2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四次月考卷（高考一模卷）（解析版）

2025年高考一輪復(fù)習(xí)第四次月考卷(高考一模卷)

(滿分150分，考試用時(shí)120分鐘)

一、選擇題

1.已知集合/={-2廠1,0,1,2},5={X|X2>1},貝1]/門([3)=()

A.{—2,-1,0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,2}D.{-1,1}

【答案】B

【分析】根據(jù)補(bǔ)集結(jié)合一元二次不等式求4臺，再根據(jù)交集運(yùn)算求解.

【解析】因?yàn)?=卜|>1},則詞={x|VV1}={x|-1VxV1},

所以4n(CM)={-1,0,1}.

故選：B.

2.若復(fù)數(shù)z滿足iz=l-3i,則目=()

A.V5B.y/lQC.5D.10

【答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)除法化簡，然后由復(fù)數(shù)模公式可得.

【解析】因?yàn)閕z=l-3i,所以2=匕包=-3-i,

1

所以|z|=J(-3)2+(-1)2=麗.

故選：B

3.已知平面向量￡=(2,1),石=(-2,4),若(2々+可乂痛5),則實(shí)數(shù)彳=()

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量垂直的坐標(biāo)表示求解.

【解析】因?yàn)椤?(2,1),7(-2,4),

所以2a+B=(2,6),Aa—b=(2A+2,>1—4),

因?yàn)?2a+5)_L(彳4-A),

所以(2￡+4(茄/)=(2,6>(22+24-4)=44+4+64-24=0,

解得4=2.

故選：D

,、Fx-l,x>0

4.函數(shù)y(x)=1c是()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)

C.既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的定義，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【解析】當(dāng)X20時(shí)，f(x)=x-\,則〃一x)=r-l=〃x),

當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=-x-l,則/(-x)=x-l=/(x),

綜上可得，/(-x)=f(%),

即函數(shù)/(X)為偶函數(shù).

故選：B

5.下列說法正確的是()

A.若隨機(jī)變量X?N(〃,4),則當(dāng)b較小時(shí)，對應(yīng)的正態(tài)曲線"矮胖"，隨機(jī)變量X的分布比較分散

B.在做回歸分析時(shí)，可以用決定系數(shù)及2刻畫模型回歸效果，長越小，說明模型擬合的效果越好

C.一元線性回歸模型中，如果相關(guān)系數(shù)廠=0.98,表明兩個(gè)變量的相關(guān)程度很強(qiáng)

D.在2x2列聯(lián)表中，若所有數(shù)據(jù)均變成原來的2倍，則/不變_叫尸其中

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

n=a+b+c+d)

【答案】C

【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，可得判定A錯(cuò)誤；根據(jù)決定系數(shù)和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，可得判定B錯(cuò)誤,

C正確；根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的計(jì)算公式，可判定D錯(cuò)誤.

【解析】對于A中，若隨機(jī)變量X?則當(dāng)。較小時(shí)，對應(yīng)的正態(tài)曲線“瘦高"，隨機(jī)變量X的分

布比較集中，所以A錯(cuò)誤;

對于B中，在做回歸分析時(shí)，可以用決定系數(shù)及2刻畫模型回歸效果，店越大，說明模型擬合的效果越好,

所以B錯(cuò)誤；

對于C中，一元線性回歸模型中，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近1,表明兩個(gè)變量的相關(guān)性越強(qiáng)，所以如果相關(guān)

系數(shù)r=0.98,表明兩個(gè)變量的相關(guān)程度很強(qiáng)，所以C正確；

對于D中，在2x2列聯(lián)表中，若所有數(shù)據(jù)均變成原來的2倍，

22

.2_2n(4ad-4bc)_2n(ad-bc)

人力(2a+2b)(2c+2d)(2a+2c)(2/>+2cZ){a+b'){c+d\a+c)(b+d}'

此時(shí)/是原來的2倍，所以D錯(cuò)誤.

故選：C.

