中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)提升專項(xiàng)知識分式方程及應(yīng)用(練習(xí))含答案及解析

第二章方程與不等式第06講分式方程及應(yīng)用TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01分式方程的定義05-23??題型02解分式方程??題型03以注重過程性學(xué)習(xí)的形式考查解分式方程??題型04與解分式方程有關(guān)的新定義問題??題型05與解分式方程有關(guān)的跨學(xué)科問題??題型06由分式方程的解求參數(shù)??題型07由分式方程有解、無解或有增根求參數(shù)??題型08由分式方程解的取值范圍求參數(shù)??題型09分式方程與不等式組綜合??題型10列分式方程??題型11利用分式方程解決實(shí)際問題??題型12分式方程的應(yīng)用與函數(shù)的綜合運(yùn)用??題型13以真實(shí)問題情境為背景考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用??題型14以數(shù)學(xué)文化為背景考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用??題型01分式方程的定義1．（2024·廣西賀州·三模）下列式子是分式方程的是（

）A．x+12=5C．x2x?1+32．（2021·河南信陽·模擬預(yù)測）下列方程：①1x+1=x；②x+12?3=0；③2x?1+31?xA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)??題型02解分式方程3．（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測）分式方程1?1x=4．（2024·青海西寧·三模）解分式方程：2x?25．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）解方程：3x?36．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)，寫出a的值為，b的值為．

x

結(jié)果代數(shù)式2m2x?13bx?1a2??題型03以注重過程性學(xué)習(xí)的形式考查解分式方程7．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測）小王同學(xué)解分式方程x+13x?6解：去分母得：x+1?3(2x+1)=3①去括號得：x+1?6x+1=3②移項(xiàng)得：x?6x=3?1?1③合并同類項(xiàng)得：?5x=1④系數(shù)化為1得：x=?1∴x=?158．（2024·山東濱州·模擬預(yù)測）（1）先化簡，再求值：(a?3b)(a+3b)+(a?3b)2，其中（2）小丁和小迪分別解方程xx?2小?。航猓喝シ帜福脁?(x?3)=x?2去括號，得x?x+3=x?2合并同類項(xiàng)，得3=x?2解得，x=5∴原方程的解是x=5小迪：解：去分母，得x+(x?3)=1去括號，得x+x+3=1合并同類項(xiàng)，得2x?3=1解得，x=2經(jīng)檢驗(yàn)x=2是方程的增根，原方程無解．你認(rèn)為小丁和小迪的解法是否正確，若正確，打“√”，如果錯誤，請寫出正確的解答過程9．（2024·寧夏銀川·二模）以下是小明解方程x+1x?2解：去分母：x+1=?1?2x?2去括號：x+1=?1?2x?4…………，第二步移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：3x=?6…………．第三步系數(shù)化為1，得：x=?2…………．第四步檢驗(yàn)：當(dāng)x=?2時(shí)，x?2=?4≠0，所以：x=?2是原分式方程的解．(1)填空：①以上解題過程中，第一步去分母的依據(jù)；②第步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是；(2)請你寫出此方程的正確求解過程．10．（2024·山西忻州·三模）（1）|?9|×?（2）下面是小明同學(xué)解分式方程的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．解方程：3x?3解：去分母，得3=1+3x，……………………第一步移項(xiàng)，得3x=1?3，……………第二步合并同類項(xiàng)，得3x=?2，………第三步系數(shù)化為1，得x=?2檢驗(yàn)：當(dāng)x=?23時(shí)，所以x=?2任務(wù)一：以上解題過程從第步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是．任務(wù)二：該方程的正確解是．任務(wù)三：除糾正上述錯誤外，請你根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就解分式方程時(shí)還需要注意的事項(xiàng)給其他同學(xué)提一條建議．??題型04與解分式方程有關(guān)的新定義問題11．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）對于實(shí)數(shù)a、b，定義一種新運(yùn)算“?”為：a?b=1a?b2，這里等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算．例如：1?3=1A．x=5 B．x=6 C．x=7 D．無解12．（2022·河南平頂山·二模）定義運(yùn)算m※n=1+1m+n，如：1※A．x=1 B．x=?1 C．x=?12 13．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）定義兩種新運(yùn)算“△”和“※”，其運(yùn)算規(guī)則為a△b=a?ba+b，a※b=a+2ba?2b14．（2023·廣東深圳·二模）對于實(shí)數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算“θ”為：aθb=1a+b2，例如：1θ2=115．（21-22八年級下·江蘇揚(yáng)州·期中）對于一些特殊的方程，我們給出兩個(gè)定義：①若兩個(gè)方程有相同的一個(gè)解，則稱這兩個(gè)方程為“相似方程”；②若兩個(gè)方程有相同的整數(shù)解，則稱這兩個(gè)方程為“相伴方程”．(1)判斷一元一次方程3－2(1－x)=4x與分式方程2x+12x?1(2)已知關(guān)于x，y的二元一次方程y=mx+6與y=x+4m是“相伴方程”，求正整數(shù)m的值．??題型05與解分式方程有關(guān)的跨學(xué)科問題16．化學(xué)小組欲將100g濃度為98%的酒精溶液稀釋為75%的酒精溶液．設(shè)需要加水x17．如圖，把R1、R2兩個(gè)電阻并聯(lián)起來，線路AB上的電流為I，電壓為U，總電阻為R總，則U=IR總，其中，R1，R2，R總滿足關(guān)系式：18．科學(xué)中，經(jīng)常需要把兩種物質(zhì)混合制作成混合物，研究混合物的物理性質(zhì)和化學(xué)性質(zhì)．現(xiàn)將甲、乙兩種密度分別為ρ甲，ρ乙的液體混合（ρ甲<ρ乙），研究混合物的密度（(1)請用含ρ甲，ρ乙式子表示(2)比較ρ1，ρ(3)現(xiàn)有密度為1.2g/cm3的鹽水600g，加適量的水（密度為1.019．（2024·江蘇無錫·二模）在跨學(xué)科探究學(xué)習(xí)中，我們發(fā)現(xiàn)如下兩個(gè)公式：如圖①，在串聯(lián)電路中，總電阻R滿足R=R1+R2；如圖②(1)如圖③，已知R1=12Ω，R(2)如圖④，已知R0為定值電阻，現(xiàn)有兩個(gè)電阻R1和R2R1<(3)如圖⑤，現(xiàn)有三個(gè)電阻R1、R2和(4)如圖⑥，已知R0為定值電阻，現(xiàn)有四個(gè)電阻R1、R2、R20．馬超同學(xué)在學(xué)習(xí)物理第七章第二節(jié)《怎樣比較運(yùn)動的快慢》時(shí)，遇到一個(gè)這樣的問題：甲、乙兩地之間為一座山丘，一同學(xué)從甲地到乙地先上坡再下坡，上坡速度為v1，下坡速度為v2，上坡和下坡路程相等，則這位同學(xué)從甲地到乙地的平均速度為多少？馬超經(jīng)過計(jì)算得出平均速度為v=2v1v2(1)計(jì)算：12(2)解方程：1x(3)若分式方程12x?1??題型06由分式方程的解求參數(shù)21．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知x=5是分式方程4x+2=1?k2+x的解，則A．5 B．4 C．3 D．222．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知x=1是分式方程x?3x?2?a2?x=?123．（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測）關(guān)于x的方程2x+2+12?x=2x+mx??題型07由分式方程有解、無解或有增根求參數(shù)24．（2024·貴州黔東南·一模）若關(guān)于x的分式方程ax?1+1=?2x?1無解，則A．?1 B．0 C．1 D．?225．（2024·湖南·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的分式方程1?kxx?2=12?x有增根，則26．（2024·四川綿陽·二模）若關(guān)于x的分式方程m3?x=1有解，且關(guān)于y的方程y2?2y+m=0有實(shí)數(shù)根，則27．（2024·遼寧丹東·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的分式方程2a+1x+1=a有解，則a的取值范圍是??題型08由分式方程解的取值范圍求參數(shù)28．（2024·山東日照·三模）若關(guān)于x的分式方程2xx?1?3=m1?x的解為正數(shù)，則A．m<?2且m≠?3 B．m>?2且m≠3C．m>?3且m≠?2 D．m>?3且m≠229．（2024·安徽·模擬預(yù)測）關(guān)于x的方程mx?1?3=x1?x的解為非負(fù)數(shù)，則30．（2024·四川成都·二模）若關(guān)于x的分式方程3xx?1=m1?x+231．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的方程xx?3=2?m3?x有一個(gè)正數(shù)解，則??題型09分式方程與不等式組綜合32．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不等式組2x?a≤?1x+12?2x3<1有且只有兩個(gè)偶數(shù)解，且關(guān)于A．15 B．10 C．5 D．333．（2024·重慶渝北·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不等式組x2+2<14?x25x?m≥?4x+5有解且至多有4個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y34．（2024·四川成都·二模）現(xiàn)從?4，?3，?2，?1，0，1，2，3，4這9個(gè)數(shù)中任意選取一個(gè)數(shù)作為a的值，則使關(guān)于x的分式方程2x?ax+1=3的解是負(fù)數(shù)，且關(guān)于x的不等式組4x+1≥3x+135．（2024·山東濰坊·模擬預(yù)測）（1）計(jì)算：13（2）關(guān)于x的分式方程3x?ax?3+x+13?x=1的解為正數(shù)，且關(guān)于y的不等式組y+9≤2??題型10列分式方程36．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）新楚大高速公路（楚雄到大理）通車運(yùn)營，續(xù)寫了“云南第一路”新篇章．小杰家到大理約240km，從新修道路自駕去大理的平均速度是原來的1.5倍，所需時(shí)間比原來縮短了1h，設(shè)原來小杰自駕去大理的平均速度是xkm/hA．2402.5x?240C．2402.5x+24037．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學(xué)專著之一，其中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件用慢馬送到900里外的城市，需要的時(shí)間比規(guī)定時(shí)間多一天：如果用快馬送，所需的時(shí)間比規(guī)定時(shí)間少3天．已知快馬的速度是慢馬的2倍，求規(guī)定時(shí)間．設(shè)規(guī)定時(shí)間為x天，則可列方程為（）A．900x+1×2=900C．900x?1=90038．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）2023年3月底，G107國道深圳寶安段(下稱“107國道”)正式啟動先行段的市政化改造，它縱貫寶安區(qū)，沿線是廣深科技創(chuàng)新走廊的核心地段，千余家國家高新技術(shù)企業(yè)密布其間，被視為“鵬城一翼”“灣區(qū)動軸”．它全長為31.4千米，這條94歲的國道路面需整改，為了盡量減少施工對城市交通所造成的影響，實(shí)際施工時(shí)，每天的工效比原計(jì)劃增加20%，結(jié)果提前5天完成這一任務(wù)，設(shè)原計(jì)劃每天整改x千米，則下列方程正確的是（

