高三期中數(shù)學(xué)壓軸題的出題思路及不同解法對比

高三期中數(shù)學(xué)壓軸題的出題思路及不同解法對比教學(xué)設(shè)計(jì)【試題呈現(xiàn)】（常州市教育學(xué)會2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題第22題）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．（1）求函數(shù)的解析式，并直接寫出函數(shù)的解析式；（2）若在內(nèi)恰有2023個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)與正整數(shù)的值．【參考答案】(1)，．（2）其中第2問至少有2種解法。下文先講一下【出題思路】，再做【解法對比】?！境鲱}思路——改編手法】【試題的源】（2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（福建卷）理數(shù)試題第20題）已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的周期為π,圖象的一個對稱中心為.將函數(shù)f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將所得到的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象．(1)求函數(shù)f(x)與g(x)的解析式；(2)是否存在x0∈,使得f(x0),g(x0),f(x0)g(x0)按照某種順序成等差數(shù)列？若存在,請確定x0的個數(shù)；若不存在,說明理由；(3)求實(shí)數(shù)a與正整數(shù)n,使得F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0,nπ)內(nèi)恰有2013個零點(diǎn)．【參考答案】(1)f(x)＝cos2x,g(x)＝sinx;(2)存在;或【改編手法】2025屆常州高三期中數(shù)學(xué)壓軸題是基于2013年福建高考理科數(shù)學(xué)第20題改編的。改編的手法是改編數(shù)據(jù)、平移的方向等，進(jìn)而構(gòu)造出類似的函數(shù)。2013年福建高考理科數(shù)學(xué)第20題第3問：；令...2025屆常州高三期中數(shù)學(xué)壓軸題的函數(shù)：令，即：...不難發(fā)現(xiàn)：這兩個考試中最后一問研究的函數(shù)是極其類似的。【符合“年代感”的表述】（2013年福建高考最后一問）求實(shí)數(shù)a與正整數(shù)n,使得F(x)在(0,nπ)內(nèi)恰有2013個零點(diǎn)．（2024屆常州高三期中最后一問）若F(x)在(0,nπ)內(nèi)恰有2023個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)與正整數(shù)的值．【分析異同】從上面改編手法中，可以看出這兩題極其相似。如果F(x)在(0,nπ)內(nèi)恰有的零點(diǎn)個數(shù)不變。這兩題的答案就是一模一樣！如此改編，難免有“抄襲之嫌”，怎么辦呢？把“2013個零點(diǎn)”改為“2023個零點(diǎn)”，這樣答案有所不同。于是，命制了“2025屆常州高三期中數(shù)學(xué)壓軸題”?！镜?問解法對比】【兩種解法】第2問有兩種方法：方法1：解方程，換元，得到（其中，），進(jìn)而研究二次函數(shù)的零點(diǎn)分布。方法2，用分離系數(shù)法得出（其中，），而后研究函數(shù)與的交點(diǎn)情況；這兩種方法均可將原問題轉(zhuǎn)化為研究一個周期內(nèi)函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)問題。（從簡單開始考慮）【解答呈現(xiàn)】令，即：記，則只需研究,也即在給定區(qū)間上的零點(diǎn)情況。下面的過程與2013年福建高考最后一問類似。（解法1：通過代換，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在特定區(qū)間上的問題）現(xiàn)研究函數(shù)在.設(shè)則函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線，又，，當(dāng)b＞1（即：）時(shí)，函數(shù)有一個零點(diǎn)(另一個零點(diǎn)＞1，舍去)，在上有兩個零點(diǎn)，且；當(dāng)（即：）時(shí)，函數(shù)有一個零點(diǎn)(另一個零點(diǎn)＜-1，舍去)，在上有兩個零點(diǎn)，且；當(dāng)(即：-1＜＜1）時(shí)，函數(shù)有一個零點(diǎn)，另一個零點(diǎn)，在和分別有兩個零點(diǎn).由正弦函數(shù)的周期性，可知當(dāng)a≠±1時(shí)，函數(shù)在內(nèi)總有偶數(shù)個零點(diǎn)，從而不存在正整數(shù)n滿足題意.當(dāng)b=1()時(shí)，函數(shù)有一個零點(diǎn)，另一個零點(diǎn)=1；當(dāng)()時(shí)，函數(shù)有一個零點(diǎn)=-1，另一個零點(diǎn)，從而當(dāng)a=1或a=-1時(shí)，函數(shù)在有3個零點(diǎn).由周期性，，所以依題意得時(shí)，即：時(shí)，.（由于正整數(shù)n,所以當(dāng)時(shí)，即：時(shí)，能夠取到2022個或2024個或2025個交點(diǎn)，而取不到2023個交點(diǎn)。）綜上，（解法2：分離參數(shù)，借助函數(shù)圖像，找零點(diǎn)）依題意，，令，當(dāng)，即時(shí)，，從而不是方程的解，所以方程等價(jià)于關(guān)于的方程現(xiàn)研究時(shí)，方程的解的情況。則問題轉(zhuǎn)化為：研究直線的交點(diǎn)情況。的變化情況如下表：由圖可知：當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)無交點(diǎn)，在內(nèi)有2個交點(diǎn)。（也即：當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)無交點(diǎn)，在內(nèi)有2個交點(diǎn)。）當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有2個交點(diǎn)，在內(nèi)無交點(diǎn)。（也即：當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有2個交點(diǎn)，在內(nèi)無交點(diǎn)。）當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有2個交點(diǎn)，在內(nèi)有2個交點(diǎn)。（也即：當(dāng)時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有2個交點(diǎn)，在內(nèi)有2個交點(diǎn)。）當(dāng)內(nèi)有3個交點(diǎn)由周期性，，所以依題意得時(shí)，即：時(shí)，.（由于正整數(shù)n,所以當(dāng)時(shí)，即：時(shí)，能夠取到2022個或2024