高中數(shù)學(xué)同步講義（人教B版2019必修四）第28講 11.4.2平面與平面垂直

.4.2平面與平面垂直TOC\o"1-3"\h\u題型1面面垂直的概念辨析 3◆類型1概念辨析 3◆類型2垂直應(yīng)用 7題型2面面垂直的證明 19題型3面面垂直證明線面垂直 29題型4面面垂直證明線線垂直 36題型5探索性問題 44知識(shí)點(diǎn)一：二面角1.二面角的概念概念平面內(nèi)的一條直線把一個(gè)平面分成兩部分，其中的每一部分都稱為一個(gè)半平面.從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，這兩個(gè)半平面稱為二面角的面.圖示及記法棱為l，而分別為α和β的二而角記為α-l-β.如圖所示.也可以在a和β內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點(diǎn)P，Q，將這個(gè)二而角記作P-l-Q2.二面角的平面角定義在二面角α-l-β的棱上任取一點(diǎn)O，以O(shè)為垂足，分別在半平面α和β內(nèi)作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB所成的角稱為二面角的平面角.圖示范圍0°≤∠AOB≤180°規(guī)定①二面角的大小用它的平面角_的大小來度量，即二面角的大小等于它的平面角的大小.平面角是直角的二面角稱為直二面角.②一般地，兩個(gè)平面相交時(shí)，它們所成角的大小，指的是它們所形成的4個(gè)二面角中，不大于90°的角的大小.知識(shí)點(diǎn)二：平面與平面垂直1．平面與平面垂直(1)定義：一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．(2)畫法：(3)記作：α⊥β.2.平面與平面垂直的判定定理（簡稱面面垂直的判定定理）：文字語言如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直圖形語言符號(hào)語言l⊥α，l?β?α⊥β知識(shí)點(diǎn)三：平面與平面垂直的性質(zhì)定理(簡稱面面垂直的性質(zhì)定理)文字語言兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直符號(hào)語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝l,a?α,a⊥l))?a⊥β圖形語言作用①面面垂直?線面垂直②作面的垂線題型1面面垂直的概念辨析【方法總結(jié)】理解面面垂直的判定定理注意以下幾點(diǎn)：（1）定理可簡記為“線面垂直，則面面垂直”，因此要證明平面與平面垂直，只需在其中一個(gè)平面內(nèi)找另一個(gè)平面的垂線，即證“線面垂直”.（2）兩個(gè)平面垂直的判定定理，不僅僅是判定兩個(gè)平面垂直的依據(jù)，而且是找出垂直于一個(gè)平面的另一個(gè)平面的依據(jù).（3）要證a⊥β，可證α經(jīng)過β的某一條垂線，也可證明β經(jīng)過α的某一條垂線．◆類型1概念辨析【例題1-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）下列不能確定兩個(gè)平面垂直的是（

）A．兩個(gè)平面相交，所成二面角是直二面角B．一個(gè)平面垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的一條直線C．一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線D．平面α內(nèi)的直線a垂直于平面β內(nèi)的直線b【答案】D【分析】直接利用面面垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用即可得到答案【詳解】解：對于A：兩個(gè)平面所成二面角是直二面角，兩個(gè)平面垂直，故正確；對于B：一個(gè)平面垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，即這條直線垂直于一個(gè)平面，所以經(jīng)過這條直線的平面與另一個(gè)平面垂直，故正確；對于C：一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直，故正確；對于D：如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，平面A1DC故選：D【變式1-1】1．（多選）（2022春·江蘇南通·高一金沙中學(xué)?？计谀┰O(shè)α和β為不重合的兩個(gè)平面，下列說法中正確的是（

