高三理科數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義模塊一第六講填空題技法

第六講填空題技法攻略題型概述填空題是一種只要求寫出結(jié)論，不要求解答過程的客觀性試題，有小巧靈活、覆蓋面廣、跨度大等特點(diǎn)，突出考查準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)、靈活運(yùn)用知識(shí)的能力．根據(jù)填空時(shí)所填寫的內(nèi)容形式，可以將填空題分成兩種類型：(1)定量型，要求考生填寫數(shù)值、數(shù)集或數(shù)量關(guān)系，如方程的解、不等式的解集、函數(shù)的定義域、值域、最大值或最小值、線段長度、角度大小等．(2)定性型，要求填寫的是具有某種性質(zhì)的對(duì)象或者填寫給定數(shù)學(xué)對(duì)象的某種性質(zhì)，如填寫給定二次曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率等.技法指導(dǎo)方法一直接法直接法就是直接從題設(shè)出發(fā)，利用有關(guān)性質(zhì)或結(jié)論，通過巧妙地變形，直接得到結(jié)果的方法．要善于透過現(xiàn)象抓本質(zhì)，有意識(shí)地采取靈活、簡捷的方法解決問題．直接法是求解填空題的基本方法．【典例1】(2017·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)．若∠MAN＝60°，則C的離心率為________．[解析]雙曲線的右頂點(diǎn)為A(a,0)，一條漸近線的方程為y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，圓心A到此漸近線的距離d＝eq\f(|ba－a×0|,\r(b2＋a2))＝eq\f(ab,c)，因?yàn)椤螹AN＝60°，圓的半徑為b，所以b·sin60°＝eq\f(ab,c)，即eq\f(\r(3)b,2)＝eq\f(ab,c)，所以e＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3).[答案]eq\f(2\r(3),3)直接法求解填空題的關(guān)鍵利用直接法求解填空題要根據(jù)題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應(yīng)用，將計(jì)算過程簡化從而得到結(jié)果，這是快速準(zhǔn)確地求解填空題的關(guān)鍵．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]1．(2017·合肥質(zhì)檢)已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，則實(shí)數(shù)k＝________.[解析]a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5,9－k)，由題意可得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6.[答案]－6方法二特例法當(dāng)填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的恰當(dāng)特殊值(特殊函數(shù)，特殊角，特殊數(shù)列，圖形特殊位置，特殊點(diǎn)，特殊方程，特殊模型等)進(jìn)行處理，從而得出待求的結(jié)論．這樣可大大地簡化推理、論證的過程．【典例2】cos2α＋cos2(α＋120°)＋cos2(α＋240°)的值為________．[解析]令α＝0，則原式＝cos20＋cos2120°＋cos2240°＝eq\f(3,2).[答案]eq\f(3,2)特例法求解填空題的技巧求值或比較大小等問題的求解均可利用特例法，但要注意此種方法僅限于求解結(jié)論只有一種的填空題，對(duì)于開放性的問題或者有多種答案的填空題，則不能使用該種方法求解．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]2．設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，拋物線y2＝2x與過焦點(diǎn)的直線交于A，B兩點(diǎn)，則eq\o(OA,\s\up15(→))·eq\o(OB,\s\up15(→))＝________.[解析]解法一：如圖，可取過焦點(diǎn)的直線為x＝eq\f(1,2)，求出交點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))，所以eq\o(OA,\s\up15(→))·eq\o(OB,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋1×(－1)＝－eq\f(3,4).解法二：設(shè)點(diǎn)A(xA，yA)，點(diǎn)B(xB，yB)，由題意，知p＝1.設(shè)AB的方程為y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2x，,y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))))消去x得ky2－2y－k＝0∴yAyB＝－1，∴xAxB＝eq\f(y\o\al(2,A),2)·eq\f(y\o\al(2,B),2)＝eq\f(1,4).則eq\o(OA,\s\up15(→))·eq\o(OB,\s\up15(→))＝(xA，yA)·(xB，yB)＝xAxB＋yAyB＝eq\f(1,4)－1＝－eq\f(3,4).[答案]－eq\f(3,4)方法三圖解法(數(shù)形結(jié)合法)對(duì)于一些含有幾何背景的填空題，若能根據(jù)題目中的條件，作出符合題意的圖形，并通過對(duì)圖形的直觀分析、判斷，即可快速得出正確結(jié)果．這類問題的幾何意義一般較為明顯，如一次函數(shù)的斜率和截距、向量的夾角、解析幾何中兩點(diǎn)間距離等，求解的關(guān)鍵是明確幾何含義，準(zhǔn)確規(guī)范地作出相應(yīng)的圖形．