2025高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)：三角函數(shù)與解三角形歸類（原卷版）

培優(yōu)沖刺06三角函數(shù)圖像性質(zhì)與解三角形歸類

籍優(yōu)題型大集合

目錄

題型一：圖像求解析式........................................................1

題型二：恒等變形與性質(zhì).....................................................3

題型三：利用對稱性求零點(diǎn)和.................................................3

題型四：能成立與恒成立求參數(shù)...............................................4

題型五：圖形1：四邊形型...................................................5

題型六：圖形2：中線型.....................................................6

題型七：圖形3：角平分線型.................................................7

題型八：圖形5：三角形高...................................................7

題型九：圖形6：中線與重心型...............................................8

題型十：圖形綜合：定比分點(diǎn)型...............................................9

題型十一：范圍與最值1：基礎(chǔ)型.............................................9

題型十二：范圍與最值2:邊系數(shù)不對稱型.....................................10

題型十三：范圍與最值3:無邊長型...........................................10

題型十四：范圍與最值4：比值型.............................................11

題型十五：范圍與最值5:角邊互錯型.........................................12

題型十六：范圍與最值6：角度最值型.........................................12

題型十七：范圍與最值7:范圍綜合型.........................................12

題型十八：相等角度轉(zhuǎn)化型....................................................13

題型十九：壓軸19題1：三角與數(shù)列結(jié)合型....................................13

題型二十：壓軸19題1：三角函數(shù)型新定義....................................14

暗優(yōu)絲理_大_槎由

題型一：圖像求解析式

形如函數(shù)y=Asin((ax+(p)的圖像及性質(zhì)

(1)圖像變換：

①相位變換：y=sinx—y=sin(x+9)的規(guī)則是：左加(夕>0)或右減“<0)1夕|個(gè)單位；

②周期變換：y=sin(x+p)Ty=sin(cox+夕)的規(guī)則是：縱坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)縮小(伸長)為原來的臼倍；

③振幅變換：y=sin(ox+0)-y=Asin(ox+p)的規(guī)則是：橫坐標(biāo)不變，將縱坐標(biāo)縮小(伸長)為原來的|A|

倍；

幺

注意：y=sinox—y=sin(ox+夕)變換規(guī)則是：先提取后者x的系數(shù)o,然后在左(右)平移|°|個(gè)單位；

(2)基本性質(zhì)：①定義域：解三角函數(shù)不等式用“數(shù)形結(jié)合”②值域：由內(nèi)向外③單調(diào)性：同增異

減

2兀

(3)周期公式：gy=Asin(s：+9)(^y=Acos@x+9))的最小正周期T=兩②y=|Asin(s+9)|的周期T

71

⑶對稱性：換元思想，將＞=加皿5+9)中的“s+g”看成y=sinx中的“%”，采用整體代入求解.

71

①對稱軸：最值處，令sin(公r+g)=1,則5:+9=析+，(無￡2),可求得對稱軸方程；

②對稱中心：零點(diǎn)處，令sinOx+g)=0,cox+(p=kTi(k^Z),可求得對稱中心的橫坐標(biāo)；

正弦“第一零點(diǎn)"：x=2ki、正弦“第二零點(diǎn)"：x=7i+2k7i

JFTT

余弦“第一零點(diǎn)”：X=——+2左萬；余弦“第二零點(diǎn)"：x=一+2左不

22

1.(2024?甘肅?一模)如圖，角a(aeR)的始邊為x軸非負(fù)半軸，終邊與單位圓交于點(diǎn)P,過點(diǎn)尸作》軸

的垂線，垂足為到直線0P的距離為|MA個(gè)若將|同|關(guān)于角。的函數(shù)關(guān)系記為y=/(x).

⑴求y=〃x)的解析式；

(2)將/(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的《(縱坐標(biāo)不變),再將所得圖象向左平移g個(gè)單位長度,

得到函數(shù)g(x)的圖象，求g(x)在0微的單調(diào)遞增區(qū)間.

