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2024-2025學(xué)年河南省濮陽(yáng)市高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1.答題前,先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上,并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.已知集合,則()A. B. C. D.2.已知,則()A.1 B.0 C. D.3.已知平面上三個(gè)單位向量滿足,則()A B. C. D.4.一個(gè)盒子中裝有5個(gè)大小相同的小球,其中3個(gè)紅球,2個(gè)白球.若從中任取兩個(gè)球,則恰有一個(gè)紅球的概率為()A. B. C. D.5.由于燃油的價(jià)格有升也有降,現(xiàn)本月要加兩次油,第一種方案:每次加30升的燃油;第二種方案:每次加200元的燃油.從兩次加油的燃油均價(jià)角度看,下列說(shuō)法正確的是()A.無(wú)法確定采用哪種方案劃算 B.兩種方案一樣劃算C.采用第一種方案劃算 D.采用第二種方案劃算6.若數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,,,則的值為()A.0 B.3 C.4 D.57.已知為雙曲線右支上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)分別作的兩條漸近線的平行線,與另外一條漸近線分別交于點(diǎn),則()A. B. C. D.8.如圖所示,直線與曲線y=fx相切于兩點(diǎn),其中.若當(dāng)時(shí),,則函數(shù)在0,+∞上的極大值點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題(本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分)9.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,(,且),若,,則下列說(shuō)法正確的是()A. B.數(shù)列為等差數(shù)列C.數(shù)列中的最小項(xiàng)為12 D.數(shù)列的前2n項(xiàng)和為10.已知函數(shù)定義域?yàn)?,且滿足,則下列結(jié)論正確的是()A. B.方程有整數(shù)解C.是偶函數(shù) D.是偶函數(shù)11.如圖,在長(zhǎng)方體中,,為棱中點(diǎn),為線段上一動(dòng)點(diǎn),下列結(jié)論正確的是()A.線段長(zhǎng)度的最小值為B.存在點(diǎn),使C.存在點(diǎn),使平面D.以為球心,為半徑的球體被平面所截的截面面積為三、填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分)12.已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為4,則______.13.南宋數(shù)學(xué)家楊輝為我國(guó)古代數(shù)學(xué)研究做出了杰出貢獻(xiàn),他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章算法》,該著作中的“垛積術(shù)”問(wèn)題介紹了高階等差數(shù)列,以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例,其特點(diǎn)是從數(shù)列的第二項(xiàng)開始,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列.若某個(gè)二階等差數(shù)列的前4項(xiàng)為1,3,7,13,則該數(shù)列的第15項(xiàng)為______.14.在平面直角坐標(biāo)系中,分別為軸上的點(diǎn),,則以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的拋物線的準(zhǔn)線斜率為_______.四、解答題(本大題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15.在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為,其面積.(1)若,求;(2)若,求的最大值,并判斷此時(shí)的形狀.16.如圖1,等腰中,底分別為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),將沿折起到的位置,使得平面平面,如圖2.(1)求證:平面;(2)為線段上靠近三等分點(diǎn),求平面與平面夾角的余弦值.17.貴妃杏是河南省靈寶市黃河沿岸地區(qū)的一種水果,其果實(shí)個(gè)大似鵝蛋,外表呈橙黃色,陽(yáng)面有暈.貴妃杏口感甜美,肉質(zhì)實(shí)心鮮嫩多汁,營(yíng)養(yǎng)豐富,是河南省的知名特產(chǎn)之一.已知該地區(qū)某種植園成熟的貴妃杏(按個(gè)計(jì)算)的質(zhì)量(單位:克)服從正態(tài)分布,且.從該種植園成熟的貴妃杏中選取了10個(gè),它們的質(zhì)量(單位:克)為,這10個(gè)貴妃杏的平均質(zhì)量恰等于克.(1)求.(2)求.(3)甲和乙都從該種植園成熟的貴妃杏中隨機(jī)選取1個(gè),若選取的貴妃杏的質(zhì)量大于100克且不大于104克,則贈(zèng)送1個(gè)貴妃杏;若選取的貴妃杏的質(zhì)量大于104克,則贈(zèng)送2個(gè)貴妃杏.記甲和乙獲贈(zèng)貴妃杏的總個(gè)數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.18.已知橢圓的右焦點(diǎn)為,離心率為,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),且與相交于,兩點(diǎn),記的傾斜角為.(1)求的方程;(2)求弦長(zhǎng)(用表示);(3)若直線也經(jīng)過(guò)點(diǎn),且傾斜角比的傾斜角大,求四邊形面積的最小值.19已知函數(shù),,().(1)求函數(shù)在處的切線方程;(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;(3)設(shè),證明:當(dāng)時(shí),函數(shù)f(x)存在唯一的極大值點(diǎn),且.