【典例3】(2017·貴陽模擬)若不等式|x－2a|≥eq\f(1,2)x＋a－1對(duì)x∈R恒成立，則a的取值范圍是________．[解析]作出y＝|x－2a|和y＝eq\f(1,2)x＋a－1的簡圖，依題意知應(yīng)有2a≤2－2a，故a≤eq\f(1,2).[答案]eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))圖解法求解填空題的要點(diǎn)圖解法可直觀快捷得到問題的結(jié)論，充分應(yīng)用了圖形的直觀性，數(shù)中思形，以形助數(shù)，應(yīng)用時(shí)要準(zhǔn)確把握各種數(shù)式和幾何圖形中變量之間的關(guān)系．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]3．已知點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≥0，,|x|－y－1≤0，))則x2＋y2－6x＋9的取值范圍是________．[解析]畫出可行域如圖，所求的x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2是點(diǎn)Q(3,0)到可行域上的點(diǎn)的距離的平方，由圖形知最小值為Q到射線x－y－1＝0(x≥0)的距離d的平方，∴deq\o\al(2,min)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|3－0－1|,\r(12＋－12))))2＝(eq\r(2))2＝2.最大值為點(diǎn)Q到點(diǎn)A的距離的平方，∴deq\o\al(2,max)＝16.∴取值范圍是[2,16]．[答案][2,16]方法四構(gòu)造法構(gòu)造型填空題的求解，需要利用已知條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)模型，從而簡化推理與計(jì)算過程，使較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題得到簡捷的解決，它來源于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的積累，需要從一般的方法原理中進(jìn)行提煉概括，積極聯(lián)想，橫向類比，從曾經(jīng)遇到過的類似問題中尋找靈感，構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)、概率、幾何等具體的數(shù)學(xué)模型，使問題快速解決．【典例4】(2017·安徽淮北二模)中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑(biēnào)．若三棱錐P－ABC為鱉臑，且PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，又該鱉臑的外接球的表面積為24π，則該鱉臑的體積為________．[解析]由題意，該鱉臑實(shí)質(zhì)就是四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐．設(shè)該鱉臑的外接球半徑為R，則由已知可得24π＝4πR2，即R2＝6.由PA2＋AB2＋BC2＝(2R)2，得4＋4＋BC2＝24，解得BC＝4.故該鱉臑的體積為V＝eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×2×4＝eq\f(8,3).[答案]eq\f(8,3)[探究追問]將本例改為如圖為一個(gè)陽馬與一個(gè)鱉臑的組合體，已知三棱錐P－ADE為鱉臑，且PA⊥平面ABCE，AD＝CD＝2，ED＝1，該鱉臑的外接球的表面積為9π，則陽馬P－ABCD的外接球體積為()A．4eq\r(2)π B．4eq\r(3)πC．2eq\r(3)π D．2eq\r(2)π[解析]由題意得，在三棱錐P－ADE中，ED⊥DA，又PA⊥平面ABCE，所以其外接球的直徑2r＝PE.設(shè)PA＝x，則2r＝eq\r(PA2＋AD2＋DE2)＝eq\r(x2＋22＋12)＝eq\r(x2＋5).由該鱉臑的外接球的表面積S＝4πr2＝π(x2＋5)＝9π，得x＝2.易知陽馬P－ABCD的外接球直徑2R＝PC，即2R＝eq\r(PA2＋AD2＋DC2)＝eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3)，所以R＝eq\r(3).故陽馬P－ABCD的外接球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.[答案]B(1)構(gòu)造法求解填空題的技巧構(gòu)造法實(shí)質(zhì)上是化歸與轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用，需要根據(jù)已知條件和所要解決的問題確定構(gòu)造的方向，通過構(gòu)造新的函數(shù)、不等式、數(shù)列、空間幾何體等新的模型，從而轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問題．(2)本例中根據(jù)“鱉臑”的幾何特征，可知AB與AC不垂直，只有AB⊥BC時(shí)，三棱錐的四個(gè)面才能都是直角三角形．在確定其外接球的直徑時(shí)，可依據(jù)球的直徑的兩端點(diǎn)與球面上任意一點(diǎn)所組成的角都是直角，直接找出其直徑PC；當(dāng)然，也可以把“鱉臑”補(bǔ)成一個(gè)長方體，可更為直觀地找出外接球的直徑．在探究追問中，“陽馬”與“鱉臑”的外接球都是用構(gòu)造法找出外接球的直徑．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]4．若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f′(x)>1，f(0)＝4，則不等式f(x)>eq\f(3,ex)＋1(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的解集為________．