集合和常用邏輯用語（練習）-2025年北京高考數(shù)學二輪復習（解析版）

專題01集合和常用邏輯用語

目錄

01模擬基礎練.......................................................2

題型一：集合的基本概念..............................................2

題型二：集合間的基本關系............................................4

題型三：集合的運算..................................................7

題型四：充分條件與必要條件..........................................9

題型五：全稱量詞與存在量詞.........................................12

題型六：以集合為載體的創(chuàng)新題.......................................14

02重難創(chuàng)新練......................................................22

題型一：集合的基本概念

1.下列五個關系式中正確的個數(shù)為（）

①{a,6}={6,a}；②如耳廢也⑷；③{。}=0；?0c{O};⑤0e{0}.

A.3B.5C.4D.2

【答案】C

【詳解】因為集合中的元素具有無序性，所以{。力}=伽。},故①正確；

因為ae{仇a}且{瓦a},所以{a,8}={/?,a},故②正確;

因為空集是不含任何元素的集合，所以{0}工0,故③錯誤；

因為空集是任意非空集合的真子集，所以0?{。},故④正確；

因為集合{0}中有一個元素0,所以0e{0},故⑤正確；

故選：C.

2.已知集合4={0-2,儲+4d12},且—3eA,貝匹等于（）

A.-3或一1B.-1C.-3D.3

【答案】C

【詳解】當。-2=-3時，得a=-l.此時4+4。=1-4=-3.止匕時集合4={-3,-3,12}.

因為不滿足集合元素的互異性，所以不符合題意，舍去.

當a2+4a=-3時，解方程/+4a+3=0,即（a+l）（a+3）=0,可得a=—1或a=—3.

若a=—1,則a-2=-3,此時集合A={-3,—3,12}.

不滿足集合元素的互異性，所以不符合題意，舍去.

若。=-3,則”-2=-5,此時集合4={-5,-3,12}.符合集合元素的互異性.

故選：C.

3.已知全集。={了€邪46}且4={尤2V5},則集合物中的元素有（）

A.2個B.4個C.5個D.7個

【答案】B

【詳解】依題意，U={0,123,4,5,6},解不等式像45,得-#4x4下,則4={0,1,2},

所以e4={3,4,5,6},集合年A中的元素有4個.

故選：B

4.設集合A={(羽y)|尤一yNl,/x+y>3,x-ayV2},貝5|()

A.對任意實數(shù)a,(2,1)eAB.對任意實數(shù)a,(2,1)eA

C.當且僅當。>1時，(2,l)eAD.當且僅當a<0時，(2,1)eA

【答案】C

【詳解】對A,若。=一2,則A={(尤,y)|x-yNl,4x+y>3,無+2y42},

將(2,1)代入不全部滿足，此時可知(2,1)eA,故A錯誤；

對B,當a=2時，則A={(無,y)|x-yNl,4x+y>3,龍-2yW2},

將(21)代入全部滿足，此時可知(2,l)eA,故B錯誤；

2-2

對C,若(2,1)EA,2/+1>3,解之可得a>l,所以C正確；

2-1>1

對D,當a=g,則A=1(x,y)|x-yNl,：+y>3/-^W2),將(2,1)代入不全滿足，

所以(2,1)e4,故D錯誤.

故選：C

5.已知集合4=卜€(wěn)2卜14%<2},則下列說法正確的是()

A.0=AB.0gAC.3eAD.-IeA

【答案】D

【詳解】由于元素與集合的關系是屬于或不屬于，不是包含關系，故A錯誤；

因為A={XWZ|-IVX<2}={_1,0」},

所以BC錯誤，D正確.

故選:D

6.下列表示正確的個數(shù)是()

2x+y=10

(1)020；(2)0c{1,2}；(3)(x,y)={3,4}；(4)若A=3,則=(5){0}e{0,1,2}.

3x-y=5

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【詳解】空集中不含任何元素，故（1）正確；空集是任何集合的子集，故（2）正確;

2x+y=10，.x=3所以卜E2x+y=10

由y=4,={(3,4)},故⑶錯誤;

3x-y=5倚3x-y=5

若4=3,即集合A是集合B的子集，則An2=A，故（4）正確;

兩個集合間的關系不能用e符號，故（5）錯誤.

