2025屆山東省新高考適應(yīng)性考試高三上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2025屆山東省新高考適應(yīng)性考試高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本次考試范圍：集合與常用邏輯用語；一元二次方程、函數(shù)和不等式；函數(shù)與導(dǎo)數(shù)；三角函數(shù)和解三角形；數(shù)列.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知函數(shù)定義域?yàn)?，且，若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.3.已知角α的終邊不在坐標(biāo)軸上，則下列一定成等比數(shù)列的是（）A. B.C D.4.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，的解析式為（）A B.C. D.5.已知定義在上的奇函數(shù)滿足：，且當(dāng)時(shí)，（為常數(shù)），則的值為（）A. B.0 C.1 D.26.若函數(shù)既有極大值也有極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.7.設(shè)且，n為正整數(shù)，集合．有以下兩個(gè)命題：①對(duì)任意a，存在n，使得集合S中至少有2個(gè)元素；②若存在兩個(gè)n，使得S中只有1個(gè)元素，則，那么（）A.①是真命題，②是假命題 B.①是假命題，②是真命題C.①、②都是假命題 D.①、②都是真命題8.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)學(xué)家墨卡托、牛頓、GregorySaint-Vincen曾分別獨(dú)立發(fā)現(xiàn)當(dāng)足夠大時(shí)，會(huì)趨向于一常數(shù)，先給出以下三個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)：①；②如果求數(shù)列前項(xiàng)和時(shí)存在給其中的某些項(xiàng)用括號(hào)括起后得到，，則；③.基于以上數(shù)學(xué)事實(shí)我們可以推出：將數(shù)列的項(xiàng)按某種規(guī)律重新排列（如：將第個(gè)偶數(shù)項(xiàng)排到第個(gè)奇數(shù)項(xiàng)后）后前項(xiàng)和在足夠大時(shí)（）.A.最終一定趨于 B.最終一定不趨于任何一個(gè)常數(shù)C.最終一定趨于某一常數(shù)但不一定是 D.以上均不正確二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，記的最小值為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，下列說法正確的是（）A B.C. D.若數(shù)列滿足，則10.已知，（參考數(shù)據(jù)），則下列說法正確的是（）A.是周期為的周期函數(shù)B.在上單調(diào)遞增C.在內(nèi)共有4個(gè)極值點(diǎn)D.設(shè)，則在上共有5個(gè)零點(diǎn)11.我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了已知三角形的三邊長(zhǎng)，求三角形的面積的問題，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上．以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即．現(xiàn)有滿足，且，則（）A.三個(gè)內(nèi)角滿足關(guān)系B.的周長(zhǎng)為C.若的角平分線與交于D，則的長(zhǎng)為D.若O為的外心，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則______，______．13.函數(shù)的最大值為______．14.已知，，，為有窮整數(shù)數(shù)列，對(duì)于給定的正整數(shù)m，若對(duì)于任意的，在中存在，，，使得，則稱為“同心圓數(shù)列”．若為“同心圓數(shù)列”，則k的最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在最大值，且最大值小于0，求的取值范圍.16.已知集合A是由元素x組成的，其中，m，．（1）設(shè)，，，試判斷，與A之間的關(guān)系；（2）任取，試判斷，與A之間的關(guān)系．17.已知公差d不為0的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為.（1）求an（2）令，記為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，若，求n的最小值.18.若，是函數(shù)?x在內(nèi)的兩個(gè)零點(diǎn)，則定義?x的型零點(diǎn)旋轉(zhuǎn)函數(shù)為，且.將函數(shù)在內(nèi)所有的零點(diǎn)從小到大排列后，記第個(gè)零點(diǎn)為，集合.（1）請(qǐng)用列舉法寫出.（2）設(shè)函數(shù)是的1型零點(diǎn)旋轉(zhuǎn)函數(shù)，函數(shù)，，.