2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：圓錐曲線中的仿射變換、非對稱韋達(dá)、光學(xué)性質(zhì)問題（五大題型）（學(xué)生版+解析）

拔高點(diǎn)突破02圓錐曲線中的仿射變換、非對稱韋達(dá)、光

學(xué)性質(zhì)問題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................6

題型一：仿射變換問題...........................................................6

題型二：非對稱韋達(dá)問題.........................................................8

題型三：橢圓的光學(xué)性質(zhì)........................................................10

題型四：雙曲線的光學(xué)性質(zhì)......................................................12

題型五：拋物線的光學(xué)性質(zhì)......................................................14

03過關(guān)測試....................................................................16

亡法牯自與.柒年

//\\

一、仿射變換問題

仿射變換有如下性質(zhì)：

1、同素性：在經(jīng)過變換之后，點(diǎn)仍然是點(diǎn)，線仍然是線；

2、結(jié)合性：在經(jīng)過變換之后，在直線上的點(diǎn)仍然在直線上；

3、其它不變關(guān)系.

我們以橢圓為例闡述上述性質(zhì).

22x!-X

橢圓二+當(dāng)=1(。>6>0)，經(jīng)過仿射變換a，則橢圓變?yōu)榱藞A狀+了2="，并且變換過程有

aby,=-y

Ib

如下對應(yīng)關(guān)系：

(1)點(diǎn)變?yōu)閜[x0,￡yj；

(2)直線斜率左變?yōu)椤?9左，對應(yīng)直線的斜率比不變；

b

(3)圖形面積S變?yōu)椴?幺5,對應(yīng)圖形面積比不變；

b

(4)點(diǎn)、線、面位置不變(平行直線還是平行直線，相交直線還是相交直線，中點(diǎn)依然是中點(diǎn)，相

切依然是相切等)；

⑸弦長關(guān)系滿足耨二唇，因此同一條直線上線段比值不變，三點(diǎn)共線的比不變

總結(jié)可得下表:

變換前變換后

22

方程/+q=g>0)+y2=a2

橫坐標(biāo)xr

,a

縱坐標(biāo)yy=-y

b

a.

，A/Ay

斜率k4kba

Ax

Ax，Axb

面積S=—Ax-AyS'=—Axr-Ayr-—S

22b

2J,

/'=J]+k'2Ax，=Jl+2Ax=---/b

弦長I=J1+-2Ax

Vb2,1+公

不變量平行關(guān)系；共線線段比例關(guān)系；點(diǎn)分線段的比

二、非對稱韋達(dá)問題

在一元二次方程辦2+6尤+。=0中，若△＞（）,設(shè)它的兩個(gè)根分別為％,多，則有根與系數(shù)關(guān)系：

百+%=-2,尤也=￡，借此我們往往能夠利用韋達(dá)定理來快速處理卜-百+后，工+'之類的結(jié)構(gòu)，

aaxYx2

但在有些問題時(shí)，我們會遇到涉及占的不同系數(shù)的代數(shù)式的應(yīng)算，比如求生，3占％+2改一%或

x22X,X2一玉十%2

之類的結(jié)構(gòu)，就相對較難地轉(zhuǎn)化到應(yīng)用韋達(dá)定理來處理了.特別是在圓錐曲線問題中，我們聯(lián)立

直線和圓錐曲線方程，消去尤或y,也得到一個(gè)一元二次方程，我們就會面臨著同樣的困難，我們把這種

形如與+2x,,幾占％+〃無,土或四%+2占一%之類中不，%的系數(shù)不對等的情況，這些式子是非對稱結(jié)

X22%入2—石+工2

構(gòu)，稱為“非對稱韋達(dá)”.

三、光學(xué)性質(zhì)問題

1、橢圓的光學(xué)性質(zhì)

從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)（如圖1）.

圖1圖2圖3圖4

【引理1】若點(diǎn)在直線L的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)是直線上上到兩點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸

是點(diǎn)A關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)A'與點(diǎn)、B連線A'B和直線L的交點(diǎn).

【引理2】若點(diǎn)A,B在直線乙的兩側(cè)，且點(diǎn)到直線的距離不相等，設(shè)點(diǎn)P是直線L上到點(diǎn)A,8距

離之差最大的點(diǎn)，即|24-尸耳最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸是點(diǎn)A關(guān)于直線乙的對稱點(diǎn)A與點(diǎn)3連線A3的延長線

和直線L的交點(diǎn).

22

【引理3】設(shè)橢圓方程為1+斗=1（。＞6＞0）,月，鳥分別是其左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)。在橢圓外，則

ab

DF]+DF2＞2a.

2、雙曲線的光學(xué)性質(zhì)

從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)（如圖）.