）A．若α外一條直線l與α內(nèi)的一條直線平行，則l和α平行B．直線l與α垂直的充要條件是l與α內(nèi)的兩條直線垂直C．若α內(nèi)的兩條相交直線分別平行于β內(nèi)的兩條直線，則α平行于βD．設(shè)α和β相交于直線l，若α內(nèi)有一條直線垂直于l，則α和β垂直【答案】ACD【分析】由線面平行、面面平行或垂直的判定判斷A、C、D的正誤，舉反例判斷B.【詳解】A：由l?α且直線l與α內(nèi)的一條直線平行，根據(jù)線面平行的判定知：B：若l與α內(nèi)的兩條平行直線垂直，推不出直線l與α垂直，錯(cuò)誤；C：如下圖示，相交直線m,n?α、m'而同一平面內(nèi)m',n'必相交，D：由α∩β=l，若α內(nèi)有一條直線垂直于故選：ACD【變式1-1】2．（多選）（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知空間中兩個(gè)不同的平面α,β，兩條不同的直線m,A．若m⊥n，則α⊥β C．若m,n相交，則α,β相交 【答案】CD【分析】利用空間中線線、線面關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)，如圖所示：m?α,n?β，B選項(xiàng)，如圖所示：若m?α,n?β，C選項(xiàng)，若m?α,n?D選項(xiàng)，由面面垂直的判定定理即可得若m⊥β，m?故D正確.故選：CD.【變式1-1】3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)m，n是不同的直線，α、β、γ是不同的平面，有以下四個(gè)命題：①α//βα//γ?βA．①④ B．②③C．①③ D．②④【答案】C【分析】根據(jù)線面，面面平行和垂直的判定定理，性質(zhì)定理逐項(xiàng)進(jìn)行分析即可求解.【詳解】若α//β，α//若m//α，α⊥β，則m//β或m與因?yàn)閙//β，所以β內(nèi)有一直線l與m平行，而m⊥α，則若m//n，n?α，則故選：C.【變式1-1】4．（2018秋·湖南岳陽·高一統(tǒng)考期末）已知直線m⊥平面α，n表示直線，β表示平面，有以下四個(gè)結(jié)論：①α⊥β?m//β；②m//n，n?βA．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)線線，線面的位置關(guān)系，線面垂直的性質(zhì)，面面的位置關(guān)系及面面垂直的判定定理，逐項(xiàng)分析即得.【詳解】對于①，α⊥β?對于②，m//n，m⊥α?n⊥對于③，m⊥α，對于④，若β與m相交，則β與α相交或平行，故④錯(cuò)誤.故正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是2.故選：C.◆類型2垂直應(yīng)用【例題1-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知PA⊥平面ABCD，四邊形ABCDA．2對 B．3對 C．4對 D．5對【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，逐面判定，即可求解.【詳解】由PA⊥平面ABCD，因?yàn)镻A?平面PAB，且PA?所以平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面又由BC?平面ABCD，所以PA因?yàn)锳BCD為矩形，所以AB⊥BC，且PA∩AB=又因?yàn)锽C?平面PBC，所以PBC⊥平面同理可得CD⊥平面PAD，且CD⊥平面PCD，所以平面PCD⊥由ABCD為矩形，所以AB⊥AD，AB⊥可得AB⊥平面PAD又由AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面綜上可得，共有5對相互垂直的平面.故選：D.【變式1-2】1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）PA垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB,①平面PAB⊥平面PBC；