（i）討論φx（ii）若φx有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明.19.擬合（Fittiong）和插值（Imorterpolation）都是利用已知離散數(shù)據(jù)點(diǎn)來構(gòu)造一個(gè)能夠反映數(shù)據(jù)變化規(guī)律的近似函數(shù)，并以此預(yù)測(cè)或估計(jì)未知數(shù)據(jù)的方法.擬合方法在整體上尋求最好地逼近數(shù)據(jù)，適用于給定數(shù)據(jù)可能包含誤差的情況，比如線性回歸就是一種擬合方法；而插值方法要求近似函數(shù)經(jīng)過所有的已知數(shù)據(jù)點(diǎn).適用于需要高精度模型的場(chǎng)景，實(shí)際應(yīng)用中常用多項(xiàng)式函數(shù)來逼近原函數(shù)，我們稱之為移項(xiàng)式插值.例如，為了得到的近似值，我們對(duì)函數(shù)進(jìn)行多項(xiàng)式插值.設(shè)一次函數(shù)滿足，可得在上的一次插值多項(xiàng)式，由此可計(jì)算出的“近似值”，顯然這個(gè)“近似值”與真實(shí)值的誤差較大.為了減小插值估計(jì)的誤差，除了要求插值函數(shù)與原函數(shù)在給定節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值相等，還可要求在部分節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值也相等，甚至要求高階導(dǎo)數(shù)也相等.滿足這種要求的插值多項(xiàng)式稱為埃爾米特（Hermite）插值多項(xiàng)式.已知函數(shù)在上的二次埃爾米特插值多項(xiàng)式滿足（1）求，并證明當(dāng)時(shí)，；（2）若當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）利用計(jì)算的近似值，并證明其誤差不超過.（參考數(shù)據(jù)：；結(jié)果精確到0.001）2025屆山東省新高考適應(yīng)性考試高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本次考試范圍：集合與常用邏輯用語；一元二次方程、函數(shù)和不等式；函數(shù)與導(dǎo)數(shù)；三角函數(shù)和解三角形；數(shù)列.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1已知集合，，則（）A B. C. D.【正確答案】D【分析】解一元一次不等式與一元二次不等式求得集合，進(jìn)而可求得.【詳解】，或，所以或=.故選：D.2.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】由已知可得，即的周期為，可得，即可求范圍.【詳解】解：，，即，即，所以4上函數(shù)的一個(gè)周期，，.故選：C.3.已知角α的終邊不在坐標(biāo)軸上，則下列一定成等比數(shù)列的是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】對(duì)于ABC，舉反例排除即可；對(duì)于D，利用三角函數(shù)基本關(guān)系式即可判斷.【詳解】角的終邊不在坐標(biāo)軸上，有，，，，對(duì)于A，令，則，，即，A不是；對(duì)于B，令，則，即，B不是；對(duì)于C，令，則，于是，即，C不是；對(duì)于D，，則，則一定成等比數(shù)列，D是.故選：D4.已知函數(shù)部分圖象如圖所示，的解析式為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】由圖象確定A的值，根據(jù)周期求出，利用特殊值求出，即得答案.【詳解】由函數(shù)圖象可知，，即，由，得，故，由于，故，則，故選：B5.已知定義在上的奇函數(shù)滿足：，且當(dāng)時(shí)，（為常數(shù)），則的值為（）A. B.0 C.1 D.2【正確答案】D【分析】首先根據(jù)其為奇函數(shù)，從而得，解出值，再根據(jù)其周期計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)樵赗上的奇函數(shù)，所以，解得，所以，因?yàn)?，所以的周期?，所以.故選：D.6.若函數(shù)既有極大值也有極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】求導(dǎo)，分析可知有2個(gè)不相等的正根，結(jié)合二次方程的根的分布列式求解即可.【詳解】由題意可知：的定義域?yàn)?，且，若函?shù)既有極大值也有極小值，則有2個(gè)不相等的正根，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.7.設(shè)且，n為正整數(shù)，集合．有以下兩個(gè)命題：①對(duì)任意a，存在n，使得集合S中至少有2個(gè)元素；②若存在兩個(gè)n，使得S中只有1個(gè)元素，則，那么（）A.①是真命題，②是假命題 B.①是假命題，②是真命題C.①、②都是假命題 D.①、②都是真命題【正確答案】A【分析】對(duì)于①命題，令函數(shù)，分和兩種情況，利用零點(diǎn)存在定理得即可判斷；對(duì)于②命題，通過舉例說明.【詳解】對(duì)于①命題，設(shè)，令函數(shù)，因?yàn)?