2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：數(shù)列的通項(xiàng)公式（十八大題型）（講義）（學(xué)生版+解析）

第04講數(shù)列的通項(xiàng)公式

目錄

01考情透視目標(biāo)導(dǎo)航.............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖思維引航.............................................................3

03考點(diǎn)突破題型探究.............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法..............................................4

題型一：觀察法..................................................................7

題型二：疊加法..................................................................8

題型三：疊乘法..................................................................8

題型四：形如an+1=pan+q型的遞推式.............................................9

題型五：形如an+1=pan+kn+b型的遞推式.......................................10

11

題型六：形如an+i=pan+rq型的遞推式..........................................10

題型七：形如an+1=paA(p>o,an>0)型的遞推式..................................11

題型八：形如an+i=彗型的遞推式..............................................12

pan+q

題型九：形如an+2=pan+1+qan型的遞推式........................................12

題型十：形如an+i=吧?型的遞推式..............................................13

pan+q

題型十一：已知通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)的和S”關(guān)系求通項(xiàng)問(wèn)題.........................13

題型十二：周期數(shù)列.............................................................17

題型十三：前〃項(xiàng)積型...........................................................18

題型十四：“和”型求通項(xiàng).........................................................19

題型十五：正負(fù)相間討論、奇偶討論型.............................................20

題型十六：因式分解型求通項(xiàng).....................................................21

題型十七：雙數(shù)列問(wèn)題...........................................................22

題型十八：通過(guò)遞推關(guān)系求通項(xiàng)...................................................23

04真題練習(xí)?命題洞見(jiàn)............................................................25

05課本典例高考素材............................................................26

06易錯(cuò)分析答題模板............................................................27

易錯(cuò)點(diǎn)：已知S”求an......................................................27

答題模板：已知S"求an....................................................27

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

2024年甲卷（理）第18題，12分高考對(duì)數(shù)列通項(xiàng)的考查相對(duì)穩(wěn)定，考查內(nèi)

2023年乙卷（文）第18題，12分容、頻率、題型、難度均變化不大.數(shù)列通項(xiàng)

（1）構(gòu)造法

2023年甲卷（理）第17題，12分問(wèn)題以解答題的形式為主，偶爾出現(xiàn)在選擇填

2023年II卷第18題，12分空題當(dāng)中，常結(jié)合函數(shù)、不等式綜合考查.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

掌握數(shù)列通項(xiàng)的幾種常見(jiàn)方法.

//二知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航\\

老占突硒?力理慳宙

------

知識(shí)JJ

知識(shí)點(diǎn)1:求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法

類型I觀察法：

已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此

數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng).

類型II公式法：

若已知數(shù)列的前“項(xiàng)和S，，與〃”的關(guān)系，求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)〃“可用公式%=9'(，?=1)

構(gòu)造兩式作差求解.

用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即“和冊(cè)

合為一個(gè)表達(dá)，(要先分”=1和2兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一).

類型ni累加法：

形如4陽(yáng)=%+/(“)型的遞推數(shù)列(其中/(〃)是關(guān)于"的函數(shù))可構(gòu)造：一%"=-2)

-4=/(I)

將上述?個(gè)式子兩邊分別相加，可得：an=/(?-l)+/(n-2)+.../(2)+f(X)+al,(n>2)

①若/(〃)是關(guān)于"的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；

②若“77)是關(guān)于w的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；

③若/(〃)是關(guān)于"的二次函數(shù)，累加后可分組求和；

④若/(")是關(guān)于"的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和.

類型IV累乘法：

…7

、

形如%=an-f(ri)/(?)型的遞推數(shù)列(其中/(〃)是關(guān)于"的函數(shù))可構(gòu)造:

7

a2

ax

a

將上述縱個(gè)式子兩邊分別相乘，可得：?=/(?-l),/(?-2)-...-/(2)/(l)a1,(n>2)

有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解.

