2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專練：不等式（解析版）

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)精練2

不等式

【真題精練】

一、單選題

1.（2024?北京?高考真題）已知（再,%）,（%，%）是函數(shù)y=2工的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則

)

%+%《玉玉

A.log+%2B.logX+%)+%2

222222

C.log2%%-芯+%2D.log2%>%+%

2.（2024?上海?高考真題）a,b,ceR,b>c,下列不等式恒成立的是（)

A.a+Z?2>q+c?B.a2+b>a2-^-c

C.ab2>ac2D.a2b>a2c

3.（2022?全國(guó)?高考真題）已知9m=10,〃=10機(jī)一9,則()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

4.（2021?全國(guó)考真題）下列函數(shù)中最小值為4的是（）

|sinx|+」

A.y=x2+2x+4B.>=

sinx

C.y=2x+22-xD.y=\nx+—

Inx

5.（2021?浙江?高考真題）已知。，以7是互不相同的銳角，則在

sinccos#,sin#cossin/cos。三個(gè)值中，大于'的個(gè)數(shù)的最大值是（

)

2

A.0B.1C.2D.3

參考答案:

題號(hào)12345

答案BBACC

1.B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即

可.

【詳解】由題意不妨設(shè)％1<%，因?yàn)楹瘮?shù)>=2尢是增函數(shù)，所以0<2西<2"2,即

0<%,

XX

9192I---------畫+42I西+巧

對(duì)于選項(xiàng)AB：可得/十/〉巧用2=2,即—匹〉2丁>0,

22

-+%2

根據(jù)函數(shù)y=log?X是增函數(shù)，所以廄2之產(chǎn)>1。822丁=七三，故B正確，A錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)D：例如玉=。,々=1，則X=1，%=2,

可得log2%%=log2ge（0,1）,即log2H<1=%+/,故D錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：例如玉=-1,入2=-2,則，1=5，，2=［，

可得現(xiàn)2入夏1=1082'|=10823-3€（-2,-1）,即10g21:%>-3=%+%,故C錯(cuò)誤，

2X2

故選：B.

2.B

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷AB的正誤，根據(jù)特例可判斷CD的正誤.

【詳解】對(duì)于A,若c<6<0,則從<02,選項(xiàng)不成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)閎>c,ikcr+b>cr+c,故B成立，

對(duì)于C、D,若。=0,則選項(xiàng)不成立，故C、D錯(cuò)誤；

故選：B.

3.A

【分析】法一：根據(jù)指對(duì)互化以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知根=bg910>l，再利用基本不

等式，換底公式可得相>lgU,bg89>〃z,然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出.

【詳解】［方法一］:（指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)）

由9'”=10可得初=bg910=整>1,

而ig9ign<g，1gHi=［等)<i=(igio)2,所

1g9「

以翁黑

即所以a=10皿一11>103“-11=0.

又lg81glO<Jg8；gl°)=僵2)<(ig9『,所以手,uplog89>m

所以6=8'"—9<8"%9-9=0.綜上，a>0>b.

［方法二］:【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）

由9"'=10,可得iTog-。e(1,1.5).

根據(jù)“，6的形式構(gòu)造函數(shù)/（工）=/-無(wú)一1（尤>1）,則7=-1,

令((x)=0,解得飛=機(jī)寸，由根ulogglOe(1,1.5)知不€(0,1).

/(x)在(1,+刃)上單調(diào)遞增，所以了(10)>/(8)，即。>b,

又因?yàn)?(9)=9蚓°-10=0,所以。>0>b.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】法一：通過基本不等式和換底公式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，

屬于通性通法；

法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)/5)=/一*_1(*>1),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，

簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解.

4.C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相

等，，，即可得出民。不符合題意，C符合題意.

【詳解】對(duì)于A,y=x2+2x+4=(x+l)2+3>3,當(dāng)且僅當(dāng)x=—l時(shí)取等號(hào)，所以其最小

值為3,A不符合題意；

對(duì)于B,因?yàn)?Vsinx|wl,y=|sinx|+-^-1>2^=4,當(dāng)且僅當(dāng)椀1,=2時(shí)取等號(hào)，等

sin

號(hào)取不到，所以其最小值不為4,B不符合題意；

對(duì)于C,因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)镽,而廳>0,>=2工+22-'=2'+上22"=4,當(dāng)且僅當(dāng)

2

2，=2,即x=l時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為4,C符合題意；

對(duì)于D,y=lnx+白，函數(shù)定義域?yàn)?O,1)U(L"),而InxwR且InxwO,如當(dāng)

lnx=-l,y=-5,D不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確"一正二定三相等"的意義，再

結(jié)合有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)即可解出.