6.如圖所示的沙漏由兩個(gè)完全相同的圓錐組成，且圓錐的底面半徑和高均為2.若沙漏的起始狀態(tài)為上方

圓錐中充滿了沙子，下方圓錐中沒有沙子，上方圓錐的沙子勻速漏到下方圓錐中，需要54分鐘全部漏完,

則經(jīng)過52分鐘后，沙漏上方圓錐中沙子的高度為()

A2.變B.-C.D.-

3333

【答案】B

522

【分析】由題意漏下來的沙子是全部沙子的彳剩余的是全部沙子的彳然后根據(jù)體積之比可得答案.

【解析】因?yàn)樯匙勇┫聛淼乃俣仁呛愣ǖ模戏綀A錐的沙子勻速漏到下方圓錐中，

522

則經(jīng)過52分鐘后，漏下來的沙子是全部沙子的彳剩余的是全部沙子的才

下方圓錐的空白部分就是上方圓錐中的沙子部分，

所以可以單獨(dú)研究下方圓錐，設(shè)社為下方空白的圓錐的高，

〃全為沙漏的高，囁為下方空白部分的圓錐的體積，嚓為下方沙漏的體積，

故選：B.

7.過圓。：/+/=1外一點(diǎn)加，力)做圓。的切線也，切點(diǎn)為A,割=則2相+3〃的最大值為

)

A.2V10B.2713C.2V15D.8

【答案】B

【分析】先確定動點(diǎn)M的軌跡，再結(jié)合基本（均值）不等式或直線與圓的位置關(guān)系求最大值.

【解析】如圖:

姝

依題意，=，必）+F=2,即/+/=4.

解法一■：(2m+3n)2=4m2+9?2+\2mn<4m2+9n2+9m2+4n2=13(/+;/)=52,當(dāng)且僅當(dāng)m2="，"?36

~13

時(shí)等號成立，故2〃?+3”的最大值為2jW.

故選：B

角軍法二：設(shè)2加+3〃=6,由題意知直線/:2加+3〃-6=0與圓：m2+n2=4有公共點(diǎn)，令42,解得

|6|＜2V13,故2加+3〃的最大值為2&L

故選：B

8.定義在R上的函數(shù)〃x）滿足八0）=0,/（x）+/（l-x）=l,/[,；〃》），且當(dāng)04為＜々＜1時(shí)，

〃網(wǎng)）”?。?，則.息=（）

1111

A.---B.---C.—D.—

2561286432

【答案】D

【分析】先由已知條件求出一些特值，/⑴=1,/（!）=；，反復(fù)利用〃勺=；，（幻，可得/（焉）=1

人焉）$,再由與〃焉）、d/J與/（上）的大小關(guān)系從而得出結(jié)論.

【解析】??"(0)=0,/(x)+/(l-x)=l,

令x=l得：/(1)=1,又/(令=

反復(fù)利用，（：Y）=；1/（x）可得:

，(----)=_于(---)=—f(--)=-f(—)=—f(-)=—(1)

31252625412582516532

再令x=；,由〃無）+/（1-尤）=1,可求得了（6=；,

同理反復(fù)利用/（1）=可得

=

“備=Y擊:/(?5)=爪)$②，

由①②可得：有〃總^=生意）='

?―口，/（"Q而?！慈ァ雌摺锤摺?，

所以“2024）"”3125）=至'”2024）""1250）二記'

故"后）=記，

故選：D.

二、多選題

9.在等比數(shù)列｛?！埃?，。1%=2,%=4,則（）

A.｛%,｝的公比為&B.｛%｝的公比為2

C.?3+?5=20D.數(shù)列卜g?為遞增數(shù)列

【答案】BC

【分析】根據(jù)題意，列出等式求出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，然后逐一判斷即可.

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為4,

依題意得卜-解得二'所以%=2"、

qq=4,[q=2,

故的+%=22+24=20,故BC正確，A錯(cuò)誤;

對于D,log2—=1-?,則數(shù)列l(wèi)og,工為遞減數(shù)列，故D錯(cuò)誤.

%I

故選：BC.

71

B.(p=一

3

(八

c.〃x)的圖象與了軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為0,-三

D.函數(shù)y=|/(x)|的圖象關(guān)于直線X=^|對稱

【答案】AD

【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象確定其最小正周期，求出。=2,判斷A；利用特殊值可求出9,進(jìn)而求出/(x)的

圖象與了軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，判斷BC；判斷了(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)二,0對稱，即可判斷D.