類型V構(gòu)造數(shù)列法：

(一)形如%+LP4+4(其中〃國(guó)均為常數(shù)且/40)型的遞推式：

(1)若p=l時(shí)，數(shù)列｛環(huán)｝為等差數(shù)列；

(2)若q=0時(shí)，數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列；

(3)若pwl且qwO時(shí)，數(shù)列｛冊(cè)｝為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過(guò)待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來(lái)求.方

法有如下兩種：

法一：設(shè)a/】+2=p(a“+4),展開移項(xiàng)整理得%+i=°%+(0一1)2,與題設(shè)a“+i=pa“+q比較系數(shù)

(待定系數(shù)法)得2=—,(°wO)n%+]+—^―=p(a“+—^―)n?！?—^―=0(a,,7+—^―),即

p—1p—\p-1p—1p—\

1%+」一[構(gòu)成以4+」一為首項(xiàng)，以0為公比的等比數(shù)列.再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出

ip-ijp-i

卜"+黃1,的通項(xiàng)整理可得見(jiàn).

法二：由an+l=pan+4得an=pan｝+q｛n22)兩式相減并整理得位二%=p,即｛可包-可｝構(gòu)成以

'an-an-l

%-4為首項(xiàng)，以〃為公比的等比數(shù)列.求出｛%-%｝的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為類型III(累加法)便可求出％.

(二)形如%+1=+/(〃)(Pwl)型的遞推式：

(1)當(dāng)/(〃)為一次函數(shù)類型(即等差數(shù)列)時(shí)：

法一：設(shè)+A〃+5=p[a〃_i+A(〃-1)+5],通過(guò)待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以Q+A+5為

首項(xiàng)，以M=G土地為公比的等比數(shù)列｛〃〃+A〃+3｝，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出｛〃〃+助+用的

通項(xiàng)整理可得為.

法二：當(dāng)了(〃)的公差為d時(shí)，由遞推式得：an+l=pan+f(n),%=p%.+/(〃-1)兩式相減得：

。計(jì)1一冊(cè)=P(a〃一%_i)+d,令2=。用一％得：2=+d轉(zhuǎn)化為類型V㈠求出bn,再用類型HI(累加

法)便可求出4.

(2)當(dāng)/(〃)為指數(shù)函數(shù)類型(即等比數(shù)列)時(shí)：

法一：設(shè)為+%/(“)=〃[%_]+4/(〃-1)],通過(guò)待定系數(shù)法確定2的值，轉(zhuǎn)化成以4+2/⑴為首項(xiàng)，

以M=GW而為公比的等比數(shù)列｛"〃+%/(")｝，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出｛%+4/5)｝的通項(xiàng)整理

可得%.

法二：當(dāng)了(〃)的公比為鄉(xiāng)時(shí)，由遞推式得：an+i=pan+f(ji)----①，an=pan_x+f(n-l),兩邊同時(shí)

乘以q得anq=pqan_x+qf(n-1)----②，由①②兩式相減得an+l-anq=p(an-qan_^),即———=p,

在轉(zhuǎn)化為類型V㈠便可求出冊(cè).

法三：遞推公式為%+i=p〃〃+/(其中p,q均為常數(shù))或“〃+i=p%+?(其中p,q,r均為常數(shù))

時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以小”，得：需=￡.之+工，引入輔助數(shù)列物/(其中N=2),得:

bn+l=Rb"+工再應(yīng)用類型V㈠的方法解決.

qq

(3)當(dāng)/(〃)為任意數(shù)列時(shí)，可用通法：

在。5=&，+/(力)兩邊同時(shí)除以P向可得到%=3+與，令*=〃，貝?ài)缬?4+粵，在轉(zhuǎn)

ppppP

化為類型in(累加法)，求出或之后得=

類型w對(duì)數(shù)變換法：

形如。〃+1=p〃，(p>0,〃〃>0)型的遞推式：

在原遞推式4+1=pa；兩邊取對(duì)數(shù)得Ig%+1=q\^an+\gp,令bn=igan得：bn+i=/?〃+lg〃，化歸為

%+i=Pa〃+4型，求出"之后得為二1。'.(注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)題意選擇).

類型皿倒數(shù)變換法：

形如41—4=%〃乩(夕為常數(shù)且pwO)的遞推式：兩邊同除于a.。，轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)='+p形式,

an%

化歸為?！?1=pa〃+q型求出」的表達(dá)式，再求知；

an

還有形如。角=上嘰的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成「一='，+'形式，化歸為

Pyq%q%p

%+i=〃?！?9型求出工的表達(dá)式，再求?！?

%

類型VE形如an+2=pan+i+時(shí)型的遞推式：

用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解.方法為：設(shè)%+2-3角=/見(jiàn)+1-3〃)，比較系數(shù)

得h+k=p,-hk=q,可解得/z、左，于是｛。，用-她｝是公比為〃的等比數(shù)列，這樣就化歸為。用=p%+q型.

