蘇科版九年級數(shù)學下冊壓軸題攻略：難點探究之二次函數(shù)中求線段最值問題 壓軸題三種模型（解析版）

專題05難點探究專題：二次函數(shù)中求線段最值問題壓軸題三種模型全攻略

『匚【考點導航】

目錄

【典型例題】.............................................................................1

【考點一利用二次函數(shù)求單線段最值問題】1

【考點二二次函數(shù)中的將軍飲馬型最值問題】................................................8

【考點三二次函數(shù)中的胡不歸最值問題】...................................................22

【典型例題】

【考點一利用二次函數(shù)求單線段最值問題】

例題：（2023?上海?九年級假期作業(yè)）如圖，已知拋物線耳：y=-x2+5,拋物線鳥與^關于點。，。）中心對

稱，耳與此相交于A,8兩點，點M在拋物線片上，且位于點A和點B之間；點N在拋物線心上，也位于

點A和點8之間，且MNLx軸.

⑴求拋物線吊的表達式；

⑵求線段長度的最大值.

【答案】⑴y=（x-2）2-5

(2)8

【分析】(1)先求出拋物線小、=-/+5的頂點坐標為(0,5),然后求出點(0,5)關于(1,0)對稱后的點坐標

為(2,-5),再拋物線外的解析式為：y=(x-2)2-5；

(2)先求出A、8兩點橫坐標分別為-1和3,設M(a,_02+5),必°,("-2)2-5]其中一1<。<3,則MN=

-2(tz-l)2+8,求出最大值即可.

【詳解】(1)解：拋物線小y=*+5的頂點坐標為(0,5),

點(0,5)關于(1,0)對稱后的點坐標為(2,-5),

回拋物線F2與拋物線工關于(1,0)成中心對稱，

回拋物線總的解析式為：y=(x-2)2-5.

2

(2)解：回拋物線耳：y=-x+5^F2.y=(x-2)2-5交于A、B,

團令一尤2+5=(x—2)2—5,

解得：x=-l或x=3,

貝UA、8兩點橫坐標分別為-1和3,

設AZ(o,—+5),N[O,(o—2)~-5],其中—l<a<3,

則MN=-a2+5-[(a-2)2-5]=-2a2+4a+6=-2(a-1)2+8,

回當a=l時，MN最大為8.

【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，中點坐標公式，二次函數(shù)的最值，解題的關鍵是數(shù)形結合，

利用對稱的特征，再根據(jù)頂點情況求解析式以及根據(jù)二次函數(shù)解析式求最大值.

【變式訓練】

1.(2023?湖北襄陽,統(tǒng)考模擬預測)如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-無-2與x軸交于點A,與>軸

交于點8,拋物線>=-(彳-租)2+加2的頂點為p,過點尸分別作x軸，y軸的垂線交于點Q,直線PM

交x軸于點N.

⑴若點P在y軸的左側，且N為R0中點，求拋物線的解析式；

⑵求線段PQ長的最小值，并求出當尸。的長度最小時點P的坐標；

(3)若尸，M,N三點中，任意兩點都不重合，豆PN>MN,求機的取值范圍.

【答案】⑴y=-(x+iy+i

(2)PQ的最小值為二，點尸的坐標為

4I24J

⑶機的取值范圍是加<-2或-或根>2.

【分析】⑴先求得頂點P?，m2),再得到M(利-2),N(狼0),根據(jù)N為PAf中點，列式計算即可

求解;

(2)計算得到NPW=NPMQ=45。，推出=得到尸Q=++1,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可

求解；

(3)確定加=-2和m=0時，不合題意；再分m<-2時和〃?>-2兩種情況討論，畫出圖形，數(shù)形結合即可

求解.

【詳解】(1)解：回拋物線丁=一(％-機)2+療的頂點為尸,

團夕(機，機2),

回尸河_Lx軸，

[?]Af(m,—m—2),N(帆0),

回N為尸M中點，

0m2+(—m—2)=0,

解得班=-1，加2=2,

團點尸在y軸左側,

[?]m=-l,

團拋物線的解析式為y=-(工++1；

(2)解：由y=—%—2=0,解得尤=—2,

所以A(—2,0),04=2.

當x=0時，y=-x-2=-2,

所以5(0,—2),OB=OA=2.