【引理4】若點(diǎn)在直線L的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)是直線乙上到兩點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸

是點(diǎn)A關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)A'與點(diǎn)、B連線A'B和直線L的交點(diǎn).

【引理5】若點(diǎn)A,2在直線L的兩側(cè)，且點(diǎn)A,3到直線的距離不相等，設(shè)點(diǎn)P是直線L上到點(diǎn)4,3距

離之差最大的點(diǎn)，即\PA-PB\最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸是點(diǎn)A關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)A與點(diǎn)3連線A'B的延長線

和直線L的交點(diǎn).

22

【引理6】設(shè)雙曲線方程為1-==1（。＞0,6＞0）,片，居分別是其左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)。在雙曲線外

ab

（左、右兩支中間部分，如圖），則。耳-￡＞耳＜2a.

3、拋物線的光學(xué)性質(zhì)

從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線與拋物線的軸平行（或重

合）.反之，平行于拋物線的軸的光線照射到拋物線上，經(jīng)反射后都通過焦點(diǎn).

【結(jié)論1】已知：如圖，拋物線C:f=2py（p>0）,心,句為其焦點(diǎn)，,是過拋物線上一點(diǎn)

。伉，％）的切線，4,8是直線）上的兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)￡>）,直線。C平行于y軸.求證：

ZFDA=ZCDB.（入射角等于反射角）

【結(jié)論2】已知：如圖，拋物線C:y2=2px（p>0）,尸是拋物線的焦點(diǎn)，入射光線從尸點(diǎn)發(fā)出射到拋

物線上的點(diǎn)求證：反射光線平行于x軸.

㈤2

題型歸納與總結(jié)

題型一：仿射變換問題

【典例1-1】如圖，作斜率為3的直線/與橢圓1+產(chǎn)=1交于P,Q兩點(diǎn)，且"也，；在直線/的上方,

22

［典例7-27P是橢圓,+q=l上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，PO=2OQ,過點(diǎn)。的直線交橢圓于A,B

兩點(diǎn)，并且QA=QB,則A4B面積為.

22

【變式1-1］已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為'+上=1.

42

LlUUULIL1ULUU)

(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足：OP=OM+ON，其中N是橢圓上的點(diǎn)，直線QW與QV的斜率之積為問：

是否存在兩個(gè)定點(diǎn)耳，耳，使得|尸耳|+「閭為定值？若存在，求可，工的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足：OP=OM+2ON，其中M,N是橢圓上的點(diǎn)，直線與QV的斜率之積為問：

是否存在點(diǎn)尸，使得點(diǎn)尸到尸的距離與到直線尤=2風(fēng)的距離之比為定值？若存在，求產(chǎn)的坐標(biāo)；若不存

在，說明理由.

【變式1-2】已知橢圓C:^+^=l(a>6>0)經(jīng)過點(diǎn)(|,口，其離心率為手，設(shè)A,B,/是橢圓C

上的三點(diǎn)，且滿足OM=cosaOA+sinaOB,ae(0gJ,其中。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(D求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)證明：△。48的面積是一個(gè)常數(shù).

22

【變式1-3］對于橢圓當(dāng)=1(。/>0),令x'=2,y'=；,那么在坐標(biāo)系x'Oy'中，橢圓經(jīng)伸縮變換得

abab

到了單位圓X‘2+y，2=i,在這樣的伸縮變換中，有些幾何關(guān)系保持不變，例如點(diǎn)、直線、曲線的位置關(guān)系

以及點(diǎn)分線段的比等等；而有些幾何量則等比例變化，例如任何封閉圖形在變換后的面積變?yōu)樵鹊氖?

ab

由此我們可以借助圓的幾何性質(zhì)處理一些橢圓的問題.

(1)在原坐標(biāo)系中斜率為4的直線/,經(jīng)過無'=二，了'=斗的伸縮變換后斜率變?yōu)椤?，求女與人滿足的關(guān)系；

ab

22

⑵設(shè)動(dòng)點(diǎn)尸在橢圓一：5+y2=l(a>0)上，過點(diǎn)P作橢圓口的切線，與橢圓二+丁=2(°>0)交于點(diǎn)

aa

Q,R,再過點(diǎn)。，R分別作橢圓匕的切線交于點(diǎn)S,求點(diǎn)S的軌跡方程；

(3)點(diǎn)4［號］)在橢圓。+y=1上，求橢圓上點(diǎn)8,C的坐標(biāo)，使得AA8C的面積取最大值，并求出該

最大值.

【變式1-4］在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，若在曲線耳的方程尸(x,y)=。中，以(幾為非零的正實(shí)數(shù))

代替(羽，)得到曲線外的方程PUx"y)=0,則稱曲線&、E?關(guān)于原點(diǎn)“伸縮”，變換(x,y)f稱為

“伸縮變換”，X稱為伸縮比.