5.C

3

【分析】利用基本不等式或排序不等式得sinacos/+sin/Jcosy+sinycosaW],從而可判

斷三個(gè)代數(shù)式不可能均大于1,再結(jié)合特例可得三式中大于5的個(gè)數(shù)的最大值.

22

.22n

【詳解】法L由基本不等式有sinacos尸4smc；cos),

口丁中.csin2Z?+cos2/sin2/+cos2a

I可埋sinpcosy<----￡―--------,smycosa<-----------------,

3

故sincrcos/+sin夕cosy+sin/coscr(5,

故sinacosB,sinBcosr,sinycosa不可能均大于’.

2

亦_,TC門冗兀

取々=p=--7=-.

O34

貝Usinacos尸=；<；,sin/cosy=>；,sin/cosa=,

故三式中大于1的個(gè)數(shù)的最大值為2,

2

故選：C.

法2：不妨設(shè)a</3<y,貝|cosa>cos#>cos/,sine<sin6<sin/,

由排列不等式可得：

sinacos/?+sin￡cos/+sin/cosa<sinacos/+sin/?cos/?+sin/cosa,

故sinacosf3,sinf3cosy,sinycosa不可能均大于一.

亦_,71cn冗

取々=丁,p=--7=-.

O34

則sinacos￡=；<；,sin8cosy=>；,sin7cosc=,

故三式中大于5的個(gè)數(shù)的最大值為2,

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】思路分析：代數(shù)式的大小問題，可根據(jù)代數(shù)式的積的特征選擇用基本不等式或拍

雪進(jìn)行放縮，注意根據(jù)三角變換的公式特征選擇放縮的方向.

【模擬精練】

一、單選題

1.（2024?北京豐臺(tái),二模）若a,6eR,且a>b,則（）

A.―：-<―：~-B.a2b>時(shí)

a+1b+1

coQ十8,

C.a2>ab>b2D.a>------>b

2

2.（2024,北京西城?一t模）設(shè)〃=%—,b=t+—,c=t（2+t^,其中—Iv/vO,貝U（）

A.b<a<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

3.（2024?云南昆明?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)。=,,6=苧,c=當(dāng)，貝I］（）

o1012

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<c<aD.b<a<c

4.（2024?福建寧德?模擬預(yù)測(cè)）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足4%+y=2盯，且不等式

工+=<加2-能有解，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

4

A.{m|-l<m<2}B.{詞m<一1或根>2}

C.{m|-2<m<1}D.{ml機(jī)v—2或機(jī)>1}

5.（23-24高一上?安徽淮北?階段練習(xí)）下列條件中，為〃關(guān)于x的不等式如2_如+1>。對(duì)

VXER恒成立〃的充分不必要條件的有（）

A.0<m<4B.0<m<2C.l<m<6D.—l<m<6

6.（23-24高三上?江蘇南通?階段練習(xí)）已知A=B|x2—4x—m>01,

若AqB,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍（）

A.[0,+co)B.(-<x),-3]

C.[-3,0]D.(-oo,-3]U[0,+oo)

7.（23-24高一上?江蘇徐州?期末）若命題〃*wR,f+4x+/vo〃是假命題，則實(shí)數(shù)看的最

小值為（）

A.1B.2C.4D.8

8.（23-24高三上?江蘇蘇州?開學(xué)考試）若函數(shù)/（x）=Mnx+---三（〃。0）既有極大值

也有極小值，則〃￡（）

A.B.（0,3）C.（0,；3（9,+⑹D.（0,3）U（9,+s）

二、多選題

9.（2024?甘肅隴南?一模）已知a,b,ce（O,??）,關(guān)于x的不等式優(yōu)+F>0的解集為

（-°°52），則（）

A.b>lB.a+c>b

1111D.(a-Z?+c)|---+-|>5-3V2

C.----+-<-------

abca-b+c\abcJ

10.（2023,山西?模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)a,6滿足。+4》=2,則（）

