2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題型（江蘇專(zhuān)用）幾何中的尺規(guī)作圖（解答壓軸題）（學(xué)生版）

專(zhuān)題05幾何中的尺規(guī)作圖（解答壓軸題）

壓軸題密押

通用的解題思路：

尺規(guī)作圖的解題思路主要包括以下幾個(gè)步驟：

1.理解題目要求：首先，你需要清楚理解題目要求你做什么。這可能涉及到繪制特定的圖形，如等邊三角

形、正方形或圓，或者可能涉及到構(gòu)造特定的線段或角度。

2.分析已知條件：接下來(lái)，你需要分析題目給出的已知條件。這可能包括特定的線段長(zhǎng)度、角度大小或其

他幾何信息。這些信息將是你進(jìn)行作圖的基礎(chǔ)。

3.確定作圖步驟：基于題目要求和已知條件，你需要確定作圖的步驟。這可能涉及到使用直尺和圓規(guī)來(lái)繪制

線段、作角、作垂線等。

4.執(zhí)行作圖步驟：在確定了作圖步驟后，你需要按照步驟來(lái)執(zhí)行。在執(zhí)行過(guò)程中，你需要保持精確，確保

每一步都符合題目要求和幾何原理。

5.檢查答案：最后，你需要檢查你的答案。這可能涉及到驗(yàn)證你的作圖是否滿(mǎn)足題目要求，或者驗(yàn)證你的

作圖是否符合幾何原理。

經(jīng)典例題

1.（2023?江蘇?中考真題）如圖，在RtZiABC中，ZC=90°.

C

（1）尺規(guī)作圖：作o,使得圓心。在邊A3上，。過(guò)點(diǎn)8且與邊AC相切于點(diǎn)。（請(qǐng)保留作圖痕跡，標(biāo)明

相應(yīng)的字母，不寫(xiě)作法）;

⑵在（1）的條件下，ZABC=60°,AB=4,求。與3Ase重疊部分的面積.

2.（2023?江蘇宿遷?中考真題）如圖，在YABCO中，AB=5,AD=3/1，ZA=45°.

（1）求出對(duì)角線8。的長(zhǎng)；

⑵尸那年S：將四邊形A3CD沿著經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的某條直線翻折,使點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)E處，請(qǐng)作出折痕.（不

寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

3.（2023?江蘇無(wú)錫?中考真題）如圖，已知/AP3,點(diǎn)M是P8上的一個(gè)定點(diǎn).

（圖I）（圖2）

（1）尺規(guī)作圖：請(qǐng)?jiān)趫D1中作O,使得。與射線相切于點(diǎn)同時(shí)與F4相切，切點(diǎn)記為N；

（2）在（1）的條件下，若NAP3=60。，PM=3,則所作的。的劣弧A/N與汽”、PN所圍成圖形的面積是

4.（2023?江蘇鹽城?中考真題）如圖，AB=AE,BC=ED,ZB=NE.

（2）用直尺和圓規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)A作Ab_LC7）,垂足為尸.（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

5.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）小磊安裝了一個(gè)連桿裝置，他將兩根定長(zhǎng)的金屬桿各自的一個(gè)端點(diǎn)固定在一

起，形成的角大小可變，將兩桿各自的另一個(gè)端點(diǎn)分別固定在門(mén)框和門(mén)的頂部.

如圖1是俯視圖，OA,03分別表示門(mén)框和門(mén)所在位置，M,N分別是。4上的定點(diǎn)，

OM=27cm,ON=36cm,MF,NF的長(zhǎng)度固定，的大小可變.

（1）圖2是門(mén)完全打開(kāi)時(shí)的俯視圖，止匕時(shí)，OA±OB,ZMRV=180°,求/MWB的度數(shù).

（2）圖1中的門(mén)在開(kāi)合過(guò)程中的某一時(shí)刻，點(diǎn)B的位置如圖3所示，請(qǐng)?jiān)趫D3中作出此時(shí)門(mén)的位置。8.

（用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

（3）在門(mén)開(kāi)合的過(guò)程中，sin/OMVf的最大值為.（參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75）

6.（2023?江蘇徐州?中考真題）兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時(shí)了解到；玉壁，

玉環(huán)為我國(guó)的傳統(tǒng)玉器，通常為正中帶圓孔的扇圓型器物，據(jù)《爾雅?釋器》記載：“肉倍好，謂之璧；肉好

若一，調(diào)之環(huán).”如圖1,“肉”指邊（陰影部分），“好”指孔，其比例關(guān)系見(jiàn)圖示，以考古發(fā)現(xiàn)看，這兩種玉

（2）利用圓規(guī)與無(wú)刻度的直尺，解決下列問(wèn)題（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）.