⑴己知曲線耳的方程為9=1，伸縮比％=；，求用關(guān)于原點(diǎn)“伸縮變換”后所得曲線區(qū)的方程；

⑵射線/的方程好缶心0),如果橢圓月：撩+/=1經(jīng)“伸縮變換”后得到橢圓當(dāng)，若射線/與橢圓昂E2

分別交于兩點(diǎn)A、B,且|4刃=母，求橢圓反的方程；

⑶對拋物線耳：d=2pj,作變換(尤,y)->(4尤,4y),得拋物線E2=2pz_y；對當(dāng)作變換

(x,y)-?(4x,%y),得拋物線片：/=2。3y;如此進(jìn)行下去，對拋物線紇：Y=2p“y作變換

(x,y)f(々x,4y),得拋物線"+1：/=2。用y,...若R=1,4=2",求數(shù)列｛p“｝的通項(xiàng)公式P..

題型二：非對稱韋達(dá)問題

【典例2-1】(2024?湖北宜昌.二模)已知4、4分別是離心率6=正的橢圓E:g+《=l(a＞b＞0)的左右

2ab

頂點(diǎn)，P是橢圓E的上頂點(diǎn)，且出?。&=-1.

(1)求橢圓E的方程；

(2)若動(dòng)直線/過點(diǎn)(0,-4),且與橢圓E交于A、8兩點(diǎn)，點(diǎn)M與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱，求證：直線恒

過定點(diǎn).

【典例2-2】已知A、B分別是橢圓一+丁=1的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，C、。在橢圓上，且CD〃/4B,設(shè)直線

2

AC、8￡＞的斜率分別為匕、月，證明：左他為定值.

22

【變式2-1】已知橢圓C：二+々=1"＞》＞0)的左右焦點(diǎn)分別為爪-c,0),乙(。,0),M,N分別為左

ab

右頂點(diǎn)，直線/：尤="+1與橢圓C交于A3兩點(diǎn)，當(dāng)t=-YI時(shí)，A是橢圓的上頂點(diǎn)，且居的周長

3

為6.

⑴求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線AM,BN交于點(diǎn)Q,證明：點(diǎn)。在定直線上.

(3)設(shè)直線AM,的斜率分別為配匕，證明：?為定值.

22

【變式2-2］（2024.河南新鄉(xiāng)三模）已知耳（-君,0）,耳（6,0）分別是橢圓C:J+與=1（。>6>0）的左、

a"b'

右焦點(diǎn)，尸是橢圓C上的一點(diǎn)，當(dāng)PBIBR時(shí)，1Pgi=2|PB|.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）過點(diǎn)。（-4,0）的直線/與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)AT,證明：直線

MVT過定點(diǎn).

22

【變式2-3】已知橢圓C:j+==1過點(diǎn)4-2,-1）,且“=

ab

（I）求橢圓C的方程：

（II）過點(diǎn)8（-4,0）的直線/交橢圓c于點(diǎn)M,N,直線跖4,24分別交直線彳=-4于點(diǎn)尸,。.求黑的值.

22

【變式2-4］（2024?湖北?一模）如圖，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C:=+2=l（a>b>0）的焦距等于其長半

ab

軸長，M,N為橢圓C的上、下頂點(diǎn)，且|MN|=2g

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點(diǎn)P（0,l）作直線/交橢圓C于異于M,N的兩點(diǎn)，直線交于點(diǎn)T.求證：點(diǎn)T的縱坐標(biāo)

為定值3.

題型三：橢圓的光學(xué)性質(zhì)

【典例3-11歐幾里德生活的時(shí)期，人們就發(fā)現(xiàn)橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì):從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)

丫22

橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過該橢圓的另一焦點(diǎn).現(xiàn)有橢圓C:=+當(dāng)=1(°>6>0),長軸長為2碗，從C的左焦

ab

點(diǎn)廠發(fā)出的一條光線，經(jīng)c內(nèi)壁上一點(diǎn)P反射后恰好與X軸垂直，且|尸尸|=孚.

(1)求C的方程；

⑵設(shè)點(diǎn)A(2.1),若斜率不為0的直線/與C交于點(diǎn)均異于點(diǎn)A),且A在以為直徑的圓上，

求A至卜距離的最大值.