團NAO5=90。，

^\ZOAB=ZOBA=45°,

回軸，尸。_Ly軸，

^ZPQM=ZPMQ=45°f

0PQ=PM=m1-(—m-2)=fm+—+—.

團a=1>0,

17

回當小=-彳時，p。的值最小，最小值為了，

24

此時點尸的坐標為卜g，￡|；

（3）解：當機=-2時，M,N重合，不合題意;

當m=0時，P,N重合，不合題意；

當機<一2時（如圖），

PN>MN,符合題意;

當機〉一2時（如圖）,

PN—MN=M2—[—(—m—2)]=m2—m—2=j--.

由根2一加一2=0,

解得叫=-1，加2=2,

又回Q=1>0,

團當一2<相<一1或機>2時，PN—肱V的值大于0,即尸N>腦V；

綜上可知，根的取值范圍是m<-2或-2VM<-1或m>2.

【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，中點公式的應用，熟練掌握二次函數(shù)

的性質(zhì)是解題關鍵.

19

2.（2023秋?福建龍巖?九年級?？奸_學考試）如圖，已知拋物線y=-］（x-k）+〃圖象經(jīng)過點且

⑴求拋物線的解析式；

⑵若C（桃加-1）是拋物線上位于第一象限內(nèi)的點，。是線段上的一個動點（不與A、8重合），過點。

分別作DE〃3c交AC于E,。尸〃AC交于尸.

①求C點坐標；

②求證：四邊形DEC尸是矩形；

③連接所，線段班'的長是否存在最小值？若存在，求出E尸的最小值；若不存在，請說明理由.

13

【答案】⑴y=_/+“+2

（2）①點C坐標為（3,2）②見解析③存在，E產(chǎn)的最小值是2

【分析】（1）把點A的坐標和對稱軸代入解析式求解即可；

（2）①把點C的坐標代入拋物線解析式求解即可；②先求點B的坐標，再證AABC為直角三角形，最后

再證四邊形DEtT是矩形；③利用矩形的對角線相等，求出8的最小值即可；

【詳解】（1）解：（1）回了=一5（龍一左）一+〃的對稱軸為直線x=],

3

回k二5'

把點A（T,O）代入，

得：+h，

解得人2=5=，

O

團拋物線的解析式為：y=--（x-^\+-=--X2+-X+2；

2<2j822

i3

（2）①解：回把C（m,m一1）代入拋物線得：m-l=--m2+-m+2,

解得：叫=3,m2=-2,

回C（〃7,”2-1）位于第一象限，

團%>1,

回機=3，

回點C坐標為（3,2}

iQ

②證明：令y=0,則0=-//+5》+2,

解得：Xj=-l,x2=4

04(-1,0),3(4,0)又EIC(3,2)

0AB2=(-l-4)2=25；AC2=(-1-3)2+(0-2)2=20；BC2=(4-3)2+(0-2)2=5；

AC2+BC2=AB2,

回AABC為直角三角形，ZACB=90°,

又回DE〃3C,DF//AC,

E四邊形DECF是平行四邊形,

回平行四邊形￡>ECF是矩形；

③存在；

團EF-CD,

當CDLAB時，8的值最小，

回C（3,2）,

回。C的最小值等于C"=2,

回所的最小值是2.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)與矩形的綜合，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理及逆定理，垂線段的性質(zhì)，熟

練運用這些性質(zhì)是解題的關鍵.

【考點二二次函數(shù)中的將軍飲馬型最值問題】

例題：(2023秋?安徽滁州?九年級校聯(lián)考期末)已知：二次函數(shù)y=V+bx+c的圖象與x軸交于A,8兩點,

其中A點坐標為(-3,0),與y軸交于點C,點。(-2,-3)在拋物線上.

⑴求拋物線的解析式；

(2)拋物線的對稱軸上有一動點尸，求出24+尸。的最小值；

⑶若拋物線上有一動點尸，使三角形AB尸的面積為6,求產(chǎn)點坐標.

【答案】⑴y=/+2x-3

(2)3后

⑶符合題意的P點坐標為：卜1+V7,3)或卜1-萬,3)或(0,-3)或(-2,-3).

【分析】(1)將A、。點代入拋物線方程>=/+版+。，即可解出氏c的值，拋物線的解析式可得；

(2)點C、。關于拋物線的對稱軸對稱，連接AC,點尸即為AC與對稱軸的交點，X4+P。的最小值即為

4C的長度，用勾股定理即可求得AC的長度；

(3)求得2點坐標，設點尸坐標(加，〃/+2m-3),利用三角形面積公式，即可求出優(yōu)的值，點尸的坐標即

可求得.