,1119r-r-

A.ab<-B.2H+16Aft>4C.-+D.&+2揚(yáng)24

4ab2

11.（2024?湖南衡陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)x,y滿足x+2y=l,則下列說法正確的是

（）

A.孫的最大值為:B.f+4/的最小值為工

o2

13

C.6+7^的最大值為2退D.q+1的最小值為7+2m

14

12.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）己知。>0,b>0且一+:=2,則下列說法正確的是（）

ab

9

A.仍有最小值4B.a+6有最小值二

2

C.2必+a有最小值26D.Jl6a2+b?的最小值為4/

13.（2023?廣東汕頭三模）^a>0,b>Q,a+b=4,則下列不等式對(duì)一切滿足條件。力恒成

立的是（）

A.y[ab<2B.\[a+\[b<2

C.—+/?2>4D.-+->1

3ab

14.（2024?浙江?二模）已知正實(shí)數(shù)a,瓦c,且。>匕>c，尤,y,z為自然數(shù)，則滿足

——r+~r~—1--->。恒成立的％y,2可以是（）

a-bb-cc-a

A.x=l,y=l,z=4B.x=l,y=2,z=5

C.x=2,y-2,z-lD.x=l,y=3,z=9

15.（23-24高三上?廣東惠州，階段練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.函數(shù)y=優(yōu)+2—2x（。>0,aw1）的圖像恒過定點(diǎn)A（-2,5）

B."-I<x45"的必要不充分條件是"T〈x<6"

C.函數(shù)y（x—l）=-/（x+l）的最小正周期為2

D.函數(shù)y=，2尤+2+7^=的最小值為2

V2%+2

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案DCABBBCABCDABC

題號(hào)1112131415

答案ABDABDACDBCAB

1.D

【分析】舉反例即可求解ABC,根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解D.

22

【詳解】由于取。上=1=1,ab=ab=l,無(wú)法得到

a2+lb2+l2

~__7'Mb>ab2，故AB錯(cuò)誤，

Q+1b+1

取〃=0,b=_2,則〃2=0,〃。=06=4,無(wú)法得到/>原>匕2,C錯(cuò)誤，

由于貝所以——>b,

2

故選：D

2.C

【分析】借助正負(fù)性、對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可得.

【詳解】由-l<r<0,故*（-8,-1）,故°=—>0,

由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得b=/+；<_（l+l）=_2,

c=（2+%）v0,且0=/，（2+/）=/+2/=（/+Ip—1>—1,

綜上所述，有b〈c〈a.

故選：C.

3.A

【分析】構(gòu)造函數(shù)〃x）=當(dāng)，利用函數(shù)單調(diào)性確定6,C大小，通過作差a-6,判斷正負(fù)

即可確定。/大小即可.

【詳解】設(shè)〃X）=號(hào)，則令/'（同=匕手=0,得x=0

則在（0，6）上單調(diào)遞增，在（血,+8）上單調(diào)遞減，

b=f（布）,c=f（a）,則6>c,

p,1ln55-31n5lne5-lnl25八，口,

又。一力=------=-------=---------->0,得

6103030

所以

故選：A

4.B

【分析】根據(jù)題意，利用基本不等式求得尤+V的最小值，把不等式x+V</-機(jī)有解,

44

轉(zhuǎn)化為不等式M-機(jī)>2,即可求解.

14

【詳解】由兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足4尤+>=2丐，得—+—=2,

xV

則■+2=2,

21V日m4^1

當(dāng)且僅當(dāng)一4x=六y，即y=4x=4時(shí)取等號(hào)，

y4x

又由不等式%+與<療-根有解，可得病-根>2,解得m<-1或m>2,

4

所以實(shí)數(shù)加的取值范圍為{加相<-1或相>2}.

故選：B.

5.B

【分析】先求出關(guān)于x的不等式加2—3+i〉。對(duì)VXER恒成立的充要條件，然后根據(jù)充

分不必要條件的定義即可求解.

【詳解】若關(guān)于X的不等式座2_如+1>0對(duì)D]￡R恒成立，

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，不等式等價(jià)于1>0恒成立，故根=。滿足要求，

m>0

當(dāng)mwO時(shí)，原不等式恒成立當(dāng)且僅當(dāng)|\2yl八，解得0<相<4,

A=-4m<0

綜上所述，若關(guān)于x的不等式如2一如+1〉。對(duì)VXER恒成立，則當(dāng)且僅當(dāng)。<根<4,

而選項(xiàng)中只有0〈根<2是04根<4的充分不必要條件.