2.(23-24高三上.安徽?階段練習(xí))函數(shù)/。)=須皿8+?。?,。＞0,|初苦]的部分圖象如圖所示.

⑴求函數(shù)y=/(x)的解析式；

(2)將函數(shù)y=/(x)的圖象向左平移芻個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的9倍，縱坐標(biāo)不

12/

TT

變，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求函數(shù)g。)在0,-上的值域.

3.(2023?河北.模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=gsin(s+e)的部分圖象如圖所示，其中。＞0,網(wǎng)＜],且

ZACB=90°.

c

（1）求。與夕的值；

⑵若斜率為學(xué)的直線與曲線y=“X）相切，求切點(diǎn)坐標(biāo).

題型二：恒等變形與性質(zhì)

利用二倍角和降幕公式等進(jìn)

1.角度不一致，可以“打散”：角度不一致，可以拆開

2.“重組”：系數(shù)次易一致，合并為正弦余弦，便于使用輔助角“化一

進(jìn)行恒等變形

1.（2024?北京順義?二模）已知函數(shù)/（力=0052卜-葭）+7§^!1N-羨｝0$卜-葭其中網(wǎng)檢

⑴若〃0）=；,求夕的值；

⑵已知了目0間（加＞0）時(shí)，單調(diào)遞增，再從條件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)

存在，求機(jī)的最大值.

條件①：=T；

條件②：3“⑶;

條件③：y=/（》）的圖像與直線y=g的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為己.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

2.(2024.山東聊城.一模)在梯形ABC。中，AD//BC,設(shè)NB4O=tz,AABD=(3,已知

cos(tz-4)=2sinsin.

⑴求ZADB；

(2)若C￡>=2,AD=3,BC=4,求AB.

3.(2024?四川成都.模擬預(yù)測)已知AASC是斜三角形.

(1)證明：cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1；

(2)^cos2/l+cos2B+2cos2C=-2,求tanC的取值范圍.

題型三：利用對稱性求零點(diǎn)和

1.（22-23高三?山西忻州?開學(xué)考試）已知函數(shù)〃尤）=JIsinoxcosG尤-.

⑴若“X）的圖象關(guān)于直線尤=年對稱，。式1,不，求“X）的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵在⑴的條件下，當(dāng)xe0,-時(shí)，4和三是的兩個(gè)零點(diǎn)，求〃3+々)-〃7的值和加的取值范圍.

2.(22-23高三?上海楊浦?階段練習(xí))已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/■(x)=sin(0x+0)(0>O,O<0<%)的最小正周

期為兀，且直線工二-5是其圖像的一條對稱軸.

⑴求函數(shù)y=/(x)的金析式，并指出該函數(shù)的振幅、頻率、圓頻率和初始相位；

(2)將函數(shù)y=/(X)的圖像向右平移9JT個(gè)單位，再將所得圖像上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)

不變)，得到新的函數(shù)y=g(x)，已知函數(shù)尸(x)=f(x)+Xg(x)(/l為常數(shù)且%GR)在開區(qū)間(0,〃兀)("GN且?>1)

內(nèi)恰有2021個(gè)零點(diǎn)，求常數(shù)九和w的值.

3.(23-24高三上.吉林白城?階段練習(xí))已知函數(shù)"x)=gsin(s+夕)+1-2cos2］笠2，0>0,網(wǎng)<?為

奇函數(shù)，且/(x)圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為I，

⑴求的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)將函數(shù)/(x)的圖象向右平移夕個(gè)單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的;(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)

y=g(x)的圖象，當(dāng)小寸，求方程2g?)+島(切-3=。的所有根的和.

