2024年中考數(shù)學(xué)暑假復(fù)習(xí)講義：手拉手模型

手拉手模型

知識(shí)聚焦。

1.全等型手拉手:

如圖在△OAB中,OA=OB衽AOCD中,OC=OD,ZAOB=ZCOD=a,連結(jié)AC,BD.

結(jié)論:△AOC0△BOD(SAS).

簡(jiǎn)記為：雙等腰，共頂點(diǎn)，頂角相等，旋轉(zhuǎn)得全等.

2.相似型手拉手：

如圖,△AOBs^cOD,且繞公共頂點(diǎn)O旋轉(zhuǎn).

結(jié)論:△AOC^ABOD.

簡(jiǎn)記為：非等腰，共頂點(diǎn)，頂角相等，旋轉(zhuǎn)得相似.

3.手拉手模型構(gòu)造：

如圖l,AD=AC,NDAC=a,可將線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,得到線段AE,如圖2,連結(jié)BE,CE.這樣就構(gòu)造

出^ABE和4ADC為共頂點(diǎn)的手拉手模型，其中△BAD^AEAC(SAS).

典例精講

例1如圖，在△ABC與AADE中,/ACB=NAED=9(r,/ABC=/ADE,連結(jié)BD,CE.若AC:BC=3:4,貝!]BD:CE

的值為()

B

A.5:3B.4:3

C.Vs：2D.2:V3

分析根據(jù)條件可得出△ABCs^ADE相似，利用相似三角形的性質(zhì)得出NBAC=/DAE進(jìn)而可得出△ACE-

AABD,利用相似三角形的性質(zhì)即可解答.

解答,/ZACB=ZAED=90°,ZABC=ZADE,

.".△ABC^>AADE,

Z-BAC=ADAE,A—B=AD

*：NBAC+NBAE=NDAE+NBAE,

ZCAE=ZBAD,

AAACE^AABD,

.BD_AB

''CE-AC

VAC:BC=3:4,ZACB=90°,

???AB:AC=5:3,

ABD:CE=5:3.

故選A.

例2如圖，在等邊△ABC外部有一點(diǎn)P,若NBPA=30。,求證:PA2+PB2=PC2.

分析將^PAB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△TCB,連結(jié)PT,證明NCTP=90。，利用勾股定理即可得出結(jié)論.

解答如圖，將^PAB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△TCB,連結(jié)PT.

BP=BT,ZPBT=60°,

.??△PBT是等邊三角形，

PT=PB,ZPTB=60°.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:△PAB^ATCB,

???ZAPB=ZCTB=30°,PA=CT,

ZPTC=ZPTB+ZCTB=60°+30°=90。,

CT2+PT2=PC2,

PA2+PB2=PC2.

例3如圖，等腰RtAABC,ZBAC=90°,BC=V2.E為AB上一點(diǎn)，以CE為斜邊作等腰Rt△CDE,連結(jié)A

D,若/ACE=30。,求AD的長(zhǎng).

分析在等腰R3ABC中,NBAC=90°,BC=得出NB=NACB=45。,AB=AC=l,因?yàn)镹ACE=30。,可得a￡1=

CE=乎，所以BE=1-與再證△BCE-AACD,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例,即可得出結(jié)果.

解答??,等腰RtAABC,ZBAC=90°,BC=VX

???ZB=ZACB=45°,AB=AC=1.

ZACE=30°,

j-,V3，廠2A/3

?A??AE=—,CE=—,

33

???BE=AB-AE=1-—.

3

???△CDE是等腰直角三角形，

Z.DCE=45°,CE=V2CD,

ZBCE=ZACD.

AABCE^AACD,

.??絲=些=短

ADAC

V3

mBE1-y3V2-V6

???AD=-p=-p-=---------.

V2V26

例4已知四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，且AB>CE.

⑴如圖1,連結(jié)BG,DE.求證:BG=DE.

(2攻口圖2,如果正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到某一位置恰好使得CG/7BD,BG=BD.

①求NBDE的度數(shù).

②若正方形ABCD的邊長(zhǎng)是V2,請(qǐng)求出△BCG的面積.

'EE

圖1圖2

分析（1）證4BCG^ADCE就可以得出結(jié)論;（2）①連結(jié)BE,證明△BCG之△BCE,得出BG=BE,進(jìn)而得出^BDE

為等邊三角形，即可得出結(jié)果；②延長(zhǎng)EC交BD于點(diǎn)H,過點(diǎn)G作GNXBC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,證明△BCE^A

DCE得出NBEC=乙DEC,EH1BDfBH=鄰。由勾股定理求出EH的長(zhǎng)得出CE的值，證出△GCN是等腰直角三角

形，得出GN=￥CG,由三角形面積公式即可得出結(jié)果.

解答（1）???四邊形ABCD和四邊形CEFG為正方形，

???BC=DC,CG=CE,ZBCD=ZGCE=90°,

???NBCD+NDCG=NGCE+NDCG,

即NBCG=NDCE.

???△BCG四△DCE,

???BG=DE.

(2)①如圖2,連結(jié)BE,

由(1)可知:BG=DE.