A．31.41+20%xC．31.41?20%x39．（2024·廣東深圳·三模）一次夏令營活動中，班長購買了甲、乙兩種礦泉水，其中甲種礦泉水共花費(fèi)80元，乙種礦泉水共花費(fèi)60元，甲種礦泉水比乙種礦泉水多20瓶，乙種礦泉水價(jià)格是甲種礦泉水價(jià)格的1.5倍．若設(shè)甲種礦泉水的價(jià)格為x元，根據(jù)題意可列方程為（）A．801.5x?60C．60x?8040．（2024·貴州黔南·模擬預(yù)測）近年來，國家提倡節(jié)能減排，為響應(yīng)號召，很多家庭都購入新能源汽車，2024年春節(jié)，小明一家駕駛新購買的新能源汽車去相距1004km的海濱城市旅游，原計(jì)劃以akmh的速度行駛，后因要趕上新春煙花會而提前到達(dá)，實(shí)際行駛速度為原計(jì)劃速度的1.3倍，結(jié)果比原計(jì)劃提前了3A．1004a?10041.3aC．10041.3a?100441．（2024·河北秦皇島·一模）秦始皇統(tǒng)一度量衡意義重大，這一舉措極大地方便了生產(chǎn)與生活．如圖1和2，欣欣通過兩把不同刻度的直尺說明了其中的原因，并進(jìn)行如下探究：將兩把尺子有刻度的一側(cè)緊貼，則由兩幅圖可得方程（

）A．2432=9C．2432=9??題型11利用分式方程解決實(shí)際問題42．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）綜合與實(shí)踐．如何分配工作，使公司支付的總工資最少素材1壯錦是工藝美術(shù)織品，是壯族人民最精彩的文化創(chuàng)造之一，其歷史也非常悠久．某公司承接到2160個(gè)壯錦手提包的訂單，計(jì)劃將任務(wù)分配給甲、乙兩個(gè)生產(chǎn)部門去完成．甲部門每天生產(chǎn)的總數(shù)是乙部門每天生產(chǎn)總數(shù)的2倍，甲部門單獨(dú)完成這項(xiàng)任務(wù)所需的時(shí)間比乙部門單獨(dú)完成少18天．素材2經(jīng)調(diào)查，這項(xiàng)訂單需要支付甲部門4800元/天，乙部門3000元/天．素材3由于甲部門有其他工作任務(wù)，甲部門工作天數(shù)不超過乙部門工作天數(shù)的一半．問題解決任務(wù)1確定工作效率求甲、乙部門原來每天分別生產(chǎn)多少個(gè)壯錦手提包；任務(wù)2擬訂設(shè)計(jì)方案①若設(shè)甲部門工作m天，則甲部門完成壯錦手提包______個(gè)，乙部門工作時(shí)間可表示為______天；②如何安排甲、乙兩部門工作的天數(shù)，才能使正好完成任務(wù)時(shí)該公司支付的總工資最少？最少需要多少元？43．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）某文創(chuàng)店，最近一款印有“保衛(wèi)里”的書簽銷售火爆．該店第一次用1000元購進(jìn)這款書簽，很快售完，又花1600元第二次購進(jìn)這款書簽，已知每個(gè)書簽第二次購進(jìn)的成本比第一次便宜了1元，且第二次購進(jìn)的數(shù)量是第一次的2倍．(1)求該店兩次購進(jìn)這款書簽各多少個(gè)？(2)第二次購進(jìn)這款書簽后仍按第一次的售價(jià)銷售，在銷售了第二次購進(jìn)數(shù)量的4544．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)鋪設(shè)一條公路，已知甲工程隊(duì)每天比乙工程隊(duì)少鋪設(shè)6km，甲工程隊(duì)鋪設(shè)60km所用的時(shí)間與乙工程隊(duì)鋪設(shè)90km所用的時(shí)間相同，求甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)每天各鋪設(shè)多少45．（2024·山西·模擬預(yù)測）2024年4月底，神舟十七號載人飛船返回艙順利返回東風(fēng)著陸場，神舟十七號任務(wù)取得圓滿成功．某飛箭航模店看準(zhǔn)商機(jī)，購進(jìn)了“神舟”和“天宮”模型．已知每個(gè)“神舟”模型的進(jìn)價(jià)比“天宮”模型多5元，同樣花費(fèi)200元，購進(jìn)“天宮”模型的數(shù)量比“神舟”模型多2個(gè)．