題型四：能成立與恒成立求參數(shù)

一般地，已知函數(shù)y=/(x),xe[a,6],y=g(x),xe[c,d]

(1)相等關(guān)系

記y=句的值域?yàn)锳,y=g(x),xe[c,d]的值域?yàn)锽,

①若"e[a,b],Hxje[c,J],有〃％)=g(/)成立,則有AgB；

②若叫e[a,b],Vx,&[c,d\,有〃％)=g(x?)成立，則有A=3；

③若叫e[a,b],HX2&[c,d],有〃％)=g(%)成立，故Ac3w0；

(2)不等關(guān)系

⑴若％e[a,司,也€匕司，總有/(%)<g(X2)成立,故“X)1mx<g(x)1nin；

(2)若％&[c,d\,有/(%)<g(%)成立,故“小一⑺1rax；

(3)若叫e[a,b],V^e[c,c?],有/(%)<g?)成立，故/⑺曲,<g(Ain；

(4)若馬句。回，叫€卜,同，有/(石)<8(%2)成立，故"xLvgG)1mx.

1.(2023?山東濟(jì)寧?二模)已知函數(shù)/(x)=cos4x-sin4x+sin(2x-，|.

⑴求函數(shù)/⑺在圈］上的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)將函數(shù)/(x)的圖象向左平移。，<e<；J個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)

［去。)成中心對稱，在上的值域?yàn)?求a的取值范圍.

2.（2023?山西?模擬預(yù)測）已知函數(shù)Fa）=2sin（ox+0）（。＞（）,|同＜金）的部分圖象如圖所示.

⑴求的解析式，并求"%）的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵若對任意xe仁,者R有〃同/[一仁）一141,求實(shí)數(shù)r的取值范圍.

3.（2022?浙江三模）已知函數(shù)/（x）=2sinx-sin[x+F]

（1）求〃尤）的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵若對任意xef,|,都有了（同一日4日，求實(shí)數(shù),的取值范圍.

題型五：圖形1：四邊形型

四邊形，一般適當(dāng)?shù)倪B接對角線，分解為有公共邊倆三角形。如果是有外接圓，則要充分運(yùn)用對角互補(bǔ)這

個(gè)隱形條件

四邊形面積最值型，一般用某一條對角線，把四邊形分為兩個(gè)三角形，有公共邊的兩個(gè)三角形個(gè)再各自用

余弦定理，構(gòu)建數(shù)量關(guān)系

1.（2022?湖南長沙?模擬預(yù)測）如圖，在凸四邊形ABCD中，已知=4。=2,BC=3.

⑴若cosC=sinZADB=—,求cosZ.BDC的值；

(2)若CD=2,四邊形ABCD的面積為4,求cos(A+C)的值.

2.（2023?遼寧?模擬預(yù)測）如圖，在平面凸四邊形ABC。中，CDLDB,CD=1,DB=#＞,DA=2.

⑴若NDW=60。，求cosNACB；

⑵求"2+3C2+AC2的取值范圍.

3.(2023?山西模擬預(yù)測)如圖，四邊形ABCD中，AB=2AD=4,BD=BC,NDBC='/DAB=9,

(1)求△ABD的面積；

(2)求線段AC的長度.

題型六：圖形2：中線型

.中線的處理方法

―■1—■—-

1.向量法：A0=—(AB+AC)O

一2

---?2]/--*2--?---?---

AD=-^AB+2ABAC+AC

2.余弦定理法(補(bǔ)角法)：

如圖設(shè)3D=OC,

在AASD中，由余弦定理得A5?=">2+5D2—2xADxBDxcosZAr>5,①

在"⑦中，由余弦定理得AC?=AD2+￡)c2-2xAr>xr)CxcosNADC,②

因?yàn)镹ADB+NADC=7l,所以COSN4DB+8SNA￡>C=0

所以①+②式即可

3.延伸補(bǔ)形法：如圖所示，延伸中線，補(bǔ)形為平行四邊形

4.中線分割的倆三角形面積相等

1.(2023?福建福州?模擬預(yù)測)在“WC中，角A,B,C的對邊分別是〃,6,c,且asinC=csinB,C=手.

⑴求8；

⑵若"LBC面積為主叵，求8c邊上中線的長.

2.(2024?北京東城?一模)在AABC中，acosC+ccosA=-----bcosB.