【解析】由圖可知，/(無)的最小正周期7=乙=5,則。=2,A正確;

G)2

由圖象可知X=g時(shí)，函數(shù)無意義,故?-0=］+EKeZ,

p即〃x)=；tan12x-1則/(0)=_

由0<0<兀，得/=

6

即〃x)的圖象與了軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為0,-,B,C錯(cuò)誤;

由于/'［言］=；tan(g=0,則/⑺的圖象關(guān)于點(diǎn)(意,01寸稱,

可得函數(shù)了=|/(x)|的圖象關(guān)于直線x=￡對稱.

故選：AD

11.如圖，在直三棱柱-44G中，AC=BC=CC1=2,AC1SC,。是線段"的中點(diǎn)，尸是線段8Q

上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列命題正確的是（）

A.三棱錐P-40C的體積為定值

B.在直三棱柱42C-44G內(nèi)部能夠放入一個(gè)表面積為4兀的球

C.直線P0與NC所成角的正切值的最小值是當(dāng)

2

D.4尸+尸。的最小值為J10+2c

【答案】ACD

【分析】證明出8￡〃平面/C?,結(jié)合錐體體積公式可判斷A選項(xiàng)；計(jì)算出△N8C的外接圓半徑，并與球

的半徑比較大小，可判斷B選項(xiàng)；利用空間向量法可判斷C選項(xiàng)；作點(diǎn)。關(guān)于平面8BCC的對稱點(diǎn)尸，可

知PQ=PF,然后將平面48G和平面跳C延展為一個(gè)平面，結(jié)合余弦定理可判斷D選項(xiàng).

【解析】對于A選項(xiàng)，如下圖所示，連接4G交4C于點(diǎn)E,連接E0,

因?yàn)樗倪呅蜰4Gc為平行四邊形，則E為/。的中點(diǎn)，

又因?yàn)椤?8的中點(diǎn)，則EQ//3G，

因?yàn)镋0u平面4C。，8Go平面NG。，則〃平面NG。，

因?yàn)槭琫BQ,則點(diǎn)尸到平面4CQ的距離等于點(diǎn)8到平面4。。的距離，為定值,

又因?yàn)椤?。。的面積為定值，故三棱錐尸-4。。的體積為定值，A對；

對于B選項(xiàng)，因?yàn)镹C=8C=CC]=2,ACLBC,則AC=qAB。+BC?=2點(diǎn)，

且表面積為4兀的球的半徑為1,

△麗的內(nèi)切圓半徑為“方言九二書1r熹=2-收＜1,

所以，直三棱柱/8C-44。內(nèi)部不能放入一個(gè)表面積為4兀的球，B錯(cuò)；

對于C選項(xiàng)，因?yàn)镃C]_1_平面48C,ACLBC,

以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB、CG所在直線分別為x、了、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4（2,0,0）、C（0,0,0）、0（U,O）、5（0,2,。）、Q（0,0,2）,

設(shè)麗=2苑=4（0,-2,2）=（0,-22,2；1）,其中0W4W1,

貝U齒=礪+而=(-1,1,0)+(Ot-22,2A)=(-1,1-2A,22),

設(shè)直線尸。與NC所成角為夕,

"?明2]

所以,

同?網(wǎng)2』+0-2.『+42248儲-42+2

當(dāng)4=1時(shí)，卜os石，出|取最大值，，此時(shí)，cos。取最小值，。取最大值,

所以,直線尸。與/C所成角的正切值的最小值是。,C對;

對于D選項(xiàng)，點(diǎn)。（1,1,0）關(guān)于了。平面的對稱點(diǎn)為尸（-1,1,0）,則尸。=刊"

z」

QB=(0,2-2),qF=(-1,1,-2),

QB-QF

所以,cosNBC]F=則ZBC.F=30",

2A/2XV62

因?yàn)?CL平面B3CC，A.CJ/AC,則4G，平面B8CC，

因?yàn)閡平面BBgC,則4Q±BG，

將平面43G和平面跳G延展為一個(gè)平面，如下圖所示:

在A4G尸中，4G=2,CjF=V6,N4c尸=90°+30°=120°,

2

由余弦定理可得4尸2=4cl+G尸-24G?G尸COS120°=4+6-2X2X&X

=10+2幾，

當(dāng)且僅當(dāng)4、P、尸三點(diǎn)共線時(shí)，?4+小取最小值40+2后,

故P。+尸4的最小值為J10+2&，D對.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】（1）計(jì)算多面體或旋轉(zhuǎn)體的表面上折線段的最值問題時(shí)，一般采用轉(zhuǎn)化的方法進(jìn)行，即將側(cè)面展

開化為平面圖形，即"化折為直"或"化曲為直”來解決，要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀；

（2）對于幾何體內(nèi)部折線段長的最值，可采用轉(zhuǎn)化法，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，結(jié)合勾股定理求解.

三、填空題

12.拋物線>=的焦點(diǎn)到雙曲線無2一旦=1的漸近線的距離為

43

【答案】1/0.5

【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及雙曲線的漸近線方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即得.

12_

【解析】拋物線了=-：尤2,即/=_4、的焦點(diǎn)為(0,-1),雙曲線Y-4=l的漸近線方程為歹=土石X,

J11

所以點(diǎn)(0,-1)到直線土氐-y=0的距離d=j(+ry+(_i)2=i-

故答案為：—

13.已知(1+2024x)5°+(2024-x)'°=旬+++%0',若怎<0，笈e{0,1,2,…,50},則實(shí)數(shù)上的最大值

為.

【答案】23

【分析】欲為，的系數(shù)，由二項(xiàng)式定理求得x*的系數(shù)，由。*<0,可得上的不等關(guān)系，從而求得實(shí)數(shù)后的最

大值.

【解析】因?yàn)?1+2024x)5°展開式中一的系數(shù)為C；02024。

(2024-幻5。展開式中一的系數(shù)為?；。20245。-“_1曠，

所以(1+2024x)50+(2024-x)50展開式中一的系數(shù)為

50-t50-2

C：o2O24?+C502024(-l)*=0*02024*[1+2024\-1)*]J=0,1,2,...,50.

要使4<0,則人為奇數(shù)，且20245°.>1,

所以50-24>0,貝！U<25,

所以發(fā)的最大值為23.

故答案為：23.

14.設(shè)。,仇c是絕對值不大于10的整數(shù)，函數(shù)/("=X3+爾+及+。滿足,(2+6卜擊，則〃的所有可

能取值組成的集合為.

【答案】{-6,-5,-4,-3,-2}

【分析】分析條件得到三次方程的兩個(gè)根，結(jié)合韋達(dá)定理得到參數(shù)間的關(guān)系，再利用給定條件得到

911

-JwcW二，代入求解即可.

44

【解析】首先，我們來證明一元三次方程?+及2+夕+1=0（4wo）的韋達(dá)定理,

我們設(shè)一元三次方程爾+反2+c%+"=0（aW0）的三個(gè)根分別為國,％2，/，

而ax'+bx1+cx+d=O可化為d+—―十一XH—=0,

aaa

ax3+ix2+cx+d=0也可以寫成（％—西）（%—%2）（%—％3）=。，

將0-再）0-％2）0-13）=。展開，合并同類項(xiàng),

所以再+迎+%3=一

2

所以一元三次方程ad+bx+cx+d=0（。。0）的韋達(dá)定理得證，

接著證明工=2+e是/（%）的零點(diǎn).

事實(shí)上，設(shè)/（2+6）=/+35則八2一@=/一臺5

其中48是整數(shù)，假設(shè)/（2+道卜0,即/+8月W0,

而T-3B2=（/+B?A-3拘，

而48是整數(shù)且g是無理數(shù)，所以/片3拓，

故4-w0,/一3笈必定是整數(shù)，

且整數(shù)相減的結(jié)果不可能在T1）,從而|T-33*1,

因?yàn)?（2+@./（2-百卜

=+2石）.（4-3何=\A2-3B2\>1,

32

^|/（2-V3）|>100,fflQ|/（2-V3）|=|（2-V3）+a（2-V3）+^（2-V3）+c|<l+|a|+|/）|+|C|<31<100,矛盾.

故八2+君）=0,即/=8=0,所以/（2-6）=0.