【典例3-2】阿波羅尼斯在對圓錐曲線的研究過程中，還進(jìn)一步研究了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，例如橢圓的

光學(xué)性質(zhì)：(如圖1)從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)

PF.F.Q

上.在對該性質(zhì)證明的過程中(如圖2),他還特別用到了“角平分線性質(zhì)定理”：得，從而得到

PF?F2Q

(1)如圖3,已知橢圓C:《+《=l(a〉6>0)的左右焦點(diǎn)分別為耳，工，一束光線從&(—1,0)射出，經(jīng)橢圓

上尸點(diǎn)反射：尸處法線(與橢圓C在尸處切線垂直的直線)與無軸交于“點(diǎn)，已知|尸周=20,閨閘=及，

求橢圓C方程(直接寫出結(jié)果)

圖3

(2)已知橢圓C,長軸長為2a,焦距為2c,若一條光線從左焦點(diǎn)射出，經(jīng)過橢圓上點(diǎn)若干次反射，第一次

回到左焦點(diǎn)所經(jīng)過的路程為5c,求橢圓的離心率

(3)對于拋物線y2=2/(p>0)，猜想并證明其光線性質(zhì).

【變式3-1](2024?高三?安徽池州?期末)已知橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線射向

22

橢圓上任一點(diǎn)，經(jīng)橢圓反射后必經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn).若從橢圓C：二+4=1(〃>b>0)的左焦點(diǎn)K發(fā)出的光線,

ab

經(jīng)過兩次反射之后回到點(diǎn)K，光線經(jīng)過的路程為8,橢圓C的離心率為g.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)如圖，若橢圓C的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,動(dòng)直線/交橢圓C于。兩點(diǎn)，且始終滿足。尸，OQ,

作。交PQ于點(diǎn)求K4.MB的最大值.

【變式3-2](2024?全國?模擬預(yù)測)已知橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線射向橢圓

22

上任一點(diǎn)，經(jīng)橢圓反射后必經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn).若從橢圓T:1r+}=l(a>b>0)的左焦點(diǎn)々發(fā)出的光線，

經(jīng)過兩次反射之后回到點(diǎn)片，光線經(jīng)過的路程為8,T的離心率為且.

2

(1)求橢圓T的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵設(shè)。(蒞,0),且X°>a,過點(diǎn)。的直線/與橢圓T交于不同的兩點(diǎn)M,N,歹2是T的右焦點(diǎn)，且

/。區(qū)"與互補(bǔ)，求居面積的最大值.

題型四：雙曲線的光學(xué)性質(zhì)

【典例4-1】雙曲線在物理學(xué)中有很多應(yīng)用，比如波的干涉圖樣為雙曲線、反射式天文望遠(yuǎn)鏡利用了其光

學(xué)性質(zhì)等等.

(1)已知A、8是在直線/兩側(cè)且到直線/的距離不相等的兩點(diǎn)，P為直線/上一點(diǎn).試探究當(dāng)點(diǎn)P的位置滿

足什么條件時(shí)，||尸HTP訓(xùn)取最大值；

(2)若光線在平滑曲線上發(fā)生反射時(shí)，入射光線與反射光線關(guān)于曲線在入射點(diǎn)處的切線在該點(diǎn)處的垂線對

稱.證明：由雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，在雙曲線上發(fā)生反射后，反射光線的反向延長線交于雙曲線

的另一個(gè)焦點(diǎn).

【典例4-2】(2024?遼寧丹東?一模)我們所學(xué)過的橢圓、雙曲線、拋物線這些圓錐曲線，都有令人驚奇的

光學(xué)性質(zhì)，且這些光學(xué)性質(zhì)都與它們的焦點(diǎn)有關(guān).如從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)處出發(fā)的光線照射到雙曲線上，

經(jīng)反射后光線的反向延長線會經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)(如圖所示，其中PQ是反射鏡面也是過點(diǎn)P處的

22

切線).已知雙曲線C:二-2=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為月，F(xiàn)2,從工處出發(fā)的光線照射到

a-b'

雙曲線右支上的點(diǎn)尸處(點(diǎn)尸在第一象限)，經(jīng)雙曲線反射后過點(diǎn)

(1)請根據(jù)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，解決下列問題:

當(dāng)a=l,b=y[3,且直線PF2的傾斜角為120。時(shí)，求反射光線PM所在的直線方程;

(2)從尸2處出發(fā)的光線照射到雙曲線右支上的點(diǎn)A處，且尸，耳,A三點(diǎn)共線，經(jīng)雙曲線反射后過點(diǎn)8,

3\NF\

APLPM，sinZPAB=-,延長6尸，&A分別交兩條漸近線于S，T，點(diǎn)N是ST的中點(diǎn)，求證：號n為

56g

定值.

(3)在(2)的條件下，延長P。交y軸于點(diǎn)。，當(dāng)四邊形耳尸耳。的面積為8時(shí)，求。的方程.

【變式4-1](2024?安徽安慶?一模)如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過

22

雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線￡:亍-/=1。＞0)的左、右

焦點(diǎn)分別為片、F2,從F2發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A、2兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和。，且

(1)求雙曲線E的方程；

(2)設(shè)4、4為雙曲線E實(shí)軸的左、右頂點(diǎn)，若過P(4,0)的直線/與雙曲線C交于M、N兩點(diǎn)，試探究直

線4"與直線4N的交點(diǎn)。是否在某條定直線上？若存在，請求出該定直線方程；如不存在，請說明理由.