【詳解】(1)解：因為二次函數(shù)y=f+6x+c的圖象經(jīng)過4(—3,0),D(-2,-3),

9-3b+c=0

所以

4一2Z?+c=—3

所以二次函數(shù)解析式為y=/+2x-3；

⑵解：拋物線對稱軸尤=-?=-1,￡>(-2,-3),C(0,-3),

：.C,。關于x軸對稱，連接AC與對稱軸的交點就是點P,

PA+PD=PA+PC=AC=A/A02+CO2=A/32+32=3A/2；

（3）解：設點尸坐標（私下+2祖-3）,

令>=0,x2+2x-3=0,解得x=-3或1,

即8點坐標為（LO）,

則AB=4,

三角形的面積為6,

點到A3的距離為3,

故當P點縱坐標為3時，3=爐+2元-3,解得：x=-l上近,

符合題意的尸點坐標為：卜1+占,3）或卜1-小,3）；

當尸點縱坐標為-3時，-3=X2+2%-3,解得：x=0或-2,

符合題意的P點坐標為：（0,-3）或（-2,-3）,

綜上所述：符合題意的尸點坐標為：卜1+近,3）或卜1-4,3）或（0,-3）或（-2,-3）.

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式、兩點之間線段最短、勾股定理、二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的

關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結合的思想解答.

【變式訓練】

1.（2023秋?安徽蕪湖?九年級?？茧A段練習）如圖，拋物線y=Y+bx+c交x軸于點A（l,0）,點、B,交y軸

于點C,對稱軸為直線x=2.

(2)求拋物線的解析式.

(3)點尸是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在點P,使AB4c的周長最小？若存在，求出點尸的坐標;

若不存在，請說明理由.

【答案】⑴(3,0)

⑵拋物線的解析式y(tǒng)=?-4x+3

⑶存在，點尸坐標為(2,1)

【分析】(1)根據(jù)拋物線與x軸的交點關于對稱軸對稱求解即可；

(2)根據(jù)對稱軸和點A坐標，列出方程組，解之即可；

(3)首先判斷出R4+PC最小時，AR4c的周長最小，連接3c交對稱軸于點P,可得此時R4+PC最小,

求出直線的解析式，求出與x=l的交點即可.

【詳解】(1)解：回交x軸于點A(l,0),點8,對稱軸為直線x=2,

05(2x2-1,0),

即以3,0)；

l+b+c=0

(2)由題意知＜b，

—=2

I2

[b=-4

解得公

[c=3

回拋物線的解析式y(tǒng)=f-4x+3；

(3)回AC是定值,

回R4+PC最小時，AR4c的周長最小，

回點A,點B關于對稱軸對稱，

連接BC交對稱軸于點尸，此時B4+PC最小,

由(1)(2)知點3(3,0),點C(0,3),

設BC的解析式為>=〃a+〃，

f0=3m+n,[m=—l

得2,解得：2，

[3=n[n=3

EIBC所在直線解析式為>=-尤+3,

令x=2,則y=l,

回點P坐標為(2,1).

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法、最短路徑等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知

識解決問題，學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題.

2.(2023?河北石家莊?校聯(lián)考模擬預測)如圖，拋物線y=ax2+bx+c{a*0)與無軸交于點A(-3,0),網(wǎng)2,0).與

y軸交于點C,ZCAO=45°,直線y=自交拋物線于點E,且AE=EC.

⑴求拋物線的解析式；

(2)若點M為直線y=l上一點，點N為直線EC上一點，求Q0+MN的最小值；

(3)點尸為拋物線上一點，點。為平面內(nèi)一點，是否存在點P,Q,使得以E,C,P,。為頂點的四邊形是

矩形？若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

［答案］⑴y=龍+3

(2)第

⑶存在，(1,-4)或(7,-11).