(1)“神舟”和“天宮”模型的進(jìn)價(jià)各是多少元？(2)該飛箭航模店計(jì)劃購進(jìn)兩種模型共100個(gè)，且每個(gè)“神舟”模型的售價(jià)為35元，每個(gè)“天宮”模型的售價(jià)為28元．設(shè)購進(jìn)“神舟”模型a個(gè)，銷售這批模型的利潤為w元．若購進(jìn)“神舟”模型的數(shù)量不超過“天宮”模型數(shù)量的14??題型12分式方程的應(yīng)用與函數(shù)的綜合運(yùn)用46．（2023·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）為了探究函數(shù)在圖象不明的情況下，函數(shù)值的變化情況，我們可以這樣定義：如果點(diǎn)Am,n1、Bm+1,n2在函數(shù)的圖象上，那么我們把t=n2?n1稱為該函數(shù)的“單位鉛直高”．例如：函數(shù)y=3x+2，當(dāng)x=m時(shí)，(1)正比例函數(shù)y=?2x的“單位鉛直高”t=______；(2)若點(diǎn)Pm,n1，Qm+1,n2在反比例函數(shù)(3)已知二次函數(shù)y=?5x2x≤0(4)求反比例函數(shù)y=2x的“單位鉛直高”47．（2022·江蘇無錫·二模）如圖，有兩只大小不等的圓柱形無蓋空水杯（壁厚忽略不計(jì)），將小水杯放在大水杯中．現(xiàn)沿著大水杯杯壁勻速向杯中注水，直至將大水杯注滿．大水杯中水的高度y（厘米）與注水時(shí)間x（秒）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．根據(jù)圖象，解答下列問題：(1)圖中字母a的值為；(2)若小水杯的底面積為30平方厘米，求大水杯的底面積．48．（2020·河北唐山·三模）石家莊某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組利用機(jī)器人開展數(shù)學(xué)活動，在相距150個(gè)單位長度的直線跑道AB上，機(jī)器人甲從端點(diǎn)A出發(fā)，勻速往返于端點(diǎn)A、B之間，機(jī)器人乙同時(shí)從端點(diǎn)B出發(fā)，以大于甲的速度勻速往返于端點(diǎn)B、A之間．他們到達(dá)端點(diǎn)后立即轉(zhuǎn)身折返，用時(shí)忽略不計(jì)，興趣小組成員探究這兩個(gè)機(jī)器人迎面相遇的情況，這里的“迎面相遇”包括面對面相遇、在端點(diǎn)處相遇這兩種．【觀察】①觀察圖1，若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為30個(gè)單位長度，則他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為個(gè)單位長度．②若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為35個(gè)單位長度，則他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為個(gè)單位長度．【發(fā)現(xiàn)】設(shè)這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個(gè)單位長度，他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個(gè)單位長度，興趣小組成員發(fā)現(xiàn)了y與x的函數(shù)關(guān)系，并畫出了部分函數(shù)圖象（線段OP，不包括點(diǎn)O，如圖2所示）①a＝；②分別求出各部分圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式，并在圖2中補(bǔ)全函數(shù)圖象．【拓展】設(shè)這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個(gè)單位長度，他們第三次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個(gè)單位長度，若這兩個(gè)機(jī)器人在第三次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離y不超過60個(gè)單位長度，則他們第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離x的取值范圍是．（直接寫出結(jié)果）??題型13以真實(shí)問題情境為背景考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用49．（2024·云南昭通·二模）2024年前兩個(gè)月消費(fèi)市場持續(xù)恢復(fù)向好，消費(fèi)呈現(xiàn)平穩(wěn)增長態(tài)勢，服務(wù)零售額增長12.3%，其中餐飲收入增長12.5%．現(xiàn)有A、B兩家餐飲店，B餐飲店的人均消費(fèi)金額比A餐飲店多10元，在A餐飲店總消費(fèi)金額為500元的人數(shù)與在B餐飲店總消費(fèi)金額為600元的人數(shù)相同，分別求50．（2024·廣東珠?！ひ荒＃?024年春節(jié)聯(lián)歡晚會的吉祥物“龍辰辰”具有龍年吉祥，幸福安康的寓意，深受大家喜歡．某商場第一次用2400元購進(jìn)一批“龍辰辰”玩具，很快售完；該商場第二次購進(jìn)該“龍辰辰”玩具時(shí)，進(jìn)價(jià)提高了20%，同樣用2400元購進(jìn)的數(shù)量比第一次少1051．（23-24八年級下·四川成都·期中）恰逢2024甲辰龍年，家家戶戶都掛上龍?jiān)氐娘椘?，某校?025屆學(xué)生也在“衍紙畫龍慶新春，巧手實(shí)踐迎新年”的實(shí)踐活動中，創(chuàng)造了許多美麗、獨(dú)特的“龍年裝飾畫”，其中有19幅作品獲得一等獎．某文創(chuàng)店老板抓住商機(jī)花費(fèi)4000元采購了一批“龍年裝飾畫”，并全部售完，于是該老板又第二次采購，但第二次采購時(shí)每件的進(jìn)價(jià)貴了5元，采購費(fèi)用為18000元，且采購數(shù)量是第一次采購的4倍．(1)該老板采購第一批、第二批“龍年裝飾畫”時(shí)，每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元？(2)該老板兩批“龍年裝飾畫”按相同的標(biāo)價(jià)售出，但是最后的50件“龍年裝飾畫”按八折優(yōu)惠售出，老板在銷售過程中額外的成本為1000元，該老板要使兩批“龍年裝飾畫”全部售完后利潤不低于6400元，那么每件“龍年裝飾畫”的標(biāo)價(jià)至少是多少元？52．（2024·廣東佛山·三模）據(jù)工信部有關(guān)信息顯示，預(yù)計(jì)到2030年，我國新能源汽車保有量將達(dá)到6420萬輛．為順應(yīng)時(shí)代發(fā)展，加快公共領(lǐng)域充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，某社區(qū)計(jì)劃在社區(qū)相關(guān)區(qū)域建設(shè)一些充電基礎(chǔ)設(shè)施，經(jīng)過工程招標(biāo)，擬定購買A型慢充樁和B型快充樁兩種型號．已知A型慢充樁比B型快充樁的單價(jià)少1.1萬元，且用6.4萬元購買A型慢充樁與用24萬元購買B型快充樁的數(shù)量相等．(1)問A，B兩種型號充電樁的單價(jià)各是多少？(2)社區(qū)計(jì)劃共建設(shè)50個(gè)A，B型充電樁，平均每個(gè)充電樁場地建設(shè)費(fèi)用為5000元，且本項(xiàng)目預(yù)算建設(shè)總費(fèi)用不超過60萬元，那么安裝購買A型慢充樁最少要有多少個(gè)？??題型14以數(shù)學(xué)文化為背景考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用53．（2020·吉林長春·三模）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契早在13世紀(jì)就提出了分式方程，在其《算經(jīng)》一書中提出了大量的分式方程問題．有一個(gè)“分錢問題”是這樣的：一組人平分10元錢，每人分得若干；若加上6人，再平分40元，則第二次每人所得與第一次相同．求第一次分錢的人數(shù)．請根據(jù)題中的敘述，求出第一次分錢的人數(shù)．54．（2024·山西晉中·三模）元代數(shù)學(xué)家朱世杰于1303年編著的《四元玉鑒》中有這樣一道題目：“今有綾、羅共三丈，各值錢八百九十六文，只云綾、羅各一尺共值錢一百二十文．問綾、羅尺價(jià)各幾何？”其大意為現(xiàn)在有綾布和羅布，布長共3丈（1丈=10尺），已知綾布和羅布分別全部出售后均能收入896文，綾布和羅布各出售一尺共收入120文．問兩種布每尺各多少錢？若設(shè)綾布有x尺，則下列方程正確的為（

）A．896x+896C．896x+89655．（22-23九年級上·云南昆明·期中）《四元玉鑒》是我國古代數(shù)學(xué)重要著作之一，為元代數(shù)學(xué)家朱世杰所著．該著作記載了“買椽多少”問題．“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽”．大意是：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價(jià)錢為6210文．如果每株椽的運(yùn)費(fèi)是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢，試問6210文能買多少株椽？（椽，裝于屋頂以支持屋頂蓋材料的木桿）設(shè)這批椽有x株，則符合題意的方程是（

）A．6210x=3 B．6210x?1=3 C．56．（2024·山西呂梁·三模）請閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．用“幾何代數(shù)法”解分式方程．《幾何原本》中的“幾何代數(shù)法”是指用幾何方法研究代數(shù)問題，這種方法是數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)．在意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（約1170—1250）編寫的《計(jì)算之書》中頻繁運(yùn)用了這種方法．例如，運(yùn)用面積關(guān)系將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，從而求解分式方程．例：《計(jì)算之書》中記載了一道題，譯文如下：一組人平分90枚硬幣，每人分得若干，若再加上6人，平分120枚硬幣，則第二次每人所得與第一次相同．求第一次分硬幣的人數(shù)．設(shè)第一次分硬幣的人數(shù)為x人，則可列方程為90x解：構(gòu)造如圖1所示的圖形，BC=x，CE=6，矩形ABCD的面積為90，矩形ABEF的面積為120，則CD=90x，EF=120根據(jù)圖形可知S矩形所以90120?90解得x=18．

圖1答：第一次分硬幣的人數(shù)為18人．任務(wù)：

(1)

如圖2，AB=x，BC=2，矩形ABDE和矩形ACGH的面積均為60，下列代數(shù)式可以表示邊DF的是___________．（多選）A．60x

B．60x+2

C．60x(2)如圖3，AB=x，BC=2，矩形ACDE的面積為60，矩形ABFH的面積為20，F(xiàn)I=5，則可列方程為___________．(3)請仿照材料中的方法，通過構(gòu)造圖形，求分式方程2x+31．（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°．點(diǎn)D在線段BC上，∠BAD=45°．若AC=4，CD=1，則△ABC的面積是2．（2024·廣西·中考真題）綜合與實(shí)踐在綜合與實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組通過洗一套夏季校服，探索清洗衣物的節(jié)約用水策略．【洗衣過程】步驟一：將校服放進(jìn)清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后擰干；步驟二：將擰干后的校服放進(jìn)清水中，充分漂洗后擰干．重復(fù)操作步驟二，直至校服上殘留洗衣液濃度達(dá)到洗衣目標(biāo)．假設(shè)第一次漂洗前校服上殘留洗衣液濃度為0.2%，每次擰干后校服上都?xì)埩?.5濃度關(guān)系式：d后=0.5d前0.5+w．其中d前【洗衣目標(biāo)】經(jīng)過漂洗使校服上殘留洗衣液濃度不高于0.01【動手操作】請按要求完成下列任務(wù)：(1)如果只經(jīng)過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%(2)如果把4kg(3)比較（1）和（2）的漂洗結(jié)果，從洗衣用水策略方面，說說你的想法．3．（2024·河北·中考真題）某公司為提高員工的專業(yè)能力，定期對員工進(jìn)行技能測試，考慮多種因素影響，需將測試的原始成績x（分）換算為報(bào)告成績y（分）．已知原始成績滿分150分，報(bào)告成績滿分100分、換算規(guī)則如下：當(dāng)0≤x<p時(shí)，y=80x當(dāng)p≤x≤150時(shí)，y=20（其中p是小于150的常數(shù)，是原始成績的合格分?jǐn)?shù)線，80是報(bào)告成績的合格分?jǐn)?shù)線）公司規(guī)定報(bào)告成績?yōu)?0分及80分以上（即原始成績?yōu)閜及p以上）為合格．(1)甲、乙的原始成績分別為95分和130分，若p=100，求甲、乙的報(bào)告成績；(2)丙、丁的報(bào)告成績分別為92分和64分，若丙的原始成績比丁的原始成績高40分，請推算p的值：(3)下表是該公司100名員工某次測試的原始成績統(tǒng)計(jì)表：原始成績（分）95100105110115120125130135140145150人數(shù)1225810716201595①直接寫出這100名員工原始成績的中位數(shù)；②若①中的中位數(shù)換算成報(bào)告成績?yōu)?0分，直接寫出該公司此次測試的合格率．4．（2023·江蘇南京·中考真題）如圖，為了測量無人機(jī)的飛行高度，在水平地面上選擇觀測點(diǎn)A，B．無人機(jī)懸停在C處，此時(shí)在A處測得C的仰角為36°52'無人機(jī)垂直上升5m懸停在D處，此時(shí)在B處測得D的仰角為63°26'，AB=10m，點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，A1．（2024·海南·中考真題）分式方程1x?2=1的解是（A．x=3 B．x=?3 C．x=2 D．x=?22．（2024·江蘇無錫·中考真題）分式方程1x=2A．x=1 B．x=?2 C．x=12 3．（2024·山東·中考真題）為提高生產(chǎn)效率，某工廠將生產(chǎn)線進(jìn)行升級改造，改造后比改造前每天多生產(chǎn)100件，改造后生產(chǎn)600件的時(shí)間與改造前生產(chǎn)400件的時(shí)間相同，則改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為（