故選:B.

6.B

【分析】解不等式可得集合A,根據(jù)可得根?在(0,1)上恒成立，結(jié)合二次函

數(shù)的單調(diào)性即可求得答案.

1Y

【詳解】解不等式一-<-1,即一-<0,/.0<x<l,

x-1x-1

即A=(o,l),

又AqB,B=^x|x2-4x-m>01,

故%之一4%-m20在(0,1)上恒成立，

即加《f—4x在(0,1)上恒成立，而y=f—4X在(0,1)上單調(diào)遞減,

故丁>12-4=-3,故znW-3,

即實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-叫-3，

故選：B

7.C

【分析】根據(jù)特稱命題與全稱命題的真假性質(zhì)，結(jié)合一元二次不等式的解集的性質(zhì)進(jìn)行求

解即可.

【詳解】因?yàn)槊}"上'eR,尤2+4尤+/<0"是假命題，

所以命題"VxeR,尤2+4尤+f20"是真命題，

因此有A=42-4r<0^>r>4,所以實(shí)數(shù)t的最小值為4,

故選：C

【分析】將函數(shù)既有極大值也有極小值轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程有兩個(gè)不等正根即可解決

問題.

【詳解】因?yàn)椋ǎ┥先?/p>

/x=alnx+*0）,所以函數(shù)/（尤）定義域?yàn)椋?,+8）,

由題意，方程r（x）=0,即"2一3x+i=o有兩個(gè)不相等的正根，設(shè)為項(xiàng),馬，

△=9—4。>0

XfX2=—>0

故選：A.

9.BCD

【分析】舉特殊值可判斷A；令三=m：=n,結(jié)合題意得病+*=1,利用三角代換判斷

bb

B；將伍-6+。）［,-：+』］轉(zhuǎn)化為（加+〃-1）（^^一1）,令/=相+〃，繼而轉(zhuǎn)化為

\abc）mn

2；丁,再結(jié)合換元，利用函數(shù)的單調(diào)性，可求得］的范圍，即可判

斷C,D.

【詳解】對(duì)于A,由題意知。，反ce（O,y）,關(guān)于x的不等式0的解集為

(-°o,2),

不妨取a=c=與力=1,則優(yōu)—Z/+c*>0,即2（等

其解集為（-8,2）,即〃=。=曰力=1滿足題意，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,1一bx+cx>0即（，）'+（7）%>1,

bb

令?=加，?=〃，由于不等式優(yōu)>0的解集為（F,2）,

bb

故需滿足0<根<1,0<〃<1,且療+“2=1,

令加=cos6,"=sine,ee(0,/),則m+n=cos+sin=A/2sin(^+—),0e(0,—),

242

由于e+'e(工,羽)，則亞sin(6+工)e(I,0],即得加+心1,

4444

又a+c=Z?(根+〃)，故a+c>b,B正確；

1111/111、1/11八八,八

對(duì)于C,D,—+—=—(—+—I)=—(----+——--1)>0,a-b+c>0,

abcbmnbcosJsm夕

I1I11m+n

故(Q_/?+C)(-----F—)=(m+n—1)(——l----1)=(m+n—1)(-------1),

abcmnmn

Tllt2-l

^t=m+n=cos6+sina6￡(0,—)tG(1,V2]，貝ljmn=----

2-2+i2/--+1

-1)=(?-1)?

產(chǎn)一1t+1

2

人，小后，、mu2t-t2+l2(r-l)-(r-l)2+l-r2+4r-2

令f+1=r,rw(2,+1],則-------=——————-——=----------

t+1rr

=4-(r+-),

r

由于函數(shù)y=r+—在(2,&+l]上單調(diào)遞增，

r

故3=2+2<廠+多4夜+1+^3—=3夜-1,

2rV2+1

貝!|5—3夜44一(廠+2)<1,gp5-3V2<(a-Z?+c)(---+-)<l,

rabc

1

即J___L+』<__,(fl-Z>+C)|--1+-|>5-3V2,C,D正確,

abca-b+cbcJ

故選：BCD

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了由指數(shù)型不等式的解集求解參數(shù)范圍問題，綜合性較強(qiáng),

難度較大，解答的難點(diǎn)在于c,D項(xiàng)的判斷，解答時(shí)要利用三角代換以及換元法，將

（0-6+。）［,-；+，］等價(jià)轉(zhuǎn)化，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.