【分析】(1)求出C點坐標，再由待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；

(2)作C點關于y=l的對稱點C',過C作CNJ_EC交于N,交y=l于點連接CM,EC,當M、N、

C'三點共線時，CM+MN的值最小，最小值為C'N,求出C'N即可；

(3)分兩種情況討論：①以EC為矩形的邊，如圖2,過點C作CEJ.C7］交拋物線于片，過點￡作巡，EC

交拋物線于點過點片作《2〃EC交E鳥于過鳥作￡Q2〃EC交CA于a，求出直線CE的解析式為

［y=2x+3

y=--r+3,可求出直線CH的解析式為y=2無+3,聯(lián)立方程組1,1,可求得《(3,-3),由C

［22

點向左平移2個單位，再向下平移1個單位得到點應可得。(1,-4),同理可得。2-11);②當庭為矩形

對角線時，如圖3,以EC為直徑的圓與拋物線沒有交點，此時尸點不存在.

【詳解】(1)解：0ZC4O=45°,

0OC=OA,

團A(—3,0),

團OA=3,

團OC=3,

0C(O,3),

將點A(—3,0),5(2,0),C(0,3)代入,=以2+'+°,

9a-3b+c=0

團<4。+2。+c=0,

c=3

1

a=——

2

解得，b=,

c=3

回—+3

22

(2)解：作C點關于y=l的對稱點C',過C作CNLEC交于M交y=l于點連接CM,EC,

^CM=MC,

SMN+CM=MN+C'M>NC,

回M、N、C'三點共線時，CW+MN的值最小，

^AE=EC,AO^CO,

回EO為線段AC的垂直平分線，

回直線y=kx的解析式為y=-X,

y=—x

聯(lián)立方程組11,

y=——x~2——x+3

[22

fx=-2

解得.，

[y=2

BE(-2,2),

回EC=5

0C(O,3),

團C'(0,-l),

0CC1=4,

,

0-XA/5X?/C=-X4X2,

22

0CW=—,

5

回。/+肱V的最小值為述.

5

(3)解：在點P,Q,使得以E,C,P,。為頂點的四邊形是矩形，理由如下:

①以EC為矩形的邊，如圖2,過點C作CELC4交拋物線于右，過點E作相，EC交拋物線于點鳥，過

點片作用?！‥C交￡鳥于&,過鳥作鳥。2〃EC交C6于。2,

0C（O,3）,E（-2,2）,

設直線CE的解析式為y=kx+b,

仿=3

阻，

[-2k+b=2

k=L

解得，2,

b=3

回直線CE的解析式為y=gx+3,

設直線EC與x軸交點為G,直線2與x軸的交點為“,

團_LC02，

⑦NECO+NOCH=90°,

團ZOCH+ZOHC=90°,

由NECO=/OHC,

0G（-6,O）,C（O,3）,

GOCO

回---=----,

COOH

3

團HO=—,

2

可求直線CH的解析式為y=2%+3,

y=2%+3

聯(lián)立方程組,121,

[x=0

解得。（舍）或

（7=3

0^（3,-3）；

回C點向左平移2個單位，再向下平移1個單位得到點E,

02.（1.-4）；

同理可得。2（7,-11）；

②當CE為矩形對角線時，如圖3,以EC為直徑的圓與拋物線沒有交點,

回此時尸點不存在；

綜上所述：。點坐標為（LT）或（7,-11）.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，利用軸對稱求最短距離的

方法，矩形的性質(zhì)，數(shù)形結合，分類討論是解題的關鍵.

3.（2023秋?全國?九年級專題練習）如圖1所示，已知直線、=丘+”與拋物線y=ax2+bx+c分別交于x軸

和y軸上同一點，交點分別是點5（6，0）和點C（0,6）,且拋物線的對稱軸為直線x=4.

⑵如圖2,點Q是線段BC上一點，且CQ=40,點M是y軸上一個動點，求線段MQ+MA的最小值；

⑶在拋物線的對稱軸上是否存在點尸，使APBC是直角三角形？若存在請直接寫出P點坐標，不存在請說明

理由.

【答案】（1）k=-1，m=6,a=g,b=-4;

⑵2M

（3）（4,-2）或（4,10）或（4,3+或（4,3-如卜

【分析】（1）待定系數(shù)法求公m,a,b的值；

（2）由CQ=4應求出。點坐標，再利用將軍飲馬模型求線段+的最小值；

（3）不確定直角三角形APBC的直角頂點，所以分三類討論，利用勾股定理建立方程求出P點坐標.

【詳解】（1）?..直線丫=丘+加過點6（6,0）和點C（0,6）,

j6^+m=0

[m=6

.肚二T

**\m=6，

y=-x+6,

?.?拋物線y=*+bx+c過點6(6,0)和點C(0,6),對稱軸為直線尤=4,

36a+6b+c=0

<c=6,

b.