）A．200 B．300 C．400 D．5004．（2024·四川遂寧·中考真題）分式方程2x?1=1?mx?1的解為正數(shù)，則A．m>?3 B．m>?3且m≠?2C．m<3 D．m<3且m≠?25．（2023·黑龍江·中考真題）已知關(guān)于x的分式方程mx?2+1=x2?x的解是非負(fù)數(shù)，則A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠?2 D．m<2且m≠?26．（2023·上?！ぶ锌颊骖}）在分式方程2x?1x2+x22x?1=5A．y2+5y+5=0 B．y2?5y+5=0 C．7．（2024·山東東營·中考真題）水是人類賴以生存的寶貴資源，為節(jié)約用水，創(chuàng)建文明城市，某市經(jīng)論證從今年1月1日起調(diào)整居民用水價(jià)格，每立方米水費(fèi)上漲原價(jià)的14．小麗家去年5月份的水費(fèi)是28元，而今年5月份的水費(fèi)則是24.5元．已知小麗家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3m3．設(shè)該市去年居民用水價(jià)格為x8．（2023·湖南永州·中考真題）若關(guān)于x的分式方程1x?4?m4?x=19．（2023·四川眉山·中考真題）關(guān)于x的方程x+mx?2?1=x?12?x的解為非負(fù)數(shù)，則10．（2024·四川雅安·中考真題）某市為治理污水，保護(hù)環(huán)境，需鋪設(shè)一段全長為3000米的污水排放管道，為了減少施工對城市交通所造成的影響，實(shí)際施工時(shí)每天的工效比原計(jì)劃增加25%(1)求原計(jì)劃與實(shí)際每天鋪設(shè)管道各多少米？(2)負(fù)責(zé)該工程的施工單位，按原計(jì)劃對工人的工資進(jìn)行了初步的預(yù)算，工人每天人均工資為300元，所有工人的工資總金額不超過18萬元，該公司原計(jì)劃最多應(yīng)安排多少名工人施工？11．（2024·黑龍江大慶·中考真題）為了健全分時(shí)電價(jià)機(jī)制，引導(dǎo)電動汽車在用電低谷時(shí)段充電，某市實(shí)施峰谷分時(shí)電價(jià)制度，用電高峰時(shí)段（簡稱峰時(shí)）：7：00—23：00，用電低谷時(shí)段（簡稱谷時(shí)）：23：00—次日7：00，峰時(shí)電價(jià)比谷時(shí)電價(jià)高0.2元/度．市民小萌的電動汽車用家用充電樁充電，某月的峰時(shí)電費(fèi)為50元，谷時(shí)電費(fèi)為30元，并且峰時(shí)用電量與谷時(shí)用電量相等，求該市谷時(shí)電價(jià)．12．（2024·山東泰安·中考真題）隨著快遞行業(yè)的快速發(fā)展，全國各地的農(nóng)產(chǎn)品有了更廣闊的銷售空間，某農(nóng)產(chǎn)品加工企業(yè)有甲、乙兩個(gè)組共35名工人．甲組每天加工3000件農(nóng)產(chǎn)品，乙組每天加工2700件農(nóng)產(chǎn)品，已知乙組每人每天平均加工的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量是甲組每人每天平均加工農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量的1.2倍，求甲、乙兩組各有多少名工人？13．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）某公司為節(jié)能環(huán)保，安裝了一批A型節(jié)能燈，一年用電16000千瓦·時(shí)．后購進(jìn)一批相同數(shù)量的B型節(jié)能燈，一年用電9600千瓦·時(shí)．一盞A型節(jié)能燈每年的用電量比一盞B型節(jié)能燈每年用電量的2倍少32千瓦·時(shí)．求一盞A型節(jié)能燈每年的用電量．14．（2024·重慶·中考真題）為促進(jìn)新質(zhì)生產(chǎn)力的發(fā)展，某企業(yè)決定投入一筆資金對現(xiàn)有甲、乙兩類共30條生產(chǎn)線的設(shè)備進(jìn)行更新?lián)Q代．(1)為鼓勵企業(yè)進(jìn)行生產(chǎn)線的設(shè)備更新，某市出臺了相應(yīng)的補(bǔ)貼政策．根據(jù)相關(guān)政策，更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備可獲得3萬元的補(bǔ)貼，更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備可獲得2萬元的補(bǔ)貼．這樣更新完這30條生產(chǎn)線的設(shè)備，該企業(yè)可獲得70萬元的補(bǔ)貼．該企業(yè)甲、乙兩類生產(chǎn)線各有多少條？(2)經(jīng)測算，購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備比購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備需多投入5萬元，用200萬元購買更新甲類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量和用180萬元購買更新乙類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量相同，那么該企業(yè)在獲得70萬元的補(bǔ)貼后，還需投入多少資金更新生產(chǎn)線的設(shè)備？

第二章方程與不等式第06講分式方程及應(yīng)用TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01分式方程的定義05-23??題型02解分式方程??題型03以注重過程性學(xué)習(xí)的形式考查解分式方程??題型04與解分式方程有關(guān)的新定義問題??題型05與解分式方程有關(guān)的跨學(xué)科問題??題型06由分式方程的解求參數(shù)??題型07由分式方程有解、無解或有增根求參數(shù)??題型08由分式方程解的取值范圍求參數(shù)??題型09分式方程與不等式組綜合??題型10列分式方程??題型11利用分式方程解決實(shí)際問題??題型12分式方程的應(yīng)用與函數(shù)的綜合運(yùn)用??題型13以真實(shí)問題情境為背景考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用??題型14以數(shù)學(xué)文化為背景考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用??題型01分式方程的定義1．（2024·廣西賀州·三模）下列式子是分式方程的是（

）A．x+12=5C．x2x?1+3【答案】C【分析】此題考查了分式方程，分母中含有未知數(shù)的有理方程是分式方程，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．x+12B．13x?1C．x2x?1D．3?x4故選：C．2．（2021·河南信陽·模擬預(yù)測）下列方程：①1x+1=x；②x+12?3=0；③2x?1+31?xA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】等號兩邊至少有一個(gè)分母含有未知數(shù)的有理方程叫做分式方程；【詳解】解：觀察各方程的分母，只有①③分母中含有未知數(shù)，而④中分母雖含有字母，但字母不是未知數(shù)，故不是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均屬于整式方程．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的定義，掌握定義是解題關(guān)鍵．??題型02解分式方程3．（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測）分式方程1?1x=【答案】x=【分析】本題考查了解分式方程，先化為整式方程，再解一元一次方程，然后對所求的方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)即可得．【詳解】解：1?去分母得，xx?1解得x=1檢驗(yàn)：將x=12代入∴原方程的解為x=1故答案為：x=14．（2024·青海西寧·三模）解分式方程：2x?2【答案】分式方程無解【分析】本題考查了解分式方程，方程兩邊都乘x?1得出整式方程，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】解：2方程兩邊都乘x?1，得2x?2解得：x=1，檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，x?1=0，所以x=1是增根，即原分式方程無解．5．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）解方程：3x?3【答案】x=?【分析】此題考查了解分式方程，去分母化為整式方程，解整式方程，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】解：3去分母得，3x+3去括號得，3x+9?4=0，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得，3x=?5，系數(shù)化為1得，x=?5經(jīng)檢驗(yàn)，x=?56．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)，寫出a的值為，b的值為．

