專題02 直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半 帶解析

2022-2023學(xué)年湘教版八年級數(shù)學(xué)下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題02直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半評卷人得分一、選擇題(每題2分，共20分)1．(本題2分)（2023秋·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，是斜邊上的中線，將沿翻折，使點B落在點F處，線段與相交于點E，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【思路點撥】由直角三角形兩銳角互余和斜邊上中線的性質(zhì)得，即可得到，由折疊的性質(zhì)得，則，由三角形外角的性質(zhì)即可得到的度數(shù)．【規(guī)范解答】解：∵在中，，，是斜邊上的中線，∴，∴，∵將沿翻折，使點B落在點F處，線段與相交于點E，∴，∴，∴．故選：C【考點評析】此題考查了折疊的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．(本題2分)（2022秋·浙江溫州·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，為斜邊中點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【思路點撥】先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得，再證明，得，便可求得結(jié)果．【規(guī)范解答】解：∵，為斜邊中點，∴，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)知，∴，∵，，∴（），∴，∴，故選：A．【考點評析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是證明三角形全等．3．(本題2分)（2022秋·上海青浦·八年級?？计谀┰谙铝懈髟}中，逆命題為假命題的是（）A．線段垂直平分線上的任意一點到這條線段兩個端點的距離相等B．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半C．如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的對應(yīng)邊相等D．關(guān)于某一條直線對稱的兩個三角形全等【答案】D【思路點撥】分別寫出四個命題的逆命題，然后分別根據(jù)線段垂直平分線判定定理、等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理、全等三角形的判定和軸對稱的定義進行判斷即可．【規(guī)范解答】解：A、逆命題為到線段兩個端點的距離相等的點在這條線段垂直平分線上，此逆命題為真命題；B、逆命題為如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形為直角三角形，此逆命題為真命題；C、逆命題為三邊對應(yīng)相等的三角形全等，此逆命題為真命題；D、逆命題為兩個全等三角形關(guān)于某直線對稱，此逆命題為假命題．故選：D．【考點評析】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理．也考查了逆命題．4．(本題2分)（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D是一張長方形紙片，點是對角線的中點，點在邊上，把沿直線折疊，使點落在對角線上的點處，連接，．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【思路點撥】連接，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，從而得到，再由折疊的性質(zhì)可得，從而得到，進而得到，繼而得到，再由三角形外角的性質(zhì)可得，，從而得到，設(shè)，則，，再由，即可求解．【規(guī)范解答】解：如圖，連接，在長方形中，，∵點是對角線的中點，∴，∴，∵沿直線折疊，使點落在對角線上的點處，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，，∵，∴，解得：，即．故選：C【考點評析】本題主要考查了折疊問題，三角形的內(nèi)角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)列出方程是解題的關(guān)鍵．5．(本題2分)（2022秋·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，是斜邊上的高，將沿折疊，點恰好落在的中點處，則等于（）A．60° B．45° C．30° D．25°【答案】C【思路點撥】先根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)得出，再由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可得出，進而可判斷出是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)及直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】解：沿折疊，，為中點，，，是等邊三角形，，，故選：C．【考點評析】此題考查了翻折的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．6．