2024-2025學(xué)年河南省濮陽(yáng)市高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1.答題前,先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上,并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.已知集合,則()A. B. C. D.【正確答案】A【分析】解出集合,再根據(jù)交集與補(bǔ)集的含義即可.【詳解】,則,則.故選:A.2.已知,則()A.1 B.0 C. D.【正確答案】D【分析】把兩個(gè)已知等式兩邊平方相加,結(jié)合兩角差的余弦公式可求得結(jié)果.【詳解】已知,則有,,兩式相加得,則,所以.故選:D.3.已知平面上三個(gè)單位向量滿足,則()A. B. C. D.【正確答案】C【分析】將平方后求出,再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律,即可求得答案.【詳解】由題意知平面上三個(gè)單位向量滿足,則,即,則,故,故選:C4.一個(gè)盒子中裝有5個(gè)大小相同的小球,其中3個(gè)紅球,2個(gè)白球.若從中任取兩個(gè)球,則恰有一個(gè)紅球的概率為()A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)古典概型概率公式求解.【詳解】根據(jù)題意,任取兩球恰有一個(gè)紅球的概率為.故選:A.5.由于燃油的價(jià)格有升也有降,現(xiàn)本月要加兩次油,第一種方案:每次加30升的燃油;第二種方案:每次加200元的燃油.從兩次加油的燃油均價(jià)角度看,下列說(shuō)法正確的是()A.無(wú)法確定采用哪種方案劃算 B.兩種方案一樣劃算C.采用第一種方案劃算 D.采用第二種方案劃算【正確答案】D【分析】設(shè)兩次加油時(shí)的油價(jià)分別為元/升和元/升,計(jì)算出兩種方案下的燃油的均價(jià),利用基本不等式比較即得.【詳解】任取其中兩次加油,假設(shè)第一次的油價(jià)為元/升,第二次的油價(jià)為元/升.第一種方案均價(jià):,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào);第二種方案的均價(jià):,因,則,故,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以無(wú)論油價(jià)如何變化,第二種都更劃算.故選:D.6.若數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,,,則的值為()A0 B.3 C.4 D.5【正確答案】D【分析】根據(jù)題意,求得的值,得到數(shù)列an是周期為6的數(shù)列,結(jié)合,即可求解.【詳解】數(shù)列an的前項(xiàng)和為,且滿足,且,可得,,所以數(shù)列an是周期為6的數(shù)列,其中,所以.故選:D7.已知為雙曲線右支上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)分別作的兩條漸近線的平行線,與另外一條漸近線分別交于點(diǎn),則()A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)設(shè)出,與雙曲線漸近線方程聯(lián)立分別求出,,易得四邊形是平行四邊形,則得,再結(jié)合,從而可求解.【詳解】設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為,易知的漸近線的方程為,聯(lián)立解得,不妨取,同理可得,則,因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?,于是,由于點(diǎn)在上,所以,因此,故C正確.故選:C.8.如圖所示,直線與曲線y=fx相切于兩點(diǎn),其中.若當(dāng)時(shí),,則函數(shù)在0,+∞上的極大值點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)斜率為的切線條數(shù),結(jié)合圖象直接判斷即可.【詳解】根據(jù)圖象,可分別作出斜率為的另外三條切線:,切點(diǎn)分別為,如圖所示:當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;設(shè),則,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,有,和三個(gè)極大值點(diǎn).故選:D.二、多項(xiàng)選擇題(本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分)9.已知數(shù)列前n項(xiàng)和為,(,且),若,,則下列說(shuō)法正確的是()A. B.數(shù)列為等差數(shù)列C.數(shù)列中的最小項(xiàng)為12 D.數(shù)列的前2n項(xiàng)和為【正確答案】ABD【分析】首先根據(jù)遞推關(guān)系式以及與的關(guān)系求得an的通項(xiàng)公式,則AB可判斷;列出的關(guān)系式,結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即可判斷C;利用分組求和、并項(xiàng)求和的方法即可求出,則D可判斷.