x

結(jié)果代數(shù)式2m2x?13bx?1a2【答案】13【分析】本題考查代數(shù)式求值，分式的求值，解分式方程，把x=2代入分式求出a的值，把m代入分式得到關(guān)于m的分式方程，求出m的值，再代入代數(shù)式求出b的值即可．【詳解】解：當(dāng)x=2時(shí)，x?1x+1∴a=1當(dāng)x=m時(shí)，x?1x+1=m?1經(jīng)檢驗(yàn)m=?3是原方程的解，∴當(dāng)x=?3時(shí)，b=2×?3故答案為：13，?7??題型03以注重過程性學(xué)習(xí)的形式考查解分式方程7．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測）小王同學(xué)解分式方程x+13x?6解：去分母得：x+1?3(2x+1)=3①去括號得：x+1?6x+1=3②移項(xiàng)得：x?6x=3?1?1③合并同類項(xiàng)得：?5x=1④系數(shù)化為1得：x=?1∴x=?15【答案】錯誤的步驟是①、②，正確解答見解析【分析】本題考查了解分式方程，觀察閱讀材料中的解方程過程，找出錯誤的步驟，修改解答過程即可．【詳解】解：錯誤的步驟是①、②，正確解答如下：去分母得：x+1?3(2x+1)=3(3x?6)，去括號得：x+1?6x?3=9x?18，移項(xiàng)得：x?6x?9x=?18?1+3，合并同類項(xiàng)得：?14x=?16，解得：x=8檢驗(yàn)：當(dāng)x=87時(shí)，所以分式方程的解為x=88．（2024·山東濱州·模擬預(yù)測）（1）先化簡，再求值：(a?3b)(a+3b)+(a?3b)2，其中（2）小丁和小迪分別解方程xx?2小?。航猓喝シ帜?，得x?(x?3)=x?2去括號，得x?x+3=x?2合并同類項(xiàng)，得3=x?2解得，x=5∴原方程的解是x=5小迪：解：去分母，得x+(x?3)=1去括號，得x+x+3=1合并同類項(xiàng)，得2x?3=1解得，x=2經(jīng)檢驗(yàn)x=2是方程的增根，原方程無解．你認(rèn)為小丁和小迪的解法是否正確，若正確，打“√”，如果錯誤，請寫出正確的解答過程【答案】（1）2a2?6ab；【分析】本題考查的是整式的化簡求值、分式方程的解法，掌握整式的混合運(yùn)算法則、解分式方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平方差公式、完全平方公式、合并同類項(xiàng)法則把原式化簡，把a(bǔ)、b的值代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)解分式方程的一般步驟解出方程．【詳解】解：（1）原式==2a當(dāng)a=?3，b=13時(shí)，原式（2）小丁和小迪的解法都不正確，正確解法如下：方程兩邊同乘x?2，得x+(x?3)=x?2，去括號，得x+x?3=x?2，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得x=1，檢驗(yàn)，當(dāng)x=1時(shí)，x?2≠0，∴原方程的解是x=1．9．（2024·寧夏銀川·二模）以下是小明解方程x+1x?2解：去分母：x+1=?1?2x?2去括號：x+1=?1?2x?4…………，第二步移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：3x=?6…………．第三步系數(shù)化為1，得：x=?2…………．第四步檢驗(yàn)：當(dāng)x=?2時(shí)，x?2=?4≠0，所以：x=?2是原分式方程的解．(1)填空：①以上解題過程中，第一步去分母的依據(jù)；②第步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是；(2)請你寫出此方程的正確求解過程．【答案】(1)二，去括號時(shí)第二項(xiàng)沒有變號；(2)x=2【分析】本題考查了解分式方程步驟的依據(jù)以及解分式方程的一般步驟．（1）觀察已知條件所給的解方程的步驟，根據(jù)等式的基本性質(zhì)進(jìn)行解答即可；（2）①觀察已知條件所給的解方程的步驟，根據(jù)去括號法則進(jìn)行解答即可；②按照解分式方程的一般步驟解方程，求出方程的解即可．【詳解】（1）解：①以上解題過程中，第一步去分母的依據(jù)等式的基本性質(zhì)，故答案為：等式的基本性質(zhì)；②第二步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是：去括號時(shí)第二項(xiàng)沒有變號，故答案為：二，去括號時(shí)第二項(xiàng)沒有變號．（2）解：正確的求解過程如下：x+1x?2去分母得：x+1=?1?2x?2去括號得：x+1=?1?2x+4，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：3x=2，系數(shù)化為1，得：x=2檢驗(yàn)：當(dāng)x=23時(shí)，∴x=210．（2024·山西忻州·三模）（1）|?9|×?（2）下面是小明同學(xué)解分式方程的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．解方程：3x?3解：去分母，得3=1+3x，……………………第一步移項(xiàng)，得3x=1?3，……………第二步合并同類項(xiàng)，得3x=?2，………第三步系數(shù)化為1，得x=?2檢驗(yàn)：當(dāng)x=?23時(shí)，所以x=?2任務(wù)一：以上解題過程從第步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是．任務(wù)二：該方程的正確解是．任務(wù)三：除糾正上述錯誤外，請你根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就解分式方程時(shí)還需要注意的事項(xiàng)給其他同學(xué)提一條建議．【答案】（1）2；（2）任務(wù)一：一；去分母時(shí)，1沒有乘(x?3)；任務(wù)二：x=3【分析】本題考查了含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，解分式方程，熟練掌握解解分式方程的基本步驟，掌握運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)含有乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)解分式方程的步驟進(jìn)行分析和解答即可．【詳解】（1）解：原式=9×=1?2+2+1=2．（2）解：任務(wù)一：解方程：3x?3解：去分母，得3=x?3+3x，……………………第一步，∴以上解題過程從第一步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是1沒有乘(x?3)

．故答案為：一；去分母時(shí)，1沒有乘(x?3)．任務(wù)二：解方程：3x?3解：去分母，得3=x?3+3x，移項(xiàng)，得x+3x=3+3，合并同類項(xiàng)，得4x=6，系數(shù)化為1，得x=3檢驗(yàn)：當(dāng)x=32時(shí)，所以x=3故答案為：x=3任務(wù)三：解分式方程必須檢驗(yàn)．（答案不唯一）??題型04與解分式方程有關(guān)的新定義問題11．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）對于實(shí)數(shù)a、b，定義一種新運(yùn)算“?”為：a?b=1a?b2，這里等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算．例如：1?3=1A．x=5 B．x=6 C．x=7 D．無解【答案】A【分析】根據(jù)新定義可得，x??2=1【詳解】解：由題意可得，x??2∵x??2∴1x?4解得：x=5，把x=5代入x?4得，x?4=5?4=1≠0，∴x=5是原方程的解，故選；A．12．（2022·河南平頂山·二模）定義運(yùn)算m※n=1+1m+n，如：1※A．x=1 B．x=?1 C．x=?12 【答案】D【分析】根據(jù)新定義得出方程1+1x+x+1=3【詳解】解：由題意，得1+1x+x+1=3∴12x+1解得：x=12經(jīng)檢驗(yàn)，x=12故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查新定義和解分式方程，理解定義和求解分式方程是解題的關(guān)鍵．13．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）定義兩種新運(yùn)算“△”和“※”，其運(yùn)算規(guī)則為a△b=a?ba+b，a※b=a+2ba?2b【答案】0【分析】本題考查了新運(yùn)算，解分式方程，根據(jù)新運(yùn)算規(guī)則得x?1x+1【詳解】解：由題意得x?1x+1去分母得：x?1x?4整理得：10x=0，解得：x=0，檢驗(yàn)：當(dāng)x=0時(shí)，x+1x?4∴原方程的解為x=0，故答案：0．14．（2023·廣東深圳·二模）對于實(shí)數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算“θ”為：aθb=1a+b2，例如：1θ2=1【答案】x=?72【分析】利用題中的新定義化簡，計(jì)算即可求出解．【詳解】解：∵aθb=1∴xθ?2=2去分母得：1=2?2x+4解得：x=?7檢驗(yàn)：當(dāng)x=?72時(shí)，∴分式方程的解是x=?7故答案為：x=?【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．15．（21-22八年級下·江蘇揚(yáng)州·期中）對于一些特殊的方程，我們給出兩個(gè)定義：①若兩個(gè)方程有相同的一個(gè)解，則稱這兩個(gè)方程為“相似方程”；②若兩個(gè)方程有相同的整數(shù)解，則稱這兩個(gè)方程為“相伴方程”．(1)判斷一元一次方程3－2(1－x)=4x與分式方程2x+12x?1(2)已知關(guān)于x，y的二元一次方程y=mx+6與y=x+4m是“相伴方程”，求正整數(shù)m的值．【答案】(1)不是“相似方程”，理由見解析(2)m=2或3【分析】（1）求出兩方程的解，再根據(jù)“相似方程”的定義判斷即可．（2）由“相伴方程”的定義求得方程解的表達(dá)式，進(jìn)而分類討論求得滿足條件的m的值．【詳解】（1）解：不是“相似方程”，理由如下：解一元一次方程3－2(1－x)=4x，解得：x=12解分式方程2x+12x?1?1=44檢驗(yàn)：當(dāng)x=12時(shí)，(2x+1)(2x∴分式方程無解∴一元一次方程3－2(1－x)=4x與分式方程2x+12x?1（2）解：由題意，兩個(gè)方程有相同的整數(shù)解∴mx+6=x+4m，∴(m－1)x=4m－6，①當(dāng)m－1=0時(shí)，方程無解；

