2024年中考數(shù)學(xué)提高復(fù)習(xí)講義：函數(shù)及其圖像

中考專題復(fù)習(xí)之函數(shù)及其圖像

知識梳理

1.平面直角坐標(biāo)系

在平面內(nèi)畫兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸，就組成了平面直角坐標(biāo)系.

坐標(biāo)平面被X軸和y軸分割而成的四個(gè)部分，分別叫作第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.

注意：x軸和y軸上的點(diǎn)，不屬于任何象限.

2.不同位置的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

(1)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征如下：

第一象限(+,+),第二象限(-,+),第三象限第四象限(+,-).

(2)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的特征如下：

在x軸上縱坐標(biāo)為0,在y軸上橫坐標(biāo)為0,原點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0).

(3)兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征如下：

①點(diǎn)P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上0與y相等.

②點(diǎn)P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上田與y互為相反數(shù).

(4)和坐標(biāo)軸平行的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征如下：

①位于平行于x軸的直線上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同.

②位于平行于y軸的直線上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同.

(5)關(guān)于x軸、y軸或原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征如下：

①點(diǎn)P與點(diǎn)P'關(guān)于x軸對稱T黃坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).

②點(diǎn)P與點(diǎn)P'關(guān)于y軸對稱u縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù).

③點(diǎn)P與點(diǎn)P'關(guān)于原點(diǎn)對稱T黃、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù).

⑹點(diǎn)P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離包括：

①到x軸的距離等于|y|.

②到y(tǒng)軸的距離等于|x|.

③到原點(diǎn)的距離等于W+*.

3.函數(shù)及其相關(guān)概念

⑴變量與常量.在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量叫作變量，數(shù)值保持不變的量叫作常量.

一般地，在某一變化過程中有兩個(gè)變量x與y,如果對于x的每一個(gè)值，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么

就說x是自變量，y是x的函數(shù).

(2)函數(shù)的三種表示法：①解析法；②列表法；③圖像法.

⑶由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟：①列表；②描點(diǎn)；③連線.

(4)自變量的取值范圍.

4.正比例函數(shù)和一次函數(shù)

⑴正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念一般地，如果y=kx+b(k,b是常數(shù)，*0),那么y叫作x的一次函數(shù).

特別地.當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b中的b為。時(shí),y=kx(k為常數(shù),厚0)這時(shí),y叫作x的正比例函數(shù).

(2)一次函數(shù)的圖像是一條直線.

(3)正比例函數(shù)的性質(zhì)一般地，正比例函數(shù)y=kx有下列性質(zhì)：

①當(dāng)k>0時(shí)，圖像經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大.

②當(dāng)k<0時(shí)，圖像經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小.

(4)一次函數(shù)的性質(zhì).一般地，一次函數(shù)丫=叁+15有下列性質(zhì)：

①當(dāng)k>0時(shí).y隨x的增大而增大.

②當(dāng)k<0時(shí),y隨x的增大而減小.

⑸正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定確定一個(gè)正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式y(tǒng)=kx(k邦沖的

常數(shù)k.確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k/))中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系

數(shù)法.

(6)設(shè)兩條直線分別為/i：y=k1x+Z2:y=k2x+b2.

豐

①若W2kl=/且bib2.

②若k_L12kl?k2——1.

(7)平移：上加下減，左加右減.

(8)交點(diǎn)坐標(biāo)求法：聯(lián)立方程組.

5.反比例函數(shù)

(1)反比例函數(shù)的概念.一般地，函數(shù)y=5k是常數(shù)，片0)叫作反比例函數(shù).反比例函數(shù)的解析式也可以寫成y

=依-1或.xy=k的形式啟變量x的取值范圍是x#0的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實(shí)數(shù).

⑵反比例函數(shù)的圖像是雙曲線.

(3)反比例函數(shù)的性質(zhì)如下：

①當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第一、三象限.在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小.

②當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第二、四象限.在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.

③圖像與x軸、y軸都沒有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸.

④圖像既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.

⑤圖像上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，與坐標(biāo)軸所圍成矩形面積等于|k|.

(4)反比例函數(shù)解析式的確定.只需要一對對應(yīng)值或圖像上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析

6.二次函數(shù)

⑴二次函數(shù)的概念：一般地，如果y=收+bx+c(a,b,c是常數(shù),a/)),那么y叫作x的二次函數(shù).

(2)二次函數(shù)的圖像是一條拋物線.