設(shè)“X）的三個(gè)根為西通,當(dāng),其中國=2+外，無2=2-小，

得4+退=一。,4X3+l=b,x3=-c,所以a=c-4,b=l-4c.

由Q=c—4,b=l—43—10?QV10,—10d0,—10WcW10,

所以我們得至U—lOWc—4W10,解得一6KcW14,

911

也可得至！)一10?1—4。W10,解得一二WcV丁，

44

而見仇。是絕對值不大于10的整數(shù)，

得到ce{-2,-1,0,1,2},所以ae{-6,-5,-4,-3,-2).

故答案為：{-6,-5,-4,-3,-2).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是確定方程的兩個(gè)零點(diǎn)，然后用韋達(dá)定理得到所要求的參數(shù)之間的關(guān)系,

再得到取值集合即可.

四、解答題

15.在△ASC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c,且滿足2bcos5=ccos/+acosC.

（1）求5；

（2）若a+c=HLb=6,求△4BC的面積.

2

【答案】⑴?7T

（2）巫

16

【分析】（1）利用正弦定理及三角形的內(nèi)角性質(zhì)，得到2sin8cos8=sin2,求得cos2=；,即可求解;

（2）根據(jù)余弦定理列出方程，求得陽的值，結(jié)合面積公式，即可求解.

【解析】（1）解：因?yàn)?bcos3=ccos/+4cosC,

由正弦定理得：2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC,

gp2sinficosS=sin（4+C）,

又因?yàn)?+。=兀一8,所以2sin5cos5=sin（兀一5）,gp2sin5cos5=sin5,

171

因?yàn)?<5<兀，可得sinB>0,所以COS5=2，所以5=

（2）解：由8=根據(jù)余弦定理得cos2="+c、"=』,即（"+一一2二一〃二L

32ac22ac2

275

又由a+c=-----fb=“，可得^—2ac—3=ac,即=

244

A

grpIc_1.n_15y/3_5/3

/TT以5=—etcsinB=-x—x—=------

△A*ABRCr224216

16.已知函數(shù)/(x)=(a+x-x2)e*.

⑴若/(x)在R上單調(diào)遞減，求。的取值范圍；

(2)若。=1,判斷“X)是否有最大值，若有，求出最大值；若沒有，請說明理由.

【答案】⑴(-巴

⑵/(x)有最大值，最大值為e

【分析】(1)求導(dǎo)，得至！J-f-x+a+lWO恒成立，根據(jù)根的判別式得到不等式，求出。的取值范圍；

(2)求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最大值.

【解析】(1)因?yàn)椤▁)=(a+x-x2)e，，所以廣(x)=(--一x+a+l)e"

因?yàn)?(元)在R上單調(diào)遞減，所以-f-x+a+1V0恒成立，

所以A=(-l)2+4(a+l)W0,a<-1,所以。的取值范圍是，-!.

(2)當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=(1+x—》2卜',/'(X)=(—廠—x+2)e'=—(x—l)(x+2)e”,

令八x)>0,解得xe(-2,1),令A(yù)x)<0,解得xe(l,+“)3-叫-2),

所以當(dāng)xe(-2,1)時(shí)，"X)單調(diào)遞增，當(dāng)xe(l,H),xe(-s,-2)時(shí)，/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)無€(-8,-2)時(shí)，/(x)</(I)=e,

又xe(-8,-2)時(shí)，/(x)=(l+x-x2)e*<0<e,

所以〃x)有最大值，最大值為e.

17.如圖，四棱錐S一/WCO的底面是正方形，S。，平面旗CO,SD=2a,=也.點(diǎn)E是5D上的點(diǎn)，且

DE=2a(0<2<2)

(1)求證：對任意的Xe(0,2],都有/C18E

（2）設(shè)二面角C-AE—。的大小為。，直線BE與平面ABC。所成的角為e，若sin0=cos，，求2的值

【答案】（1）證明見解析；（2）V2.

【分析】（1）以。為原點(diǎn)，萬王灰,謝的方向分別作為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出

AC,BE,證明就?麗=0即可；

（2）利用向量法表示出sin/,cos。，即可建立方程求解.