②當(dāng)m－1≠0，即m≠1時(shí)，x=4m?6m?1，即x∵x，y均為整數(shù)∴m－1=1，2，－1，－2，∴m=2，3，0，－1，又∵m取正整數(shù)，∴m=2或3綜上所述，m=2或3．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程、分式方程、二元一次方程；按照定義求解方程是解題的關(guān)鍵．??題型05與解分式方程有關(guān)的跨學(xué)科問題16．化學(xué)小組欲將100g濃度為98%的酒精溶液稀釋為75%的酒精溶液．設(shè)需要加水x【答案】0.98×100【分析】利用酒精的質(zhì)量不變列方程即可．【詳解】解：設(shè)需要加水xg由題意得0.98×100x+100故答案為：0.98×100x+100【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，準(zhǔn)確理解題意，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．17．如圖，把R1、R2兩個(gè)電阻并聯(lián)起來，線路AB上的電流為I，電壓為U，總電阻為R總，則U=IR總，其中，R1，R2，R總滿足關(guān)系式：【答案】12【分析】先把R1、R2、R總關(guān)系式1R總=1R【詳解】解：分式方程兩邊同乘以R1·R2·R總，得R1·R2＝R2·R總＋R1·R總把R1=10300＝40·R總∴R總＝7.5又∵U=I∴U＝12【點(diǎn)睛】本題主要考查解分式方程，先把分式方程化簡，再把解方程，關(guān)鍵是掌握分式方程化簡的方法和步驟．18．科學(xué)中，經(jīng)常需要把兩種物質(zhì)混合制作成混合物，研究混合物的物理性質(zhì)和化學(xué)性質(zhì)．現(xiàn)將甲、乙兩種密度分別為ρ甲，ρ乙的液體混合（ρ甲<ρ乙），研究混合物的密度（(1)請用含ρ甲，ρ乙式子表示(2)比較ρ1，ρ(3)現(xiàn)有密度為1.2g/cm3的鹽水600g，加適量的水（密度為1.0【答案】(1)ρ(2)ρ(3)需要加水50【分析】本題考查列代數(shù)式，分式的加減，分式方程的應(yīng)用，掌握比差法是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)混合溶液密度為ρ1的兩種液體的體積分別為V（2）用含ρ甲，ρ乙式子表示出ρ2（3）根據(jù)題意找出等量關(guān)系，利用分式方程解題即可．【詳解】（1）解：設(shè)混合溶液密度為ρ1的兩種液體的體積分別為V∴ρ1（2）設(shè)混合溶液密度為ρ2的兩種液體的質(zhì)量分別為m∴ρ2∵ρ1∴ρ1（3）解：密度為1.2g/cm3的鹽水設(shè)需要加水xg，即加入的水的體積為則600500+x解得：x=50，經(jīng)檢驗(yàn)x=50是原方程的解．答：需要加水50g，才能使密度為1.119．（2024·江蘇無錫·二模）在跨學(xué)科探究學(xué)習(xí)中，我們發(fā)現(xiàn)如下兩個(gè)公式：如圖①，在串聯(lián)電路中，總電阻R滿足R=R1+R2；如圖②(1)如圖③，已知R1=12Ω，R(2)如圖④，已知R0為定值電阻，現(xiàn)有兩個(gè)電阻R1和R2R1<(3)如圖⑤，現(xiàn)有三個(gè)電阻R1、R2和(4)如圖⑥，已知R0為定值電阻，現(xiàn)有四個(gè)電阻R1、R2、R【答案】(1)R(2)R2在串聯(lián)電路上，R(3)R2,R(4)見詳解【分析】本題考查了數(shù)學(xué)與物理的跨學(xué)科探究題，考查了列分式方程，解分式方程，比較分式的大小，熟練掌握知識點(diǎn)，借助于物理學(xué)科知識是解題的關(guān)鍵．（1）由題意得112（2）分類討論，①當(dāng)R1在上方，R2在下方，則R=11R0+R1+1R2=R（3）分類討論，設(shè)這三個(gè)電阻R1=x,R2=y,R3=z，則x<y<z，①當(dāng)R1,R2并聯(lián)，則R=11x+1y+z=xyx+y+z=xy+yz+xz（4）同理由（2）（3）問可推導(dǎo)，R0與R4并聯(lián)，再與R3串聯(lián)，再與R【詳解】（1）解：由題意得：112解得R2經(jīng)檢驗(yàn)，R2∴R2（2）解：①當(dāng)R1在上方，R2在下方，則②當(dāng)R2在上方，R1在下方，則∵R0∴R'∴當(dāng)在串聯(lián)電路上，R1則如下圖擺放能使得總電阻最小：（3）解：設(shè)這三個(gè)電阻R1=x,R2=y,①當(dāng)R1,R②當(dāng)R1,R③當(dāng)R2,由x<y<z得x+y<x+z<z+y∴R″∴R2,R如圖：（4）解：同理，由（2）（3）問可推導(dǎo)按照如下圖方式擺放：20．馬超同學(xué)在學(xué)習(xí)物理第七章第二節(jié)《怎樣比較運(yùn)動的快慢》時(shí)，遇到一個(gè)這樣的問題：甲、乙兩地之間為一座山丘，一同學(xué)從甲地到乙地先上坡再下坡，上坡速度為v1，下坡速度為v2，上坡和下坡路程相等，則這位同學(xué)從甲地到乙地的平均速度為多少？馬超經(jīng)過計(jì)算得出平均速度為v=2v1v2(1)計(jì)算：12(2)解方程：1x(3)若分式方程12x?1【答案】(1)4(2)x=?(3)4或8【分析】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律探索，解分式方程：（1）根據(jù)題意把所求式子裂項(xiàng)求解即可；（2）把1xx+1裂項(xiàng)變成（3）先把式子1xx+2，1x+2x+4裂項(xiàng)變成12【詳解】（1）解：1==1?=4（2）解：∵1x∴1x∴1x+1解得x=?1經(jīng)檢驗(yàn)，x=?1（3）解：∵12x∴1∴12x∴12x+8∴2x+8=m，∵原方程有增根，∴當(dāng)x=0時(shí)，m=8，當(dāng)x=?2時(shí)，m=4，當(dāng)x=?4時(shí)，m=0（舍去）綜上所述，m的值為4或8．??題型06由分式方程的解求參數(shù)21．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知x=5是分式方程4x+2=1?k2+x的解，則A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】本題主要考查了分式方程解的定義，分式方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，據(jù)此把x=5代入原方程求出k的值即可．【詳解】解：∵x=5是分式方程4x+2∴45+2解得：k=3，故選：C．22．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知x=1是分式方程x?3x?2?a2?x=?1【答案】3【分析】本題考查分式方程的解．將x=1代入分式方程，得到關(guān)于a的一元一次方程，然后解方程即可．【詳解】解：把x=1代入原方程可得1?31?2解得：a=3，故答案為：3．23．（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測）關(guān)于x的方程2x+2+12?x=2x+mx【答案】6【分析】此題考查了分式方程和一元二次方程含參數(shù)問題，首先求出分式方程的解為x=?6?m，然后根據(jù)有意義的條件得到m≠?4，m≠?8，然后求出一元二次方程的解為x=m2或x=?2m，然后根據(jù)題意得到?6?m=m【詳解】2去分母得，2解得x=?6?m∴x=?6?m≠±2∴m≠?4，m≠?8(2x?m)(x+2m)=0∴2x?m=0或x+2m=0解得x=m2∵關(guān)于x的方程2x+2+1∴?6?m=m2解得m=?4（舍去），m=6．故答案為：6．??題型07由分式方程有解、無解或有增根求參數(shù)24．（2024·貴州黔東南·一模）若關(guān)于x的分式方程ax?1+1=?2x?1無解，則A．?1 B．0 C．1 D．?2【答案】D【分析】本題考查分式方程無解問題，將方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求出分式的分母為0時(shí)的x的值，代入整式方程求出a的值即可．【詳解】解：方程去分母，得：a+x?1=?2，∵方程無解，∴整式方程無解或方程有增根，∴x?1=0，∴x=1，把x=1代入a+x?1=?2，得：a+1?1=?2，∴a=?2；故選D．25．（2024·湖南·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的分式方程1?kxx?2=12?x有增根，則【答案】1【分析】本題主要考查了根據(jù)分式方程根的情況求參數(shù)，先解分式方程得到x=2k，再根據(jù)分式方程有增根的情況是分母為0得到x=2，則【詳解】解：1?kx去分母得：1?kx=?1，解得x=2∵分式方程有增根，∴x?2=0，即x=2，∴2k∴k=1，經(jīng)檢驗(yàn)，k=1是原方程的解，故答案為：1．26．（2024·四川綿陽·二模）若關(guān)于x的分式方程m3?x=1有解，且關(guān)于y的方程y2?2y+m=0有實(shí)數(shù)根，則【答案】m≤1且m≠0【分析】本題考查了分式方程的解有意義的概念，一元二次方程實(shí)數(shù)根的判斷，掌握求解的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式有意義的情況得到x≠3，化簡分式后代入即可得到m的取值，再根據(jù)一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：m3?x=1，化簡得：∵3?x≠0，即x≠3，∴3?m≠3，解得：m≠0，∵y2∴Δ=解得：m≤1，∴綜上m≤1且m≠0，故答案為：m≤1且m≠0．27．（2024·遼寧丹東·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的分式方程2a+1x+1=a有解，則a的取值范圍是【答案】a≠?12【分析】本題考查了分式方程的解，始終注意分母不為0這個(gè)條件．分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，表示出分式方程的解，確定出a的范圍即可．【詳解】解：分式方程去分母得：2a+1=ax+a，整理得：ax=a+1，當(dāng)a=0時(shí)，方程無解，∵分式方程的增根是：x=?1，∴把x=?1代入ax=a+1，得?a=a+1，解得：a=?1所以a的范圍是a≠?12，且故答案為：a≠?12，且??題型08由分式方程解的取值范圍求參數(shù)28．（2024·山東日照·三模）若關(guān)于x的分式方程2xx?1?3=m1?x的解為正數(shù)，則A．m<?2且m≠?3 B．m>?2且m≠3C．m>?3且m≠?2 D．m>?3且m≠2【答案】C【分析】本題考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解是解答此題的關(guān)鍵．先利用m表示出x的值，再由x為正數(shù)求出m的取值范圍即可．【詳解】解：2x方程兩邊同時(shí)乘以x?1得，2x?3x?1解得x=m+3．∵x為正數(shù)，∴m+3>0，解得m>?3．∵x≠1，∴m+3≠1，即m≠?2．∴m的取值范圍是m>?3且m≠?2．故選：C．29．（2024·安徽·模擬預(yù)測）關(guān)于x的方程mx?1?3=x1?x的解為非負(fù)數(shù)，則【答案】m≥?3且m≠?1【分析】本題主要考查解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，先解出方程mx?1?3=x1?x的解為x=m+3【詳解】解：mm?3m?3x+3=?x∴x=m+3由題意可知m+32≥0且解得m≥?3且m≠?1，故答案為：m≥?3且m≠?1．30．（2024·四川成都·二模）若關(guān)于x的分式方程3xx?1=m1?x+2【答案】m>?2【分析】本題考查的是根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)．先利用m表示出x的值，再由x為負(fù)數(shù)求出m的取值范圍即可．【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以(x?1)得：3x=?m+2(x?1)，解得：x=?m?2，∵x為負(fù)數(shù)，且x≠1，∴?m?2<0，且?m?2≠1，解得m>?2，且m≠?3，∴m的取值范圍是m>?2，故答案為：m>?2．31．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的方程xx?3=2?m3?x有一個(gè)正數(shù)解，則【答案】m<6且m≠3【分析】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式．熟練掌握解分式方程，解一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．解分式方程得x=6?m，由關(guān)于x的方程xx?3=2?m3?x有一個(gè)正數(shù)解，可得【詳解】解：xx?3x=2x?6+m，解得，x=6?m，∵關(guān)于x的方程xx?3∴6?m>0，且6?m≠3，解得，m<6且m≠3，故答案為：m<6且m≠3．??題型09分式方程與不等式組綜合32．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不等式組2x?a≤?1x+12?2x3<1有且只有兩個(gè)偶數(shù)解，且關(guān)于A．15 B．10 C．5 D．3【答案】C【分析】先根據(jù)不等式組“有且只有兩個(gè)偶數(shù)解”求出a的取值范圍，再解分式方程，并由該方程有解得到a≠3、a≠2，綜合后即可得到所有滿足條件的整數(shù)a的和．【詳解】解：2x?a≤?1①解不等式①得：x≤a?1解不等式②得：x>?3，∴原不等式組的解集為：?3<x≤a?1∵原不等式有且只有兩個(gè)偶數(shù)解，∴0≤a?1∴1≤a<5，解分式方程得：y=?2∵原分式方程有解，∴a≠3，∵y=2是原分式方程的增根，∴a≠2，綜上，1≤a<5，且a≠3，a≠2，a為整數(shù)，∴a=4或1，∴所有滿足條件的整數(shù)a的和是1+4=5．．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是由不等式組解集的情況求參數(shù)、根據(jù)分式方程解的情況求值，解題關(guān)鍵是熟練掌握根據(jù)不等式組解集的情況求參數(shù)及根據(jù)分式方程解的情況求值的方法．33．（2024·重慶渝北·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不等式組x2+2<14?x25x?m≥?4x+5有解且至多有4個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y【答案】10【分析】此題考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式組，以及一元一次不等式組的整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是掌握以上運(yùn)算法則．不等式組整理后，表示出解集，由不等式組有解且至多有4個(gè)整數(shù)解確定出m的范圍，再由分式方程解為整數(shù)，確定出滿足題意整數(shù)m的值，求出之和即可．【詳解】解：不等式組整理得：x<5x≥解得：5m+59∵不等式組有解且至多4個(gè)整數(shù)解，∴0<5m+5解得：?4分式方程y+my?2去分母得：y+m=3y?6+2m，解得：y=6?m∵y=6?m2≠2∵分式方程的解為整數(shù)，?45<m<8∴m=0或4或6，則滿足題意整數(shù)m之和為0+4+6=10．故答案為：10．34．（2024·四川成都·二模）現(xiàn)從?4，?3，?2，?1，0，1，2，3，4這9個(gè)數(shù)中任意選取一個(gè)數(shù)作為a的值，則使關(guān)于x的分式方程2x?ax+1=3的解是負(fù)數(shù)，且關(guān)于x的不等式組4x+1≥3x+1【答案】4【分析】本題考查概率公式、解分式方程、解一元一次不等式組，先求出使關(guān)于x的分式方程2x?ax+1=3的解是負(fù)數(shù)，且關(guān)于x的不等式組4x+1≥3x+1【詳解】解：由分式方程2x?ax+1=3，可得∵分式方程2x?ax+1=3的解是負(fù)數(shù)，且∴?a?3<0，且?a?3≠?1，∴a>?3且a≠?2，由不等式組4x+1≥3x+12x?x+1∵關(guān)于x的不等式組4x+1≥3x+1∴2>2a+1解得:a<2.5；由上可得，a的取值范圍為?3<a<2.5，且a≠?2，∴從?4，?3，?2，?1，0，1，2，3，4這9個(gè)數(shù)中任意選取一個(gè)數(shù)作為a的值，使關(guān)于x的分式方程2x?ax+1=3的解是負(fù)數(shù)，且關(guān)于x的不等式組4x+1≥3x+12x?x+1∴現(xiàn)從?4，?3，?2，?1，0，1，2，3，4這9個(gè)數(shù)中任意選取一個(gè)數(shù)作為a的值，則使關(guān)于x的分式方程2x?ax+1=3的解是負(fù)數(shù)，且關(guān)于x的不等式組4x+1≥3x+1故答案為：4935．（2024·山東濰坊·模擬預(yù)測）（1）計(jì)算：13（2）關(guān)于x的分式方程3x?ax?3+x+13?x=1的解為正數(shù)，且關(guān)于y的不等式組y+9≤2【答案】（1）1

