蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)常見幾何模型解讀與提分訓(xùn)練：圓中的重要模型-圓中的外接圓和內(nèi)切圓模型（原卷版）

專題06圓中的重要模型-圓中的外接圓和內(nèi)切圓模型

模型1、內(nèi)切圓模型

【模型解讀】

內(nèi)切圓：平面上的多邊形的每條邊都能與其內(nèi)部的一個(gè)圓形相切，該圓就是該多邊形的內(nèi)切圓，這時(shí)稱這

個(gè)多邊形為圓外切多邊形。它亦是該多邊形內(nèi)部最大的圓形。內(nèi)切圓的圓心被稱為該多邊形的內(nèi)心。

三角形內(nèi)切圓圓心：在三角形中，三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)是內(nèi)切圓的圓心，圓心到三角形各個(gè)邊的垂線

段相等。正多邊形必然有內(nèi)切圓，而且其內(nèi)切圓的圓心和外接圓的圓心重合，都在正多邊形的中心。

【常見模型及結(jié)論】

1）三角形的內(nèi)切圓模型

條件:如圖1,。。為三角形ABC的內(nèi)切圓（即。為三角形ABC的內(nèi)心），。。的半徑為八

條件：如圖2,。。為放AABC的內(nèi)切圓（即。為三角形ABC的內(nèi)心）,。。的半徑為八

結(jié)論：①點(diǎn)。到三角形ABC的三邊距離相等；@ZBOC=90°+-ZBAC；③片處土生二竺；

22

3）四邊形的內(nèi)切圓模型

條件：如圖3,。。是四邊形ABC。的內(nèi)切圓。結(jié)論：AB+CD=AD+BCo

例1.（2023秋?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知圓。是AABC的內(nèi)切圓，且NA=70。，則/30C的度數(shù)

是（）

A

O

BC

A.140°B.135°C.125°D.110°

例2.（2023春?上海?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在0ABe中，她=50。，團(tuán)。截a48c的三邊所得的弦長相等,

則OBOC=（）

例3.（2023秋?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題：

"今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？"其意思是"今有直角三角形，勾（短直角邊）長為八步，股

（長直角邊）長為十五步，問該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）直徑是多少？"此問題中，該內(nèi)切圓的

例4.（2023?湖北武漢?九年級(jí)期中）《數(shù)書九章》是我國南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，書中提出了已

知三角形三邊a,b,c求面積的公式S=.若三角形的三邊°,。分別為7,6,

3,則這個(gè)三角形內(nèi)切圓的半徑是（）

A逐R6「MnTio

4224

例5.（2023?江蘇南京?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，AB.BC、CD、都是回。的切線，已知AO=2,BC

=5,則A5+CD的值是

A

?O

B

A.14B.12C.9D.7

例6.（2023春?江蘇宿遷?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖O。是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別是。，E,F,其中

AB=6,BC=9,AC=11,若MN與。O相切與G點(diǎn)，與AC,相交于M,N點(diǎn),貝LCVW的周長等

例7.（2023?黑龍江雞西??？既＃┤鐖D，在直角坐標(biāo)系中，一直線/經(jīng)過點(diǎn)M（6,1）,與x軸、y軸分別

交于A、B兩點(diǎn)，且=若。。1是AABO的內(nèi)切圓，0Q與。。1、/、V軸分別相切，。。3與。。?、

I、》軸分別相切，……按此規(guī)律，貝1」。。2023的半徑3=

例8.（2023?江蘇無錫?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，AABC中，AB=8,AC=6,ZA=90°,點(diǎn)。在AABC內(nèi),