【變式4-2]鄭州中原福塔的外立面呈雙曲拋物面狀，造型優(yōu)美，空中俯瞰猶如盛開的梅花綻放在中原大

地，是現(xiàn)代建筑與藝術(shù)的完美結(jié)合.雙曲拋物面又稱馬鞍面，其在笛卡爾坐標(biāo)系中的方程與在平面直角坐標(biāo)

系中的雙曲線方程類似.雙曲線在物理學(xué)中具有很多應(yīng)用，比如波的干涉圖樣為雙曲線、反射式天文望遠(yuǎn)鏡

利用了其光學(xué)性質(zhì)等等.

s

（1）已知A,B是在直線/兩側(cè)且到直線/距離不相等的兩點(diǎn)，尸為直線/上一點(diǎn).試探究當(dāng)點(diǎn)P的位置滿足

什么條件時(shí)，1PA-總1取最大值；

（2）若光線在平滑曲線上發(fā)生反射時(shí)，入射光線與反射光線關(guān)于曲線在入射點(diǎn)處的切線在該點(diǎn)處的垂線

對稱.證明：由雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，在雙曲線上發(fā)生反射后，反射光線的反向延長線交于雙曲線的

另一個(gè)焦點(diǎn).

題型五：拋物線的光學(xué)性質(zhì)

【典例5-1】拋物線具有光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向

射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知點(diǎn)廠為拋物線

C:y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，/點(diǎn)在拋物線上，且其縱坐標(biāo)為滿足屈目=

（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵已知平行于x軸的光線/從點(diǎn)尸（根,2）（加＞0）射入，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)過拋物線上另一點(diǎn)

B,最后沿8。方向射出，若射線3尸平分求實(shí)數(shù)加的值.

【典例5-2】拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方

向射出，反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后反射光線或其反向延長線必過拋物線的焦

點(diǎn).已知拋物線C：y?=2x,。為坐標(biāo)原點(diǎn).一束平行于x軸的光線乙從點(diǎn)尸（九2）（帆＞2）射入，經(jīng)過C上

的點(diǎn)AQ,%）反射后，再經(jīng)C上另一點(diǎn)磯%,%）反射后，沿直線4射出，經(jīng)過點(diǎn)Q（4〃，f）.

⑴求證：yxy2=-1；

⑵若PB平分ZABQ,求點(diǎn)B到直線QP的距離.

【變式5-1】拋物線具有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的

方向射出.如圖，已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為JF,。為坐標(biāo)原點(diǎn).一條平行于N軸的光線從上方

射向拋物線C,經(jīng)拋物線上N兩點(diǎn)反射后，又沿平行于N軸的方向射出，且兩平行光線間的最小距

離為4.

(1)求拋物線C的方程；

(2)過N向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為P,證明：M,O,P三點(diǎn)共線.

【變式5-2](2024.高三?青海西寧.開學(xué)考試)根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)

該拋物線反射后與對稱軸平行.已知拋物線Cy2=2px(p>o),如圖，點(diǎn)尸為C的焦點(diǎn)，過廠的光線經(jīng)

拋物線反射后分別過點(diǎn)M(2,2夜-2),N(3,-2應(yīng)-2).

⑴求C的方程；

⑵設(shè)點(diǎn)E(0,2),若過點(diǎn)0(2,2)的直線與C交于R,T兩點(diǎn),求面積的最小值.

1.（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射,

22

其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).若雙曲線及鼻-2=1（。＞0,6＞0）的左、右焦點(diǎn)分

cib

別為耳，F(xiàn)2,從工發(fā)出的光線經(jīng)過圖中的A,8兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和。，且cosNBAC=-g,

ABBD=0＞則E的離心率為（）

A.近B?亙C.巫D.下

352

2.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射之后得到的光線平行于拋物線的對稱軸：反之，

平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線丁=?的焦點(diǎn)為尸，一條

平行于X軸的光線從點(diǎn)M（2,l）射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)B射出，則

AaWr的周長為（）

A.—+\/13B.—+y/29C.8+y/13D.8+A/29

3.（2024?高三.江西.期末）阿波羅尼斯（約公元前262年?約公元前190年），古希臘著名數(shù)學(xué)家，主要著

作有《圓錐曲線論》、《論切觸》等.尤其《圓錐曲線論》是一部經(jīng)典巨著，代表了希臘幾何的最高水平，此

書集前人之大成，進(jìn)一步提出了許多新的性質(zhì).其中也包括圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)