3

(1)求4；

(2)若。=12，。為5C邊的中點(diǎn)，且AD=3,求8的值.

3.(2024?四川瀘州?三模)"LBC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,J已知/=/十02一48,且&4BC

的面積為6石.

⑴求tanA的值；

⑵若。是AC邊的中點(diǎn)，B=|,求5D的長.

題型七：圖形3：角平分線型

(1)求角c;

(2)若C。是/ACB的角平分線，且CD=生8,c=2s]3,求AASC的面積

3

JT—R

2.(23-24高三山東?階段練習(xí))/1BC的內(nèi)角A,3,C的對邊分別為"c,滿足asin1一=6sinA

⑴求8；

(2)ZABC的角平分線與AC交于點(diǎn)D、BD=6求2a+c的最小值.

3.(23-24高三黑龍江哈爾濱?階段練習(xí))在AABC中，內(nèi)角AB,C的對邊分別是0,瓦j且

csinB+A/3&COSC=,b=超

(1)求角3；

⑵若〃+c=2,求邊AC上的角平分線長.

題型八：圖形5：三角形高

三角形高的處理方法：

1.等面積法：兩種求面積公式

如S=46csinA=L2CxAD=Lc2

222

2.三角函數(shù)法：

在A5C。中，BD=ABcosZABD,AD=ABsinZABD,

1.(22-23高三上?湖北?階段練習(xí))在AASC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,JB.a<b<c,三角形

三邊上的高之比為2:3:4.

(1)求cosC的值；

(2)若￡為邊AC上一點(diǎn)，ZCEB=30°,BC=3,求8E的長.

2.(江蘇省南通市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題)在“1SC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,

且asinB+6cosA=0,cosB+V2cosC=y/5.

⑴求tanB；

(2)若邊AB上的高為1,求AABC的面積.

3.(安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣第三中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題)AASC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為

a、b、c,:兩足Zr=+c~.

(1)當(dāng)A為何值時(shí)，函數(shù)y=2sin2A+cos(CFj取到最大值，最大值是多少？

⑵若一等于邊AC上的高〃，求sin[F]的值.

題型九：圖形6：中線與重心型

1.(2022春?河北邢臺?高三統(tǒng)考)記A/WC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

2A^(COS2C-cos2A)=(A-b)sinB,且AABC外接圓的半徑為石.

(1)求C的大??；

(2)若G是AABC的重心，求AACG面積的最大值.

2.(2023春?河北秦皇島?高三校考階段練習(xí))AABC的內(nèi)角AB,C的對邊分別為a也j且

a(V3sinB-cosC)=(c-6)cosA.從下列①②③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在橫線處，并作答.

①。為AABC的內(nèi)心；②。為AABC的外心；③。為AASC的重心.

⑴求A；

(2)若6=6,c=10,求△0BC的面積.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

3.(2023秋?四川內(nèi)江高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí))"8C的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,

/I.B+C

b,c,a=6,0sm-------=asmB.

2

⑴求A的大小；

(2)M為AABC內(nèi)一點(diǎn)，AM的延長線交BC于點(diǎn)D,求△48C的面積.

請?jiān)谙旅嫒齻€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件補(bǔ)充在橫線上，使AABC存在，并解決問題.

①M(fèi)為AABC的外心，AM=4；

②M為AABC的重心，AM=26；

③M為AABC的內(nèi)心，AD=3A/3.

(注：三角形的三邊中垂線的交點(diǎn)稱為外心，三角形的三條中線的交點(diǎn)稱為重心，三角形的三條角平分線的

交點(diǎn)稱為內(nèi)心)

題型十：圖形綜合：定比分點(diǎn)型

1.(2024?全國?模擬預(yù)測)在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為。涉,J且滿足

2sin(A+C)cosA-sinCcosA=sinAcosC.

(1)求角A；

(2)若點(diǎn)。在線段BC上，且滿足BL?=3Z)C,A￡>=3,求AABC面積的最大值.