【解析】（1）證法：以。為原點(diǎn)，刀，詼，麗的方向分別作為x,y,z軸的正方向建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系，

則。(0,0,0),A(y/2a,Q,0),B(亞a,V2a,0),C(0,6a,0),￡(0,0,2a),

AC=(-V2a,V2a,0),BE=(-42a,-y/2a,Aa)

AC-BE=2a2-2a2+0-Aa=0>

即ZC13E；

(2)由(1)得EA=(ea,Q,-入a),EC=(O,ea,-入a),BE=(-&a,-ea,入a).

設(shè)平面ACE的法向量為n=（x,y,z）,則由［，筋）1/得

n-EA=0y[2x-Az-0

即

n-EC=0及y-Az=0

取z=近,^n=(2,zl,V2)-

易知平面ABCD與平面ADE的一個(gè)法向量分別為麗=（0,0,2a）與灰=（0,缶,0）.

.DSBE

smo=|—>|?一?_^C0S,_l￡￡d_JL

M-M一"7T國蟲_而—.

44

sin<b=cos0,即/、=/==九一=2

V22+4V2A2+2

由于Xe（0,2],解得九=萬，即為所求.

【點(diǎn)睛】本題考查空間直線垂直的證明，考查空間角的求解，屬于中檔題.

18.如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富，除了可以很方便地網(wǎng)購，網(wǎng)絡(luò)外賣也開始成為不少人日常生活中重

要的一部分，其中大學(xué)生更是頻頻使用網(wǎng)絡(luò)外賣服務(wù).A市教育主管部門為掌握網(wǎng)絡(luò)外賣在該市各大學(xué)的發(fā)

展情況，在某月從該市大學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了100人，并將這100人在本月的網(wǎng)絡(luò)外賣的消費(fèi)金額制成如下頻

數(shù)分布表（已知每人每月網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額不超過3000元）：

消費(fèi)金額（單位：百元）[0,5](5,10](10,15](15,20](20,25](25,30]

頻數(shù)2035251055

（1）由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，該市大學(xué)生網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額Z（單位：元）近似服從正態(tài)分布N（〃Q），其

中〃近似為樣本平均數(shù)x（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值，（7=660）.現(xiàn)從該市任取20名大學(xué)生，記其中網(wǎng)絡(luò)

外賣消費(fèi)金額恰在390元至2370元之間的人數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望；

⑵A市某大學(xué)后勤部為鼓勵大學(xué)生在食堂消費(fèi)，特地給參與本次問卷調(diào)查的大學(xué)生每人發(fā)放價(jià)值100元的飯

卡，并推出一檔"勇闖關(guān)，送大獎”的活動.規(guī)則是：在某張方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、…、第60

格共61個(gè)方格.棋子開始在第0格，然后擲一枚均勻的硬幣（己知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是:，其中

%=1）,若擲出正面，將棋子向前移動一格（從左到左+1）,若擲出反面，則將棋子向前移動兩格（從左到

發(fā)+2）.重復(fù)多次，若這枚棋子最終停在第59格，則認(rèn)為“闖關(guān)成功"，并贈送500元充值飯卡；若這枚棋子

最終停在第60格，則認(rèn)為“闖關(guān)失敗"，不再獲得其他獎勵，活動結(jié)束.

①設(shè)棋子移到第〃格的概率為￡，求尸2的值，并證明：當(dāng)14〃V59時(shí)，｛￡-￡-｝是等比數(shù)列；

②若某大學(xué)生參與這檔"闖關(guān)游戲"，試比較該大學(xué)生闖關(guān)成功與闖關(guān)失敗的概率大小，并說明理由.

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量4服從正態(tài)分布則P（〃-b<JW〃+b）=0.6827,

P^ju-2（y<^<〃+2cr）=0.9545,P（〃-3cr<自4〃+3b）=0.9973.