[解析]由f(x)>eq\f(3,ex)＋1得，exf(x)>3＋ex，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝exf(x)－ex－3，對(duì)F(x)求導(dǎo)得F′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]．由f(x)＋f′(x)>1，ex>0，可知F′(x)>0，即F(x)在R上單調(diào)遞增，又因?yàn)镕(0)＝e0f(0)－e0－3＝f(0)－4＝0，所以F(x)>0的解集為(0，＋∞)．[答案](0，＋∞)方法五歸納推理法做關(guān)于歸納推理的填空題的時(shí)候，一般是由題目的已知可以得出幾個(gè)結(jié)論(或直接給出了幾個(gè)結(jié)論)，然后根據(jù)這幾個(gè)結(jié)論可以歸納出一個(gè)更一般性的結(jié)論，再利用這個(gè)一般性的結(jié)論來解決問題．歸納推理是從個(gè)別或特殊認(rèn)識(shí)到一般性認(rèn)識(shí)的推演過程，這里可以大膽地猜想．【典例5】(2017·滄州聯(lián)考)在一次連環(huán)交通事故中，只有一個(gè)人需要負(fù)主要責(zé)任，但在警察詢問時(shí)，甲說：“主要責(zé)任在乙”；乙說：“丙應(yīng)負(fù)主要責(zé)任”；丙說：“甲說的對(duì)”；丁說：“反正我沒有責(zé)任”．四個(gè)人中只有一個(gè)人說的是真話，則該事故中需要負(fù)主要責(zé)任的人是________．[解析]若負(fù)主要責(zé)任的人是甲，則甲、乙、丙說的都是假話，只有丁說的是真話，符合題意；若負(fù)主要責(zé)任的人是乙，則甲、丙、丁說的都是真話，不合題意；若負(fù)主要責(zé)任的人是丙，則乙、丁說的都是真話，不合題意；若負(fù)主要責(zé)任的人是丁，則甲、乙、丙、丁說的都是假話，不合題意．故該事故中需要負(fù)主要責(zé)任的人是甲．[答案]甲歸納推理法求解填空題的技巧歸納推理法多用于新定義型填空題，只要能讀懂題意，認(rèn)真歸納類比即可得出結(jié)論，但在推理過程中要嚴(yán)格按照定義的法則或相關(guān)的定理進(jìn)行，關(guān)鍵是找準(zhǔn)歸納的對(duì)象．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]5．(2017·蘭州市高考實(shí)戰(zhàn)模擬)觀察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推測(cè)出一個(gè)一般性結(jié)論：對(duì)于n∈N*,1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.[解析]∵1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，∴歸納可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.[答案]n2方法六正反互推法多選型問題給出多個(gè)命題或結(jié)論，要求從中選出所有滿足條件的命題或結(jié)論．這類問題要求較高，涉及圖形、符號(hào)和文字語言，要準(zhǔn)確閱讀題目，讀懂題意，通過推理證明，命題或結(jié)論之間互反互推，相互印證，也可舉反例判斷錯(cuò)誤的命題或結(jié)論．【典例6】(2017·全國卷Ⅲ)a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成30°角；②當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成60°角；③直線AB與a所成角的最小值為45°；④直線AB與a所成角的最大值為60°.其中正確的是________．(填寫所有正確結(jié)論的編號(hào))[解析]由題意，AB是以AC為軸，BC為底面半徑的圓錐的母線，又AC⊥a，AC⊥b，AC⊥圓錐底面，∴在底面內(nèi)可以過點(diǎn)B，作BD∥a，交底面圓C于點(diǎn)D，如圖所示，連接DE，則DE⊥BD，∴DE∥b，連接AD，設(shè)BC＝1，在等腰△ABD中，AB＝AD＝eq\r(2)，當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，∠ABD＝60°，故BD＝eq\r(2)，又在Rt△BDE中，BE＝2，∴DE＝eq\r(2)，過點(diǎn)B作BF∥DE，交圓C于點(diǎn)F，連接AF，EF，∴BF＝DE＝eq\r(2)，∴△ABF為等邊三角形，∴∠ABF＝60°，即AB與b成60°角，故②正確，①錯(cuò)誤．由最小角定理可知③正確；很明顯，可以滿足平面ABC⊥直線a，∴直線AB與a所成角的最大值為90°，④錯(cuò)誤．∴正確的說法為②③.[答案]②③正反互推法求解填空題的技巧正反互推法適用于多選型問題，這類問題一般有兩種形式，一是給出總的已知條件，判斷多種結(jié)論的真假；二是多種知識(shí)點(diǎn)的匯總考查，主要覆蓋考點(diǎn)功能．兩種多選題在處理上不同，前者需要扣住已知條件進(jìn)行分析，后者需要獨(dú)立利用知識(shí)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷．利用正反互推結(jié)合可以快速解決這類問題．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]6．若函數(shù)y＝f(x)對(duì)定義域D內(nèi)的每一個(gè)x1，都存在唯一的x2∈D，使得f(x1)·f(x2)＝1成立，則稱f(x)為“自倒函數(shù)”，給出下列四個(gè)命題：①f(x)＝sinx＋eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))))是自倒函數(shù)；②自倒函數(shù)f(x)的值域可以是R；③自倒函數(shù)f(x)可以是