⑶二次函數(shù)的性質(zhì)：

①a>0,拋物線開口向上，對稱軸是工=-2頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-白力好);在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<-3寸，y

隨X的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)％〉-/時(shí),y隨x的增大而增大拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)％=-蜘寸，y有

最小值,y體=4ac~b-

R體4a

②a<0,拋物線開口向下，對稱軸是乂=一套頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-白絲子);在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<一方時(shí)，y

隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)X>-盤時(shí)，y隨x的增大而減小拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)x=-方時(shí)，y

有最大值，、R*=""I廬

(4)二次函數(shù)的解析式有三種形式：

①一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a#0).

②頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k(a,h,k是常數(shù),a#0).

③兩根式:y=a(x-%i)(x一x2).

(5)拋物線y=a/+必+c中a,b,c的作用如下：

①a表示開口方向：a>0時(shí)，拋物線開口向上，a<0時(shí)，拋物線開口向下.

②b與對稱軸有關(guān)：對稱軸為x=-?,a與b左同右異.

③C表示拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：(0,C).

(6)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系如下：

一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

因此一元二次方程中的△=b2-4ac,在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn).

當(dāng)△>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).

當(dāng)△=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn).

當(dāng)/<0時(shí)，圖像與x軸沒有交點(diǎn).

(7)求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸的方法

①公式法：頂點(diǎn)是(-白用)，對稱軸是直線％=-白

\2a4aJ2a

②配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為.y=a{x-h)2+k的形式，得到頂點(diǎn)為(h,k),對稱軸是直

線x=h.

(8)平移:y=a(x-h)2+k可以由y=a久?平移得到.上加下減，左加右減.

典型例題

例1

在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(a+1,a-1)位于第四象限，則a的取值范圍為一.解析首先要掌握各個(gè)象限坐標(biāo)特

征，第四象限的橫坐標(biāo)大于零，縱坐標(biāo)小于零.

因?yàn)锳(a+l,a-l)位于第四象限，

rjrsi\I+1N0

所以la-1<0,

所以明不

所以-iWaWl.

例2

如圖⑴所示,在梯形ABCD中,AB〃DC,DE，AB,CF，AB^AE=EF=FB=5,DE=12動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿折線

AD-DC-CB以每秒1單位長的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,y=SAEPF廁y與t的函數(shù)圖像大致是（

）.

例2圖（1）

解析因?yàn)锳B〃DC,DEJ_AB,CF_LAB,且AE=EF=FB=5,DE=12,所以在RtAADE中,AD=

13.

⑴當(dāng)P點(diǎn)在AD段時(shí).如圖⑵所示，過P作PMXAB于M,則有△APM^AADE

就有孩=?.已知AP=t即:PM=?XDE=2X12=M.

y=SEPF="即xPM=]x5x詈=等為一次函數(shù)，所以應(yīng)該從零點(diǎn)開始的一次

函數(shù).

例2圖（2）

（2）當(dāng)P點(diǎn)在DC段時(shí),P點(diǎn)到AB的距離始終不變，所以y=SAEPF也保持不變，應(yīng)該是

一條直線.

⑶當(dāng)P點(diǎn)在CB段時(shí),同⑴過P作直線PNXAB于N,則有△PNB^ACFB

就有黑=黑.因?yàn)镻B=31-t,所以PN=3=PB=葛義（31-t）.

rDt,DC.DID

c11L12GY八、30（31-t）

y=S=-xEFxPN=-x5x—x（31—t）=--------

,EPF221313

為一次函數(shù)，且是單調(diào)遞減的一次函數(shù)，綜合得A選項(xiàng)正確.

例3

如圖所示，反比例函數(shù)y=久久〉0）的圖像經(jīng)過矩形OABC的對角線的交點(diǎn)M,分別與AB,BC交于D,E,若四邊

形ODBE的面積為12,則k的值為（）.

A.1B.2

D.4

解析在雙曲線上的任意一點(diǎn)向兩個(gè)坐標(biāo)軸作垂線，兩垂線與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為k.從圖像上的點(diǎn)E,

M,D入手，分別找出小OCE,AOAD,矩形OABC的面積與的的關(guān)系，然后列等式求出k的值.值得注意的是M

為矩形OABC兩對角線的交點(diǎn)，所以B點(diǎn)坐標(biāo)是M點(diǎn)坐標(biāo)的兩倍，所以矩形OABC的面積

1k

=x

SOMBClhllyBl=4|xM||yM|=41kl=4fc,SaE=S0MD=-|/c|=

SoDBE=^OABC~^ACE~^OAD=12，

即：12=4k—g—gnl2=3k,

則有k=4,所以選D.