(本題2分)（2022秋·廣東廣州·九年級廣州市第六十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，將繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，是的中點，是的中點，連接．若，，則線段的最大值是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【思路點撥】連接，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半知，在中，利用三角形三邊關(guān)系可得的最大值．【規(guī)范解答】解：如圖，連接，在中，，，，∴，∵將繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∵點P為的中點，∴，∵M是的中點，∴，在中，利用三角形三邊關(guān)系可得，（當(dāng)三點共線時取等號）∴，∴的最大值為3，故選：B【考點評析】本題主要考查了含的直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，掌握幾何最值的求解方法是解題的關(guān)鍵．7．(本題2分)（2023春·八年級單元測試）如圖，在等邊的，邊上各取一點，，使，，相交于，若，則點到的距離等于（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【思路點撥】作于點，則，先證明，得，再推導(dǎo)出，則，而，得，即可根據(jù)勾股定理求得，于是得到問題的答案．【規(guī)范解答】解：作于點，則，是等邊三角形，，，在和中，，，，，，，，，點到的距離等于，故選：C．【考點評析】此題重點考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和、直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理等知識，證明是解題的關(guān)鍵．8．(本題2分)（2022秋·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，D為邊上一動點，連接．以為底邊，在的左側(cè)作等腰直角三角形，點F是邊上的定點，連接，當(dāng)取最小值時，若，則為（

）（用含的式子表示）A． B． C． D．【答案】D【思路點撥】如圖，取的中點H，連接，交于，作直線，交于，設(shè)，取的中點，連接，，證明，則在直線上運動，且，當(dāng)，，三點共線時，，此時最短，從而可得結(jié)論．【規(guī)范解答】解：如圖，取的中點H，連接，交于，作直線，交于，∵，，∴，，，∵等腰直角三角形，，∴，設(shè)，取的中點，連接，，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴在直線上運動，且，∵，∴是的垂直平分線，∴，，當(dāng)，，三點共線時，，此時最短，∵，∴，∴，故選D．【考點評析】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，證明在直線上運動是解本題的關(guān)鍵．9．(本題2分)（2022·八年級單元測試）如圖，等腰中，，，于點，的平分線分別交、于、兩點，為的中點，的延長線交于點，連接，下列結(jié)論：①；②為等腰三角形；③；④；⑤，其中正確結(jié)論有（）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】D【思路點撥】先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，進而證得，故①正確；連接，證明是的垂直平分線，可得，再由直角三角形的性質(zhì)可得，可得到為等腰三角形，故②正確；先證得，可得，可證得，可得到，故③正確；由①知：，可得，故④正確；由③知：，可得到，從而得到為等腰直角三角形，進而得到，可得到，故⑤正確，即可．【規(guī)范解答】解：，，，，，，，平分，，，，，，，，在和中，，，，故①正確；連接，如圖，，，，．，是的垂直平分線，，，為斜邊上的中線，，為等腰三角形，故②正確；連接，如圖，，，，．在和中，，，，故③正確；由①知：，，，故④正確；由③知：，，，，為等腰直角三角形，，，故⑤正確，綜上，正確的結(jié)論有：①②③④⑤，故選：D．【考點評析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意得到全等三角形是解題的關(guān)鍵．10．(本題2分)（2021秋·湖北恩施·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在等腰中，于D，的平分線分別交AC、AD于E、F兩點，M為EF的中點，延長AM交BC于點N，連接DM、NE，下列結(jié)論：①；②；③是等邊三角形；④；⑤．其中正確的結(jié)論有（

）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】B【思路點撥】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半以及角平分線的性質(zhì)計算得出∠ABE＝∠CBE＝22.5°，∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可判斷①②③；利用ASA證明△FBD≌△NAD，判斷④；利用SAS證明△EBA≌△EBN，判斷⑤；從而得到結(jié)論．