\abc）

10.ABC

【分析】利用基本不等式可得A,B,D正誤，利用1的妙用可得C的正誤.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?,4的工〃+44=2,所以就工!，當(dāng)且僅當(dāng)Q=4Z?=1,即

時(shí)，取到等號(hào)，故A正確；

4

對(duì)于B,2。+16"22也J16,=2x）2。+%=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=4Z?=l,即。=l,b=；時(shí)，取到等

號(hào)，故B正確；

9

對(duì)于C,>—5+2=5,當(dāng)且僅當(dāng)

2

21

a=2b,即〃=§時(shí)，取到等號(hào)，故C正確；

對(duì)于D,（右+2折）=a+4b+4yjab<4,所以&+2斯（2,當(dāng)且僅當(dāng)a=4Z;=l,即

。=1,6=；時(shí)，取到等號(hào)，故D錯(cuò)誤.

4

故選：ABC.

11.ABD

【分析】利用已知條件、基本不等式逐項(xiàng)判斷可得答案.

【詳解】對(duì)于A：0x>O,y>0,x+2y=l.

￡1

Sx-2y<xy<-.

LB48

\x=2y11

當(dāng)且僅當(dāng)/,,即x=4，y=T，取"=回A正確；

[x+2y=l24

對(duì)于B：x1+^y~={x+2y)2-4xy=1-4.xy,由(1)知孫W」，0-4xy>-—.

82

Ex2+4y2=l-4xy>1-^=^.[?]B正確；

對(duì)于C：(C+=x+2y+2jx?2y=1+2,十?2yKl+%+2y=l+l=2.

+而4e,回C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：f-+-^(x+2j)=l+^+—+6=7+^+—>7+2^,

yxyJxyxy

當(dāng)且僅當(dāng)馬包，即

取"=回D正確.

xy

故選：ABD.

12.ABD

【分析】利用基本不等式可判斷各選項(xiàng).

14H~414

【詳解】A選項(xiàng)：由2=上+之22,盧之，得必24,當(dāng)且僅當(dāng)土=不，即。=1,b=4時(shí)取

ab\abab

等號(hào)，故A選項(xiàng)正確;

B選項(xiàng)：a+b=^14\1Cb4a>15+2,b4q

—+—(a+7b)=—\5d---b——，當(dāng)且僅當(dāng)

ab'f2yababab

3

即〃=：,b=3時(shí)取等號(hào)，故B選項(xiàng)正確；

2

14

C選項(xiàng)：由一+：=2,得2ab—4a—b=0,

ab

所以2加。=5?[[+?+*]9+/半4小+2『^=￡±產(chǎn)

當(dāng)且僅當(dāng)。=竺，即°=2m，6=2+百時(shí)取等號(hào)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

ab10

D選項(xiàng)：由A的分析知"24且。=1,力=4時(shí)取等號(hào)，

所以瘋?cè)f之后=40，當(dāng)且僅當(dāng)4。=力，即<2=1，6=4時(shí)取等

號(hào)，故D選項(xiàng)正確；

故選：ABD.

13.ACD

【分析】對(duì)于A,B,D,利用基本不等式即可求得答案；對(duì)于C,利用〃=4-〃，求出

+=|(^-3)2+4,結(jié)合。的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得.

【詳解】對(duì)于A,a>0,b>0,a+b>2yfab,BP^ab<=2,當(dāng)且僅當(dāng)〃=b=2時(shí)等號(hào)

成立，所以A正確;

對(duì)于B,a>0,b>0,(4a+4b)2=a+b+14ab=4+2y[ab<4+2x2=8,

又&+揚(yáng)〉0,則G+揚(yáng)W20,當(dāng)且僅當(dāng)。=b=2時(shí)等號(hào)成立，所以B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,a+b=4,b=4-a>0,所以0<。<4,

則《+/=《+（4—〃）2=M—8〃+16=*（。-3>+424,并且a=3時(shí)等號(hào)成立.，所以C

3333

正確；

對(duì)于D,a>0,b>0,a+b=4f所以^