2024-2025學(xué)年河南省濮陽(yáng)市高三上冊(cè)第二次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年河南省濮陽(yáng)市高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.已知，則（）A.1 B.0 C. D.3.已知平面上三個(gè)單位向量滿足，則（）A B. C. D.4.一個(gè)盒子中裝有5個(gè)大小相同的小球，其中3個(gè)紅球，2個(gè)白球.若從中任取兩個(gè)球，則恰有一個(gè)紅球的概率為（）A. B. C. D.5.由于燃油的價(jià)格有升也有降，現(xiàn)本月要加兩次油，第一種方案：每次加30升的燃油；第二種方案：每次加200元的燃油．從兩次加油的燃油均價(jià)角度看，下列說(shuō)法正確的是（）A.無(wú)法確定采用哪種方案劃算 B.兩種方案一樣劃算C.采用第一種方案劃算 D.采用第二種方案劃算6.若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，，則的值為（）A.0 B.3 C.4 D.57.已知為雙曲線右支上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作的兩條漸近線的平行線，與另外一條漸近線分別交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.8.如圖所示，直線與曲線y=fx相切于兩點(diǎn)，其中．若當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在0,+∞上的極大值點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，（，且），若，，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.數(shù)列為等差數(shù)列C.數(shù)列中的最小項(xiàng)為12 D.數(shù)列的前2n項(xiàng)和為10.已知函數(shù)定義域?yàn)?，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.方程有整數(shù)解C.是偶函數(shù) D.是偶函數(shù)11.如圖，在長(zhǎng)方體中，，為棱中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.線段長(zhǎng)度的最小值為B.存在點(diǎn)，使C.存在點(diǎn)，使平面D.以為球心，為半徑的球體被平面所截的截面面積為三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為4，則______．13.南宋數(shù)學(xué)家楊輝為我國(guó)古代數(shù)學(xué)研究做出了杰出貢獻(xiàn)，他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章算法》，該著作中的“垛積術(shù)”問(wèn)題介紹了高階等差數(shù)列，以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例，其特點(diǎn)是從數(shù)列的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列.若某個(gè)二階等差數(shù)列的前4項(xiàng)為1，3，7，13，則該數(shù)列的第15項(xiàng)為______．14.在平面直角坐標(biāo)系中，分別為軸上的點(diǎn)，，則以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的拋物線的準(zhǔn)線斜率為_______.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，其面積.（1）若，求；（2）若，求的最大值，并判斷此時(shí)的形狀.16.如圖1，等腰中，底分別為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使得平面平面，如圖2.（1）求證：平面；（2）為線段上靠近三等分點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值.17.貴妃杏是河南省靈寶市黃河沿岸地區(qū)的一種水果，其果實(shí)個(gè)大似鵝蛋，外表呈橙黃色，陽(yáng)面有暈．貴妃杏口感甜美，肉質(zhì)實(shí)心鮮嫩多汁，營(yíng)養(yǎng)豐富，是河南省的知名特產(chǎn)之一．已知該地區(qū)某種植園成熟的貴妃杏（按個(gè)計(jì)算）的質(zhì)量（單位：克）服從正態(tài)分布，且．從該種植園成熟的貴妃杏中選取了10個(gè)，它們的質(zhì)量（單位：克）為，這10個(gè)貴妃杏的平均質(zhì)量恰等于克．（1）求．（2）求．（3）甲和乙都從該種植園成熟的貴妃杏中隨機(jī)選取1個(gè)，若選取的貴妃杏的質(zhì)量大于100克且不大于104克，則贈(zèng)送1個(gè)貴妃杏；若選取的貴妃杏的質(zhì)量大于104克，則贈(zèng)送2個(gè)貴妃杏．記甲和乙獲贈(zèng)貴妃杏的總個(gè)數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．18.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與相交于，兩點(diǎn)，記的傾斜角為.（1）求的方程；（2）求弦長(zhǎng)（用表示）；（3）若直線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角比的傾斜角大，求四邊形面積的最小值.19已知函數(shù)，，（）．（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）存在唯一的極大值點(diǎn)，且．