故選：C.

7.已知集合4=x\mx2-2x+3=0,meR^,若A中恰有2個元素，則機的取值范圍是（）

A.y,o)5。1)B.{0}

c.(-?,o)u(o,1]D.(-oo,；)

【答案】A

【詳解】由集合A中恰有2個元素，得方程皿2一2x+3=0有兩個不相等的實數(shù)根,

mwO1

因此A=4-12m>0-解得〃有且〃件°，

所以加的取值范圍是（-8,。）口（。,；）.

故選：A

題型二：集合間的基本關系

8.設集合A={《a2=1,則不正確的是（）

A.—IGAB.{1}=AC.0GAD.{-1,1}cA

【答案】B

【詳解】r=a\a2=1}={1,-1},顯然A正確；B不正確;

因為0是任何集合的子集；任何集合都是它本身的子集，故c、D正確;

故選：B.

9.設集合A=2-8X+15=0},集合8={可依-1=0},若BIA=B,則實數(shù)。取值集合的真子集的個數(shù)

為（）

A.2B.3C.7D.8

【答案】C

【詳解】A={X|X2-8X+15=0}={3,5},

因為3G4,

當3=0時，<2=0,

當3/0時，即時，令依-1=0,解得了=—,

a

1111

則一=3或一=5,則對應實數(shù)。的值為不工，

aa35

則實數(shù)a組成的集合的元素有3個，

所以實數(shù)a組成的集合的真子集個數(shù)有筋-1=7,

故選：C.

10.已知集合A={小2,B=|x|-l<x<l},則（）

A.ABB.BAC.A=BD.4八5=0

【答案】B

【詳解】因為4=卜,2_彳_2<0}=卜卜1<尤<2},B={x|-l<x<l）,

所以3A.

故選：B.

11.若全集U={1,2,3,4,5}且2A={2,3},則集合A的真子集的個數(shù)為（）

A.3B.6C.7D.8

【答案】C

【詳解】:全集。=口，2,3,4,5}且64={2,3},

/.A={1,4,5）,

由于集合A中有3個元素，故集合A的真子集共有23-1=7個.

故選：C.

12.已知集合M=|『尤=〃2+，,7〃€Z1,N=\x\x=---,n&Z>,P=<x\x=—+—,p&

Z》,則M、N、P

的關系滿足（）

A.M=N=PB.M^N=PC.MqNqPD.NJPJM

【答案】B

［詳解】N={#="|_g,"ez1^N=bk=\^,〃cZ

故尸=(x卜=SyL/eZ

由于尸=>XX=-H---,〃WZ

II26".

由于〃，。為任意整數(shù)，故加二=3（〃-1）+1=空1,因此N=P,

666

M—\j(\x=m+—3-(2m)+l

meZ>=<xx=mGZ>,

\I66

故MP,所以MN=P,故選：B.

13.已知a版/R,若集合卜。=一"o},貝卜的十產(chǎn)4的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

b

【詳解】根據(jù)題意。力0,故2=0,則b=0,

a

故{a,0,1}={4。4,0},貝1]。2=1,即。=±1,

當。=1時，與集合的互異性相矛盾，故舍去，

當a=-L,>=0時，{一1,0,1}={1,-1,0},符合題意，

所以產(chǎn)+產(chǎn)=1,

故選：C.

14.設集合M={x|x=g,Aez],N=[x\x=k7i+^,k&7^,貝I]〃、N的關系是（）

A.M=NB.M=NC.McN=0D.M

【答案】D

.、、，，f（kit1f5兀c3兀兀八兀371c5兀i

[詳解]因為=k=,…,,-7i,--,0,—,7i,--,2K,->,

（乙??乙乙乙乙乙乙?

f..兀77]f5兀3兀兀兀3兀5兀7兀]

[2J[2222222J

所以MqN,McN=N.

故選：D

題型三：集合的運算

15.已知集合4={-2,TO},B={-1,1,2},則AU3=()

A.{—1}B.{-2,2}C.{-2,—1,0,2}D.{-2,—1,0,1,2}

【答案】D

【詳解】AUB=(-1,-2,0,1,2}

故選：D

16.設集合M={x|-l<x<l},N={x[04a<3},則()

A.{x|-l<x<3}B.{x|O<x<l}C.{x[O<x<l}D.{x|-l<x<0}

【答案】B

【詳解】根據(jù)交集的概念和運算可得A/nN={x[O<x<l},

故選：B.