①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環(huán)”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關(guān)系是否符合“肉好若

，，？

②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關(guān)系符合“肉倍好”，請(qǐng)畫(huà)出內(nèi)孔.

7.（2022?江蘇揚(yáng)州?中考真題）【問(wèn)題提出】如何用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的

面積？

【初步嘗試】如圖1,己知扇形。鉆，請(qǐng)你用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺過(guò)圓心O作一條直線，使扇形的面積被

這條直線平分；

【問(wèn)題聯(lián)想】如圖2,已知線段請(qǐng)你用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺作一個(gè)以為斜邊的等腰直角三角形

MNP；

【問(wèn)題再解】如圖3,已知扇形Q45,請(qǐng)你用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺作一條以點(diǎn)。為圓心的圓弧，使扇形的

面積被這條圓弧平分.

（友情提醒：以上作圖均不寫(xiě)作法，但需保留作圖痕跡）

壓軸題預(yù)測(cè)

1.綜合與實(shí)踐：折紙中的數(shù)學(xué)

折紙是我國(guó)傳統(tǒng)的民間藝術(shù)，也是同學(xué)們喜歡的手工活動(dòng)之一，幸運(yùn)星、紙飛機(jī)、千紙鶴、密信等折紙活

動(dòng)在生活中都是廣為流傳的，通過(guò)折紙我們可以得到許多美麗的圖形，同時(shí)折紙的過(guò)程還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)

學(xué)知識(shí)，折紙往往從矩形紙片開(kāi)始，下面就讓我們帶著數(shù)學(xué)的眼光來(lái)探究一下有關(guān)矩形紙片的折疊問(wèn)題，

看看折疊矩形紙片蘊(yùn)含著哪些豐富的數(shù)學(xué)知識(shí).

(1)折紙1：如圖1,在一張矩形紙片上任意畫(huà)一條線段A8,將紙片沿線段A8折疊(如圖2)

問(wèn)題1：重疊部分的ABC的形狀(是、不是)等腰三角形.

問(wèn)題2：若AB=4cm,3C=5cm,則重疊部分ABC的面積為cm2

(2)折紙2：如圖3,矩形紙片ABCD,點(diǎn)E為邊CD上一點(diǎn)，將3CE沿著直線BE折疊，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)產(chǎn)

落在邊AD上，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的尺子和圓規(guī)在圖3中找出點(diǎn)E的位置(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法).

(3)折紙3：如圖4,矩形紙片ABC。，AB=5,BC=6,若點(diǎn)〃為射線上一點(diǎn)，將一ABM沿著直線AM

折疊，折疊后點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為當(dāng)點(diǎn)3,恰好落在3c的垂直平分線上時(shí)，求，0的長(zhǎng).

2.如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，ABC的頂點(diǎn)4B、C均落在格點(diǎn)上，以48為直徑的半

圓的圓心為0,僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫(huà)圖.(保留作圖痕跡)

(1)在圖1中線段2C上確定一點(diǎn)尸，使得。尸〃AC；

(2)在圖2中作出ASC的AC邊上的高3。；

(3)在圖3中作出。的切線AE.

3.如圖，已知在，ABC中，AB^AC,以A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑作圓，CE是A的切線與54的延長(zhǎng)

線交于點(diǎn)E.

(1)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線交召C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)

(2)在(1)的條件下，連接30.

①試判斷直線與A的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

3

②若tanE=:，A的半徑為3,求8。的長(zhǎng).

4

4.如圖，在ABC中，ZABC=90°,ZA=60°,AB=3.

(1)尺規(guī)作圖：在BC上找一點(diǎn)尸，作P與AC,A3都相切，與AC的切點(diǎn)為。；(保留作圖痕跡)

(2)在(1)所作的圖中，連接8Q,求sinNCBQ的值.

5.如圖，在四邊形A8CD中，AC,班＞相交于點(diǎn)0.