且DB平分/ABC,0c平分NACB,過點(diǎn)O作直線「2,分別交A3、AC于點(diǎn)P、Q,若AAPQ與AABC

相似，則線段P。的長為（）

-35

C.5或7-D.6

6

模型2、多邊形的外接圓模型

【模型解讀】

外接圓：與多邊形各頂點(diǎn)都相交的圓叫做多邊形的外接圓，通常是針對(duì)一個(gè)凸多邊形來說的，如三角形,

若一個(gè)圓恰好過三個(gè)頂點(diǎn)，這個(gè)圓就叫作三角形的外接圓，此時(shí)圓正好把三角形包圍。

三角形外接圓圓心：即做三角形三條邊的垂直平分線（兩條也可，兩線相交確定一點(diǎn)）。

【常見模型及結(jié)論】

1）三角形的外接圓模型

條件：如圖1,。。為三角形ABC的外接圓（即。為三角形ABC的外心）。

結(jié)論：?OA=OB=OC；②ZBOC=2ZBAC。

2）等邊三角形的外接圓模型

條件：如圖2,點(diǎn)P為等邊三角形A8C外接圓劣弧上一點(diǎn)。

結(jié)論：①/BPC=120。，PM平分NBPC；②M=PB+PC；（3）-=-+—；

PMPBPC

3）四邊形的外接圓模型

條件：如圖3,四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形。

結(jié)論：①NABC+/4DC=180°；ZS4D+ZDCB=180°；②ZDAB=ZDCE。

例1.（2023春?湖北九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在EL48C中，回BOC=140。，/是內(nèi)心，。是外心，則副/C=（

度

A.70B.135C.55D.125

例2.（2023?山東聊城?統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)。是AABC外接圓的圓心，點(diǎn)/是AABC的內(nèi)心，連接。8,

IA.若/C47=35。，則NO3C的度數(shù)為（）

A.15°B.17.5°C.20°D.25°

例3.（2023?江蘇無錫?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知等腰0ABe中，AB=AC=W,BC=16,則它的外接圓半

徑R=，內(nèi)切圓半徑廠=.

例4.（2023?江蘇泰州?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在Rt^ABC中,NC=90。，AC=8,BC=6,點(diǎn)M,N分

別是AABC的內(nèi)心和外心，則=

例5.（2022秋,吉林白山?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在AABC中,AB=AC,以AB為直徑的半圓。分別交

BC,AC于點(diǎn)。，E,連接EB,OD,DE.⑴求證：OD±EB.(2)若=AB=10,求AE的長.

BDC

例6.（2023湖北武漢九年級(jí)上期中）如圖，點(diǎn)A、P、B、C為回。上四點(diǎn)，0APC=ECPB=60°.

（1）判斷EA5C形狀并證明；（2）將EAPB繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至團(tuán)CM2,請(qǐng)畫出圖形，直接寫出B4,P8,

PC三者之間的數(shù)量關(guān)系

例7.（2023重慶九年級(jí)上期中）如圖，A,P,B,C是回。上的四個(gè)點(diǎn)，0APC=0BPC=6O°,過點(diǎn)A作回。的切

線交BP的延長線于點(diǎn)D.（1）求證：0ADP00BDA；（2）試探究線段PA,PB,PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明

你的結(jié)論；（3）若AD=2,PD=1,求線段BC的長.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2023秋?河北保定?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在AABC中，點(diǎn)/為三角形的內(nèi)心，若/A為50。，則NB/C

的度數(shù)為（）

A.65°B.70°C.115°D.125°

2.（2023春?廣東九年級(jí)期中）圓。內(nèi)切于三角形ABC,在斜邊AB上的切點(diǎn)為。，AD=6,BD=4,則

內(nèi)切圓的半徑為（）

A.2B.3C.4D.5

3.（2023秋?綿陽市九年級(jí)期中）如圖，在RtZVLBC中，ZC=90°,AABC的內(nèi)切圓。。與AB、BC、CA分

別相切于點(diǎn)￡＞、E、F,若。。的半徑為2,ADDB=24,貝UA3的長（）

A.11B.10C.9D.8

4.（2023春?江蘇九年級(jí)期中）如圖，AABC的內(nèi)切圓回。與8C,CA,A8分別相切于點(diǎn)。，E,F,已知融。

的周長為36.AB=9,3C=14,則4尸的長為（）

A.4B.5C.9D.13

5.（2023?江蘇?九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，不等邊AABC內(nèi)接于。。，/是其內(nèi)心，BILOI,AC=14,BC=13,

△ABC內(nèi)切圓半徑為（）

75

A.4B.-72C.-A/3D.373

6.（2023?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）圖，是0ABe的外接圓，點(diǎn)/是0ABe內(nèi)心，連接A/并延長交回。于點(diǎn)

AT

D,若A8=9,BC=14,CA=13,則一的值是（）

AD

7.（2023?黑龍江?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）中，她=80。，點(diǎn)M是AA8C的外心，點(diǎn)N是AA8C的內(nèi)心，連接

BM,CM,BN,CN,則國BMC與I3BNC的差為（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

8.（2023?山東聊城?九年級(jí)校聯(lián)考期中）等邊三角形的內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑的比是（）