，，所以存在有，?dāng)時(shí)，，所以存在有，對(duì)于，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以和情況一樣，故①是真命題；對(duì)于②命題，通過①得出一下結(jié)論：越小，集合元素?cái)?shù)量越少，同理得出如果集合只能有一個(gè)元素，只能是的區(qū)間存在一個(gè)零點(diǎn)，因此先討論的零點(diǎn)情況（如果只有一個(gè)零點(diǎn)，也只有一個(gè)零點(diǎn)），其圖象如下圖：即時(shí)，也滿足故②是假命題.故選：A.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用以及由①得出的結(jié)論.8.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)學(xué)家墨卡托、牛頓、GregorySaint-Vincen曾分別獨(dú)立發(fā)現(xiàn)當(dāng)足夠大時(shí)，會(huì)趨向于一常數(shù)，先給出以下三個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)：①；②如果求數(shù)列前項(xiàng)和時(shí)存在給其中的某些項(xiàng)用括號(hào)括起后得到，，則；③.基于以上數(shù)學(xué)事實(shí)我們可以推出：將數(shù)列的項(xiàng)按某種規(guī)律重新排列（如：將第個(gè)偶數(shù)項(xiàng)排到第個(gè)奇數(shù)項(xiàng)后）后前項(xiàng)和在足夠大時(shí)（）.A.最終一定趨于 B.最終一定不趨于任何一個(gè)常數(shù)C.最終一定趨于某一常數(shù)但不一定是 D.以上均不正確【正確答案】D【分析】根據(jù)三個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)，將數(shù)列的項(xiàng)按某種規(guī)律重新排列依次判斷各選項(xiàng)即可.(將an中第個(gè)偶數(shù)項(xiàng)排到原來第個(gè)奇數(shù)項(xiàng)后，得到其前項(xiàng)和趨于排除A項(xiàng)和B項(xiàng)；將an中第個(gè)偶數(shù)項(xiàng)排到原來第個(gè)奇數(shù)項(xiàng)并適當(dāng)添加括號(hào)后，得到排除C項(xiàng))【詳解】①，②，由①+②得：，是將an中第個(gè)偶數(shù)項(xiàng)排到原來第個(gè)奇數(shù)項(xiàng)后得到的一個(gè)重新排序，但此時(shí)前項(xiàng)和趨向于，故A、B兩項(xiàng)錯(cuò)誤；若將an中第個(gè)偶數(shù)項(xiàng)排到原來第個(gè)奇數(shù)項(xiàng)并適當(dāng)添加括號(hào)后得到：，因，故.即，故：，由事實(shí)②：去掉括號(hào)后仍有，此時(shí)前項(xiàng)和不趨向于某一常數(shù)，故C錯(cuò)誤.故選：D.思路點(diǎn)睛：根據(jù)題意規(guī)定的三個(gè)事實(shí)和題設(shè)要求，構(gòu)造重組后的新數(shù)列，用來分別判斷選項(xiàng)，要有極限思想和放縮技巧.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，記的最小值為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，下列說法正確的是（）A. B.C. D.若數(shù)列滿足，則【正確答案】ACD【分析】利用基本不等式和柯西不等式推導(dǎo)出，從而得到A正確，B錯(cuò)誤；構(gòu)造函數(shù)得到在上恒成立，結(jié)合等比數(shù)列求和公式證明出C正確；D選項(xiàng)，化簡(jiǎn)得到，再用裂項(xiàng)相消法求和，證明出結(jié)論.【詳解】A選項(xiàng)，，故，由基本不等式可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，A正確；B選項(xiàng)，由柯西不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，依次類推，可得，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以，故在上恒成立，，C正確；D選項(xiàng)，，，故，D正確.故選：ACD常見的裂項(xiàng)相消法求和類型：分式型：，，等；指數(shù)型：，等，根式型：等，對(duì)數(shù)型：，且；10.已知，（參考數(shù)據(jù)），則下列說法正確的是（）A.是周期為的周期函數(shù)B.在上單調(diào)遞增C.在內(nèi)共有4個(gè)極值點(diǎn)D.