例4

如圖(1)所示，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a豐0)的圖像與x軸交于A,B兩點(diǎn)，

已知A(-2,0),C(0,6),拋物線上一點(diǎn)坐標(biāo)為(1,6),D為拋物線的頂點(diǎn).

⑴求拋物線的解析式.

(2)求小DCB的面積.

解析(1)因?yàn)锳(-2,0),C(0,6),拋物線上一點(diǎn)坐標(biāo)為(1,6)都在二次函數(shù).y=a/+

bx+c(a豐0)圖像上，

4a—2b+c=0(a=-1

所以c=6,解得c=6.

a+b+c=6\b=1

所以y=-%2+%+6.

⑵如圖⑵所示，過D作DE±AB于E,交CB于F,連接CD,DB.

因?yàn)閥=-x2+1+6,

所以B(3,0),D89

設(shè)直線AB解析式為y=kx+6,將B(3,0)代入式中得:k=-2.

所以直線AB解析式為y=-2x+6.

因?yàn)镈E±AB于E,交CB于F,且F在AB上.

例4圖(2)

所以F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為將其代入直線AB解析式，

所以F(，5).

因?yàn)镾CDB—(SaQE-$@亙+($EDB-SEFB)

=^aDE+SEDB-SQCB，

其中S（SE=TX（6+F）X^=49

25125

SEDB3-|X——-----

=￡x416’

1

SCB=5X6x3=9,

49,125八15

所以SCDB—I------------y=—,

16162

雙基訓(xùn)練

1.已知M(a2+3%-4^1)位于第一象限，則a的取值范圍為().

A.a>lB.a<lC.a>l或a<-4D.a<-4

2.已知點(diǎn)A(4,3),過A作AB±y軸于B,則B點(diǎn)的坐標(biāo)為().

A.(4,0)B.(3,4)C.(0,3)D.(4,3)

3.已知點(diǎn)A(2,3),B與A關(guān)于原點(diǎn)對稱,C與B關(guān)于y軸對稱，則C點(diǎn)坐標(biāo)為().

A.(-2,-3)B.(3,2)C.(2,-3)D.(-3,-2)

4.把(-3,5)向上平移2個(gè)單位，再向右平移5個(gè)單位后對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為().

A.(2,7)B.(-3,7)C.(2,5)D.(-3,5)

5.定義一種新運(yùn)算：aQba2-ab+代設(shè)y=aG)b,其中b=l,當(dāng)y=7時(shí)，則a的值為().

A.3B.—2C.2或-3D.3或-2

6.函數(shù)y=熹中自變量x的取值范圍為().

yJX—j

A.x>3B.x>3C.x#3D.x<3

7.李奶奶想要用一個(gè)長為10米的籬笆靠墻圍成一個(gè)矩形小菜園，要圍成的菜園如圖所示，假設(shè)靠墻一側(cè)不需

要籬笆，設(shè)AB=X米，BC=y米，則y與x的函數(shù)關(guān)系為().

墻

A.y=2x-10(0<x<5)AD

1

B.y=--x+5(0<x<10)

C.y=-2x+10(0<x<5)

D.y=-x—5(0<x<10)

BC

8.若y=5-是正比例函數(shù)，則n的值為().

第7題圖

A.-1B.lC.我或一魚D.-1或1

9.對于一次函數(shù)y=--5,下列結(jié)論正確的是().

A.函數(shù)的圖像經(jīng)過第二象限

B.函數(shù)值隨x的增大而增大

C.函數(shù)的圖像與y的交點(diǎn)為(0,5)

1,c

D.函數(shù)的圖像向上平移3個(gè)單位長度得到的一次函數(shù)為y=——%+2

J2

10.已知反比例函數(shù)丫=：的圖像經(jīng)過點(diǎn)P(-5,4),則函委).

A.第一、二象限B.第一、三象限

C.第二、四象限D(zhuǎn).第三、四象限

11.若函數(shù)y=磊是反比例函數(shù)，則m的值為().

A.5B.3C.5或3D.-3

12.在反比例函數(shù)y=?的圖像每一條分支上，y隨x的值增大而增大，則k的取值范圍為().

A.k>0B.k<0C.k<lD.k>l

13.某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓P(kPa)是氣球體積V(m3)的反比例函

數(shù),其圖像如圖所示.當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于120kPa時(shí)氣球?qū)⒈ǎ瑸榱税踩?氣球的體積應(yīng)該是().

A.不大于三租3B.小于三租3c.不小于37n3D.小于37n3

4455

P/kPa

O力n?