A.1：0B.2：1C.1：73D.102

9.（2023?山東棗莊?九年級(jí)?？甲灾髡猩┤鐖D，AABC中，內(nèi)切圓。和邊BC、C4、A3分別相切于點(diǎn)。、

E、F,則以下四個(gè)結(jié)論中，錯(cuò)誤的結(jié)論是（）

111

A.點(diǎn)。是ADEF的外心B.ZAFE=-(ZB+ZC)C.ZBOC=90°+-ZAD.ZDFE=90°--ZB

10.（2023?江蘇九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)E是0A8C的內(nèi)心，AE的延長線和0ABe的外接圓相交于點(diǎn)，

連接8D,CE,若回CBD=32。，則aBEC的大小為（）

A.64°B.120°C.122°D.128°

11.（2022秋?山東濰坊?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)/為AABC的內(nèi)切圓的圓心，連接也并延長交"RC的

外接圓于點(diǎn)。，連接AD,AI,若BD=7,AD=5,則&的長為（）.

A.1B.2C.2.5D.3.5

12.（2023春?江蘇九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）用尺規(guī)作某種六邊形的方法，其步驟是：如圖，①在。。上任取一點(diǎn)

A,連接40并延長交。。于點(diǎn)&②以點(diǎn)8為圓心，80為半徑作圓弧分別交。。于C,。兩點(diǎn)；③連接CO,

。。并延長分別交。。于點(diǎn)E,F；④順次連接8C,CF,FA,AE,ED,DB,得到六邊形AFCSDE.連

接AD,EF,交于點(diǎn)G,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A."OE的內(nèi)心與外心都是點(diǎn)GB.ZFGA=ZFOA

C.點(diǎn)G是線段收的三等分點(diǎn)D.EF=42AF

13.（2023?廣東廣州??？级＃┤鐖D，AB是O。的弦，點(diǎn)C是A8上一點(diǎn)，與點(diǎn)。關(guān)于A3對(duì)稱，直線AO

交O。于點(diǎn)E,BD交于點(diǎn)F,直線8交。。于點(diǎn)G,且連接EE給出下面四個(gè)結(jié)論：①CDLAB；

②C。平分A3；③CG平分/FCE；④點(diǎn)。為△CEF的內(nèi)心.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是

C

14.（2023?貴州遵義?統(tǒng)考二模）已知AABC內(nèi)接于。。，它的內(nèi)心為點(diǎn)。，連接AD交弦8C于點(diǎn)E,交。O

于點(diǎn)E已知3E=5,CE=4,EF=3,則線段DE的長為.

F

15.（2023?湖北武漢?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,0）,以。點(diǎn)為圓心，以。2為半徑的

圓交y軸于點(diǎn)4點(diǎn)C為第一象限內(nèi)圓上一動(dòng)點(diǎn),8取軸于。點(diǎn)，點(diǎn)/為回。C。的內(nèi)心，則A/的最小值為.

16.（2022秋?江蘇泰州?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=8,3c=6,點(diǎn)M,N

分別是AABC的內(nèi)心和外心，則MN=.

17.（2023,北京?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在0ABe中，0BAC=8O°,0C=6O°,若點(diǎn)。為0ABe的外心，則0Aoe

的度數(shù)是;若點(diǎn)P為0ABe的內(nèi)心，則助尸C的度數(shù)是.

18.（2023?山東泰安?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)/和。分別是a48c的內(nèi)心和外心，若&4力=125。，則0AO8

的度數(shù)為.

19.（2023?山東濰坊?統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)N為"RC的內(nèi)心，連接BN,CN.分別以A,C為圓心，，以大

于;AC的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)02,作直線002,交BC的垂直平分線于點(diǎn)連接CM,

若/BMC=152。，則N7V=°.

20.（2023?江蘇南通?九年級(jí)統(tǒng)考期中）直角三角形的外接圓半徑是3,內(nèi)切圓半徑是1,則該直角三角形的

周長為.

21.（2023浙江年級(jí)上期中）在AABC中，EIC=90。,AC=12cm,BC=5cm,則它的外接圓半徑R=cm,

內(nèi)切圓半徑r=cm.