---二4

、2a

1

ci——

2

<b=-4,

c=6

1

y=9-4x+6,

/.k=—1,m=6,Q=；，b=-4；

(2)過點。作。軸，垂足為N,作A(2,0)關于y軸的對稱點A(-2,0),

OB=OC=6,

???△03C是等腰直角三角形,

NOCB=45。,

.??△CNQ是等腰直角三角形，

:.NQ=CN=羋=4,

V2

Z.ON=OC-CN=2,

/.MQ+MA=MQ+MA!>QA=7（4+2）2+22=2M，

MQ+MA的最小值為2M.

⑶存在點尸，使APBC是直角三角形，尸點坐標為（4,-2）或（4,10）或（4,3+而'）或（4,3-后）.理由如

下：

V拋物線的對稱軸為直線x=4,

...設P點坐標為（4,y）,

C（0,6）,B（6,0）,

：.PC2=16+（y-6）2=y2-12y+52,

/.PC2=4+y2,

/.PC2=72,

.?.當/PBC=90°時，/-12y+52=4+/+72,解得y=-2,

當NPCB=90°時，4+y2=/-12j+52+72,解得y=10,

當N3PC=90°時，12y+52+4+/=72,解得>=3士炳，

點坐標為（4,-2）或（4,10）或（4,3+&7）或卜,3-折）.

【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的表達式，將軍飲馬模型，直角坐標系中的直角

三角形問題，滲透了數(shù)形結合和分類思想，題型常規(guī)，難度不大.

4.（2023春?廣東湛江?九年級湛江市第二中學?？茧A段練習）如圖，已知拋物線y=-V+bx+c與y軸交于

點C,與無軸交于4-1,0）,3（3,0）兩點.

備用圖

⑴求拋物線的解析式.

⑵連接AC,在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使得△ACP的周長最?。咳舸嬖?，求出點P的坐標和△ACP

的周長的最小值，若不存在，請說明理由.

(3)點M為拋物線上一動點，點N為無軸上一動點，當以A,C,M,N為頂點的四邊形為平行四邊形時，直

接寫出點M的橫坐標.

【答案1⑴y=-x2+2x+3

(2)尸(1,2),710+35/2

(3)2或1+夕或1-近

【分析】(1)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；

(2)當B、C、尸三點共線時，△ACP的周長有最小值，直線BC與對稱軸的交點為尸點，又由

AC=?,BC=3枝,可得△ACP的周長的最小值為加+3近；

(3)設M(x,_/+2x+3),N(”,0),根據(jù)平行四邊形的對角線分三種情況討論，利用中點坐標公式建立方程

求出〃點的橫坐標即可.

【詳解】(1)將A(-l,0),B(3,0)代入了=-爐+6%+-

\-l—b+c=0

削，

[-9+3b+c=0

(b=2

解得

[c=3

團y=—x2+2%+3；

(2)拋物線的對稱軸上存在點尸，使得△ACP的周長最小，理由如下：

0j=-X2+2x+3=-(x-1)2+4,

回拋物線的對稱軸為直線x=l,

0A、8點關于直線x=l對稱，

SPA=PB,

回△ACP的周長=AC+AP+CP=AC+P3+CP^AC+3C,

團當8、C、尸三點共線時，△ACP的周長有最小值，

當x=0時，y=3,

團C(0,3),

0AC=5/10,BC=372,

^△ACP的周長的最小值為炳+3加；

設直線BC的解析式為>=辰+加，

m=3

3k+m=0

k=-\

解得

m=3

回y=—％+3,

團尸(1,2),

(3)M(x,-x2+2x+3),N(n,0),

當AC為平行四邊形的對角線時,

-1=x+n

0

3=-X2+2X+3)

x=0x=2

解得,(舍)或

n=-ln=—3’

團M(2,3)；

當AM為平行四邊形的對角線時,

-l+x=n

-%2+2x+3=3

x=0x=2

解得(舍)或

n=-ln=l

團M(2,3)；

當AN為平行四邊形的對角線時,

-l+n=x

回

0=3—爐+2尤+3’

'x=l+幣、X=1-A/7

解得〃=2+舊或'

H=2-A/7)

0M(1+77,-3)或(1-4,-3)；

綜上所述：M點橫坐標為2或1+近或1-J7.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，平行四邊形

的性質(zhì)是解題的關鍵.