2.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知AABC中，角A、B、C的對邊分別是a,b,c,6&-csinA=瘋7cosc.

⑴求角A的大小；

⑵若a=3,。為BC邊上一點(diǎn)，|AT)|=2,2BD=DC,求AABC的面積.

3.(2024?廣東佛山?二模)在AABC中，o,b,c分別是角A,B,C所對的邊，點(diǎn)。在邊AC上，且滿足

3sinA=tanZABCcosC+sinC,csinC=3BZ)sinZBDC.

(1)求2的值；

a

(2)若AD=3QC,求sin/ABD.

題型十一：范圍與最值1:基礎(chǔ)型

在解三角形的問題中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選

擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：

(1)若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；

(2)若式子中含有。、b、c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；

(3)若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；

(4)代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；

(5)含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；

(6)同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角(或三個(gè)自由角)時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理.

1.(2023?廣西?模擬預(yù)測)在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為S,在下列三個(gè)條件

中任選一個(gè)，解答下面的問題.①b=0csi”A+￡|,②$=；(/+62_02),③b=asinC+ccosA.

(1)求角C的大?。?/p>

(2)若AASC外接圓的面積為2兀，求S的最大值.

A+「

2.(2024?全國?模擬預(yù)測)在中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,6,c,其中6=3,且csin、一=3sinC.

⑴求3的大??；

（2）求AABC面積的最大值.

3..（2024?河南?方城第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）記AASC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為b,c,

1-cosB

且tan2C=

1+cosB

（1）證明：B=2C；

（2）若b=2,求當(dāng)AASC面積最大時(shí)cos8的值.

題型十二：范圍與最值2：邊系數(shù)不對稱型

解三角形：最值范圍

1.可以用余弦定理+均值不等式來求解。

2.可以利用正弦定理，結(jié)合角與角所對應(yīng)的邊，轉(zhuǎn)化為角的形式，再進(jìn)行三角恒等邊形，化一，求解最值與范

圍，要注意三角形是否有“銳角、鈍角”三角形的角度范圍限制

1.（2024.上海嘉定.二模）在AASC中，角A、B、C的對邊分別為。、b、Jcos2B-sin2B=-1.

⑴求角B,并計(jì)算sin,+^l的值；

⑵若6=百，且AABC是銳角三角形，求a+2c的最大值.

2.（2024?山西呂梁?一模）設(shè)44BC的內(nèi)角AB,C的對邊分別為a,b,c,已知從osC+2acosA=—eosB.

⑴求A；

⑵設(shè)A的角平分線交BC于點(diǎn)AM=1,求b+4c的最小值.

3.（2024?廣東湛江?一模）已知在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且

acos（B-C）+acosA-2^csinBcosA=0.

⑴求A；

（2）若AASC外接圓的直徑為2—,求2c-b的取值范圍.

題型十三：范圍與最值3：無邊長型

有角無邊型

L一個(gè)角為定值，則另外倆角和為定值，所以可以消角。

2.注意銳角三角形，或者鈍角三角形對角的范圍的限制，如果有這樣限制，要對每個(gè)角都要用不等式范圍求解。

3.有角無邊型，如果出現(xiàn)邊，多為邊的比值齊次式型，一般可以用正弦定地來邊化角轉(zhuǎn)化

1.（2024?河南?一模）~N4BC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足分-跳=」.

⑴求證：B=2A；

⑵若AABC為銳角三角形，求而（。-④]sin'的取值范圍.

2.（2024?河北滄州?模擬預(yù)測）已知在“1SC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且

asinA—csinC=（a—b）sinB.

⑴求c;

⑵求sin?A+sin?B的最大值.

3.（2024?遼寧?一模）在AABC中，內(nèi)角A3,C所對的邊分別為ddJ滿足60+。）=/.

⑴求證：C=2B；

（2）若AABC為銳角三角形，求2sinC+cos8-sinB的最大值.