17.已知集合4=卜|彳一2<0},8={吊必+2彳一3<0},則集合AU^=()

A.(-1,2]B.(—3,1)

C.(-oo,2]D.~,3]

【答案】C

【詳解】由x-2W0=>尤V2,所以A=(YO,2].

由Y+2X-3<0=>(-^+3)(X-1)<0=>-3<x<l,所以8=(-3,1).

所以AU3=(YO,2].

故選：C

18.已知集合/={xeN|l〈xW18},集合A,B,C滿足：①每個集合恰有6個元素②AU8UC=A/,集合

P中元素最大值與最小值之和稱為P的特征數(shù)，記作X(P).則X(A)+X(8)+X(C)的最大值與最小值之和

().

A.116B.132C.126D.114

【答案】D

【詳解】因為A,氏C滿足:①每個集合都恰有6個元素；②AUBUC=M,

所以A,民C一定各包含6個不同數(shù)值，

集合A,民C中元素的最小值分別是1,2,3,最大值是18,13,8,

特征數(shù)的和X(A)+X(8)+X(C)最小，如：A={1,14,15,16,17,18},特征數(shù)為X(A)=19；

3={2,9,10,11,12,13},特征數(shù)為X(3)=15；

C={3,4,5,6,7,8},特征數(shù)為X(C)=H；

則X(A)+X(B)+X(C)最小，最小值為19+15+11=45；

當集合A,民C中元素的最小值分別是1,6,11,最大值是18,17,16時，

特征數(shù)的和X(A)+X(B)+X(C)最大，

如：4={1,2,3,4,5,18},特征數(shù)為X(A)=19；

B={6,7,8,9,10,17},特征數(shù)為X(3)=23；

C={11,12,13,14,15,16},特征數(shù)為X(C)=27；

則X(A)+X(3)+X(C)最大，最大值為19+23+27=69,

故X(A)+X(8)+X(C)的最大值與最小值的和為45+69=114.

故選：D.

19.已知集合尸={小+220},e={x|x-l<0},則尸CQ=()

A.{x|-2<x<l}B.{x|-2<xVl}

C.{x\x>-2}D.R

【答案】A

【詳解】由已知可得尸={小12},e={x|x<l},

所以PcQ={R-2<尤<1}.

故選：A.

20.已知全集。=此4={%|—2W%W3},B={X[%<—1或%>4},則集合4口&3=()

A.{x|—2W%<—“B.[x\-l<x<3}C.{xlx<3^x>4}

D.{x\-2<x<4}

【答案】B

【詳解】因為全集。=艮4=口|一24》43},8={幻》<-1或》>4},

則63={x|-14x44},所以an@3）={x|-1VXM3}.

故選：B.

21.已知集合A={0,L2},B={-2,-1,1,2},則AUB=（）

A.{-2-1,0,1,2}B.{-2,-1,1,2}

C.{-2,-1,0,1}D.{-2,0,1,2}

【答案】A

【詳解】由于集合&={0,1,2},B={-2,-1,1,2},

所以Au8={-2,-1,0,1,2},

故選：A.

題型四：充分條件與必要條件

22.“彳-1=0”是i=o”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】由彳-1=。解得x=l；

由--1=o解得x=±1；

所以“x-1=0”是“x2-l=0”的充分不必要條件.

故選：A

23.已知/（力=/一3彳，貝『飛+馬=0”是“/（石）+/（9）=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】因為〃x）=x3—3x,所以〃一%）=一/+3彳，

故-〃X）=〃T），即“X）是奇函數(shù)，

若玉+馬=0,可得玉=一馬，故/（再）=/（一尤2）=-/（X），

可得〃藥)+/(%)=°，故充分性成立，

令石=0,%=石，此時滿足/(%)+/(々)=0,

但不滿足%+工2=。，故必要性不成立，故A正確.