2024-2025學(xué)年河南省濮陽(yáng)市高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】解出集合，再根據(jù)交集與補(bǔ)集的含義即可.【詳解】，則，則.故選：A.2.已知，則（）A.1 B.0 C. D.【正確答案】D【分析】把兩個(gè)已知等式兩邊平方相加，結(jié)合兩角差的余弦公式可求得結(jié)果.【詳解】已知，則有，，兩式相加得，則，所以.故選：D.3.已知平面上三個(gè)單位向量滿足，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】將平方后求出，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，即可求得答案.【詳解】由題意知平面上三個(gè)單位向量滿足，則，即，則，故，故選：C4.一個(gè)盒子中裝有5個(gè)大小相同的小球，其中3個(gè)紅球，2個(gè)白球.若從中任取兩個(gè)球，則恰有一個(gè)紅球的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)古典概型概率公式求解.【詳解】根據(jù)題意，任取兩球恰有一個(gè)紅球的概率為.故選：A.5.由于燃油的價(jià)格有升也有降，現(xiàn)本月要加兩次油，第一種方案：每次加30升的燃油；第二種方案：每次加200元的燃油．從兩次加油的燃油均價(jià)角度看，下列說(shuō)法正確的是（）A.無(wú)法確定采用哪種方案劃算 B.兩種方案一樣劃算C.采用第一種方案劃算 D.采用第二種方案劃算【正確答案】D【分析】設(shè)兩次加油時(shí)的油價(jià)分別為元/升和元/升，計(jì)算出兩種方案下的燃油的均價(jià)，利用基本不等式比較即得.【詳解】任取其中兩次加油，假設(shè)第一次的油價(jià)為元/升，第二次的油價(jià)為元/升．第一種方案均價(jià)：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；第二種方案的均價(jià)：,因，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以無(wú)論油價(jià)如何變化，第二種都更劃算．故選：D．6.若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，，則的值為（）A0 B.3 C.4 D.5【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，求得的值，得到數(shù)列an是周期為6的數(shù)列，結(jié)合，即可求解.【詳解】數(shù)列an的前項(xiàng)和為，且滿足，且，可得，，所以數(shù)列an是周期為6的數(shù)列，其中，所以.故選：D7.已知為雙曲線右支上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作的兩條漸近線的平行線，與另外一條漸近線分別交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)設(shè)出，與雙曲線漸近線方程聯(lián)立分別求出，，易得四邊形是平行四邊形，則得，再結(jié)合，從而可求解.【詳解】設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，易知的漸近線的方程為，聯(lián)立解得，不妨取，同理可得，則，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，于是，由于點(diǎn)在上，所以，因此，故C正確.故選：C．8.如圖所示，直線與曲線y=fx相切于兩點(diǎn)，其中．若當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在0,+∞上的極大值點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)斜率為的切線條數(shù)，結(jié)合圖象直接判斷即可.【詳解】根據(jù)圖象，可分別作出斜率為的另外三條切線：，切點(diǎn)分別為，如圖所示：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，有，和三個(gè)極大值點(diǎn).故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知數(shù)列前n項(xiàng)和為，（，且），若，，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.數(shù)列為等差數(shù)列C.數(shù)列中的最小項(xiàng)為12 D.數(shù)列的前2n項(xiàng)和為【正確答案】ABD【分析】首先根據(jù)遞推關(guān)系式以及與的關(guān)系求得an的通項(xiàng)公式，則AB可判斷；列出的關(guān)系式，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即可判斷C；利用分組求和、并項(xiàng)求和的方法即可求出，則D可判斷.【詳解】依題意，，，滿足，，，，A，B正確；，當(dāng)時(shí)遞增，當(dāng)時(shí)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，最小值為．