設(shè)，則在上共有5個(gè)零點(diǎn)【正確答案】BCD【分析】選項(xiàng)A，根據(jù)條件得到，即可判斷出選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，對(duì)求導(dǎo)，得到，從而得到時(shí)，，即可判斷出選項(xiàng)B的正誤，選項(xiàng)C，令，求出時(shí)的解，再根據(jù)極值的定義，即可判斷出結(jié)果，選項(xiàng)D，根據(jù)條件得出的周期為，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得出在上的圖象，再數(shù)形結(jié)合，即可求出結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，令，得到，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，取等號(hào)，所以，不是變號(hào)零點(diǎn)，即，不是的極值點(diǎn)，由，即，又，解得或或或，由圖象知，每一個(gè)解都是變號(hào)零點(diǎn)，所以在內(nèi)共有4個(gè)極值點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以的周期為，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，由得到，，，列表如下，單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增單調(diào)遞增又，，，則在上的大致圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，此時(shí)無解，由，則，又，則，又由，，故只需再畫出在圖象即可，當(dāng)時(shí)，，無解，作出的圖象，注意到，所以時(shí)，的圖象在圖象下方，由圖可知與在上有5個(gè)交點(diǎn)，所以在上共有5個(gè)零點(diǎn)，所以選項(xiàng)D正確，

故選：BCD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于選項(xiàng)D，根據(jù)條件得出是周期為的周期函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，作出在上圖象，且有最大值和最小值分別為，，利用，再數(shù)形結(jié)合，即可求出結(jié)果.11.我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了已知三角形的三邊長(zhǎng)，求三角形的面積的問題，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上．以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即．現(xiàn)有滿足，且，則（）A.三個(gè)內(nèi)角滿足關(guān)系B.的周長(zhǎng)為C.若的角平分線與交于D，則的長(zhǎng)為D.若O為的外心，則【正確答案】ABD【分析】利用正弦定理得出三邊關(guān)系，結(jié)合余弦定理可判定A，由三角形面積公式計(jì)算可得三邊長(zhǎng)，從而判定B，利用角平分線定理及余弦定理可判定C，由三角形外心的性質(zhì)結(jié)合平面向量數(shù)量積的幾何意義可判定D.【詳解】根據(jù)正弦定理知由，不妨設(shè)，則，由余弦定理知，所以，故A正確；又，則，所以的周長(zhǎng)為，故B正確；如圖所示，易知，在中由正弦定理知，作商得，又，則，由余弦定理知：，即，即，解之得或（舍去），故C錯(cuò)誤；取的中點(diǎn)，則，結(jié)合平面向量數(shù)量積的幾何意義易知：，故D正確.故選：ABD.方法點(diǎn)睛：常用結(jié)論的積累如下：①角平分線定理：中，的角平分線與交于D，則；②外心的性質(zhì)：的外心O，滿足.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則______，______．【正確答案】①.②.【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義即可得到答案.【詳解】由已知得，所以.故；.13.函數(shù)的最大值為______．【正確答案】.【分析】顯然需要求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求出最大值.【詳解】，，即函數(shù)是單調(diào)遞增的，∴當(dāng)時(shí)取得最大值.故答案為.14.已知，，，為有窮整數(shù)數(shù)列，對(duì)于給定的正整數(shù)m，若對(duì)于任意的，在中存在，，，使得，則稱為“同心圓數(shù)列”．若為“同心圓數(shù)列”，則k的最小值為______．【正確答案】64【分析】求出當(dāng)時(shí)，，，，最多能表示個(gè)數(shù)字，由即可求解的最小值.【詳解】對(duì)于此題，我們先從簡(jiǎn)單的算起．當(dāng)時(shí)，則最多能表示共1個(gè)數(shù)字；當(dāng)時(shí)，則，最多能表示，，共3個(gè)數(shù)字；當(dāng)時(shí)，則，，最多能表示，，，，，共6個(gè)數(shù)字；當(dāng)時(shí)，則，，…，最多能表示個(gè)數(shù)字；∴，故64.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在最大值，且最大值小于0，求的取值范圍.【正確答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再按分類討論求出的單調(diào)區(qū)間.（2）由（1）的信息，求出最大值，再建立不等式并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性求解即得.