故選：A

24.已知直線相，”，平面口,〃?//〃，相仁打,那么“"〃直‘是"zn〃以"的()

A.充分必要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【詳解】當〃//a時，由于根〃〃，加仁可以得到〃〃/6z,充分性成立，

但加//?不能推出〃//a,因為可能在a內(nèi)，必要性不成立.

故選：C

25.設。，6是實數(shù)，則“口>621”是+；的()

ab

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

［詳解］當Q>621時，++=〃_匕+［_(］=(〃

則a—Z?>0,1——>0,故(a—|>0,^fla+—>b+—.

ab\abJab

i^a>b>l”是“a+->b+^的充分條件；

ab

當〃+!>/?+1時有［a=〉0,

ab\a)\b)\abJ

故當時，>0,即ab<0或

ab

當avZ?時，——-<0,即0vaZ?v1.

ab

故七>"N1”不是的必要條件；

ab

綜上有“。>處1”是“。!。的充分不必要條件.

ab

故選：A

26.設集合A的最大元素為M,最小元素為加，記A的特征值為XA="-/〃，若集合中只有一個元素，規(guī)

定其特征值為o.己知A，4，A，4是集合N*的元素個數(shù)均不相同的非空真子集，且

XA+X4+X&+…+X4=6。，則〃的最大值為（）

A.10B.11C.12D.13

【答案】B

【詳解】由題設4，4，4,4中都至少有一個元素，且元素個數(shù)互不相同，

要使〃最大，則各集合中-相（77eN*）盡量小，

所以集合4，4，4的元素個數(shù)盡量少且數(shù)值盡可能連續(xù)，

所以，不妨設有X&+XJXJ…+x「鋁’

當〃=11時，X&+Xa+X&+…+X%=55<60,

當〃=12時，X&+X&+X&+…+X4=66>6°,

只需在〃=11時，在上述特征值取最小情況下，使其中一個集合的特征值增加5即可，故〃的最大值為11.

故選：B

27.已知直線/：x+2y+t=0,曲線C：丫=而"，則"/與C相切”是“r=2君”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【詳解】易知曲線C：丁=4二7可化為f+y2=4（yN0）,表示圓心為（0,0）,半徑廠=2的上半圓；

易知直線x+2y+/=0可化為y—，

當t=2若時，圓心（0,0）至I］直線x+2y+275=0的距離為d=J^L=2=r,

71+4

此時/與下半圓相切，如下圖所示，不合題意，即必要性不成立；

Idl、

若/與C相切，可知"=工^=，=2，解得/=2q或，=-2有；

檢驗可知只有當"-2百時，直線/與C相切，即可得七一2百，所以充分性不成立;

所以“/與C相切”是“t=2百”的既不充分也不必要條件.

故選：D

X+]

28.已知xeR,貝l]“一lWx42”是“---40”的()

x-2

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】立解得：_1—<2,

x-2-2w0

集合同一1?%<2}同一1<x<2},

Y-U1

所以“-14xW2”是“^-<0”的必要不充分條件.

x-2

故選：B

題型五：全稱量詞與存在量詞

29.命題“心€2,|回>0”的否定是()

A.Vx^Z,|x|>0B.VXGZ,|X|<0

C.3x^Z,|x|>0D.3XGZ,|X|<0

【答案】D

【詳解】命題“VxeZ,|’|>0"的否定為：^eZ,|%|<0.

故選：D

2x

30.記命題P：3x<l,X<2,貝!）力為（）

A.3%>1,X2>2XB.Vx>l,X2>2X

C.Vx<l,X2>2XD.3x<l,X2>2X

【答案】C

【詳解】由命題P：玉<1,%2<2%,

可知M：Vx<l,x2>2S

故選：C.

31.命題“VXER,/+IK0"的否定是()

A.,x3-x2+1>0B.BXGR,x3-x2+l>0

C.3XGR,%3-%2+l>0D.VXER,X3-X2+1>0

【答案】B

【詳解】由全稱命題的否定是特稱命題，則原命題的否定為3XER,%3-X2+1>0.