C錯(cuò)；而，.D正確．故選：ABD．10.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.方程有整數(shù)解C.是偶函數(shù) D.是偶函數(shù)【正確答案】A【分析】由已知利用賦值法與等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合函數(shù)的奇偶性及方程解的存在條件檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋覞M足，取，得：，則取，得，則，取，得，則，故正確；對(duì)于B，取，得，則，當(dāng)x>1時(shí)，有：，以上各式相加得，所以，而，故當(dāng)時(shí)，有所以,所以當(dāng)時(shí)，令，得，此方程無(wú)解，當(dāng)時(shí)，，也無(wú)解，當(dāng)x=?1時(shí)，，也無(wú)解，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C,若是偶函數(shù)，則應(yīng)有，而，故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,若fx?1是偶函數(shù)，則應(yīng)有，由，，取，得所以而，故D錯(cuò)誤;故選：A11.如圖，在長(zhǎng)方體中，，為棱中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.線段長(zhǎng)度的最小值為B.存在點(diǎn)，使C.存在點(diǎn)，使平面D.以為球心，為半徑的球體被平面所截的截面面積為【正確答案】AC【分析】求出腰上的高判斷A，把面沿?cái)偲降狡矫嫔?，通過(guò)平面的性質(zhì)求解判斷B，連接，設(shè)，過(guò)作交于點(diǎn)，證明線面垂直判斷C，求出到截面的距離后再計(jì)算出截面圓半徑、面積判斷D．【詳解】選項(xiàng)A，由已知，，如圖1，是等腰三角形，，則，所以邊上高為，A正確；選項(xiàng)B，把矩形沿?cái)偲降狡矫嫔希鐖D2，則，，這是的最小值，顯然，即，因此B錯(cuò)；選項(xiàng)C，連接，設(shè)，在平面上過(guò)作交于點(diǎn)，如圖3，長(zhǎng)方體中易知，由已知，，又且，因此，則，所以，所以，又長(zhǎng)方體中與側(cè)面垂直，側(cè)面，因此，與是平面內(nèi)兩條相交直線，因此平面，又平面，所以，，且平面，所以平面，C正確；選項(xiàng)D，設(shè)，連接，作，垂足為，如圖4，由平面，平面得，又正方形中，，，平面，所以平面，而平面，所以，，平面，所以平面，由已知，，則，平面截球所得截面圓半徑為，則，所以截面圓面積為，D錯(cuò)．故選：AC．方法點(diǎn)睛：空間線段和的最小值問(wèn)題，一般采用空間問(wèn)題平面化，即通過(guò)翻折讓各線段所成平面變成同一個(gè)平面，然后由平面兩點(diǎn)間線段最短得出結(jié)論．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為4，則______．【正確答案】3【分析】賦值法，令代入得各項(xiàng)系數(shù)和，列式計(jì)算即可.【詳解】令得展開式中各項(xiàng)系數(shù)和，則，解得.故3.13.南宋數(shù)學(xué)家楊輝為我國(guó)古代數(shù)學(xué)研究做出了杰出貢獻(xiàn)，他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章算法》，該著作中的“垛積術(shù)”問(wèn)題介紹了高階等差數(shù)列，以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例，其特點(diǎn)是從數(shù)列的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列.若某個(gè)二階等差數(shù)列的前4項(xiàng)為1，3，7，13，則該數(shù)列的第15項(xiàng)為______．【正確答案】211【分析】設(shè)數(shù)列為,根據(jù)題意，累加法求出的通項(xiàng)公式，求出.【詳解】設(shè)數(shù)列為,根據(jù)題意，則累加可得,所以，故.故答案為.14.在平面直角坐標(biāo)系中，分別為軸上的點(diǎn)，，則以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的拋物線的準(zhǔn)線斜率為_______.【正確答案】【分析】假設(shè)拋物線，，，，，進(jìn)而得到的坐標(biāo)，代入拋物線即可得到，進(jìn)而得到.將拋物線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)個(gè)單位，則分別旋轉(zhuǎn)到軸上的點(diǎn)，因此可以求旋轉(zhuǎn)后的拋物線對(duì)稱軸的斜率，又準(zhǔn)線與拋物線對(duì)稱軸垂直，因此斜率相乘等于，進(jìn)而求出準(zhǔn)線的斜率.【詳解】設(shè)拋物線，，，，，如圖所示，則，，即，又在上，，故，又，所以，故逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后,分別旋轉(zhuǎn)到軸上的點(diǎn)，此時(shí)拋物線對(duì)稱軸斜率為，而準(zhǔn)線與對(duì)稱軸垂直，故.故答案為.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，其面積.