題型十四：范圍與最值4：比值型

最值范圍：分式比值型

化邊為角型

1.通過正余弦定理，把邊轉(zhuǎn)化為角。

2.利用特殊角，消角，以分母角度為住元，消去分子角度，轉(zhuǎn)化為分母角度的單變量函數(shù)形式

3.對單變量（單角）求最值。

角化變型：

主要用余弦定理，然后再借助均值不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化

1.（2024?山西朔州.一模）已知AABC的內(nèi)角的對邊分別為a,dj向量

m=^a+b,c^,n=（sinA-sinC,sinA-sinB）,且歷〃萬.

⑴求B；

2

⑵求-hJ的最小值.

a'+c

2.（2023?山東濰坊?模擬預(yù)測）在銳角AABC中，角ABC所對的邊分別為“也J滿足好="上吧0

bsinA-sinC

（1）求角c；

⑵求2b的取值范圍.

a

3.（23-24高三上?山東棗莊?）在44BC中，角A,8,C所對的邊分別為。力,c.若2a+Z>cosA—c=ZrtanBsinA.

⑴求8；

⑵若AASC為銳角三角形，求包竺繆0的取值范圍.

sinC

題型十五：范圍與最值5：角邊互錯型

正弦定理轉(zhuǎn)化，要以有長度的邊為主轉(zhuǎn)化，消邊化角求最值范圍

1.(2023?江西?校聯(lián)考二模)在中，角所對的邊分別為。，瓦J已知

sinAsinB+cos2A+cos2B+sin2C=2.

(1)求角C；

(2)若AABC為銳角三角形，且人=2,求"LBC面積的取值范圍.

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))在AABC中，角4,B,C的對邊分別是a,b,c,滿足bsinA=asin(_B+§

⑴設(shè)。=3,c=2,過8作2。垂直AC于點(diǎn)。點(diǎn)E為線段2。的中點(diǎn)，求面.雨的值；

(2)若AABC為銳角三角形，c=2,求AABC面積的取值范圍.

3.(2022?湖南?湘潭一中高三階段練習(xí))AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

(2a—c)sinA+(2c—a)sinC=2bsinB.

⑴求8；

(2)若AABC為銳角三角形，且c=2,求AABC周長的取值范圍.

題型十六：范圍與最值6：角度最值型

銳鈍角限制型

注意銳角三角形，或者鈍角三角形對角的范圍的限制，如果有這樣限制，要對每個(gè)角都要用不等式范圍求解

1.(22-23高三浙江寧波?階段練習(xí))記銳角AABC的內(nèi)角為A5,C,已知sin2A=sinBsinC.

(1)求角A的最大值；

(2)在銳角瓦G中，當(dāng)角A為角A的最大值時(shí)，求2cos瓦+cosC的取值范圍.

2.(2021?黑龍江大慶?一模)已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，6,。，且a(l+cos3)=b(2—cosA).

(1)求角3的最大值.

(2)若8取(1)中最大值，<2>1,c=b+g,當(dāng)AABC的周長最小時(shí)，求。的值.

3.(20-21高三?河南南陽)在中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且2sinAcosC+sinB=0.

(1)求角8的最大值；

(2)當(dāng)角8最大時(shí)，若b=6,求AABC的面積.

題型十七：范圍與最值7：范圍綜合型

1.(23-24三?浙江模擬)在中，角A民。所對的邊分別為a八J且滿足2asinC-gc=0

(1)求角A的值；

⑵若a=2V§■且求萬-1的取值范圍.

2.(2024高三?全國?專題練習(xí))在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

a2+accosB+becosA=b2+ac.

(1)求角B的大??；

(2)若。=2,且AABC為銳角三角形，求AABC的周長的取值范圍；

⑶若廿=",且AASC外接圓的半徑為2,圓心為O,P為圓。上的一動點(diǎn)，試求可.而的取值范圍.

3.(22-23晨)二遼寧鞍山?期中)在①J^c=J5acosB+bsinA,@(b+a)(sinB-sinA)=c(sinB-sinC),③

/-62=accos2-：6c這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題.