故選：B

32.已知命題P：3x0GR,%；+2元0+。W。是假命題，則實數(shù)〃的取值范圍是()

A.(-co,l]B.[l,+oo)C.(-oo,l)D.(l,+oo)

【答案】D

【詳解】由于“玉：O￡R,%；+2%o+?！丁！睘榧倜}，

故其否定為“VXER,爐+2%+〃>o”為真命題，

則△=4—4a<0,得a〉1,

故選：D

33.已知命題P：*eR,(m+l)(x2+1)<0,命題/-inx+l>0恒成立.若P和4至多有一個為

真命題，則實數(shù)機的取值范圍為()

A.[2,+00)B.(-1,2]

C.(―oo,—2]U2+co)D.(—°0,—2](—1,+oo)

【答案】D

【詳解】當命題P為真命題，即玉eR,使(祖+D(尤2+1)40成立，得到加+1<0,即機WT,

當命題4為真命題，即對Vx^R,—加；+1>O恒成立，得到A二病—4<0,

即一2<加<2,

人fm<—1

所以當命題P和命題4同時為真命題時，有1,即-2<機4-1,

[一2<m<2

又命題P和命題至多有一個為真命題，所以機<-2或相>-1,

故選：D.

34.若命題“天￡艮％2+如+1<0”為假命題，則實數(shù)小的取值范圍是()

A.(-°°,-2]U[2,+oo)B.(-2,2)

C.（-。,-2）。（2,+8）D.[-2,2]

【答案】D

【詳解】由命題“3xGR,x2+mx+l<0”為假命題，則命題“V%cR,Y+如+1>o”為真命題,

即不等式f+如+1之。在xcR上恒成立，

則滿足A=冽2—4<0,解得一2〈帆<2,即實數(shù)機的取值范圍是[-2,2].

故選：D.

35.命題“V%G[1,2],X2-OX+1<0”為假命題的一個充分不必要條件是.

【答案】?<|（答案不唯?）

【詳解】由題設，Vxe[l,2],a>x+L為假命題，故改41,2],。Vx+1為真命題,

XX

又丫=*+L在XC[1,2]上遞增，則只需即可，

所以，原命題為假命題的一個充分不必要條件是a<|.

故答案為：?<（（答案不唯一）

2

題型六：以集合為載體的創(chuàng)新題

36.設集合S,T,SqN*,TqN*,S,T中至少有兩個元素，且S,T滿足：①對于任意x,yeS,若xwy,

都有孫eT；②對于任意若無<y,則^eS；則集合S可以是（）

X

(1)5={1,2,3}(2)5={1,2,4}(3)S={1,2,4,8}(4)5={2,4,8,16}

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(2)(4)D.(3)(4)

【答案】C

【詳解】對于(1),易知2,3eT,所以應有：eS,矛盾，即(1)錯誤；

AQQ

對于(2),易知2,4,8eT,>-=-=2eS,-=4eS,

242

則可取T={2,4,8}滿足題意，即(2)正確；

對于（3）,易知2,32GT,所以應有]~=16￡S,矛盾，即（3）錯誤;

對于(4),易知8,16,32,64,128GT,且

12864_323=2小反金%=47，三?-S笆=16小

32-168321681688

則可取T={8,16,32,64,128}滿足題意,即（4）正確；

故選：C.

37.設集合S={4，A，4},在S上定義運算十：4十ALA.,其中％為i+j被3除的余數(shù)，i,je{o,l,2},

則使關系式（4十A）十A=4成立的有序數(shù)對億））共有（）

A.0對B.2對C.3對D.4對

【答案】C

【詳解】由定義可知滿足（A十A,）十A=4成立的有序數(shù)對（盯）應保證0+J）除以3的余數(shù)加i后除以3等

于0,

i=O,）=0,（0+0）除以3的余數(shù)是0,（0+0）除以3的余數(shù)是0；

i=0,J=1,（0+1）除以3的余數(shù)是1,。+0）除以3的余數(shù)是1；

1=0"=2,（0+2）除以3的余數(shù)是2,（2+0）除以3的余數(shù)是2；

i=l,/=0,（l+0）除以3的余數(shù)是1,（1+1）除以3的余數(shù)是2；

力=1"=1,。+1）除以3的余數(shù)是2,（2+1）除以3的余數(shù)是0；

，=1,/=2,（1+2）除以3的余數(shù)是0,（0+1）除以3的余數(shù)是1；

，=2,）=0,（2+0）除以3的余數(shù)是2,（2+2）除以3的余數(shù)是1；

i=2J=l,（2+l）除以3的余數(shù)是0,（0+2）除以3的余數(shù)是2；

i=2,/=2,（2+2）除以3的余數(shù)是1,（1+2）除以3的余數(shù)是0；

所以滿足條件的數(shù)對有（0,0）,（U）,（2,2）,共3對，

故選：C.