【詳解】依題意,,,滿足,,,,A,B正確;,當(dāng)時(shí)遞增,當(dāng)時(shí)遞減,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,最小值為.C錯(cuò);而,.D正確.故選:ABD.10.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足,則下列結(jié)論正確的是()A. B.方程有整數(shù)解C.是偶函數(shù) D.是偶函數(shù)【正確答案】A【分析】由已知利用賦值法與等差數(shù)列的求和公式,結(jié)合函數(shù)的奇偶性及方程解的存在條件檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.【詳解】對(duì)于A,因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋覞M足,取,得:,則取,得,則,取,得,則,故正確;對(duì)于B,取,得,則,當(dāng)x>1時(shí),有:,以上各式相加得,所以,而,故當(dāng)時(shí),有所以,所以當(dāng)時(shí),令,得,此方程無(wú)解,當(dāng)時(shí),,也無(wú)解,當(dāng)x=?1時(shí),,也無(wú)解,故B錯(cuò)誤.對(duì)于C,若是偶函數(shù),則應(yīng)有,而,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,若fx?1是偶函數(shù),則應(yīng)有,由,,取,得所以而,故D錯(cuò)誤;故選:A11.如圖,在長(zhǎng)方體中,,為棱中點(diǎn),為線段上一動(dòng)點(diǎn),下列結(jié)論正確的是()A.線段長(zhǎng)度的最小值為B.存在點(diǎn),使C.存在點(diǎn),使平面D.以為球心,為半徑的球體被平面所截的截面面積為【正確答案】AC【分析】求出腰上的高判斷A,把面沿?cái)偲降狡矫嫔?,通過(guò)平面的性質(zhì)求解判斷B,連接,設(shè),過(guò)作交于點(diǎn),證明線面垂直判斷C,求出到截面的距離后再計(jì)算出截面圓半徑、面積判斷D.【詳解】選項(xiàng)A,由已知,,如圖1,是等腰三角形,,則,所以邊上高為,A正確;選項(xiàng)B,把矩形沿?cái)偲降狡矫嫔希鐖D2,則,,這是的最小值,顯然,即,因此B錯(cuò);選項(xiàng)C,連接,設(shè),在平面上過(guò)作交于點(diǎn),如圖3,長(zhǎng)方體中易知,由已知,,又且,因此,則,所以,所以,又長(zhǎng)方體中與側(cè)面垂直,側(cè)面,因此,與是平面內(nèi)兩條相交直線,因此平面,又平面,所以,,且平面,所以平面,C正確;選項(xiàng)D,設(shè),連接,作,垂足為,如圖4,由平面,平面得,又正方形中,,,平面,所以平面,而平面,所以,,平面,所以平面,由已知,,則,平面截球所得截面圓半徑為,則,所以截面圓面積為,D錯(cuò).故選:AC.方法點(diǎn)睛:空間線段和的最小值問(wèn)題,一般采用空間問(wèn)題平面化,即通過(guò)翻折讓各線段所成平面變成同一個(gè)平面,然后由平面兩點(diǎn)間線段最短得出結(jié)論.三、填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分)12.已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為4,則______.【正確答案】3【分析】賦值法,令代入得各項(xiàng)系數(shù)和,列式計(jì)算即可.【詳解】令得展開式中各項(xiàng)系數(shù)和,則,解得.故3.13.南宋數(shù)學(xué)家楊輝為我國(guó)古代數(shù)學(xué)研究做出了杰出貢獻(xiàn),他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章算法》,該著作中的“垛積術(shù)”問(wèn)題介紹了高階等差數(shù)列,以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例,其特點(diǎn)是從數(shù)列的第二項(xiàng)開始,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列.若某個(gè)二階等差數(shù)列的前4項(xiàng)為1,3,7,13,則該數(shù)列的第15項(xiàng)為______.【正確答案】211【分析】設(shè)數(shù)列為,根據(jù)題意,累加法求出的通項(xiàng)公式,求出.【詳解】設(shè)數(shù)列為,根據(jù)題意,則累加可得,所以,故.故答案為.14.在平面直角坐標(biāo)系中,分別為軸上的點(diǎn),,則以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的拋物線的準(zhǔn)線斜率為_______.【正確答案】【分析】假設(shè)拋物線,,,,,進(jìn)而得到的坐標(biāo),代入拋物線即可得到,進(jìn)而得到.將拋物線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)個(gè)單位,則分別旋轉(zhuǎn)到軸上的點(diǎn),因此可以求旋轉(zhuǎn)后的拋物線對(duì)稱軸的斜率,又準(zhǔn)線與拋物線對(duì)稱軸垂直,因此斜率相乘等于,進(jìn)而求出準(zhǔn)線的斜率.【詳解】設(shè)拋物線,,,,,如圖所示,則,,即,又在上,,故,又,所以,故逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后,分別旋轉(zhuǎn)到軸上的點(diǎn),此時(shí)拋物線對(duì)稱軸斜率為,而準(zhǔn)線與對(duì)稱軸垂直,故.故答案為.