總之，求數(shù)列通項(xiàng)公式可根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用以上不同方法求解，對(duì)不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列,

可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項(xiàng)公式為.

【診斷自測(cè)】（2024?貴州黔南?二模）neN*,數(shù)列1，-3,7,-15,31,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）

A.=(2"-1)cos“7iB.a?=(l-2")sin^

C.??=2n-lD.4=(T"(1-2")

題型洞察

題型一：觀察法

1357

【典例LD（2。24高三.河南?期中）數(shù)列萬(wàn),-0,-記,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）

2n-l2n-lC.(T)"竽2n-l

A.(-1)"B.(-if1D.(-I)""

2n2n2"

【典例1-2】數(shù)列titwt…的一個(gè)通項(xiàng)公式為%=（）

c7n+1

從㈠尸二B.(1),

'75n-2

n+l

c.(-CD.(1),/八21

(〃+1)-1(M+l)-I

【方法技巧】

觀察法即根據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等，通過(guò)觀察分析數(shù)列各項(xiàng)的變化規(guī)律，求其通項(xiàng).使用觀察

法時(shí)要注意：①觀察數(shù)列各項(xiàng)符號(hào)的變化，考慮通項(xiàng)公式中是否有（-1）"或者（-1）”一部分.②考慮各項(xiàng)的

變化規(guī)律與序號(hào)的關(guān)系.③應(yīng)特別注意自然數(shù)列、正奇數(shù)列、正偶數(shù)列、自然數(shù)的平方｛/｝、｛2"｝與

（-1）"有關(guān)的數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由它們組成的數(shù)列.

【變式1-1］已知數(shù)列-6,66,-666,6666,-66666,一,則該數(shù)列的第2024項(xiàng)為（）

A.-|（102024-1B.|(102024-l)

C.-|（102024-l）D.|（102024-1）

【變式1-2］（2024.湖南長(zhǎng)沙.二模）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形

狀，后人稱為“三角垛”，“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，……，則第十層

有()個(gè)球.

A.12B.20C.55D.110

【變式1-3]已知數(shù)列T,叵,-且，羨，…則該數(shù)列的第211項(xiàng)為()

357

A同口國(guó)y/210^/2io

A.---------D.------------rC.---------Dn.-----

421421423423

題型二：疊加法

l

【典例2-1】已知數(shù)列憶｝滿足《=1,an-an+1=21anan+l,貝心=

【典例2-2］已知數(shù)列｛?｝滿足囚=1,a,=%+3n-2(n>2),貝I]{an}的通項(xiàng)公式為.

【方法技巧】

數(shù)列有形如an+l=an+f(n)的遞推公式，且/(1)+/(2)+..l+于(ri)的和可求，則變形為an+l-an=f(n),

利用疊加法求和.

，、1

【變式2-1］在數(shù)列｛?｝中，已知％=1,且?！?1=4,+(2"_］)(2〃+1)‘則""=—?

【變式2-2］在首項(xiàng)為1的數(shù)列｛。"｝中an+l-an=小(1)'則%=

【變式2-3］已知數(shù)列｛。“｝的前”項(xiàng)和為S"，若4=1,g=3,且

S向+S,i=2"+2S”(〃N2,〃eN*),則數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式為

題型三：疊乘法

【典例3-1】(2024?四川瀘州?三模)已知S”是數(shù)列｛?｝的前"項(xiàng)和，4=1,na,l+l=(?+2)S?,則a“=

【典例3-2］已知數(shù)列｛%｝滿足：％=1且工-=一心2,〃eN*),則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為

an-\n1

【方法技巧］

數(shù)列有形如為=/(〃)?/_］的遞推公式，且/⑴"(2>"⑺的積可求，則將遞推公式變形為

上-=/(〃)，利用疊乘法求出通項(xiàng)公式冊(cè).

〃〃一1

【變式3-1］已知數(shù)列｛4｝滿足％=1,%=4〃；+1，則〃〃的最小值為___.

16

【變式3-2］已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿足4(1+1)(5“+1)=("+2)2凡，則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式a.

等于—.

2

【變式3-3］已知數(shù)列k｝的前n項(xiàng)和為S,,Sn=nan,%=1,則S“=_.