（2）13【分析】（1）根據(jù)負(fù)指數(shù)冪，零次冪，特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算法則先計(jì)算結(jié)果，再根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則即可求解；（2）先解分式方程可得參數(shù)的解集為a>2且a≠5，再解不等式組，根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間中，大大小小無解”方法求解集，由此即可求解．【詳解】解：1=3?1+=2+1?2=1；（2）3x?a分式方程去分母得，3x?a?x?1=x?3，解得：x=a?2，∵分式方程的解為正數(shù)，即a?2>0且a?2≠3，∴a>2且a≠5，解不等式組y+9≤2y+2由y+9≤2y+2得：y≥5，由2y?a3>1∵解集為y≥5，∴3+a2解得：a<7，綜上可知a的整數(shù)解有：3，4，6，它們的和為13．【點(diǎn)睛】本題主要考查負(fù)指數(shù)冪，零次冪，特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算，分式方程，解一元一次不等式組及解集求參數(shù)，掌握以上知識的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．??題型10列分式方程36．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）新楚大高速公路（楚雄到大理）通車運(yùn)營，續(xù)寫了“云南第一路”新篇章．小杰家到大理約240km，從新修道路自駕去大理的平均速度是原來的1.5倍，所需時(shí)間比原來縮短了1h，設(shè)原來小杰自駕去大理的平均速度是xkm/hA．2402.5x?240C．2402.5x+240【答案】B【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，解答本題案的關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)“所需時(shí)間比原來縮短了1h【詳解】解：根據(jù)題意，得240x故選：B．37．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學(xué)專著之一，其中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件用慢馬送到900里外的城市，需要的時(shí)間比規(guī)定時(shí)間多一天：如果用快馬送，所需的時(shí)間比規(guī)定時(shí)間少3天．已知快馬的速度是慢馬的2倍，求規(guī)定時(shí)間．設(shè)規(guī)定時(shí)間為x天，則可列方程為（）A．900x+1×2=900C．900x?1=900【答案】A【分析】本題考查列分式方程，設(shè)規(guī)定時(shí)間為x天，根據(jù)快馬的速度是慢馬的2倍列方程即可，理解題意，找到等量關(guān)系是解答的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)規(guī)定時(shí)間為x天，根據(jù)題意得，900x+1故選：A．38．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）2023年3月底，G107國道深圳寶安段(下稱“107國道”)正式啟動先行段的市政化改造，它縱貫寶安區(qū)，沿線是廣深科技創(chuàng)新走廊的核心地段，千余家國家高新技術(shù)企業(yè)密布其間，被視為“鵬城一翼”“灣區(qū)動軸”．它全長為31.4千米，這條94歲的國道路面需整改，為了盡量減少施工對城市交通所造成的影響，實(shí)際施工時(shí)，每天的工效比原計(jì)劃增加20%，結(jié)果提前5天完成這一任務(wù)，設(shè)原計(jì)劃每天整改x千米，則下列方程正確的是（

A．31.41+20%xC．31.41?20%x【答案】B【分析】本題考查由實(shí)際問題列分式方程，設(shè)原計(jì)劃每天整改x千米，得到實(shí)際施工時(shí)每天整改1+20%【詳解】解：設(shè)原計(jì)劃每天整改x千米，實(shí)際施工時(shí)每天整改1+20%31.4x故選：B．39．（2024·廣東深圳·三模）一次夏令營活動中，班長購買了甲、乙兩種礦泉水，其中甲種礦泉水共花費(fèi)80元，乙種礦泉水共花費(fèi)60元，甲種礦泉水比乙種礦泉水多20瓶，乙種礦泉水價(jià)格是甲種礦泉水價(jià)格的1.5倍．若設(shè)甲種礦泉水的價(jià)格為x元，根據(jù)題意可列方程為（）A．801.5x?60C．60x?80【答案】B【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程．設(shè)甲種礦泉水的價(jià)格為x元，則乙種礦泉水價(jià)格為1.5x，根據(jù)甲種礦泉水比乙種礦泉水多20瓶，列分式方程．【詳解】解：設(shè)甲種礦泉水的價(jià)格為x元，則乙種礦泉水價(jià)格為1.5x，由題意得，80x故選：B．40．（2024·貴州黔南·模擬預(yù)測）近年來，國家提倡節(jié)能減排，為響應(yīng)號召，很多家庭都購入新能源汽車，2024年春節(jié)，小明一家駕駛新購買的新能源汽車去相距1004km的海濱城市旅游，原計(jì)劃以akmh的速度行駛，后因要趕上新春煙花會而提前到達(dá)，實(shí)際行駛速度為原計(jì)劃速度的1.3倍，結(jié)果比原計(jì)劃提前了3A．1004a?10041.3aC．10041.3a?1004【答案】A【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)相距1004km的海濱城市旅游，原計(jì)劃以akmh的速度行駛，后因要趕上新春煙花會而提前到達(dá)，實(shí)際行駛速度為原計(jì)劃速度的1.3倍，得出實(shí)際行駛時(shí)間是10041.3a，原計(jì)劃時(shí)間是【詳解】解：依題意，實(shí)際行駛時(shí)間是10041.3a，原計(jì)劃時(shí)間是1004∵結(jié)果比原計(jì)劃提前了3h∴1004故選：A41．（2024·河北秦皇島·一模）秦始皇統(tǒng)一度量衡意義重大，這一舉措極大地方便了生產(chǎn)與生活．如圖1和2，欣欣通過兩把不同刻度的直尺說明了其中的原因，并進(jìn)行如下探究：將兩把尺子有刻度的一側(cè)緊貼，則由兩幅圖可得方程（