（1）若，求；（2）若，求的最大值，并判斷此時(shí)的形狀.【正確答案】（1）（2）最大值為，等腰直角三角形【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式列方程，從而求得.（2）利用余弦定理、三角恒等變換等知識(shí)求得的最大值，再由此求得、，從而判斷出三角形的形狀.【小問(wèn)1詳解】由，得【小問(wèn)2詳解】由得，所以得最大值為，此時(shí)，所以（舍去）或，從而，故是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.16.如圖1，等腰中，底分別為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使得平面平面，如圖2.（1）求證：平面；（2）為線段上靠近的三等分點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理可得答案；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面、平面的一個(gè)法向量，由二面角的向量求法可得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面；【小?wèn)2詳解】如圖，由（1）知平面，取的中點(diǎn)，連接，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，可得，，由得，則，設(shè)n=x,y,z為平面則，即，令，則，所以，為平面的一個(gè)法向量，所以，由圖可得平面與平面夾角的余弦值為.17.貴妃杏是河南省靈寶市黃河沿岸地區(qū)的一種水果，其果實(shí)個(gè)大似鵝蛋，外表呈橙黃色，陽(yáng)面有暈．貴妃杏口感甜美，肉質(zhì)實(shí)心鮮嫩多汁，營(yíng)養(yǎng)豐富，是河南省的知名特產(chǎn)之一．已知該地區(qū)某種植園成熟的貴妃杏（按個(gè)計(jì)算）的質(zhì)量（單位：克）服從正態(tài)分布，且．從該種植園成熟的貴妃杏中選取了10個(gè)，它們的質(zhì)量（單位：克）為，這10個(gè)貴妃杏的平均質(zhì)量恰等于克．（1）求．（2）求．（3）甲和乙都從該種植園成熟的貴妃杏中隨機(jī)選取1個(gè)，若選取的貴妃杏的質(zhì)量大于100克且不大于104克，則贈(zèng)送1個(gè)貴妃杏；若選取的貴妃杏的質(zhì)量大于104克，則贈(zèng)送2個(gè)貴妃杏．記甲和乙獲贈(zèng)貴妃杏的總個(gè)數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．【正確答案】（1）100（2）0.3（3）分布列見解析，1.4【分析】（1）由平均數(shù)的求法，直接求出的值；（2）由正態(tài)分布的對(duì)稱性即可算出結(jié)果.（3）由數(shù)據(jù)得出個(gè)人獲贈(zèng)個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的概率，在得到兩個(gè)人總共獲贈(zèng)可能個(gè)數(shù)及其對(duì)應(yīng)的概率，從而得出分布列和數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)1詳解】；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，所以．【小?wèn)3詳解】設(shè)1人獲贈(zèng)貴妃杏的個(gè)數(shù)為，則．依題意可得的可能取值為，，，，，，則的分布列為012340.250.30.290.120.04所以.18.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與相交于，兩點(diǎn)，記的傾斜角為.（1）求的方程；（2）求弦的長(zhǎng)（用表示）；（3）若直線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角比的傾斜角大，求四邊形面積的最小值.【正確答案】（1）（2）答案見解析（3）【分析】（1）根據(jù)條件，直接求出，即可求解；（2）分和，當(dāng)時(shí)，直接求出，當(dāng)時(shí)，設(shè)出直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，利用弦長(zhǎng)公式，即可求解；（3）根據(jù)題設(shè)，先求出和時(shí)，四邊形的面積，再求出時(shí)，，從而得出，再通過(guò)化簡(jiǎn)，得到，令，通過(guò)求出的最大值，即可解決問(wèn)題.【小問(wèn)1詳解】由題知，又，得到，所以，故橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角為，當(dāng)時(shí)，直線，由，解得，，此時(shí)，當(dāng)，設(shè)直線的方程為，其中，由，消得到，又，所以，即，綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【小問(wèn)3詳解】直線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角比的傾斜角大，所以，當(dāng)時(shí)，易知，，此時(shí)四邊形面積為，當(dāng)時(shí)，可設(shè)，其中，同理可得，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)四邊形面積為，當(dāng)且時(shí)，四邊形面積為①，又，代入①化簡(jiǎn)得到，即