變式1】（2024·江西九江·二模）第14屆國際數(shù)學教育大會（ICME-International

Congreas

of

Mathematics

Education）在我國上海華東師范大學舉行.如圖是本次大會的會標，會標中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦——3、7、4、4，這是中國古代八進制計數(shù)符號，換算成現(xiàn)代十進制是，正是會議計劃召開的年份，那么八進制換算成十進制數(shù)，則換算后這個數(shù)的末位數(shù)字是（

）

A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】換算后由等比數(shù)列求和得，改寫成，利用二項式定理展開即可求解.【詳解】由進位制的換算方法可知，八進制換算成十進制得：，因為是10的倍數(shù)，所以，換算后這個數(shù)的末位數(shù)字即為的末尾數(shù)字，由可得，末尾數(shù)字為3.【變式2】（2003·全國·高考真題）已知數(shù)列{an}(n為正整數(shù))是首項為a1，公比為q的等比數(shù)列．(1)求和：，；(2)由（1）的結果歸納概括出關于正整數(shù)n的一個結論，并加以證明．【答案】(1)，；(2)答案見解析【分析】（1）根據等比數(shù)列性質、組合數(shù)及二項式定理逆運用計算即可；（2）根據（1）歸納總結，由二項式定理逆運用證明即可.【詳解】（1），；（2）歸納概括的結論為：若數(shù)列{an}是首項為a1，公比為q的等比數(shù)列，則，n為正整數(shù)．證明：.題型14二項式定理與比較大小問題【典例14】（2023·湖南株洲·統(tǒng)考一模）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據對數(shù)運算以及作差法，整理代數(shù)式，構造函數(shù)，利用函數(shù)單調性，可得的大小關系；根據二項式定理以及中間值法，整理，可得答案.【詳解】由，，則，令，，當時，，則單調遞增，即，故，可得，即；由，且，則，即.綜上，..【變式1】下列說法中，不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用二項式定理展開進行放縮，可以判斷選項A、B，利用二倍角公式和不等式性質判斷選項C，利用導數(shù)的性質判斷選項D.【詳解】對于A，因為，所以A正確;對于B，因為所以，所以B正確;對于C，，所以C不正確;對于D，構造函數(shù),則,故單調遞增，則,則，所以D正確..題型15證明組合恒等式【典例15】（2024高三·全國·專題練習）求證：【答案】證明見解析【分析】證法一：根據并記，，構造方程組即可得結論‘證法二：由組合數(shù)的計算公式直接可得，再結合二項式系數(shù)性質計算化簡可得結論.【詳解】證法一：若記，，則由典例11知道，所以又有⑥和⑦相加，即得，這就是要證明的恒等式．證法二：根據組合數(shù)的計算公式直接可得于是；由此即得【變式1】（2024高三·全國·專題練習）求證：【答案】證明見解析【分析】根據二項式系數(shù)性質利用倒序相加求和即可得出結論.【詳解】證明：令，則；兩式相加可得,所以；可得.【變式2】（2024高三·全國·專題練習）求證：.【答案】證明見解析【分析】根據，利用二項式定理分別求出等式左右兩邊含的項的系數(shù)即可證明.【詳解】證明：，當時，展開式中的系數(shù)為，又，當時，展開式中的系數(shù)為，，.題型16楊輝三角【典例17】（2024高二下·全國·專題練習）楊輝是我國南宋末年的一位杰出的數(shù)學家．他在《詳解九章算法》一書中，畫了一個由二項式展開式的系數(shù)構成的三角形數(shù)陣，稱作“開方作法本源”，這就是著名的“楊輝三角”．在“楊輝三角”中，從第2行開始，除1以外，其他每一個數(shù)值都是它上面的兩個數(shù)值之和，每一行第個數(shù)組成的數(shù)列稱為第斜列．該三角形數(shù)陣前5行如圖所示，則該三角形數(shù)陣前2022行第斜列與第斜列各項之和最大時，的值為（）A．1009 B．1010 C．1011 D．1012【答案】D【分析】根據題意可得第斜列各項之和為，第斜列各項之和為，則可求出.【詳解】當時，第斜列各項之和為，同理，第斜列各項之和為，所以，所以第斜列與第斜列各項之和最大時，，則.．【變式1】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）楊輝三角，又稱帕斯卡三角，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在我國南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法》（1261年）一書中用如圖所示的三角形解釋二項式乘方展開的系數(shù)規(guī)律，現(xiàn)把楊輝三角中的數(shù)從上到下，從左到右依次排列，得數(shù)列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，記作數(shù)列an．若數(shù)列an的前n項和為，則等于（