22

發(fā)出，通過雙曲線的反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過其另一個(gè)焦點(diǎn).已知雙曲線C^-4=1（。＞0,

ab

b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為月，F(xiàn)2,其離心率6=逐，從尸2發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線C的右支上一點(diǎn)E的

反射，反射光線為砂，若反射光線與入射光線垂直，貝UsinNg￡E=（）

4.橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線過橢圓的另一個(gè)

22

焦點(diǎn)（如圖）.已知橢圓E:J+==l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為￡,不，過點(diǎn)尸2的直線與E交于點(diǎn)A,

aIBFI9S

B,過點(diǎn)A作E的切線/,點(diǎn)8關(guān)于/的對稱點(diǎn)為若M同=答，局=￡，則下9=（）

5司3S”馬

注：S表示面積.

2

5.（多選題）（2024?江蘇常州?二模）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面

22

反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).如圖，雙曲線E:二-匕=1的左、右焦點(diǎn)分別

為耳,耳，從尸2發(fā)出的兩條光線經(jīng)過E的右支上的AB兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和。，其中A區(qū),明共

線，則（）

若直線A3的斜率上存在，則上的取值范圍為

B.當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2炳,亞）時(shí)，光線由號經(jīng)過點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)C所經(jīng)過的路程為6

C.當(dāng)Ag.A。=A/時(shí)，耳鳥的面積為12

D.當(dāng)AB.AOuAB。時(shí)，cosN丹為A=-雪

22

6.過橢圓土+匕=1的右焦點(diǎn)/的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，則VAQB面積最大值為

7.己知橢圓C:〈+y2=i左頂點(diǎn)為人，P,。為橢圓C上兩動(dòng)點(diǎn)，直線P。交AQ于E,直線Q。交AP于。,

直線OROQ的斜率分別為冊網(wǎng)且桃2=-g，AD=2DF,AE=〃EQ(2,〃是非零實(shí)數(shù))，求

A2+//2=.

8.橢圓的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)

22

上.已知橢圓C：亍+%=1(0<6<2),片,外為其左、右焦點(diǎn).叔是C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N(0,我，若

|MN|十|M胤的最大值為6,動(dòng)直線/為此橢圓C的切線，右焦點(diǎn)入關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)

尸(占，x),S=|3X|+4y—24],則橢圓C的離心率為;；S的取值范圍為.

9.如圖甲，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，其

中法線/'表示與橢圓C的切線垂直且過相應(yīng)切點(diǎn)的直線，如圖乙，橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為

6(-c,0),耳(c,0)(c>0),由可發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到月經(jīng)過的路程為8c.利用橢圓的光學(xué)性

質(zhì)解決以下問題：

橢圓C的離心率為—；點(diǎn)「是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，橢圓在點(diǎn)尸處的切線為/,居在/上的射影

H在圓f+y2=8上，則橢圓C的方程為一.

10.如圖所示，由圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)知道：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射(即經(jīng)橢圓在該

22

點(diǎn)處的切線反射)后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).已知橢圓c的方程為L+2L=I,其左、右焦點(diǎn)

43

分別是月，與,直線/與橢圓C相切于點(diǎn)尸(1,%),過點(diǎn)尸且與直線/垂直的直線/'與橢圓長軸交于點(diǎn)M,

11.圓錐曲線因其特殊的形狀而存在著特殊的光學(xué)性質(zhì).我們知道，拋物線的光學(xué)性質(zhì)是平行于拋物線對稱

軸的光線經(jīng)拋物線反射后匯聚于其焦點(diǎn)；雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反

射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上.卡式望遠(yuǎn)鏡就是應(yīng)用這些性質(zhì)設(shè)計(jì)的.下圖

為卡式望遠(yuǎn)鏡的中心截面示意圖，其主要由兩塊反射鏡組成，主鏡是中央開孔的凹拋物面鏡C,副鏡是雙

曲線左支的旋轉(zhuǎn)面型凸雙曲面鏡。，主鏡對應(yīng)拋物線的頂點(diǎn)與副鏡對應(yīng)雙曲線的中心重合，當(dāng)平行光線投

射到主鏡上時(shí)，經(jīng)過主鏡反射，將匯聚到主鏡的焦點(diǎn)4處，但光線尚未匯聚時(shí)，又受到以耳為焦點(diǎn)的凸雙

曲面鏡的反射，穿過主鏡中心的開孔后匯聚于另一個(gè)焦點(diǎn)F?處.以耳耳的中點(diǎn)為原點(diǎn)，居區(qū)為無軸，建立平

面直角坐標(biāo)系.若閨閭=4米，凹拋物面鏡的口徑A2為8(0-1)米，凸雙曲面鏡的口徑為1米，要使

副鏡的反射光線全部通過凹拋物面鏡C的中央孔洞，則孔洞直徑最小為米.