四、解答題(本大題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15.在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為,其面積.(1)若,求;(2)若,求的最大值,并判斷此時(shí)的形狀.【正確答案】(1)(2)最大值為,等腰直角三角形【分析】(1)根據(jù)三角形的面積公式列方程,從而求得.(2)利用余弦定理、三角恒等變換等知識(shí)求得的最大值,再由此求得、,從而判斷出三角形的形狀.【小問(wèn)1詳解】由,得【小問(wèn)2詳解】由得,所以得最大值為,此時(shí),所以(舍去)或,從而,故是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.16.如圖1,等腰中,底分別為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),將沿折起到的位置,使得平面平面,如圖2.(1)求證:平面;(2)為線段上靠近的三等分點(diǎn),求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理可得答案;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面、平面的一個(gè)法向量,由二面角的向量求法可得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?,為的中點(diǎn),所以,因?yàn)槠矫嫫矫?,平面平面,平面,所以平面;【小?wèn)2詳解】如圖,由(1)知平面,取的中點(diǎn),連接,則,以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)椋?,可得,,由得,則,設(shè)n=x,y,z為平面則,即,令,則,所以,為平面的一個(gè)法向量,所以,由圖可得平面與平面夾角的余弦值為.17.貴妃杏是河南省靈寶市黃河沿岸地區(qū)的一種水果,其果實(shí)個(gè)大似鵝蛋,外表呈橙黃色,陽(yáng)面有暈.貴妃杏口感甜美,肉質(zhì)實(shí)心鮮嫩多汁,營(yíng)養(yǎng)豐富,是河南省的知名特產(chǎn)之一.已知該地區(qū)某種植園成熟的貴妃杏(按個(gè)計(jì)算)的質(zhì)量(單位:克)服從正態(tài)分布,且.從該種植園成熟的貴妃杏中選取了10個(gè),它們的質(zhì)量(單位:克)為,這10個(gè)貴妃杏的平均質(zhì)量恰等于克.(1)求.(2)求.(3)甲和乙都從該種植園成熟的貴妃杏中隨機(jī)選取1個(gè),若選取的貴妃杏的質(zhì)量大于100克且不大于104克,則贈(zèng)送1個(gè)貴妃杏;若選取的貴妃杏的質(zhì)量大于104克,則贈(zèng)送2個(gè)貴妃杏.記甲和乙獲贈(zèng)貴妃杏的總個(gè)數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【正確答案】(1)100(2)0.3(3)分布列見解析,1.4【分析】(1)由平均數(shù)的求法,直接求出的值;(2)由正態(tài)分布的對(duì)稱性即可算出結(jié)果.(3)由數(shù)據(jù)得出個(gè)人獲贈(zèng)個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的概率,在得到兩個(gè)人總共獲贈(zèng)可能個(gè)數(shù)及其對(duì)應(yīng)的概率,從而得出分布列和數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)1詳解】;【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?,所以,所以.【小?wèn)3詳解】設(shè)1人獲贈(zèng)貴妃杏的個(gè)數(shù)為,則.依題意可得的可能取值為,,,,,,則的分布列為012340.250.30.290.120.04所以.18.已知橢圓的右焦點(diǎn)為,離心率為,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),且與相交于,兩點(diǎn),記的傾斜角為.(1)求的方程;(2)求弦的長(zhǎng)(用表示);(3)若直線也經(jīng)過(guò)點(diǎn),且傾斜角比的傾斜角大,求四邊形面積的最小值.【正確答案】(1)(2)答案見解析(3)【分析】(1)根據(jù)條件,直接求出,即可求解;(2)分和,當(dāng)時(shí),直接求出,當(dāng)時(shí),設(shè)出直線的方程為,聯(lián)立橢圓方程,利用弦長(zhǎng)公式,即可求解;(3)根據(jù)題設(shè),先求出和時(shí),四邊形的面積,再求出時(shí),,從而得出,再通過(guò)化簡(jiǎn),得到,令,通過(guò)求出的最大值,即可解決問(wèn)題.【小問(wèn)1詳解】由題知,又,得到,所以,故橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè),因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn),且傾斜角為,當(dāng)時(shí),直線,由,解得,,此時(shí),當(dāng),設(shè)直線的方程為,其中,由,消得到,又,所以,即,綜上,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.【小問(wèn)3詳解】直線也經(jīng)過(guò)點(diǎn),且傾斜角比的傾斜角大,所以,當(dāng)時(shí),易知,,此時(shí)四邊形面積為,當(dāng)時(shí),可設(shè),其中,同理可得,當(dāng)時(shí),,,此時(shí)四邊形面積為,當(dāng)且時(shí),四邊形面積為①,又,代入①化簡(jiǎn)得到,即
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