）

A．235 B．512 C．521 D．1033【答案】D【分析】前47項的和為楊輝三角前9行的和再加第10行的前兩個數(shù)1和9，再結合楊輝三角形的性質求解.【詳解】根據題意，楊輝三角前9行共有（項）．故前47項的和為楊輝三角前9行的和再加第10行的前兩個數(shù)1和9，又楊輝三角的第行的所有數(shù)的和為，所以前47項的和．【變式2】（多選）定義有n行的“楊輝三角”為n階“楊輝三角”，如圖就是一個8階“楊輝三角”.給出的下列命題中正確的是（

）.A．記第行中從左到右的第個數(shù)為，則數(shù)列的通項公式為B．第k行各個數(shù)的和是C．n階“楊輝三角”中共有個數(shù)D．n階“楊輝三角”的所有數(shù)的和是【答案】CCD【分析】明確第i行各個數(shù)是的展開式的二項式系數(shù)，即可判斷A;各行的所有數(shù)的和是各行對應的二項式系數(shù)和,由此判斷B;根據楊輝三角每行的數(shù)的個數(shù)，可計算n階“楊輝三角”中共有個數(shù)，判斷C;計算“楊輝三角”的所有數(shù)的和，即可判斷D.【詳解】第i行各個數(shù)是的展開式的二項式系數(shù)，則數(shù)列的通項公式為，故A錯誤；各行的所有數(shù)的和是各行相應的二項式系數(shù)和，第k行各個數(shù)的和是，故B正確；第k行共有（k+1）個數(shù)，從而n階“楊輝三角”共有個數(shù)，故C正確；“楊輝三角”的所有數(shù)的和是，故D正確.,CD【變式3】（多選）（23-24高二下·江蘇南通·期中）南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中畫了一張表示二項式系數(shù)構成的三角形數(shù)陣（如圖所示），在“楊輝三角”中，下列選項正確的是（

）A．第10行所有數(shù)字的和為1024B．C．第6行所有數(shù)字的平方和等于D．若第行第個數(shù)記為，則【答案】ACD【分析】根據第行數(shù)學特征確定二項式，結合二項式系數(shù)和公式、組合數(shù)公式、二項式定理逐一判斷即可.【詳解】A：第10行所有數(shù)字是二項式系數(shù)，因此第10行所有數(shù)字的和為，因此本選項正確；B：，所以本選項不正確；C：所求的和表達式為：，因為，所以展開式中的系數(shù)為，即，而，因此有，于是有，所以本選項正確；D：因為，所以本選項正確，CD【變式4】（23-24高二下·廣東佛山·階段練習）下圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調和三角形”，它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第n行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均為，每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)之和，如，，，則第11行第5個數(shù)（從左往右數(shù)）為．【答案】【分析】根據題意分析可知：第行第5個數(shù)（從左往右數(shù)）是，代入即可得結果.【詳解】由題可知，第行第5個數(shù)（從左往右數(shù)）是，所以第11行第5個數(shù)（從左往右數(shù)）為．故答案為：.題型17新定義問題【典例17】（22-23高三上·江蘇南京·期末）對于伯努利數(shù)，有定義：．則（）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據伯努利數(shù)的定義以及二項式定理，將寫成遞推公式的形式，逐一代入計算即可判斷選項.【詳解】由得，，所以，，同理，，所以，，其中第項為即可得令，得；令，得；令，得同理，可得；即可得選項AC正確，B錯誤；對于D，由上述前12項的值可知，當為奇數(shù)時，除了之外其余都是0，即，也即；所以D正確.CD.【變式1】（23-24高三上·上海楊浦·階段練習）已知對任意正整數(shù)對，定義函數(shù)如下：，，，則下列正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據新定義得，令，可判斷A，對累乘結合組合數(shù)的階乘形式化簡即可判斷B，根據二項式系數(shù)和公式判斷C，結合等比數(shù)列前n項和公式根據分組求和求解判斷D.【詳解】因為，所以，令，則，所以，故選項A錯誤；因為，所以累乘得，因為，所以，故選項B錯誤；因為，所以，所以，故選項C正確；故選項D錯誤..【變式2】（22-23高二下·湖北黃岡·期中）定義：兩個正整數(shù)a，b，若它們除以正整數(shù)m所得的余數(shù)相等，則稱a，b對于模m同余，記作，比如：．已知：，滿足，則p可以是（