5.(2023?廣東佛山?二模)已知拋物線丫=加+6尤+3經(jīng)過點41,0)和點8(-3,0),與y軸交于點C.

⑴求該拋物線的表達式；

⑵如圖1,在對稱軸上是否存在一點E,使△AEC的周長最小.若存在，請求出點E的坐標和△人"?周長

的最小值；若不存在，請說明理由；

⑶如圖2,設點P是對稱軸左側該拋物線上的一點，點。在對稱軸上，當VBPQ為等邊三角形時，請直接寫

出符合條件的直線"的函數(shù)表達式.

【答案】⑴y=-尤2-2x+3

⑵E(-l,2),AAEC周長最小值為30+加

⑶工一旦+且或安旦一直

-3333

【分析】⑴將點41，。)，3(—3,0)代入》="2+-+3即可；

⑵找到A點關于對稱軸對稱的對稱點3,連8C交對稱軸于￡點，進而求出此時三角形的周長即可得解；

⑶利用V8PQ是等邊三角形和A,8兩點的坐標，確定V8PQ的外心，利用圓周角定理確定直線AP與無軸

的夾角，進而即可得解.

【詳解】(1)將點A(1,O)，8(-3,0)代入》=依2+法+3得

Ja+Z?+3=0

[9a-3b+3=0

[a=-1

解得，/.

[b=-2

回拋物線表達式為y=-V-2x+3

(2)如圖，連交對稱軸與點E,連AC,

由⑴知y=r2-2x+3,4(1,0),3(-3,0)

回y=-x2-2x+3=-(x+1)-+4

回對稱軸為：直線*=-1

回令尤=0得y=3

0C(O,3)

回AC=Jf+32=M,BC=4乎+乎=30

設直線8C的解析式為I=%+"

伯=3

[-3Z+b=0

[k=l

解得〃1

[b=3

團直線BC的解析式為y=X+3

回當x=-l時y=-1+3=2

0E（-L2）

回線段AC長度不變，根據(jù)兩點之間線段最短和軸對稱的性質(zhì)，

回△AEC周長最小值=AE+EC+AC=8E+EC+AC=BC+AC=30+?J

(3)回丈+3,V3PQ是等邊三角形

^\BQ=PQ,ZPQB=6Q°

0A(1,O)與B(-3,0)關于對稱軸對稱

^QB=QA

0BQ=PQ=AQ

回。點是尸的外心

團根據(jù)圓周角定理得ZPAB=1ZPQB=30°

設過A,P的直線解析式為y=tnx+n

0OA=1

IniIni

團tan30o=LL=U

OA1

回詞=

3

昨±￥

又回A（l,0）代入解析y=mx+n^

m=±—

3

回當尸點在x軸的上方時，AP解析式為y=-1尤+也

33

回當P點在X軸的下方時，依解析式為y=3x一些

-33

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，圓的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì),

最短距離等知識點，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關鍵.

【考點三二次函數(shù)中的胡不歸最值問題】

例題：（2023?四川內(nèi)江?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=o%2+bx+c與無軸交于3（4,0）,

C（-2,0）兩點.與y軸交于點人（0,-2）.

⑴求該拋物線的函數(shù)表達式;

⑵若點P是直線A3下方拋物線上的一動點，過點尸作x軸的平行線交A3于點K,過點P作y軸的平行線

交x軸于點D,求與;PK+PD的最大值及此時點P的坐標；

⑶在拋物線的對稱軸上是否存在一點使得△AAB是以A3為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求

出點M的坐標，若不存在，請說明理由.

[答案]⑴y=；X2_]%_2

、

⑵存在，1+的最大值為W25，P,3-35

⑶(1,6)或(IT)

【分析】(1)將A、B、。代入拋物線解析式求解即可；

(2)可求直線A5的角由析式為y=；x—2,設加2一；機一2)(0<m<4),可求

(111、113

K\—m2-m,—m2——m-2,從而可求—PK+PD=——m2+—m+2,即可求解;

1242J222

(3)過A作AM2交拋物線的對稱軸于加2,過8作LA2交拋物線的對稱軸于對一連接4%,

設必(1,"),可求4M2=〃2+4/+5,BM；=n1+9,由AB?+=AM：,可求跖，進而求出直線反乩

的解析式，即可求解.