【變式3-4］數(shù)列｛凡｝滿足：q=|,(2"+2-山用=(2用一2)a"(〃eN*),則｛4｝的通項(xiàng)公式為.

【變式3-5】已知數(shù)列也“｝滿足q=2,且A+a“=2"a〃+「%)("eN*),則％=_.若——力恒成立，

則2的最大值是—.

題型四：形如冊(cè)+1=pan+q型的遞推式

【典例4-1】已知數(shù)｛%｝滿足4=2,a“M=5%+12,則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式%=

【典例4-2］已知數(shù)列｛a.｝滿足％=2,%+1=3a,+2(〃eN*),則該數(shù)列的通項(xiàng)公式?！?

【方法技巧】

設(shè)an+l+彳=p(an+2),展開移項(xiàng)整理得anA=pan+(p-1)2,與題設(shè)an+1=pan+q比較系數(shù)(待定系

數(shù)法)得2=—^,(0NO)na“+i+—^=0(?！?—^)+—^=0(4,1+—^)，即［明+―構(gòu)成以

p-1p-1p-1p-1p-1［夕一1J

為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列.再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出［"+'一］的通項(xiàng)整理可得

P-1IP-1J

【變式4-1］在數(shù)列何｝中，4=4,an+1=3an-2,若對(duì)于任意的〃?N*,可4-1"2〃-5恒成立，則實(shí)

數(shù)上的最小值為—.

【變式4-2］已知數(shù)列伉｝滿足.=”(1+也+J1+24a“),q=1,求數(shù)列&｝的通項(xiàng)公式.

【變式4-3］(2024?高三?河南焦作?開學(xué)考試)已知數(shù)列｛%｝滿足。用=3%+2,a3+a2=22,則滿足

%>160的最小正整數(shù)n=.

題型五：形如每+i=pan+kn+b型的遞推式

【典例5-1］在數(shù)列｛%｝中，4=3,且4+|=3%+4〃-6("川)，則｛%｝的通項(xiàng)公式為.

【典例5-2］設(shè)數(shù)列｛%｝滿足q=4,??=3??-1+2?-l(n>2),則數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式為.

【方法技巧】

設(shè)%+A〃+B=p［qi+A(〃-1)+8］,通過(guò)待定系數(shù)法確定A、3的值，轉(zhuǎn)化成以弓+A+B為首項(xiàng)，

以看'=3不為公比的等比數(shù)列｛%+A”+周，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出｛an+An+B｝的通項(xiàng)整

理可得為.

【變式5-1］(2024?高三?河北保定?期中)若％=1，an+1=2alt-3n,?eN*,則與=;

【變式5-2］已知%=1,。用=2?！?(-1)"〃+1.求通項(xiàng)公式冊(cè).

【變式5-3】已知數(shù)歹!)｛%｝滿足。,+1=2。”+3〃2+4/+5，%=1,求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

題型六：形如1+1=pan+r〃型的遞推式

+1

［典例6-1］數(shù)列包｝滿足q=2,an+i=3a,+2",則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=.

+1

【典例6-2］已知｛。"｝數(shù)列滿足4=2,an+l-2an=2",則數(shù)列｛?！保耐?xiàng)公式為.

【方法技巧】

遞推公式為為M=pa"+應(yīng)”（其中p,q,廠均為常數(shù)）時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以4用，得:

^-=￡,4+-）引入輔助數(shù)列也｝（其中"=&）,得：再應(yīng)用構(gòu)造法解決.

qqqqqqq

【變式6-1］已知數(shù)列｛4｝滿足。用=2%+4.3?%=-1,則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為.

【變式6-2］已知數(shù)列｛%｝滿足*=3%+5x2"+4,4=1,求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

題型七：形如=pa1（p>0,an>0）型的遞推式

【典例7-1】（2024?高三?河北?開學(xué)考試）已知數(shù)列｛。"｝滿足［=2,且。用=。；+44+2,則氏=；令

bn=~~^+―二，若也｝的前〃項(xiàng)和為％則S“=.

n

【典例7?2】已知〃=il,an+l-an=2f求知.

【方法技巧】

遞推式?！?1=p〃,兩邊取對(duì)數(shù)得lga〃+i=9館4+lg〃，令b”=lga〃得:優(yōu)討=鄉(xiāng)勿+lg〃，化歸為

型，求出」之后得。"二1。".