）A．26 B．31 C．32 D．37【答案】A【分析】根據二項式定理求得除以的余數(shù)，再結合選項即可求得結果.【詳解】因為，而，因此除以的余數(shù)為除以的余數(shù)2，而26，31，32除以7的余數(shù)分別為5，3，4，不符合題意，37除以7的余數(shù)為2，即D滿足.【變式3】（23-24高二下·上?！て谀┓抡斩検较禂?shù)，可以定義“三項式系數(shù)”為的展開式中的系數(shù)，即其中．(1)求的值：(2)對于給定的，計算以下兩式的值：與(3)對于，記中偶數(shù)的個數(shù)為，奇數(shù)的個數(shù)為．是否存在使得？若存在，請給出一個滿足要求的并說明理由；若不存在，請給出證明．【答案】(1)；；(2)；(3)【分析】（1）直接展開計算即可；（2）賦值，再兩邊同時求導，再次賦值即可；（3）利用構造法證明引理，再賦值即可.【詳解】（1）因為，所以,，.（2），取得：.兩邊同時求導于是有取得：.（3）引理：.當時，不成立.若時命題不成立，則當時，.引理得證.則取有于是當時，有，，是奇數(shù)，其余時是偶數(shù).所以，，所以.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是對二項式定義的遷移與推廣，需要充分理解題意并合理賦值.一、單選題1．（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）已知的展開式共有9項，則（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】根據的展開式的項數(shù)特點易得答案.【詳解】因的展開式有項，故，解得..2．（2023·山西·模擬預測）的展開式中常數(shù)項為（

）A．112 B．580 C．28 D．16【答案】A【分析】由二項展開式的通項公式即可得到常數(shù)項.【詳解】由題意知，通項公式為，所以常數(shù)項為..3．（18-19高二·全國·課后作業(yè)）化簡多項式的結果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知，將多項式的每一項都變成二項式展開式的結構，觀察結構變化，即可進行合并，完成求解.【詳解】依題意可知，多項式的每一項都可看作，故該多項式為的展開式，化簡．.4．（23-24高二下·新疆克孜勒蘇·期中）若展開式中只有第7項的二項式系數(shù)最大，則（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】A【分析】根據給定條件，利用二項式系數(shù)的性質求解即得.【詳解】由的展開式中只有第7項的二項式系數(shù)最大，得展開式共有13項，所以.5．（2023·廣東江門·一模）已知多項式，則（

）A．－980 B．980 C．－480 D．480【答案】A【分析】將寫為，是第8項的系數(shù)，計算即可.【詳解】解：因為，所以第8項為，所以.6．（23-24高二下·江蘇連云港·期中）被3除的余數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用二項式定理賦值化簡，再將寫成形式展開后可求余數(shù).【詳解】由二項式定理得，令得，①，令得，②，①②得，，解得，，由，故被3除的余數(shù)為..7．（23-24高二下·新疆克孜勒蘇·期末）已知的二項展開式中二項式系數(shù)和為32，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二項式系數(shù)和，解出，再以為整體，利用二項式定理求解系數(shù)即可.【詳解】由題意知，解得，又，則..8．（23-24高二下·江蘇揚州·期中）若的展開式中第3項與第7項的系數(shù)相等，則展開式中系數(shù)最大的項為（

）A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7項【答案】C【分析】根據二項式展開式中二項式系數(shù)的性質求解．【詳解】由題意，二項式的展開式的系數(shù)與二項式系數(shù)相同，即，解得，則展開式中共有9項，系數(shù)最大的項為第5項．.二、多選題9．（23-24高二下·河南鄭州·期末）楊輝是我國古代數(shù)學史上一位著述豐富的數(shù)學家，著有《詳解九章算法》?《日用算法》和《楊輝算法》，楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》給出了如下圖1所示的表，我們稱這個表為楊輝三角，圖2是楊輝三角的數(shù)字表示，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早700年左右，由此可見我國古代數(shù)學的成就是非常值得中華民族自豪的.根據以上材料，以下說法正確的是（

）A．第2024行中，第1012個數(shù)最大B．楊輝三角中第8行的各數(shù)之和為2580C．記第行的第個數(shù)為，則D．在“楊輝三角”中，記每一行第個數(shù)組成的數(shù)列稱為第斜列，該三角形數(shù)陣前2024行中第