【規(guī)范解答】解：∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC，∴∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADN＝∠ADB＝90°，∴∠BAD＝45°＝∠CAD，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝22.5°，∴∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，∴AF＝AE，故①正確，③錯誤；∵M為EF的中點，∴AM⊥EF，故②正確；∵AM⊥EF，∴∠AMF＝∠AME＝90°，∴∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN，在△FBD和△NAD中，，∴△FBD≌△NAD（ASA），∴DF＝DN，故④正確；∵∠BAM＝∠BNM＝67.5°，∴BA＝BN，又∵∠EBA＝∠EBN，BE＝BE，∴△EBA≌△EBN（SAS），∴∠BNE＝∠BAE＝90°，∴∠ENC＝∠ADC＝90°，∴，故⑤正確．綜上所述，①②④⑤正確，共4個．故選：B．【考點評析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，能靈活運用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．評卷人得分二、填空題(每題2分，共20分)11．(本題2分)（2023秋·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖，等腰中，，于D，的平分線分別交，于E，F(xiàn)兩點，M為的中點，延長交于點N，連接．則下列結(jié)論：①，②，③，④；其中正確的有______．（填寫正確結(jié)論的序號）【答案】①②③【思路點撥】①證明，即可得到；②先根據(jù)ASA證明，則可得.然后在Rt中，根據(jù)“直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半”即可得到；③根據(jù)ASA證明，則可得；④根據(jù)已知條件可判斷.【規(guī)范解答】①平分又∴①正確.②M為的中點又∴M是中點在Rt中是斜邊的中線∴②正確.③中在和（ASA）∴③正確.④平分,但

∴④不正確.綜上，正確的有①②③故答案為：①②③【考點評析】本題難度較大主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.12．(本題2分)（2022秋·遼寧葫蘆島·八年級校聯(lián)考期中）已知：如圖所示，是的中線，，，則______．【答案】##105度【思路點撥】過點B作，垂足為H，連接，根據(jù)垂直定義可得，從而可得，然后利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得，從而可得是等邊三角形，進而可得，，最后利用三角形外角的性質(zhì)和角的和差關(guān)系求出，從而可得，進而可得，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，進行計算即可解答．【規(guī)范解答】解：過點B作，垂足為H，連接，∴，∵，∴，∵是斜邊上的中線，∴，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴的度數(shù)為．【考點評析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．13．(本題2分)（2022秋·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，是邊上的中線，點D、E分別在邊和上，，與相交于點N，于點F，以下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的序號是__________．【答案】①②④【思路點撥】①設(shè)，利用角的轉(zhuǎn)化，用表示出，進行判斷即可；②證明，得到，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到，進而得到；③根據(jù)，得到，，連接，無法證明，無法得到，即無法得到；④根據(jù)，得到，進而得到，進而得到．【規(guī)范解答】解：①設(shè)，∵在中，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，是邊上的中線，∴，∴，∴；故①正確；②∵，，∴，又∵，，∴，∴，∵在中，，是邊上的中線，∴，∴；故②正確；③∵，∴，，連接，條件不足證明，∴無法證明，即無法得到；故③錯誤；④∵，∴，∴，即，∴，∴；故④正確；綜上，正確的為①②④；故答案為：①②④．【考點評析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，外角的性質(zhì)，以及直角三角形斜邊上的中線．解題的關(guān)鍵是靈活運用相關(guān)知識點，證明三角形全等．14．(本題2分)（2022秋·黑龍江佳木斯·八年級統(tǒng)考期末）在中，，，在直線上取一點，使，E為邊上的中點，連接，則的度數(shù)為______．【答案】45°或135°【思路點撥】根據(jù)題意畫出圖形，分兩種情況：點D在延長線上；點D在邊上．連接，可得是等邊三角形，再由已知可得是等腰三角形，由三角形內(nèi)角和可求得，則可求得結(jié)果．【規(guī)范解答】解：如圖，當(dāng)點D在延長線上時，連接，E為邊上的中點，，，，是等邊三角形，，，，，是等腰三角形，，，，，，；當(dāng)點D在邊上時，同理可得是等邊三角形，是等腰三角形，且，，；故答案為：或．【考點評析】本題考查了直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，涉及分類討論思想，由中點想到構(gòu)造中線是本題的關(guān)鍵．15．(本題2分)（2022秋·江蘇揚州·八年級校考期中）如圖，在中，點在邊上，，點、點分別是、的中點，．