22.（2023?江蘇南京?統(tǒng)考二模）如圖，正方形A3CD的邊長是4cm,E是CO邊的中點(diǎn).將該正方形沿BE折

疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處.。。分別與AB,AD,3C'相切，切點(diǎn)分別為尸，G,H,則。。的半徑為cm.

23.（2023?江蘇?九年級(jí)假期作業(yè)）如圖AABC內(nèi)接于OO,—3=60。，。是O。的直徑，點(diǎn)P是CZ）延長線

上一點(diǎn)，且AP=AC,PD=3.⑴求證：是。。的切線；（2）求。。的直徑；⑶當(dāng)點(diǎn)8在CD下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，

直接寫出AABC內(nèi)心的運(yùn)動(dòng)路線長是

24.（2023?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)E是AABC的內(nèi)心，AE的延長線和AA8C的外接圓相交于點(diǎn)。,

連接BE,（1）若回C8￡）=34。,求SBEC的度數(shù)；（2）求證：DE=DB.

25.（2023?北京?校考三模）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：

萊昂哈德?歐拉（LeonhardEider）是瑞士數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)上經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定

理，下面是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個(gè)定理：在AABC中，R和r分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其外

下面是該定理的證明過程（借助了第（2）問的結(jié)論）：

延長AI交回0于點(diǎn)D,過點(diǎn)I作回O的直徑MN,連接DM,AN.

00D=0N,00DMI=0NAI（同弧所對(duì)的圓周角相等），

00MDI00ANI.0?=—,0IA-ID=1MIN?

IAINJ

如圖②，在圖1（隱去MD,AN）的基礎(chǔ)上作團(tuán)0的直徑DE,連接BE,BD,Bl,IF

0DE是回0的直徑，00DBE=9O°.

ffll與AB相切于點(diǎn)F,00AFI=9O°,

00DBE=0IFA.

EBBAD=EIE（同弧所對(duì)圓周角相等），

00AIF00EDB.

0—=—,@IA-BD=DETF②,

DEBD

由（2）知：BD=ID,

?IATD=DETF

龍DE」F=IM」N,

02Rr=（R+d）（R-d）,

^\R2-d2=2Rr

Eld2=R2-2Rr

任務(wù)：（1）觀察發(fā)現(xiàn)：lM=R+d,W=_（用含R,d的代數(shù)式表示）；

（2）請(qǐng)判斷BD和ID的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.（請(qǐng)利用圖1證明）.（3）應(yīng)用：若AABC的外接圓的半

徑為6cm,內(nèi)切圓的半徑為2cm,則AABC的外心與內(nèi)心之間的距離為cm.

26.（2023江蘇九年級(jí)上期末）如圖，EIABC中，A、B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0,8）,B（-6,0）,C（15,

0）.若回ABC內(nèi)心為D,求點(diǎn)D的坐標(biāo).

27.（2023春?福建泉州?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，己知在AABC中.

（1）請(qǐng)用圓規(guī)和直尺作出AABC的內(nèi)切圓團(tuán)尸：（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）若回產(chǎn)與AB、BC、AC分別相切于點(diǎn)。、E、F,且AD=1,AABC的周長為12,求BC的長.

28.（2023春?安徽?九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在AABC中，AB=AC,以AB為直徑的國O分別交BC,AC于點(diǎn)D,

E,連結(jié)EB,交OD于點(diǎn)F.（1）求證：ODI3BE；（2）若DE=Ji。，AB=10,求AE的長；

（3）若ACDE的面積是AOBF面積的，，求的值.

6AC

29.（2023江蘇鹽城九年級(jí)期中）（1）如圖1所示，等邊三角形43c內(nèi)接于圓。，點(diǎn)尸是劣弧BC上任意一

點(diǎn)（不與C重合），連接上4、PB、PC,求證：PB+PC^PA.

⑵［初步探索］小明同學(xué)思考如下：將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到AAQB,使點(diǎn)C與點(diǎn)8重合，可得尸、

5、。三點(diǎn)在同一直線上，進(jìn)而可以證明△APQ為等邊三角形，根據(jù)提示，解答下列問題：根據(jù)小明的思

路，請(qǐng)你完成證明.若圓的半徑為4,則P3+PC的最大值為.

（3）類比遷移：如圖2所示，等腰Rt^ABC內(nèi)接于圓。，/A4C=90。，點(diǎn)尸是弧BC上任一點(diǎn)（不與8、

C重合），連接叢、PB、PC,若圓的半徑為4,試求APBC周長的最大