??，CG〃BD,

JNDCG=NBDO45。，

JZBCG=ZBCD+ZDCG=90°+45°=135°.

ZGCE=90°,

???ZBCE=360°—ZBCG—ZGCE=360°-135°-90°=135。,

???NBCG=NBCE.

BC=BC,

在^BCG和^BCE中\(zhòng)^BOG=乙BCE,

aG-CE,

??.△BCG四△BCE,

ABG=BE.

VBG=BD=DE,

???BE=BD=DE,

.?.△BDE為等邊三角形，

ZBDE=60°.

②如圖3.延長(zhǎng)EC交BD于點(diǎn)H,過點(diǎn)G作GN±BC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,

在△BCE和4DCE

(BE=DE,

中IBC=CD,

(CE=CE,

/.△BCE^ADCE,

ZBEC=ZDEC,

???EH忸BD,BH=-BD.

2

BC=CD=V2,

BD=42BC=2,

BE=2,BH=CH=1,HE=V3,

CG=CE=43-1.

'：ZBCG=135°,

ZGCN=45°,

.?.△GCN是等腰直角三角形，

...GN=￥CG=￥(W-I),

ASBC=|BC-=|XV2XyX(V3-1)=等.

例5問題背景：

(1)如圖L已知△ABCs/\ADE,求證:△ABD^AACE.

嘗試應(yīng)用：

(2攻口圖2,在小ABC和4ADE^,ZBAC=ZDAE=90°,ZABC=ZADE=30°,AC與DE相交于點(diǎn)F,點(diǎn)D在BC邊

上,BD=3,CD=5,求第勺值.

CF

靈活運(yùn)用：

圖3

分析(1)由4ABCs/XADE,得祭=AC,NBAC=/DAE,從而/BAD=NCAE,可得△ABDs^ACE;(2)連結(jié)E

C,先證明△ABCs^ADE,由⑴知△ABDS/IACE,得*=%則CE=遍利用含30。角的直角三角形的性質(zhì)得

DUAUV3

AD的長(zhǎng)，再由△ADFs/XECF,即可求出第勺值;(3)作AELAD,交BD于點(diǎn)E,連結(jié)CE,證明△DABsAEAC,得

CF

黑=*=低NDBA=NACE得CE=百,NBEC=90。從而解決問題.

ECAE

解答(口:△ABCs/XADE,

—,ZBXC=^DAE,

ADAE

：.ZBAD=ZCAE,

A△ABDACE.

(2)如圖2,連結(jié)EC,

ZBAC=ZDAE=90°,ZABC=ZADE=30°,

△ABCS/XADE.

由⑴,知4ABD^AACE,

CFAF1

—=—=%/ACE=AABD=ZADE=30°.

BDADV3

.?號(hào)=專,CE=g.

???ZACE=30°,ZACB=60°,

AZDCE=90°,

.?.在R3DCE中,DE=VCO2+CE2=J52+(V3)2=2?

在RtAADE中,NADE=30°,

AE=y[7,AD=V21.

"/ZADF=ZECF,ZAFD=ZEFC,

.,.△ADF^AECF,

.DF_AD_V21_r=

?——■~-v/?

CFCEV3

(3)如圖3,作AE,AD,交BD于點(diǎn)E,連結(jié)CE,

???ZDAE=ZBAC=90°.

ZADB=ZABC=30°,

AAADE^AABC,

.AD_AB

“AE—AC

又"DAB=/EAC,

.,.△DAB^AEAC,

.?.吧=絲=痣ADBA=/.ACE.

ECAE

VBD=3,

???EC=^3,^BEC=90",

在RtACDE中,DE=VOC2-FC2=J(V7)2-(V3)2=2.

"/ZADE=30°,ZDAE=90°,

AD=DE-cos300=2X—=V3.

2

綜合提升

1.如圖,△ACB和^ECD都是等腰直角三角形,NACB=/ECD=9（r,D為AB邊上一點(diǎn).若AD=5,BD=12,則DE

的長(zhǎng)為（）

A

D

B

A.11B.13C.12D.25

2.如圖，將^ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)任意角度得到△ABC,連結(jié)BB;CC,則BB':CC等于()

A.AB:ACB.BC:AC

C.AB:BCD.AC:AB

3如圖，點(diǎn)A是x軸上一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)B從原點(diǎn)O出發(fā)沿y軸的正方向移動(dòng),以線段OB為邊在y軸右側(cè)作等邊三

角形，以線段AB為邊在AB上方作等邊三角形，連結(jié)CD，隨點(diǎn)B的移動(dòng)，下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.ABOA^ABDC

B.ZODC=150°

C,直線CD與x軸所夾的銳角恒為60°

D.隨點(diǎn)B的移動(dòng)，線段CD的值逐漸增大

4.如圖所示，已知△ABC和^BDE均為等邊三角形，連結(jié)AD,CE.若NBAD=a,51UNBCE=.

5.如圖，在RtAABC中,AC=BC,點(diǎn)P為BC右上方一點(diǎn)，且NBPA=90。,連結(jié)PC,求證:.PA-PB=&PC.

P

AB