則的長為________．【答案】3【思路點撥】連接根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可得到答案．【規(guī)范解答】解：連接，由題意可得，∵，點是的中點，∴，∵點是的中點，，∴，故答案為3．【考點評析】本題考查等腰三角形底邊三線合一及直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，解題關(guān)鍵是作輔助線．16．(本題2分)（2023秋·福建泉州·八年級期末）如圖，等腰中，，，于點，的平分線分別交、于、兩點，為的中點，的延長線交于點，連接，下列結(jié)論：①；②；③垂直平分；④，其中正確結(jié)論有________．【答案】①②④【思路點撥】求出，，，證，即可判斷①，證，推出，即可判斷④；根據(jù)，得到，推出不是的中位線，于是得到不能垂直平分，故③錯誤；連接，利用等腰三角形的判定與性質(zhì)得到，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷②．【規(guī)范解答】解：，，，，，，，平分，，，，，，，，在和中，，，，①正確；在和中，，，，，，④正確；連接，如圖，∵，，∴，∴．∵，∴是的垂直平分線，∴，∵，∴為斜邊上的中線，∴，∴為等腰三角形，∴②正確；若，則，若平分，則是的中位線，，，不是的中位線，

不能垂直平分，故③錯誤；故答案為：①②④．【考點評析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應(yīng)用，能正確證明推出兩個三角形全等是解此題的關(guān)鍵，主要考查學(xué)生的推理能力．17．(本題2分)（2022秋·河南商丘·八年級商丘市第十六中學(xué)?？计谀┤鐖D，直角中，斜邊，為直線上的動點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則的最小值是_________．【答案】【思路點撥】取中點，連接，如圖所示，根據(jù)直角三角形性質(zhì)：斜邊中線等于斜邊一半，以及含的直角三角形性質(zhì)：所對直角邊是斜邊的一半，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到，從而，結(jié)合兩個三角形全等的判定定理得到，進而有，即當(dāng)取最小值時，有最小值，根據(jù)點到直線最短距離是垂直時得到可知當(dāng)時，有最小值，從而利用直角三角形性質(zhì)：斜邊中線等于斜邊一半即可得到答案．【規(guī)范解答】解：取中點，連接，如圖所示：∵，點是中點，，∴，，，∵將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，在和中，，∴，∴，即當(dāng)取最小值時，有最小值，當(dāng)時，有最小值，此時，，∴的最小值為，故答案為：．【考點評析】本題考查動點最值問題，涉及直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，含的直角三角形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、點到直線最短距離等知識，熟練掌握直角三角形斜邊中線等于斜邊一半是解決問題的關(guān)鍵．18．(本題2分)（2022春·福建寧德·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點D在BC上，過D作DF⊥BC交BA的延長線于F，連接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，則∠B＝___．【答案】77°【思路點撥】CF的中點T，連接DT，AT，證明AT⊥CF，AC=AF，得到∠AFC=45°，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余計算即可．【規(guī)范解答】解：取CF的中點T，連接DT，AT，∵∠BAC＝90°，F(xiàn)D⊥BC，∴∠CAF＝∠CDF＝90°，∴AT＝DT=CF，∴TD＝TC＝TA，∴∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，∵∠ADB＝45°，∴∠ADT+∠TDC＝135°，∴∠DAT+∠TCD＝135°，∴∠ATC＝360°﹣2×135°＝90°，∴AT⊥CF，∵CT＝TF，∴AC＝AF，∴∠AFC＝45°，∴∠BFD＝45°﹣32°＝13°，∵∠BDF＝90°，∴∠B＝90°﹣∠BFD＝77°，故答案為：77°．【考點評析】本題考查的是直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是正確添加斜邊上的中線．19．(本題2分)（2021秋·黑龍江·八年級哈爾濱德強學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，的兩條高與相交于點F，G為上一點，連接交于點H，且，若，，，則線段的長為_______．【答案】5【思路點撥】如圖，取的中點連接由∠ADC=∠AEC=90°，證明∠ACH=∠ADE，再由∠CHG=2∠ADE可得∠HAC=∠ACH再由AB=AG可推出∠BCE=∠DAG從而推出∠DAC=∠DCA，所以AD=DC，然后求出DG與CG的比，進而求出S△ADC的面積，最后求出AD的長．