）A．2432=9C．2432=9【答案】A【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)圖中兩把刻度尺A刻度尺上長度為24與B刻度尺上長度32相等，A刻度尺長度為9對應(yīng)B刻度尺上長度為x?10，列出方程即可．【詳解】解：根據(jù)圖可知：24?032?0即2432故選：A．??題型11利用分式方程解決實(shí)際問題42．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）綜合與實(shí)踐．如何分配工作，使公司支付的總工資最少素材1壯錦是工藝美術(shù)織品，是壯族人民最精彩的文化創(chuàng)造之一，其歷史也非常悠久．某公司承接到2160個(gè)壯錦手提包的訂單，計(jì)劃將任務(wù)分配給甲、乙兩個(gè)生產(chǎn)部門去完成．甲部門每天生產(chǎn)的總數(shù)是乙部門每天生產(chǎn)總數(shù)的2倍，甲部門單獨(dú)完成這項(xiàng)任務(wù)所需的時(shí)間比乙部門單獨(dú)完成少18天．素材2經(jīng)調(diào)查，這項(xiàng)訂單需要支付甲部門4800元/天，乙部門3000元/天．素材3由于甲部門有其他工作任務(wù)，甲部門工作天數(shù)不超過乙部門工作天數(shù)的一半．問題解決任務(wù)1確定工作效率求甲、乙部門原來每天分別生產(chǎn)多少個(gè)壯錦手提包；任務(wù)2擬訂設(shè)計(jì)方案①若設(shè)甲部門工作m天，則甲部門完成壯錦手提包______個(gè)，乙部門工作時(shí)間可表示為______天；②如何安排甲、乙兩部門工作的天數(shù)，才能使正好完成任務(wù)時(shí)該公司支付的總工資最少？最少需要多少元？【答案】任務(wù)1：甲部門原來每天生產(chǎn)120個(gè)壯錦手提包，乙部門原來每天生產(chǎn)60個(gè)壯錦手提包；任務(wù)2：①120m，36?2m；②甲部門工作9天，乙部門工作18天，才能使正好完成任務(wù)時(shí)該公司支付的總工資最少，最少需要97200元．【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的最大利潤問題，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)乙部門每天能生成x個(gè)壯錦手提包，依題意，列式得2160x?2160（2）設(shè)甲部門工作m天，則乙部門的工作時(shí)間為2160?120m60=36?2m（天）．再依題意，得出m≤1236?2m【詳解】解：任務(wù)1：設(shè)乙部門原來每天生產(chǎn)x個(gè)壯錦手提包，則甲部門原來每天生產(chǎn)2x個(gè)壯錦手提包，由題意得：2160x解得：x=60，經(jīng)檢驗(yàn)，x=60是原方程的解，且符合題意，∴2x=120，答：甲部門原來每天生產(chǎn)120個(gè)壯錦手提包，乙部門原來每天生產(chǎn)60個(gè)壯錦手提包；任務(wù)2：①設(shè)甲部門工作m天，則甲部門完成壯錦手提包120m個(gè)，乙部門工作時(shí)間可表示為(2160?120m)×60=(36?2m)天，故答案為：120m，36?2m；②由題意得：m≤1解得：m≤9，設(shè)該公司支付的總工資為y元，由題意得：y=4800m+3000(36?2m)=?1200m+108000，∴?1200<0，隨m的增大而減小，當(dāng)m=9時(shí)，y有最小值，此時(shí)，36?2m=36?2×9=18，答：甲部門工作9天，乙部門工作18天，才能使正好完成任務(wù)時(shí)該公司支付的總工資最少，最少需要97200元．43．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）某文創(chuàng)店，最近一款印有“保衛(wèi)里”的書簽銷售火爆．該店第一次用1000元購進(jìn)這款書簽，很快售完，又花1600元第二次購進(jìn)這款書簽，已知每個(gè)書簽第二次購進(jìn)的成本比第一次便宜了1元，且第二次購進(jìn)的數(shù)量是第一次的2倍．(1)求該店兩次購進(jìn)這款書簽各多少個(gè)？(2)第二次購進(jìn)這款書簽后仍按第一次的售價(jià)銷售，在銷售了第二次購進(jìn)數(shù)量的45【答案】(1)該商店第一次購進(jìn)這款書簽200個(gè)，第二次購進(jìn)這款書簽400個(gè)；(2)第一次銷售時(shí)每個(gè)書簽的售價(jià)至少為8元【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式．（1）設(shè)該商店第一次購進(jìn)這款書簽x個(gè)，則第二次購進(jìn)這款書簽2x個(gè)，由題意：每個(gè)書簽第二次購進(jìn)的成本比第一次便宜了1元，列出分式方程，解方程即可；（2）設(shè)第一次銷售時(shí)每個(gè)書簽的售價(jià)為m元，由題意：要使兩次購進(jìn)的書簽銷售完后的總利潤不低于1880元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【詳解】（1）解：設(shè)該商店第一次購進(jìn)這款書簽x個(gè)，則第二次購進(jìn)這款書簽2x個(gè)，由題意得：1000x解得：x=200，經(jīng)檢驗(yàn)，x=200是原方程的解，且符合題意，∴2x=400，答：該商店第一次購進(jìn)這款書簽200個(gè)，第二次購進(jìn)這款書簽400個(gè)．（2）設(shè)第一次銷售時(shí)每個(gè)書簽的售價(jià)為m元，由題意得：200m+400×解得：m≥8，答：第一次銷售時(shí)每個(gè)書簽的售價(jià)至少為8元．44．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)鋪設(shè)一條公路，已知甲工程隊(duì)每天比乙工程隊(duì)少鋪設(shè)6km，甲工程隊(duì)鋪設(shè)60km所用的時(shí)間與乙工程隊(duì)鋪設(shè)90km所用的時(shí)間相同，求甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)每天各鋪設(shè)多少【答案】甲工程隊(duì)每天鋪設(shè)12km，則乙工程隊(duì)每天鋪設(shè)【分析】本題考查了列分式方程，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到等量關(guān)系，正確列出方程．設(shè)甲工程隊(duì)每天鋪設(shè)xkm，則乙工程隊(duì)每天鋪設(shè)x+6【詳解】解∶設(shè)甲工程隊(duì)每天鋪設(shè)xkm，則乙工程隊(duì)每天鋪設(shè)x+6由題意得：60x解得x=12，經(jīng)檢驗(yàn)∶x=12是原方程的解，∴x+6=18，答：甲工程隊(duì)每天鋪設(shè)12km，則乙工程隊(duì)每天鋪設(shè)1845．（2024·山西·模擬預(yù)測）2024年4月底，神舟十七號載人飛船返回艙順利返回東風(fēng)著陸場，神舟十七號任務(wù)取得圓滿成功．某飛箭航模店看準(zhǔn)商機(jī)，購進(jìn)了“神舟”和“天宮”模型．已知每個(gè)“神舟”模型的進(jìn)價(jià)比“天宮”模型多5元，同樣花費(fèi)200元，購進(jìn)“天宮”模型的數(shù)量比“神舟”模型多2個(gè)．

(1)“神舟”和“天宮”模型的進(jìn)價(jià)各是多少元？(2)該飛箭航模店計(jì)劃購進(jìn)兩種模型共100個(gè)，且每個(gè)“神舟”模型的售價(jià)為35元，每個(gè)“天宮”模型的售價(jià)為28元．設(shè)購進(jìn)“神舟”模型a個(gè)，銷售這批模型的利潤為w元．若購進(jìn)“神舟”模型的數(shù)量不超過“天宮”模型數(shù)量的14【答案】(1)天宮模型的進(jìn)價(jià)為每個(gè)20元，神舟模型的進(jìn)價(jià)為每個(gè)25元(2)購進(jìn)神舟模型20個(gè)時(shí)，銷售這批模型可以獲得最大利潤，最大利潤為840元【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，對于（1），先設(shè)設(shè)“天宮”模型進(jìn)價(jià)為每個(gè)x元，可表示“神舟”模型進(jìn)價(jià)，再根據(jù)200元購進(jìn)的模型的個(gè)數(shù)之差為2列出分式方程，求出解并檢驗(yàn)即可；對于（2），先設(shè)購進(jìn)“神舟”模型a個(gè)，表示購進(jìn)“天宮”模型的個(gè)數(shù)，用含有a的關(guān)系式表示總利潤w，然后根據(jù)購進(jìn)“神舟”模型的數(shù)量不超過“天宮”模型數(shù)量的14得出不等式，求出a【詳解】（1）解：設(shè)“天宮”模型進(jìn)價(jià)為每個(gè)x元，則“神舟”模型進(jìn)價(jià)為每個(gè)x+5元，依題意得200x=解得x=20．

經(jīng)檢驗(yàn)，x=20是原分式方程的解.x+5=25．

答：“天宮”模型的進(jìn)價(jià)為每個(gè)20元，“神舟”模型的進(jìn)價(jià)為每個(gè)25元．（2）∵購進(jìn)“神舟”模型a個(gè)，則購進(jìn)“天宮”模型100?a個(gè)，∴w=35?25a+∵購進(jìn)“神舟”模型的數(shù)量不超過“天宮”模型數(shù)量的14∴a≤14解得：a≤20．

∵w=2a+800，k=2>0．∴當(dāng)a=20時(shí)，wmax=2×20+800=840即購進(jìn)“神舟