【小問1詳解】顯然，的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得，令，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，存在最大值，且最大值為.，設(shè)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，則由，得，所以的取值范圍為.16.已知集合A是由元素x組成的，其中，m，．（1）設(shè)，，，試判斷，與A之間的關(guān)系；（2）任取，試判斷，與A之間的關(guān)系．【正確答案】（1），，．（2），．【分析】（1）利用分母有理化和完全平方公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；（2）設(shè),，然后將，表示出來，進(jìn)行判斷即可.【小問1詳解】∵，∴．∵,∴．∵，∴．綜上，，，．【小問2詳解】任取，設(shè)，，則，其中，，∴．∵，其中，，∴．綜上，，．17.已知公差d不為0的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為.（1）求an（2）令，記為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，若，求n的最小值.【正確答案】（1）（2）6【分析】（1）利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和及通項(xiàng)公式求基本量，即可寫出通項(xiàng)公式；（2）由（1）及題設(shè)，應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式、分組求和得，結(jié)合不等式能成立及單調(diào)性求正整數(shù)n的最小值．【小問1詳解】由題設(shè)，所以，而，所以【小問2詳解】由題設(shè)，則，所以，又在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，求n的最小值6．18.若，是函數(shù)?x在內(nèi)的兩個(gè)零點(diǎn)，則定義?x的型零點(diǎn)旋轉(zhuǎn)函數(shù)為，且.將函數(shù)在內(nèi)所有的零點(diǎn)從小到大排列后，記第個(gè)零點(diǎn)為，集合.（1）請(qǐng)用列舉法寫出.（2）設(shè)函數(shù)是的1型零點(diǎn)旋轉(zhuǎn)函數(shù)，函數(shù)，，.（i）討論φx（ii）若φx有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明.【正確答案】（1）（2）（i）答案見詳解；（ii）證明見詳解【分析】（1）利用二倍角的正弦公式可得，求出函數(shù)的零點(diǎn)即可求解；（2）（i）由（1）知（），則可轉(zhuǎn)化為，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)與對(duì)應(yīng)方程的根之間的關(guān)系，分類討論的取值情況即可求解；（ii）由題意可得是方程的兩個(gè)根，利用韋達(dá)定理和的單調(diào)性可得，即可證明.【小問1詳解】，令，得或，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以；【小問2詳解】（i）由（1）知，則，得，令，由，得，即，對(duì)于方程，，當(dāng)即時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)即時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)即時(shí)，方程的解為，若且，即，有2個(gè)零點(diǎn)；若，有1個(gè)零點(diǎn)；若，即，無零點(diǎn)；綜上，當(dāng)或時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).（ii）若有2個(gè)零點(diǎn)，則是方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得，又，所以，而，故，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，故，即證.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決第（2）問的關(guān)鍵點(diǎn)在于理清函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的關(guān)系，和利用韋達(dá)定理與的單調(diào)性得出.19.擬合（Fittiong）和插值（Imorterpolation）都是利用已知的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)來構(gòu)造一個(gè)能夠反映數(shù)據(jù)變化規(guī)律的近似函數(shù)，并以此預(yù)測(cè)或估計(jì)未知數(shù)據(jù)的方法.擬合方法在整體上尋求最好地逼近數(shù)據(jù)，適用于給定數(shù)據(jù)可能包含誤差的情況，比如線性回歸就是一種擬合方法；而插值方法要求近似函數(shù)經(jīng)過所有的已知數(shù)據(jù)點(diǎn).適用于需要高精度模型的場(chǎng)景，實(shí)際應(yīng)用中常用多項(xiàng)式函數(shù)來逼近原函數(shù)，我們稱之為移項(xiàng)式插值.例如，為了得