【變式7-1］設(shè)數(shù)列｛?！ǎ凉M足q=a（a>0）,。用=2瓦，證明：存在常數(shù)M,使得對(duì)于任意的“eN*,

都有%.

【變式7-2］已知數(shù)列｛%｝滿足勾=3,an+l=al-2a?+2.

證明數(shù)列｛ln（%-1）｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

題型八：形如冊(cè)+1=空型的遞推式

Pan'Q

【典例8-1］已知數(shù)列｛。"｝滿足％=1,。用=肅=，(〃eN*),則4=.

【典例8-2】(2024?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛?！埃凉M足4=1,2q+「4+”必出=0(〃eN*),則數(shù)列｛4｝

的通項(xiàng)公式為.

【方法技巧】

形如%+1=」％」的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成」一=生工+生形式，化歸為%+|=0%+q

P4+qan+lqanp

型求出工的表達(dá)式，再求

a“

【變式8-1］已知數(shù)列｛/｝滿足"=；,且4+百喜丁則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=—.

【變式8-2］已知數(shù)列｛%｝滿足4=l，%+i=Uu("eN*),則｛%｝的通項(xiàng)公式為

題型九：形如。n+2=pan+i+型的遞推式

【典例9-1］已知數(shù)列｛。"｝中％=1,的=3,且滿足%+2+34=4%+1.設(shè)2=%+1-〃eN*.

⑴求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

a+a2a

【典例9-2］已知數(shù)列｛。"｝滿足=1,"2=3，n?+l=n+2＞求｛?｝的通項(xiàng)公式.

【方法技巧】

用待定系數(shù)法,化為特殊數(shù)列｛4-a-｝的形式求解.方法為：設(shè)4+2-3”+1=以4+1-3），比較系數(shù)

得h+k=p,-hk=q,可解得%、%,于是｛a用-他｝是公比為力的等比數(shù)列，這樣就化歸為%+1=%,+q型.

311

【變式9-1］已知數(shù)列｛”“｝滿足%+I=；。“-5。”一《讓2）,且％=］，%=1.求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

21

【變式9-2］已知數(shù)列｛〃〃｝中，4=1,%=2,%+2=耳。〃+1+§?！ǎ螅?｝的通項(xiàng)公式.

題型十：形如W型的遞推式

Pan+Q

【典例10-1］（2024.湖南益陽(yáng).一模）已知數(shù)列｛%｝中，q=l,??+i=f-—,若6“=」^,則數(shù)列也｝

的前”項(xiàng)和S,=___.

2a—1

【典例10-2］已知數(shù)列｛%｝滿足4=2,%=合1，貝心=—.

/十一

【方法技巧】

用待定系數(shù)法.

1

【變式10-1］已知數(shù)列｛%｝滿足％=2,a?=貝以=一.

+14+2

【變式10-2］己知q=3,。向則｛40｝的通項(xiàng)公式為一.

〃〃一,

題型十一：已知通項(xiàng)公式斯與前〃項(xiàng)的和S”關(guān)系求通項(xiàng)問(wèn)題

【典例11-1］在數(shù)列｛%｝中，G=g,前”項(xiàng)和S,,=〃（2〃-l）a“，則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為

n+1

【典例11-21己知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S“，an+1=S?+2.,1=2,則S“=

【方法技巧】

求解生，與S”的問(wèn)題，方法有二，其一稱為類比作差法，實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化S“的形式為0”的形式，適用于S.

的形式獨(dú)立的情形，其二稱為轉(zhuǎn)化法，實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為的形式為S”的形式，適用于S”的形式不夠獨(dú)立的情形;

不管使用什么方法，都應(yīng)該注意解題過(guò)程中對(duì)"的范圍加以跟蹤和注意，一般建議在相關(guān)步驟后及時(shí)加注

n的范圍.

【變式11-1］（2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）己知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和為S“，且°；+域+

求內(nèi)和電的值，并求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

【變式11-2］（2024.陜西渭南.統(tǒng)考二模）己知數(shù)列｛%｝中，前”項(xiàng)和為S,.若

4=向+￡7（〃eN*,〃>2）,則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為.