【規(guī)范解答】解：如圖，取的中點連接∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADC=∠AEC=90°，即∴∠ADE=∠ACE，∵∠GHC=∠HAC+∠HCA，∠ADE=∠HCA，∴∠GHC=∠HAC+∠ADE，∵∠CHG=2∠ADE，∴2∠ADE=∠HAC+∠ADE，∴∠ADE=∠HAC，∴∠ACH=∠HAC，∴∠BCE+∠B=90°，∠BAD+∠B=90°，∴∠BCE=∠BAD，∵AB=AG，AD⊥BC，∴∠DAG=∠BAD，∴∠DAG=∠BCE，∴∠DAG+∠GAC=∠BCE+∠ACH，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=DC，∴△ADG≌△CDF（ASA），∴DG=DF，∴，∴S△ADG＝S△AGC＝5，∴S△ADC＝5+，∴AD?DC＝，∴AD2=25，∴AD=5，故答案為：5．【考點評析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練的運用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解本題的關(guān)鍵．20．(本題2分)（2021春·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┤鐖D，正方形中，點、、分別是、、的中點，、交于，連接、．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有______【答案】①②③④【思路點撥】①連接AH，由四邊形ABCD是正方形與點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，易證得△BCE≌△CDF與△ADH≌△DCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，證得CE⊥DF與AH⊥DF②根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，即可證得AG=AD③由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得HG=AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可得．∠CHG=∠DAG．則問題得解．【規(guī)范解答】∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=90°，∵點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，∴BE=CF，在△BCE與ACDF中，∴△BCE≌△CDF(SAS)，∴∠ECB=∠CDF，∵∠BCE＋∠ECD=90°，∴∠ECD+∠CDF=90°，∴∠CGD=90°，∴CE⊥DF，故①正確；在Rt△CGD中，H是CD邊的中點，∴HG=CD=AD，故④正確；連接AH，同理可得:AH⊥DF，∵HG=HD=CD，∴DK=GK，∴AH垂直平分DG，∴AG=AD，故②正確；∴∠DAG=2∠DAH，同理:△ADH≌△DCF，∴∠DAH=∠CDF，∵GH=DH，∴∠HDG=∠HGD，∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF，∴∠CHG=∠DAG，故③正確；故答案為：①②③④．【考點評析】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，是一道綜合性的題目，靈活使用所學(xué)的正方形、三角形的知識是難點也是重點．評卷人得分三、解答題(共60分)21．(本題6分)（2023秋·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，.點D是的中點，點E為邊上一點，連接，，以為邊在的左側(cè)作等邊三角形，連接.(1)求證：為等邊三角形；(2)求證：；【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【思路點撥】（1）由，，可得出，，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線定理可得出，即可得出為等邊三角形；（2）根據(jù)，可得出，再結(jié)合即可得出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出.【規(guī)范解答】（1）∵在中，，，∴，，又∵點D是的中點，∴，∴，∴為等腰三角形，又∵，∴為等邊三角形；（2）由（1）可知為等邊三角形，∴，∵為等邊三角形，∴，∴，∴，即，在和中，，∴，∴.【考點評析】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線．解題的關(guān)鍵是證明三角形全等．22．(本題6分)（2022秋·上海青浦·八年級?？计谀┤鐖D，已知中，，于點，是中點，，求證：．【答案】證明見詳解【思路點撥】連接，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得出等腰三角形，再等量代換即可得到結(jié)論；【規(guī)范解答】證明：連接，∵，∴，∵是中點，∴；∴∵∴在中外角∴∴∴【考點評析】本題考查了三角形的外角定理，平行線額性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，正確地識別圖形是解題的關(guān)鍵．23．(本題8分)（2022秋·浙江金華·八年級浙江省蘭溪市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，M，N分別是的中點，(1)求證：(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【思路點撥】（1）根據(jù)，點M為中點，可得，再根據(jù)等腰三角形“三線合一”即可求證；（2）根據(jù)“等邊對等角”以及四邊形的內(nèi)角和，即可求出，則，即可求解．【規(guī)范解答】（1）證明：∵，點M為中點，∴，即，∵點N為中點，∴；（2）解：∵點M為中點，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，由（1）可知：，∴，在中，根據(jù)勾股定理可得：，∵點N為中點，∴．