38.用Card（A）表示非空集合A中的元素的個數(shù)，定義A*3=|Card（A）-Card（B）,若4={-1/},

3=卜］（依2+3x）（/+ax+2）=0},若4*3=1,設實數(shù)°的所有可能取值構成集合S.則Card（S）=（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】B

［詳解］Card（A）=2,要使A*B=|Card（A）_Card（3）|=|2_Card（3）|=1,

則Card（B）=1或Card（B）=3.

當a=0時，B={X|3X（X2+2）=0}={0},滿足Card（B）=L

當〃。0時，首先辦之+3x=x（依+3）=0有兩個不同的解X=0或兀=一一,

其次，對于％2+分+2=0,A=/一8,

當A=。時，a—2A/2或a=—2\/2，

當a-2,\/2日寸，x?+ax+2—+2*\/2x+2=（x+y［^2.）—0,x——yf2,,

此時B=［,,滿足Card（_B）=3.

當々=—2A/^時，/+QX+2=%?—+2=（九一=0,%,

此時B=［后,0,-東卜］逝,0,-竽］,滿足Card（B）=3.

當△<（）,即一20<Q<2后時，f+分+2=0無角軋Card（B）=2不符合題意.

當A>0,即〃<-2后或〃〉2夜時，

/+依+2=0的解為了=一"&W或x=

22

%=0不是％2+改+2=0的角軋

當a=3時，B={09-l,-2},滿足Card（3）=3,

當Q=—3時，6={0,1,2},滿足Card（5）=3,

當4?-8,_3）“_3,-2后卜（20,3）53,+8）時，Card（B）=4,不符合題意.

綜上所述，5={0,2A/2,3,-2"-3},Card（S）=5.

故選：B

39.已知集合S={（尤,y<10,xeN,yeN}.若A=S,且對任意（a,6）eA,（c,d）eA,均有

（c-o）（6?-Z7）>0,則集合A中元素個數(shù)的最大值為（）

A.20B.19C.11D.10

【答案】B

【詳解】

由題知：fto-51={(%,y)|l<x<10,l<y<10,^eN,j；eN|.若A=S,且對任意(a,b)eA,(c,J)eA,均有

(c-o)(c?-Z?)>0,

作如下等價轉化：在符合題意的這些點中怎樣取，保證趨勢不下降的同時取的點最多，

因此集合A中元素個數(shù)最大時元素可以為：

(1,。,(1,2),。,3),...(1,8),(1,91(1,10),(2』0),...(8,10),(9,10),(10,10)共19個,

也可以是(1,1),(2,1),(3」),…(8,1),(9,1),(10,1),(10,2),…(10,8),(10,9),(10,10)共19個，(還有其他取法只要保

證這些點的趨勢不下降即可).

故選：B.

40.設集合^1={(%,程三,三)|%e{0,l},i=l,2,3,4}.對于集合M的子集A,若任取A中兩個不同元素

(*%，/，%)，G，&諂，Z”)，有％+%+%+M=Z1+Zz+Z3+Z4,且％+Z],%+Z2,%+Z3，M+Z4中有且只有一個為

2,則稱A是一個“好子集”.下列結論正確的是()

A.一個“好子集”中最多有3個元素B.一個“好子集”中最多有4個元素

C.一個“好子集”中最多有6個元素D.一個“好子集”中最多有8個元素

【答案】A

【詳解】％+Z],%+Z2,%+Z3，M+Z4中有且只有一個為2,不妨設X=Z]=1,

則為+Z2,為+Z3，y4+Z4三者為1或0,

若%+22，為+23，刃+24三者均為0,則此時A中只有1個元素，即A={(1,0,0,0)},

不合要求，舍去,

若%+馬，%+z3，y4+4三者中有1個0,則4={(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0」)},有3個元素，滿足要求，

若%+Z2,%+Z3，M+Z4三者中有2個0,或沒有0,則此時不滿足X+%+%+y4=Z|+Z2+Z3+Z4，

綜上，一個“好子集”中最多有3個元素.