【變式11-3】已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列也,｝的前幾項(xiàng)和為%滿足5m+5,=；心嗎=2.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)a=今，求數(shù)列也｝的前幾項(xiàng)的和

【變式11-4】記S“為數(shù)列｛%｝的前九項(xiàng)和.已知—肅+〃=2%+1.證明：｛%｝是等差數(shù)列;

【變式11-5］（2024.海南?？?海南華僑中學(xué)校考一模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝滿足2底=%+1,

其中晶是數(shù)列｛凡｝的前n項(xiàng)和.求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式

【變式11-6］已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S“，且滿足2s“+a“=l.

(1)求｛?！保耐?xiàng)公式；

8

(2)記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)乘積為T,,求才的最小值.

1n

【變式11-7］已知數(shù)列｛an｝是遞增數(shù)列,其前〃項(xiàng)和S,滿足25“=吊+n.

(1)證明：｛4｝是等差數(shù)列；

⑵記勿=F*'暗數(shù)列也｝的前幾項(xiàng)和為1,，求七.

為偶數(shù)

【變式11?8］數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，已知前〃項(xiàng)和S“且。“+工=2乂，求｛g｝的通項(xiàng)公式.

【變式11-9］數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和記為S“，已知2s“eN*.

(1)求證：｛4｝是等差數(shù)列；

⑵若%-3,/-3,q-3成等比數(shù)列，求S”的最大值.

【變式11-10]設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛aj的前”項(xiàng)和為s“，且滿足%=2,*=25“+”+1.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若2=7"1+2,數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為T.,對(duì)任意“eN*,丁2〒22/-5〃-7恒成立，求實(shí)數(shù)九

“M+i,21-/“

的取值范圍.

s?ia?~用=|aa

【變式11-11】記S,,為數(shù)列｛a“｝的前〃項(xiàng)和，已知：%=1,??>0,+S/,n+1neN*).

(1)求證：數(shù)列1｝，是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛?｝的通項(xiàng)公式:

(2)求數(shù)列｛(-1)向凡?平｝的前n項(xiàng)和Tn.

【變式11-12](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛%,｝的前〃項(xiàng)和為S“，且4=-2,

S"+i+S“=a“+i+2nan-n^+n,〃eN*?

(1)求數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式；

(2)若(2伙?3限-%)對(duì)任意的“eN*恒成立，求實(shí)數(shù)左的最小值.

【變式11-13](2024?河南?二模)在數(shù)列｛4｝中，4=2,對(duì)任意正整數(shù)"，均有“3=2〃+2.數(shù)列也｝

滿足：g+*+'+^-=n2,neN*.

⑴求數(shù)列｛%｝和也｝的通項(xiàng)公式；

⑵若g=%,求數(shù)列｛c〃｝的前〃項(xiàng)和S「

【變式11-14］設(shè)S,為數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和，已知的=1，25“=〃凡.求｛2｝的通項(xiàng)公式;

【變式11-15］已知數(shù)列｛%｝滿足q=1,%=%+2a2+34+-+(n-l)a?_1(n^2),求｛%｝的通項(xiàng)公式.

22

【變式11-16］已知數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為S",(7,=1,nSn+i=｛rr+4n+2)an+n(S?+a?)(neN*).

⑴證明數(shù)列［叁｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

2

⑵設(shè)a?+〃,=("+1)-2"T,求數(shù)列出｝的前n項(xiàng)和Tn.

題型十二：周期數(shù)列

【典例12-11(2024?海南海口?一模)洛卡斯是十九世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家，他以研究斐波那契數(shù)列而著名.洛卡

斯數(shù)列就是以他的名字命名，洛卡斯數(shù)列區(qū),｝為：1,3,4,7,11,18,29,47,76,,即4=1,4=3,且

小=Ln+l+LneN*).設(shè)數(shù)列｛Ln｝各項(xiàng)依次除以4所得余數(shù)形成的數(shù)列為｛%｝,則%必=—.

【典例12-21(2024?陜西西安.模擬預(yù)測(cè))數(shù)列｛%｝滿足。用=《-,%=3,則4=—.

1—an

【方法技巧】

(1)周期數(shù)列型一：分式型

(2)周期數(shù)列型二：三階遞推型

(3)周期數(shù)列型三：乘積型

(4)周期數(shù)列型四：反解型

2an,0<an<^

【變式12?。已知數(shù)列何｝滿足%+]4=g'則。2024=

C1II

2。〃<1

2024

【變式12-2】(2024.河北?模擬預(yù)測(cè))在數(shù)列｛%｝中，at=-l,a2=0,an+2+an=an+l,則￡q=.