【答案】⑴16.372

（2）①證明見解析；②該大學(xué)生闖關(guān)成功的概率大于闖關(guān)失敗的概率，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)算出（=1050,由Z服從正態(tài)分布N（1050,6602）算出概率，即X~8（20,0.8186）,進(jìn)

而算出的X數(shù)學(xué)期望;

（2）棋子開始在第0格為必然事件，.第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子移到第1格，其概率為:，即

棋子移到第〃（2V〃W59）格的情況是下列兩種，即棋子先到第〃-2格，又?jǐn)S出反面，其概率為:匕_2；棋子

先到第"-1格，又?jǐn)S出正面，其概率為所以。即4-4一1=（￡T-七2），進(jìn)而求

證當(dāng)1W”W59時(shí)，｛必-4_|｝是等比數(shù)列，計(jì)算4-4符號即可判斷.

【解析】（1）x=250x0.2+750x0.35+1250x0.25+1750x0.1+2250x0.05+2750x0.05=1050-

因?yàn)閆服從正態(tài)分布"（1050,66（）2）,

0954506827

所以尸（390<Z<2370）=P（〃-cr<ZW〃+2b）=0.9545----=0,8186.

所以X~8（20,0.8186），所以X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=20x0.8186=16.372.

（2）①棋子開始在第0格為必然事件，耳=1.

第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子移到第1格，其概率為:，即片=g.

P2=-?0+-^=-xl+-xl=-

2022224

棋子移到第“（2V〃W59）格的情況是下列兩種，而且也只有兩種：

棋子先到第2格，又?jǐn)S出反面，其概率為：月_2；

棋子先到第〃-1格，又?jǐn)S出正面，其概率為;ET，

所以匕=:勺.2+；41，

即￡4=-"一「匕一2），且6M=-；，

所以當(dāng)1。459時(shí)，數(shù)歹必￡-勺，是首項(xiàng)耳-公比為4的等比數(shù)列.

②由①知耳一1=一;,

以上各式相加，得匕一1=［一￡|+［一+…+］一，

所以e=1+1￡|+卜￡|2+…（〃=。,1,2,…,59）.

所以闖關(guān)成功的概率為月9=§1-[-引=-1-

所以該大學(xué)生闖關(guān)成功的概率大于闖關(guān)失敗的概率.

19.記數(shù)列｛詼｝中前左項(xiàng)的最大值為4,數(shù)列｛0｝稱為｛冊｝的數(shù)列"，由所有"的值組成的集合為C.

(1)若g=5+0)(),且C中有3個(gè)元素，求。的取值范圍；

(2)若數(shù)列｛an｝,也津都只有4項(xiàng),也｝為｛冊｝的“〃數(shù)列",滿足即e｛2,4,6,8｝(左=1,2,3,4)且存在

ie｛1,2,3,4｝,使得4=8,求符合條件的數(shù)列｛%｝的個(gè)數(shù)；

YITT

⑶若.“ising,｛a”｝的數(shù)歹!|"｛-｝的前〃項(xiàng)和為邑，從E,S2,邑，…，邑”(〃23)中任取3個(gè)，記其

中能被2整除且不能被4整除的個(gè)數(shù)為X,求E(X).

【答案】⑴[5,6)

(2)20

嗚

【分析】(1)根據(jù)C中有3個(gè)元素結(jié)合數(shù)列單調(diào)性定義可得出<%，%4生，從而可得參數(shù)的取值范圍.

(2)就4=8可得｛an｝中必有8,就8在數(shù)列｛a“｝中的不同位置分類討論后可得｛%｝的個(gè)數(shù).

(3)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)結(jié)合｛%｝可得其通項(xiàng)，從而可求S“，

【解析】(1)因?yàn)镃中有3個(gè)元素，故｛“｝不是單調(diào)數(shù)列，

所以<-%=(〃+l+a)gJ_("+a)[J

當(dāng)"<8—a時(shí)，an+1->0,當(dāng)”>8_q時(shí)，an+l-o?<0

故當(dāng)”<8-“時(shí)｛%｝為增函數(shù)，n>8-a時(shí)｛〃｝為減數(shù)列,

因?yàn)镃中有3個(gè)元素，所以。2<。3，，即4-a2>0,a4-a3<0,

[6—a〉0

所以4-c，解得5Wa<6,所以。的取值范圍是[5,6).

[5-a<0

(2)若q=8,貝屹=8,｛以｝有1個(gè),

①若a產(chǎn)8且g=8,則仇="="=8,仇有3種可能，｛0｝有3個(gè),

②若。尸8且名大8,%=