故選：A

41.己知集合/a{a|a=(x,y),x,yeR},若對于任意,以及任意實數(shù)[0,1],滿足力n+(l-2)〃e/,

則稱集合/為“封閉集”.下列說法正確的是()

A.集合A=[a\a=(x,y),y>x>]為“封閉集”

B.集合B={《a=(x,y),y41nx}為“封閉集”

C.若4門3是“封閉集”，則A,8都是“封閉集”

D.若A,B都是“封閉集”，則AU8也一定是“封閉集”

【答案】B

【詳解】設坑=加，為=兩，OD=^m+(l-^n=A,OM+0.-A)ON,/le[0,l]；

貝l|D5-麗=/1而一時,即可得標=4甌Xe[0,l],則點O在線段MN上，

由題意可得，若對于任意兩，訴e/,線段MN上一點。，都有歷e/,則集合/為“封閉集”，

3x

對于A,集合A={a|a=(x,y),y>x},若對于任意的尸(%，%),Q(x2,力)滿足X之龍;,力^i>則歷，詼eA,

函數(shù)y=V如下圖，顯然線段PQ上任意一點。(三,%)，不一定滿足％上石，

故集合A={a1a=(x,y),yNX5}不為“封閉集，，，即A錯誤;

對于B,若8={a|a=(x,y),yWlnx},對于任意的G(三,為)，,y$)滿足”<124，為《足三,則詬，兩&B,

函數(shù)y=lnx如下圖，顯然線段Gq上任意一點E(%,%),都有為《In%,即次5eB;

故可得集合B={“Ia=(x,y),yWInx}為“封閉集”，即B正確；

對于C,由選項A可知集合4={。1。=(工,丫),〉2/}不是“封閉集”，

根據(jù)對稱性，如圖1可知B={a1a=(x,y),y?-x3}不是“封閉集”，

則AcB表示集合為陰影部分表示的點構成的區(qū)域如圖2,顯然任意的麗麗eAcB,

則線段PQ上任意一點。，都有而eAcB,故AcB是“封閉集”，故C錯誤，

對于D,若A,3都是“封閉集”，不妨取A={a|o=(x,y),y=x},B={a\a=(x,y)^y=-x］；

對于任意的,(K,,Qi("，%')滿足=&'，%'="，J?!JOI\,OQGA,

函數(shù)y=x如下圖，顯然線段AQ上任意一點都有為即西eA；

故A={a|a=(x,y),y=x}為“封閉集”，同理可得3=伍1。=("),>=一燈也為“封閉集”；

而AUB的圖象如下：顯然西，西eA|jB,但線段R同上任意一點7；不滿足y=x,也不滿足丁=一%，即

西EA|jB,

即ALJB不一定是“封閉集”，即D錯誤.

故選:B.

42.定義：若對平面點集A中的任意一點(1,%),總存在正實數(shù)『，使得集合

,尤,y)J("Xo)2+(y-yo)2<rjcA,則稱A為一個“開集”.給出下列集合：

①{(x，y),+y2=1}；@{(x,y)|x+y+2>o)；

③{(x,y)||x+y|〈6}；@|(x,y)O<x2+(y-V2)<lj.

其中為“開集”的是.

【答案】②④

【詳解】①{(%，),+y=1}表示以原點為圓心，1為半徑的圓，

則在該圓上任意取點(1,%),以任意正實數(shù)r為半徑的圓面，

22

均不滿足j(x,y)^x-x0)+(y-y0)<r|cA故①不是開集；

②{(x,y)歸+y+2>0},在平面點集A中的任取一點(七,％),

設該點到直線的距離為d,取r=d,

則滿足［x,y)<rjcA,故該集合是開集；

③{(x，y)卜+y|46},在曲線|x+y|=6任意取點(七,%),以任意正實數(shù)r為半徑的圓面，

22

均不滿足卜x,y)y/(x-x0)+(y-y0)。卜A,故該集合不是開集；

@(x,y)O<x2+(^-V2)2<l!,表示以點(0,3)為圓心，1為半徑除去圓心和圓周的圓面,

在該平面點集A中的任一點，則該點到圓周上的點的最短距離為d,取r=4,

則滿足"y)J(x-X。)+(y_%)2<￡A,故該集合是開集.