Z=1

【變式12-3](2024?河北唐山二模)已知數(shù)列｛%｝中，q=l,+(-1)"??+1=2,則%=,數(shù)列｛%｝

的前2023項(xiàng)和S2023=

【變式12-4]已知數(shù)列｛。"｝滿足q=2,*=,則%。23=

3a?+1,a.為奇數(shù)

【變式12-5](2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛?｝的前"項(xiàng)和為S",4=3,且=</7

住4為偶數(shù)

若鼠=90,則加=

題型十三：前“項(xiàng)積型

【典例13-1】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛a〃｝,H"=qx%xxa”,且q,+口“=1.求｛4｝的通項(xiàng)公式;

【典例13-2]已知數(shù)列｛an｝的前〃項(xiàng)和為S”，且滿足an>0,S.=，數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)積7；=2M.求數(shù)

列｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式;

【方法技巧】

類比前〃項(xiàng)和求通項(xiàng)過(guò)程:

(1)n=l1得4

(2)〃之2時(shí)，an=-7-.

【變式13-1］設(shè)(為數(shù)列｛氏｝的前〃項(xiàng)積.已知黃■一冒=2.求｛%｝的通項(xiàng)公式;

「、15-1

【變式13-2］設(shè)S,為數(shù)列，,｝的前〃項(xiàng)和,，為數(shù)列⑸｝的前〃項(xiàng)積，已知書

⑴求岳,52；

(2)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;

(3)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

【變式13-3】己知7“為數(shù)列何｝的前"項(xiàng)的積，且4=：,3為數(shù)歹式瑞的前〃項(xiàng)的和，若

北+2s￡T=0"N*,?-2).

(1)求證：數(shù)列［是等差數(shù)列;

(2)求｛4｝的通項(xiàng)公式.

題型十四：“和”型求通項(xiàng)

【典例14-1］(2024?湖南永州?二模)己知數(shù)列｛%｝滿足/=一1，%+%+1=J/cos與，貝!|電40=______

4162

2

【典例14-2](2024?高三?江蘇?期末)若數(shù)歹!]{4}滿足%=%=1,an+an+1+an+2=n(〃eN*),貝I

4100=___?

【方法技巧】

滿足〃〃+]+=/(〃)，稱為"和"數(shù)列，常見(jiàn)如下幾種：

(1)“和”常數(shù)型

(2)“和”等差型

(3)“和”二次型

(4)“和”換元型

【變式14-1](2024?河南月考)若數(shù)列｛q｝滿足吐+也=以左為常數(shù))，則稱數(shù)列｛4｝為等比和數(shù)列，k

aa

?+ln

稱為公比和，已知數(shù)列｛%｝是以3為公比和的等比和數(shù)列，其中q=1,1=2,則。2108=—?

【變式14-2】(2024?山西太原?一模)數(shù)列｛?！埃凉M足風(fēng)+%+i="2sinj|^,〃eN*,則q+a4°=.

【變式14-3]數(shù)列｛為｝滿足qeZ,an+x+an=2n+3,且其前w項(xiàng)和為S..若無(wú)=冊(cè)，則正整數(shù)加=(

A.99B.103C.107D.198

【變式14-4]數(shù)列｛。,,｝滿足：q=0,。,+1+?！?2〃，求通項(xiàng)

題型十五：正負(fù)相間討論、奇偶討論型

%+2,〃為奇數(shù)

【典例15-11(2024?高三.湖南常德?期末)己知數(shù)列｛鳳｝滿足首項(xiàng)q=1,an+l3%,“為偶數(shù)’”數(shù)列

｛%｝的前2"項(xiàng)的和為.

a

【典例15-2］已知數(shù)列｛2｝滿足q=1,a2k=。2*-1+1，2k+i~2。2K11,左eN*,則。2023=_____

【方法技巧】

(1)利用"的奇偶分類討論，觀察正負(fù)相消的規(guī)律

(2)分段數(shù)列

(3)奇偶各自是等差，等比或者其他數(shù)列.

【變式15-1]已知數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為S“，滿足弓=1,。向=["、(%eN*).

IZ,AZ—ZK

⑴若數(shù)列｛"｝滿足bn=(〃eN*),求也｝的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列｛《｝的通項(xiàng)公式，并求$2“.