第13題圖

14.已知反比例函數(shù)y=三二,如圖在反比例圖像上任取一點(diǎn)N(2,4),貝k的值為().

A.3B.-2C.-2或3D.8

15在反比例函數(shù)y=爭勺圖像上有三點(diǎn)((--3,yi),(-6,y2),(4,y3)，則下列結(jié)論正確的是().

A.y3>y2>yiB.y3>yi>y2

C.yr>y2>y3D.yi>y3>y2

16.把拋物線.y=-(x+l)2+3向下平移3個(gè)單位,再向右平移1個(gè)單位，則平移后的拋物線的解析式為().

A.y=—(x+I)2B.y=—(x+2)2+6

C.y=—x2D.y——(x+2)2

17.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，則下列關(guān)系式錯(cuò)誤的是().

A.a>0B.c>0

C.b2—4ac>0D.a+b+c>0

18.已知二次函數(shù)y=jx2+3x+/則最小值為().

A.-4B.4C.6D.-6

19.若一次函數(shù)y=kx+4的圖像與反比例函數(shù)y=|的圖像沒有共同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是.

20.已知二次函數(shù)y=%2-6%+3經(jīng)過配方變成y=(x+/i)2+k的形式,則h=__,k=.

能力提升

21.已知一元二次方程4/_a比+6=。有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，且兩個(gè)解均為正數(shù).點(diǎn)M(a2-16b，b)所屬的

象限為第()象限.

A.-B.二C,三D.四

22.在△ABC中,人(0,0)》(2,2)。(3,0)才巴4ABC平移到一個(gè)確定的位置，下面()坐標(biāo)是平移得到的.

A.A(2,0),B(4,2),C(5,0)B.A(2,2),B(4,2),C(3,0)

C.A(0,2),B(2,4),C(5,0)D.A(2,3),B(2,2),C(5,3)

23.在物理實(shí)驗(yàn)課上，小明用彈簧秤將鐵塊A懸于盛有水的水槽中，然后勻速向上提起(不考慮水的阻力),直

至鐵塊完全露出水面一定高度，則下列選項(xiàng)中能反映彈簧秤的讀數(shù)yN與鐵塊被提起的高度xcm之間的函數(shù)關(guān)系

的大致圖像是().

第23題圖

24.已知反比例函數(shù)y=孑口y=￡如圖所示，過y軸上一點(diǎn)p（0,t）作x軸的平行線，分別交兩反比例函數(shù)圖

像于B,C兩點(diǎn)，在x軸上任取一點(diǎn)八,則4ABC的面積為（）.

A.2B.4

C.1D.不能確定

25如圖所示，在反比例函數(shù)y=:上任取一點(diǎn)B,過B作BA±x軸于A,作BC±y軸于C,假設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O,

已知矩形OABC的面積為6,則k值為（）.

D.±3

26.如圖所示，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與y軸正半軸相交，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（|，1）,下面結(jié)論：（①ac<0;

②a+b=O;③4ac-b2=4a;④a+b+c<0.其中結(jié)論正確的是（）.

A.1B.2C.3D.4

27.一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+bx+c在同一直角坐標(biāo)系中可能的圖像是（）.

28.若拋物線y=x2-4x+a的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為b,則a-b的值為（）.

A.4B.-4C.2D.-2

29.已知二次函數(shù)y=必一2%-1,在此函數(shù)圖像上面任取/（-1，%）,8（2，丫2）,C（1+魚”），則下列正確的是（）?

A.y3>yi>y2B.yi>y3>y2

c.y2>yi>y3D.yi>y2>y3

30.一次函數(shù)%=依+b（kw0）與反比例函數(shù)丫2=?（血士0）在同一直角坐標(biāo)中的圖像上，如圖所示.若yi<

、2,則x的取值范圍是（）.

A.-2Vx<0或x>l

B.xv-2或Ovxvl

C.x>l

D.-2<x<l

第30題圖

拓展資源

31.y=%2+(1-a)x+1是關(guān)于x的二次函數(shù)，當(dāng)x的取值范圍是1WXW3時(shí)，y在x=1時(shí)取得最大值，貝!|實(shí)

數(shù)a的取值范圍是().

A.a=7B.a>7C.a=3D.a>3

32如圖所示，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A,C在x軸上，^BCA=90°,AC=BC=2應(yīng),，反比例函數(shù)y=

久久〉0)的圖像分別與AB,BC交于點(diǎn)D,E,連接DE.當(dāng)△BDECOLBCA時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為.

33如圖所示，直線1經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),且與雙曲線y=?(幻0)交于點(diǎn)B(2,l),過點(diǎn)P(P1