【考點評析】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及等腰三角形“等邊對等角”，“三線合一”．24．(本題8分)（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）【情境呈現(xiàn)】如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片和重合放置，其中．若固定，將繞著點旋轉(zhuǎn)．【初步探究】（1）如圖2，當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)，點恰好落在邊上．①若點恰好落在邊的中點時，求此時旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；②若旋轉(zhuǎn)角為，則的度數(shù)為________（用含的式子表示）．【拓展提升】（2）當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，求證：．【答案】（1）①旋轉(zhuǎn)角為；②；（2）見解析【思路點撥】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，和直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，得到：，得到為等邊三角形，即可得解；②利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，利用三角形的內(nèi)角和定理，求出，再根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余，求出，即可得解；（2）如圖，過點作，垂足為，過點作交的延長線于點，證明，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，得到兩個三角形等底等高，即可得證．【規(guī)范解答】解：（1）①由旋轉(zhuǎn)可知：，∵，是的中點，∴，∴，

∴是等邊三角形，∴，∴旋轉(zhuǎn)角為．②由旋轉(zhuǎn)可知：，∴，∴，∴，故答案為：；（2）證明：如圖，過點作，垂足為，過點作交的延長線于點，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，由旋轉(zhuǎn)可得：，∴在和中，∴∴，∵，，，∴．【考點評析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及三角形的內(nèi)角和定理．綜合性較強，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，是解題的關(guān)鍵．25．(本題8分)（2022秋·江蘇揚州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，為等腰直角三角形，，，為邊上的高線，點、分別是、上的點，且．(1)求證：；(2)判斷的形狀，并說明理由；(3)直接寫出四邊形的面積與的面積的數(shù)量關(guān)系：______．【答案】(1)見解析(2)是等腰直角三角形．證明見解析(3)【思路點撥】（1）先利用等腰直角三角形的性質(zhì)證，再利用余角性質(zhì)證，即可由得出結(jié)論；（2）利用得出，，繼而證得，即可得出結(jié)論；（3）利用全等三角形性質(zhì)得，從而有，再由，得，即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】（1）證明：，，，，，，，，在和中，，；（2）解：結(jié)論：是等腰直角三角形．理由：，，，，是等腰直角三角形；（3）解：結(jié)論：．理由：，，，，，．【考點評析】本題考查了四邊形的面積，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．26．(本題8分)（2022秋·浙江紹興·八年級?？计谀┤鐖D1，在中，分別是邊上的高線，M，N分別是線段的中點．(1)求證：．(2)連接，猜想與之間的關(guān)系，并說明理由．(3)若將銳角三角形變?yōu)殁g角三角形，其余條件不變，如圖2，直接寫出與之間的關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)；理由見解析(3)【思路點撥】（1）連接，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，，得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)計算；（3）仿照（2）的計算過程解答即可．【規(guī)范解答】（1）證明：如圖，連接，，∵分別是邊上的高線，M是的中點，∴，，∴，又∵N為中點，∴；（2）解：；理由如下：在中，，∵，∴，，∴，，∴，∴；（3）解：；理由如下：連接，，如圖所示：∵分別是邊上的高線，M是的中點，∴，，∴，∴，∴，，∴，，在中，，∴，∴，．【考點評析】本題主要考查的是直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，掌握直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．27．(本題8分)（2022秋·福建福州·八年級福建省福州第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，和是兩個等腰直角三角形，，，與分別交于點，和交于點G，連接，．(1)若，求的度數(shù)；(2)如圖（2）延長，交于點M，①證明：在同一條直線上；②若，證明：．【答案】