22

12?點(diǎn)48是橢圓￡:'+]=1的左右頂點(diǎn)，若過定點(diǎn)(1,0)且斜率不為0的直線與橢圓E交于N兩點(diǎn),

求證：直線AM與直線的交點(diǎn)在一條定直線上.

13.如圖，橢圓。有兩頂點(diǎn)A(TO),過其焦點(diǎn)F(0,l)的直線/與橢圓。交于C,。兩點(diǎn)，并與x

軸交于點(diǎn)P,且直線/的斜率大于1,直線AC與直線8。交于點(diǎn)Q.

⑴求橢圓。的方程；

(2)求證：。尸?0。為定值.

14.如圖，已知A,B,C是長軸為4的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長軸的右頂點(diǎn)，過橢圓中心。，且

ACBC=O,|BC|=2|AC|.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過C關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)。作橢圓的切線DE,則AB與DE有什么位置關(guān)系？證明你的結(jié)論.

15.如圖，已知橢圓C［：^+《=1，直線3,=履+加(加＞0)與圓。2：(彳-咪+;/=1相切且與橢圓6

交于A,8兩點(diǎn).

4

(1)若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為求機(jī)的值；

(2)過原點(diǎn)。作乙的平行線4交橢圓于C,。兩點(diǎn)，設(shè)|川|=山。a，求彳的最小值?

xr=x

16.(2024?安徽合肥?一模)已知曲線C：/+丫2=2,從曲線C上的任意點(diǎn)P(x,y)作壓縮變換y上得

正

到點(diǎn)尸'(x',y').

⑴求點(diǎn)P'(x,y)所在的曲線E的方程;

⑵設(shè)過點(diǎn)F(-1,0)的直線/交曲線￡于A,B兩點(diǎn)，試判斷以A2為直徑的圓與直線尤=-2的位置關(guān)系，并

寫出分析過程.

/[x'=X

17.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：±+y2=l經(jīng)過升縮變換，r-后變?yōu)榍€C',尸是曲線C'上的點(diǎn).

2-[y=V2.y

(1)求曲線C的方程.

(2)設(shè)點(diǎn)。在直線x=-3上，且。尸?尸。=1.證明：過點(diǎn)P且垂直于。。的直線/過C的左焦點(diǎn)廠.

18.生活中，橢圓有很多光學(xué)性質(zhì)，如從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經(jīng)過

另一個(gè)焦點(diǎn)現(xiàn)橢圓C的焦點(diǎn)在無軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，從左焦點(diǎn)片射出的光線經(jīng)過橢圓鏡面反射到右焦

點(diǎn)尸2,這束光線的總長度為4,且橢圓的離心率為無，左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B.

2

⑴求橢圓C的方程；

(2)點(diǎn)尸在橢圓上，求線段3P的長度忸片的最大值及取最大值時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)不過點(diǎn)A的直線/交橢圓C于M,N兩點(diǎn),記直線/,4W,4V的斜率分別為匕配《，若人(匕+匕)=1,

證明：直線/過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

19.如圖，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的

22

另一個(gè)焦點(diǎn).已知橢圓C：三+與=1(。＞匕＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,左、右頂點(diǎn)分別為A,B,一

ab

光線從點(diǎn)6(-1,0)射出經(jīng)橢圓c上p點(diǎn)反射，法線(與橢圓。在p處的切線垂直的直線)與％軸交于點(diǎn)Q,

已知伊耳1=1,誨。|=g.求橢圓C的方程.

20.歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年——325年），大約100年后，阿波羅尼斯

更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖甲，從橢圓的一

個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，其中法線/'表示與橢圓的切

線垂直且過相應(yīng)切點(diǎn)的直線.

已知圖乙中，橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為￡（-c,0）,g（c,0）（c＞0）,由K發(fā)出的光線經(jīng)橢圓兩次反

射后回到月經(jīng)過的路程為處c.

⑴點(diǎn)尸是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，橢圓C在點(diǎn)尸處的切線為/,工在/上的射影H滿足=

利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)求橢圓C的方程；

⑵在：（1）的條件下，設(shè)橢圓C上頂點(diǎn)為。，點(diǎn)A3為x軸上不同于橢圓頂點(diǎn)的點(diǎn)，且乙+/=4,直

線AQ,8。分別與橢圓C交于點(diǎn)M,N（M,N異于點(diǎn)Q）,QTLMN,垂足為T,求刀的最小值.

22

21.已知點(diǎn)P（U）為橢圓C：「+與=1（。＞人＞0）內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)尸的直線/與C交于A,8兩點(diǎn).當(dāng)直線

ab

/經(jīng)過C的右焦點(diǎn)鳥（3,0）時(shí)，點(diǎn)尸恰好為線段AB的中點(diǎn).