⑴給出下列信息：①AB〃CD；?AO=OC；③/AD3=NCB。.請(qǐng)從上面三個(gè)選項(xiàng)中選出兩個(gè)作為條件，

一個(gè)作為結(jié)論，構(gòu)成一個(gè)真命題，并加以證明.你選擇的條件是,結(jié)論是.（填序號(hào)）

⑵在（1）的條件下，已知請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作菱形廊汨，頂點(diǎn)E,尸分別在邊BC,AD

上（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）.

6.閱讀材料：尺規(guī)作圖是起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題，是指用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)作圖.無(wú)刻度直尺在作

圖時(shí)只可用來(lái)畫(huà)直線、射線或線段.請(qǐng)根據(jù)以上材料按要求進(jìn)行作圖.

圖2備用圖

（1）如圖1,在ABC中，NACB=90。，請(qǐng)用無(wú)刻度直尺與圓規(guī)在BC邊上作出一點(diǎn)O,使得。過(guò)點(diǎn)C且與

A2相切.（保留作圖痕跡，不需說(shuō)明作圖步驟）

⑵如圖2,在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，點(diǎn)43,C,。是網(wǎng)格的四個(gè)格點(diǎn)，且NACB=90。.

①作圖：請(qǐng)?jiān)趫D2中僅用無(wú)刻度直尺作出一點(diǎn)O,使得。過(guò)點(diǎn)C且與相切于點(diǎn)O；（保留作圖痕跡，

不需說(shuō)明作圖步驟）

②若此網(wǎng)格中每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1,則，。的半徑為.（可利用圖2備用圖計(jì)算）

7.問(wèn)題探究：

（1）將一直角梯形A3CD放在如圖1所示的正方形網(wǎng)格（圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為一個(gè)單位長(zhǎng)度）中，

梯形ABC。的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)你在圖中作一條直線/,使它將梯形ABC。分成面積相等的兩部分；（畫(huà)

出一種即可）

（2）如圖2,/[〃[點(diǎn)4。在乙上，點(diǎn)8、C在4上，連接AC、BD,交于點(diǎn)。，連接48、CD.試說(shuō)

明：=S^DOC；

問(wèn)題解決：

（3）如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中，不規(guī)則五邊形ABODE是李大爺家的一塊土地的示意圖，頂點(diǎn)B在y軸

正半軸上，C。邊在尤軸正半軸上，AE平行于x軸，AE的中點(diǎn)尸處有一口灌溉水井，現(xiàn)結(jié)合實(shí)際耕種需求，

需在CD上找一點(diǎn)0,使尸2將這塊土地的面積分為相等的兩部分，用于耕種兩種不同的作物，并沿尸2修一

條灌溉水渠（水渠的寬度忽略不計(jì)）.

①請(qǐng)你利用有刻度的直尺在圖中畫(huà)出PQ的位置，并簡(jiǎn)要說(shuō)明作圖過(guò)程；

②若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,4）,OB=1,0C=4,0D=12,AE=6,請(qǐng)求出直線PQ的解析式.

8.在平面內(nèi)，將一個(gè)多邊形先繞自身的頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度仇0°<0<180。），再將旋轉(zhuǎn)后的多邊形以點(diǎn)A為

位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對(duì)應(yīng)線段的比為鼠稱(chēng)這種變換為自旋轉(zhuǎn)位似變換.若順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)，記作T（A,順。，k）；若逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記作T（A,逆。，k）.

例如：如圖①，先將.ABC繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°,得到VA8G，再將VA8G以點(diǎn)8為位似中心縮小到原

來(lái)的得到。&BG，這個(gè)變換記作T（B,逆50。，1）.

（1）如圖②，"C經(jīng)過(guò)T（C,順60°,2）得到△A9C,用尺規(guī)作出△ABC.（保留作圖痕跡）

（2）如圖③，ABC經(jīng)過(guò)T（B,逆a,匕）得到ABC經(jīng)過(guò)T（C,順力，七）得到△FDC,連

接AE,AF.求證：四邊形AEDE是平行四邊形.

（3）如圖④，在ABC中，Z4=150。，AB=2,AC=1.若ABC經(jīng)過(guò)（2）中的變換得到的四邊形AFDE是

正方形.

I,用尺規(guī)作出點(diǎn)O（保留作圖痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明）;

II.直接寫(xiě)出AE的長(zhǎng).

9.如圖1,在ABC中，點(diǎn)。在邊A3上，若滿(mǎn)足N3PD=/B4C,則稱(chēng)點(diǎn)尸是點(diǎn)。的“和諧點(diǎn)

圖1