【詳解】(1)解：由題意得

16。+4。+。=0

<4。一2Z?+c=0,

c=-2

1

ci=——

4

解得：<。=-;,

c=-2

二拋物線的解析式為y=gf-1x-2.

42

(2)解：設直線的解析式為〉=履+)，則有

J4左+。=0

=一2'

左」

解得：<2,

b=-2

二直線AB的解析式為y=gx-2；

設尸(根，:根2一1■根-2](0<m<4),

,1121

..-x-20=—m——m-、2,

242

解得：x=-m12-m,

2

2121c

/.A—m-m,—m——m-2

(242

(12

PK=m—\—m—m

12

2上。

=---1-m+2m,

2

—PK=—相？+m,

24

PD=-\-m2--m-2.

(42

12,1q

42

1111

:.—PK+PD=——m9+m—m9+—m+2

2442

13c

=——m2+—m+2

22

25

H----,

8

3125

.?.當根=時，尸K+尸。的最大值為三,

22o

13「35

----x----2=—

2216

125(335、

故+尸。的最大值為P.

2oI，1。/

(3)解：存在，

如圖，過A作AV?LAB交拋物線的對稱軸于〃2,過8作用1交拋物線的對稱軸于,連接

回拋物線＞尤-2的對稱軸為直線x=l,

42

.,.設M。,")，

,AM：=/+("+2)2

="+4幾+5,

AB2=22+42=20,

222

BM1=（4-l）+n

二〃2+9,

?.?AB2+3M；=AM；,

M+9+20—+4〃+5,

角軍得：n=6,

?.必（1,6）；

設直線3峪的解析式為>=左/+々，則有

,+4=6

［他=0，

k］=-2

解得

4=8

??.直線BM,解析式為y=—2%+8,

vAM2//BMlf且經(jīng)過A（0,—2）,

??.直線AM?解析式為y=—2x—2,

???當x=］時，y=-2xl-2=-4f

綜上所述：存在，加的坐標為(1,6)或(1,-4).

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)中動點最值問題，直角三角形的判定，勾股定理

等，掌握解法及找出動點坐標滿足的函數(shù)解析式是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.(2023春?四川內(nèi)江?九年級?？茧A段練習)如圖，已知拋物線y=蘇+6x+c("0)與》軸相交于點C(0,-2),

與x軸分別交于點3(3,0)和點A,且tanZCAO=1,

⑴求拋物線解析式.

⑵拋物線上是否存在一點。，使得=若存在，請求出點。坐標，若不存在，請說明理由.

⑶拋物線的對稱軸交x軸于點O,在＞軸上是否存在一個點P,使交PC+尸。的值最小，若存在，請求出

2

最小值，若不存在，請說明理由.

［答案］⑴y=

⑵存在，點Q坐標為(5,甘)或(1,-2)

⑶存在，巫

4

【分析】(1)根據(jù)點C的坐標，tanNC4O=l可求出點A的坐標，運用待定系數(shù)法即可求解；

(2)如圖所示，過點A作AM〃8C交丁軸于點交拋物線于點Q,作M關于x軸的對稱點,作40'

交拋物線于Q',根據(jù)題意分別計算出直線AM,A。'的解析式，根據(jù)直線與拋物線由交點，聯(lián)立方程組求解

即可；

(3)如圖所示，過點P作尸“LAC于過點。作OH'LAC于"，交丁軸于點P,根據(jù)點AC的坐標

可得AAOC是等腰直角三角形，由此可得是等腰直角三角形，可得"PC=PH,當尸運動

2

到P，，H和H'重合時，變尸C+尸。的值最小，最小值是"T,根據(jù)拋物線的特點可得點。的坐標，由此

2

可求出AD的長，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】⑴解:0C(O,-2),

0OC=2,

團tanZ.CAO=1,

OC?

回一二1,

OA

0OA=2,A(—2,0),將A(—2,0),8(3,0),C(0,—2)代入,=?N+區(qū)+4々：/：?！?

1

(2=—

'4a-2b+c=Q3

<9a+3b+c=0,解得，"=T，

c=—2c

ic=-2

回拋物線的解析式為：y=|x2-1x-2.