在銳角AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且_________.

⑴求A；

(2)若。=3,2而=前，求線段長的最大值.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

題型十八：相等角度轉(zhuǎn)化型

A

1.(23-24高三?湖南衡陽?階段練習(xí))在銳角“LBC中，內(nèi)角A8,C的對邊分別為。，瓦J且acos3+6sin1=c.

⑴求A；

(2)若D是邊BC上一點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，且求:一的取C值D范圍.

AD

2.(2024.陜西安康.模擬預(yù)測)已知銳角AABC中，角A,B,。所對的邊分別為。，b,J其中a=8,

arsin2A-sin2c口一

-=1+------------,且owe.

csin2B

⑴求證：B=2C；

⑵已知點(diǎn)"在線段AC上，且=求3M的取值范圍.

3.(2024.全國.模擬預(yù)測)在金。中，。也c分別為角A,B,。所對的邊，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn).

(1)若ZB=60°,c=2,AM=2^/3,求b的值；

(2)若/BAM=ZS+ZC,求㈣4的值.

tan3

題型十九：壓軸19題1：三角與數(shù)列結(jié)合型

1.(2024?上海青浦?二模)若無窮數(shù)列｛%｝滿足：存在正整數(shù)T,使得?！?r=4對一切正整數(shù)〃成立，則稱

｛%｝是周期為T的周期數(shù)列.

(1)若a“=sin[&+?](其中正整數(shù)機(jī)為常數(shù)，〃eN,”21),判斷數(shù)列｛4｝是否為周期數(shù)列，并說明理由；

⑵若.=a“+sina“(〃eN,7*l),判斷數(shù)列｛%｝是否為周期數(shù)列，并說明理由；

(3)設(shè)電｝是無窮數(shù)列,已知%=%+sina“(〃eN,〃21).求證：“存在內(nèi)，使得｛%｝是周期數(shù)列”的充要條件

是“｛〃,｝是周期數(shù)列”.

2.(2024.河南開封.二模)在密碼學(xué)領(lǐng)域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應(yīng)用就是在RSA加密算

法中的應(yīng)用.設(shè)p,q是兩個(gè)正整數(shù)，若p,q的最大公約數(shù)是1,則稱p,q互素.對于任意正整數(shù)“，歐拉

函數(shù)是不超過“且與”互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，記為夕(〃).

⑴試求。(3),姒9),0⑺,。⑵)的值;

⑵設(shè)”是一個(gè)正整數(shù)，p,g是兩個(gè)不同的素?cái)?shù).試求。(3"),(p[pq)與中(p)和夕⑷的關(guān)系；

(3)RSA算法是一種非對稱加密算法，它使用了兩個(gè)不同的密鑰：公鑰和私鑰.具體而言：

①準(zhǔn)備兩個(gè)不同的、足夠大的素?cái)?shù)p,q；

②計(jì)算〃=取歐拉函數(shù)e(");

③求正整數(shù)太使得kq除以磯〃)的余數(shù)是1；

④其中(〃闖)稱為公鑰，(〃㈤稱為私鑰.

已知計(jì)算機(jī)工程師在某RSA加密算法中公布的公鑰是(187,17).若滿足題意的正整數(shù)/從小到大排列得到

一列數(shù)記為數(shù)列出｝,數(shù)列￡｝滿足80%=，+47,求數(shù)列｛tancjtanc用｝的前〃項(xiàng)和7“.

3.(2024?上海?二模)固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茨等

XX

得出“懸鏈線”方程),=c(e；+e-),其中c為參數(shù).當(dāng)。=1時(shí)，就是雙曲余弦函數(shù)2(尤)=以二，懸鏈線的

原理運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程.類比三角函數(shù)的三種性質(zhì)：①平方關(guān)系：

I(sin-cosx

sin2；c+cos2x=l；②兩角和公式：cos(x+y)=cosxcosy-sin尤siny