⑴求橢圓C的方程；

(2)橢圓的光學(xué)性質(zhì)是指：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的一束光線經(jīng)橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).設(shè)從

橢圓C的左焦點(diǎn)居出發(fā)的一束光線經(jīng)過點(diǎn)尸，被直線/反射，反射后的光線經(jīng)過橢圓二次反射后恰好經(jīng)過

點(diǎn)K,由此形成的三角形稱之為“光線三角形”.求此時(shí)直線/的方程，并計(jì)算“光線三角形”的周長.

22.橢圓滿足這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)射光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)

焦點(diǎn).如果沒有阻擋，此過程可以不斷重復(fù)進(jìn)行下去.

22

⑴橢圓C：1+]=1,8分別為其左、右焦點(diǎn).試問，從尸I發(fā)射的光線，經(jīng)橢圓反射后第一次回到^

時(shí)，光線經(jīng)過的路程d的最大值和最小值分別為多少？(寫出結(jié)論即可，無須說明)

22

⑵如圖，橢圓C?:J+2=1(°>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為居,工，從月發(fā)射的光線，經(jīng)橢圓上兩點(diǎn)P,。

ab

處分別反射后，光線回到尸I，已知cos/￡P(guān)工=(，|/蜀=|PQ|,求橢圓g的離心率e的值.

O

23.歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯(公元前375年-325年)，大約100年后，阿波羅尼斯更詳

盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖甲，從橢圓的一個(gè)焦

點(diǎn)出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，其中法線/‘表示與橢圓C的切線

垂直且過相應(yīng)切點(diǎn)的直線，如圖乙，橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為月(-C,0)，B(G0)(C>0),由可發(fā)出

的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到大經(jīng)過的路程為更C.利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決以下問題：

3...........................................................

（2）點(diǎn)尸是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，橢圓在點(diǎn)尸處的切線為/，工在/上的射影“在圓/+丁=4上,

求橢圓C的方程.

24.圓錐曲線有著令人驚奇的光學(xué)性質(zhì)，這些性質(zhì)均與它們的焦點(diǎn)有關(guān).如：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)處出發(fā)的光

線照射到橢圓上，經(jīng)過反射后通過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；從拋物線的焦點(diǎn)處出發(fā)的光線照射到拋物線上，經(jīng)

反射后的光線平行于拋物線的軸.某市進(jìn)行科技展覽，其中有一個(gè)展品就利用了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，此展

品的一個(gè)截面由一條拋物線G和一個(gè)“開了孔”的橢圓c,構(gòu)成（小孔在橢圓的左上方）.如圖，橢圓與拋物

線均關(guān)于X軸對稱，且拋物線和橢圓的左端點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)，月，尸2為橢圓G的焦點(diǎn)，同時(shí)可也為拋物線

a的焦點(diǎn)，其中橢圓的短軸長為2g,在尸2處放置一個(gè)光源，其中一條光線經(jīng)過橢圓兩次反射后再次回到

尸2經(jīng)過的路程為8.由F?照射的某些光線經(jīng)橢圓反射后穿過小孔，再由拋物線反射之后不會被橢圓擋住.

（2）若由尸2發(fā)出的一條光線經(jīng)由橢圓G上的點(diǎn)尸反射后穿過小孔，再經(jīng)拋物線上的點(diǎn)。反射后剛好與橢

圓相切，求此時(shí)的線段的的長；

（3）在（2）的條件下，求線段尸。的長.

拔高點(diǎn)突破02圓錐曲線中的仿射變換、非對稱韋達(dá)、光

學(xué)性質(zhì)問題

目錄

01方法技巧與總結(jié):;.：；；.：；：；：；；；；；.；；；.二；.：；；；：；：；：；.；；；.：；；.：；；；：；二；；二；：.：；；；：；二：；二；；.：；；.；；；.=；：：；：：；；：；；；：；二=二；；：2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................6

題型一：仿射變換問題...........................................................6

題型二：非對稱韋達(dá)問題.........................................................8

題型三：橢圓的光學(xué)性質(zhì)........................................................10

題型四：雙曲線的光學(xué)性質(zhì)......................................................12

題型五：拋物線的光學(xué)性質(zhì)......................................................14

03過關(guān)測試....................................................................16

亡法牯自與.柒年

//\\

一、仿射變換問題

仿射變換有如下性質(zhì)：

1、同素性：在經(jīng)過變換之后，點(diǎn)仍然是點(diǎn)，線仍然是線；

2、結(jié)合性：在經(jīng)過變換之后，在直線上的點(diǎn)仍然在直線上；

3、其它不變關(guān)系.

我們以橢圓為例闡述上述性質(zhì).

22x!-X

橢圓二+當(dāng)=1(。>