【變式15-2]數(shù)列｛%｝滿足氏+z+(T嚴(yán)4=3”-1,前16項(xiàng)和為540,則的=.

【變式15-3](2024?夏津縣校級(jí)開學(xué))數(shù)列｛4｝滿足4+2+(-律%=3"T，前16項(xiàng)和為508,則。產(chǎn)

題型十六：因式分解型求通項(xiàng)

【典例16-1](2024?安徽月考)已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝滿足：al=a,a；+l-4a；+an+l-2an=0,neN*.

(I)判斷數(shù)列｛七｝是否是等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；

(II)若a=2,設(shè)%=6"-〃.nwN*，求數(shù)列｛2｝的前T項(xiàng)和S“.

【典例16-2】(2024?懷化模擬)己知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝滿足弓=1,2a；-6心=0("..2,〃eN*)設(shè)

b”=log2an.

(1)求偽，b2b3；

(2)判斷數(shù)列出/是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明理由；

(3)｛〃｝的通項(xiàng)公式,并求其前w項(xiàng)和為S“.

【方法技巧】

利用十字相乘進(jìn)行因式分解.

【變式16-1](2024?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)月考)已知正項(xiàng)數(shù)列｛a,,｝滿足q=2且("+l)a；+anan+l-na^+l=0(neN*)

(I)證明數(shù)列｛”"｝為等差數(shù)列；

(II)若記a=」一，求數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和S”.

4A+i

【變式16-2]已知正項(xiàng)數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和S“滿足：S；-("2+"-l)S“-"("+l)=05eN*),數(shù)列｛么｝滿

足久吟,且%+〃=O(“eN*).

(1)求4的值及數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)g=(2"+lD,數(shù)列｛.｝的前"項(xiàng)和為T”，求T”.

s”

題型十七：雙數(shù)列問(wèn)題

a——Q—2b

二'A"."，且％=2也=4.

{%=6a,+6bti

⑴證明:{%+i-2%}為等比數(shù)列；

(2)求{?},{4}的通項(xiàng).

【典例17-2](2024.吉林長(zhǎng)春.模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛%｝和也｝滿足卬=2,4=0,2aHn+1,

%+1+22=3"+1，貝1」?！耙?=,an+bn=

【方法技巧】

消元法.

【變式17-1】(2024?河北秦皇島?三模)已知數(shù)列｛?｝和也｝滿足

13

4=_]31=],4〃〃+1=3〃“一勿+4,4么+1=32一〃〃_4.

(1)證明：｛為+〃｝是等比數(shù)列，｛4-勿｝是等差數(shù)列；

(2)求｛為｝的通項(xiàng)公式以及｛"〃｝的前〃項(xiàng)和Sn.

【變式17-2］兩個(gè)數(shù)列｛4｝、也｝滿足q=2,4=1,an+i=5an+3bn+l,2旬=3%+52（其中〃?N*）,

則｛凡｝的通項(xiàng)公式為g=.

題型十八：通過(guò)遞推關(guān)系求通項(xiàng)

【典例18-1】已知某中學(xué)食堂每天供應(yīng)3000名學(xué)生用餐，為了改善學(xué)生伙食，學(xué)校每星期一有A,8兩

種菜可供大家免費(fèi)選擇（每人都會(huì)選而且只能選一種菜）.調(diào)查資料表明，凡是在這星期一選A種菜的，下

星期一會(huì)有改選種菜；而選種菜的，下星期一會(huì)有改選種菜.用°分別表示在第〃

20%8840%Ann

個(gè)星期一選A的人數(shù)和選8的人數(shù)，如果%=2000.

（1）請(qǐng)用〃n，bn表示〃n+1與bn+l[;

（2）證明：數(shù)列依-2000｝是常數(shù)列.

【典例18-21（2024?云南昆明?模擬預(yù)測(cè)）南宋的數(shù)學(xué)家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積,

體積的連續(xù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求離散變量的垛積問(wèn)題”.在他的專著《詳解九章算法?商功》中，楊輝將堆垛與相

應(yīng)立體圖形作類比，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻薨垛、芻童垛等的公式.如圖，“三角垛”的最上層有1個(gè)球,

第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球……第”+1層球數(shù)比第"層球數(shù)多〃+1,設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列｛%｝.

求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

【方法技巧】

通過(guò)相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系遞推.

21

【變式18-1】(2024?遼寧?二模)在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，將函數(shù)/(元)