故答案為：②④.

43.已知集合5={1,2,3,…,1000},設A是S的至少含有兩個元素的子集，對于A中的任意兩個不同的元素

元,y(x>y)，若x—y都不能整除x+y,則稱集合A是s的“好子集”.

①集合P={2,4,6,8}與Q={1,4,7}是集合S的“好子集”的是；

②集合S的“好子集”A所含元素個數(shù)的最大值為.

【答案】Q334

【詳解】①由于4-2-2整除4+2=6,所以集合P不是集合S的“好子集”；

由于4—1=3不能整除4+1=5,7—1=6不能整除7+1=8,7—4=3不能整除7+4=11,所以集合。是集合

S的“好子集”；

②若集合A是集合S的“好子集”，則因為若x-y=l,則會被x+y整除；

因為若x-y=2,則同為奇數(shù)或偶數(shù)，則x+y為偶數(shù)，則x—y能被x+y整除，所以x-yw2；

所以尤-丁23

設集合&={%,。2，。3，“-0,}(%<%</<…<%)是集合S的一個“好子集”，

令a,4]-q=b->3(z=l,2,,

a2—at=,a3—a2=b2,an—=bn_t,

于是累加得4—q=bt+b2+...+bn_l>3(n—1),

從而3(n-l)<(/?-(/1<1000-1=999,所以〃4334,

另一方面，取4={1,4,7,…,997,1000},其中任意兩元素差值y)都不能整除x+y,故其是“好子集”，

此時集合A有334個元素，且是集合S的一個“好子集”，

故集合S的“好子集”A所含元素個數(shù)的最大值為334.

故答案為：Q；334

㈤2

//

1.（2024?北京朝陽?二模）已知是兩個互相垂直的平面，/,"z是兩條直線，ac[J=l,則"_U”是，J_a”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】由題意知，aL13,a^（3=l,

若加_U,當77ZU/時，有〃?_!_0；當“7Z尸時，加與a可能相交、平行、垂直.

若由/ua,得

故±/"是"租」a”是必要不充分條件.

故選：B

-?-?-?-?-?-?->->-?-?-?-?

2.（2024?北京東城?二模）已知平面向量q,e2,63,e4是單位向量，且qLe2,貝《=e?q”是"9=0”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【詳解】因為平面向量m，晟，可是單位向量，且4_L最，

不妨設q=（l,0）,e2=（0,1）,

若泡在W，例如"但當，口健當,

aITITIT/uu

滿足q-63=62-64=《-,但63?64=1*0,即充分性不成立;

V2V2血5/2

若可石=0,例如《3=3F3F

一一一ITIT/ITIT/uuuu

滿足心?/=。，但,.03=--—,^2-^4=^-＞即G?%?/，即必要性不成立;

綜上所述：“％0f4”是“%?/二°”的既不充分也不必要條件?

故選：D.

3.(2024.北京東城.二模)已知集合A={#+1<0},B={x|-2<x<l},則A|JB=()

A.{x|x<l}B.[x\-2<x<l]

C.{x\x>-2^D.{.-24x4-1}

【答案】A

【詳解】A={x|x+l<0}={x|x<-l),

所以={x\x<—1}{x|—2<x<1}={%|x<l}_

故選：A.

4.(2024?北京西城?二模)已知aeR,6eR.貝廣ab>l”是“/+/>2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】當而>1時，則/+從22位>>2,當且僅當。=6時取等，所以充分性成立，

取°=-4,6=1,滿足〃+廿>2,但必<1,故必要性不成立，

所以“ab>1”是“a2+b2>2”的充分不必要條件.

故選：A.

5.(2024?北京昌平?二模)設加，〃是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，且%u%c〃力，則

是“"_1_利”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既

不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】因為&//月，當”，，時，e,又相ua,所以〃，加，即〃，〃可以推出〃，機，

如圖，在正方體中，取平面ABCD為。平面，平面AAGA為月平面，直線BC為直線加，直線GR為直線

”,

顯然有相uar,a〃分，n±m(xù),但“u^,即〃」推不出"_L/?,

所以“〃，/?”是“〃的