(2)解:存在一點Q,使得NBAQ=NABC,理由如下：

如圖所示，過點A作AM〃3C交y軸于點M,交拋物線于點。，作M關于無軸的對稱點,作聞，交拋

物線于?！?，

BAM//BC,

^ZQAB=ZABC,即點。是滿足題意的點，

團5(3,0),C(0,-2),

2

團直線3c的解析式為：y=-x-2,

設直線AM的解析式為：y=^x+m,將A(—2,0)代入得：0=§x(—2)+機,

回根=一,

3

回直線A"的解析式為：y=|x+1,

f24

=-x+一

直線A"與拋物線聯(lián)立方程組得

y=—x2——x-

V33

[x=-2尤=5

解得，｛.（與A重合，舍去）或〈14,

[y=°y=—

IBM、AT關于x軸對稱，

2

回直線BC的解析式為：＞=§x-2,

0ZQ'AB=ZQAB=ZABC,M

回2'是滿足題意的點，

設直線A。'的解析式為：y=kx-4^,將4—2,0）代入得：一2左一34=0,

一3

24

團直線A。'的解析式為：y=

直線AQ'與拋物線聯(lián)立方程組得

解得,（與A重合，舍去）或

02(1,-2),

綜上所述,點。坐標為5,

（3）解：在y軸上存在一個點尸，使變PC+PD的值最小，理由如下:

如圖所示，過點尸作尸HJ_AC于過點。作DHUAC于交》軸于點P，

*，4

回A(—2,0),C(0,—2),則OA=OC=2,

團AAOC是等腰直角三角形

團NOC4=45。=NOAC,

0APCH是等腰直角三角形，

^\PH=—PC,

2

團變尸C+尸。最小即是7W+PD最小，

2

團當尸運動到P,”和〃'重合時，走PC+尸。的值最小，最小值是。

2

0ZtMC=45°,DHUAC,

回△皿r是等腰直角三角形，

亞

^\DHr=—AD,

2

回A(—2,0),嗚，o)，

0AD=-,

2

回￡>"'=逑，即走PC+PD的最小值為處.

424

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與幾何圖形的綜合，掌握待定系數(shù)法解二次函數(shù)解析式，幾何圖形的變換

特點，一次函數(shù)與二次函數(shù)聯(lián)立方程組求解，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識的綜合運用是解題的關

鍵.

2.(2023?山東濟南?統(tǒng)考三模)如圖1,拋物線y=-尤2+bx+c與無軸交于A,8兩點，與y軸交于點C,已

知點A的橫坐標為-1,點C的縱坐標為3.

⑴求該拋物線的解析式，并寫出其對稱軸；

⑵設點P是拋物線對稱軸第一象限部分上一點，連接R4,將線段9繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90。，點A的對應

點、為D,若點。恰好落在該拋物線上，求點尸的坐標；

(3)如圖2,連接CB,若點。是直線上方拋物線上一點，點/為了軸上一點，當△QBC面積最大時，求

QM+—OM的最小值.

2

【答案】⑴y=3+2尤+3,直線x=l

⑵(LD或(1,一2)

"1血

8

【分析】(1)將AT，。)，C(0,3)代入拋物線即可得出拋物線的解析式，利用對稱軸的公式可得出對稱軸直

線解析式；

(2)設對稱軸直線x=l交x軸于點E,作于點由此得出△APE/APCF(AAS),設點尸(1,機)，

可表達點D的坐標；再根據(jù)點尸的位置進行分情況討論；

(3)過點。作QGLA2于點G,交BC于點H,根據(jù)△QBC的面積最大時可得點。的坐標，作I/OC=45。，

過點M作MVLQJ于點N,過點。作于K交，軸于點/,。尺，'軸于點尺，由此可得=,

2

即的最小值為QK,再求出QK的最值即可.

【詳解】(1)解：由題意可得，點A的坐標為(-1,0),點C的坐標為(0,3),

將A(-l,0),C(0,3)代入拋物線y=-^+bx+c,

f-l-/?+c=0仿=2

???2，解得2，

[c=3[c=3

拋物線的解析式為：y=-f+2x+3；

2

?二其對稱軸為直線％=一0“八，即X=1;

(2)設對稱軸直線x=l交x軸于點E,作。尸_LPE于尸,

\

事;

F

用

產(chǎn)

二

圉

E

X

PD,

AP=

可知：

的性質(zhì)

由旋轉(zhuǎn)

90°,

E=

+ZPA

APE

°,Z

PF=90

E+ZC

-,-ZAP

F,

ZCP

AE=

:.ZP

90。,

PFC=

P=Z

又ZAE

,

AS)

FCA

APC