②平面PAB⊥平面③平面PAB⊥平面PCD；

④平面PAB⊥平面A．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】A【分析】由面面垂直的判定方法結(jié)合已知條件逐個(gè)分析判斷.【詳解】對于①，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥BC，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以AB⊥BC，因?yàn)镻A∩AB=A，PA,AB?平面PAB對于②，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PA⊥AD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以AB⊥AD，因?yàn)镻A∩AB=A，PA,AB?平面PAB對于③，假設(shè)平面PAB⊥平面PCD，設(shè)平面PAB∩平面PCD=l，因?yàn)锳B∥CD，AB?平面PAB，CD?平面PAB，所以CD∥平面PAB，因?yàn)镃D?平面PCD，平面PAB∩平面PCD=l，所以CD∥l，所以AB∥l，因?yàn)橐驗(yàn)镻A⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以對于④，假設(shè)平面PAB⊥平面PAC，因?yàn)槠矫鍼AB∩平面PAC=PA，PA⊥AB，AB?平面PAB，所以AB⊥平面PAC，因?yàn)楣蔬x：A．【變式1-2】2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?A1【答案】平面A1B1CD【分析】作出輔助線，證明線面垂直，從而證明出平面A1B1CD⊥平面ABC1D1，同理可證明平面【詳解】連接面對角線，因?yàn)锳B⊥平面BCC1B1所以AB⊥B又因?yàn)锽1C⊥BC1，所以B1C⊥平面因?yàn)锽1C?所以平面A1B1同理可知平面BCC1B1⊥平面ABC故答案為：平面A1B1CD，平面【變式1-2】3.下列五個(gè)正方體圖形中，l是正方體的一條對角線，點(diǎn)M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出l⊥面MNP的圖形的序號(hào)是________(寫出所有符合要求的圖形的序號(hào)).[答案]①④⑤[解析]①④易判斷，⑤中△PMN是正三角形且AM＝AP＝AN，因此，三棱錐A－PMN是正三棱錐，所以圖⑤中l(wèi)⊥平面MNP，由此法還可否定③.∵AM≠AP≠AN，也易否定②．【變式1-2】4.已知平面ABC外一點(diǎn)P，且PH⊥平面ABC于H.給出下列4個(gè)命題：①若PA⊥BC，PB⊥AC，則H是△ABC的垂心；②若PA、PB、PC兩兩互相垂直，則H是△ABC的垂心；③若∠ABC＝90°，H是AC的中點(diǎn)，則PA＝PB＝PC；④若PA＝PB＝PC，則H是△ABC的外心．其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4[答案]D[解析]如圖，PH⊥平面ABC于H，PA⊥BC，PB⊥AC，AH⊥BC，BH⊥AC，所以H是△ABC的垂心；對于②，易知PB⊥平面PAC，所以PB⊥AC，同理，PA⊥BC，同①，所以H是△ABC的垂心；對于③，∠ABC＝90°，H是AC的中點(diǎn)，所以HA＝HC＝HB，又∠PHA＝∠PHB＝∠PHC＝90°，所以PA＝PB＝PC；對于④，∠PHA＝∠PHB＝∠PHC＝90°，PA＝PB＝PC，所以HA＝HC＝HB，即H是△ABC的外心．①②③④都正確，故選D．【變式1-2】5．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BAD=∠BDC=90°，將△ABD沿BD①直線BC⊥直線AD②直線CD⊥直線③直線CD⊥平面ABD④平面ACD⊥平面A．①② B．②③ C．③④ D．②③④【答案】D【分析】利用垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，逐一判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】取BD的中點(diǎn)E．連AE，則AE⊥BD，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AE?∴AE⊥BC，假設(shè)BC⊥AD，因?yàn)锳D與AE交于E∴BC⊥BD，這與∠BDC=90°相矛盾，故假設(shè)不成立，即直線BC與直線AD垂直不成立．由平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，CD?平面BCD，且CD⊥BD，可得CD⊥平面ABD，又AB?平面故選：D．【變式1-2】6．（多選）（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知正方體ABCD?A1B1C1D1，過對角線BD1①平面α分正方體所得兩部分的體積相等；②四邊形BFD③平面α與平面DBB④四邊形BFD其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】ABD【分析】利用正方體的對稱性判斷①，利用平行平面的性質(zhì)判斷②，當(dāng)E,F為棱中點(diǎn)時(shí)，由線面垂直可得面面垂直從而判斷③，設(shè)AE=【詳解】如圖：①由正方體的對稱性可知，平面α分正方體所得兩部分的體積相等，①正確；②因?yàn)槠矫鍭BB1A1∥平面CC1D1D，平面BF因?yàn)槠矫鍭DD1A1∥平面BCC1B1，平面BFD所以四邊形BFD③在正方體ABCD?A1B1又BD∩BB1=B，BD,當(dāng)E,F分別為棱AA1,CC又EF?平面BFD1E，所以平面④設(shè)AE=x，正方體棱長為1，則BE=1+x2，在△BED1所以sin∠BE由②得四邊形BFD所以SBF所以當(dāng)x=0或1時(shí)，SBFD綜上①②④正確，故選：ABD【點(diǎn)睛】本題考查正方體的截面的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是由截面表示出相應(yīng)的量與相應(yīng)的關(guān)系，如果空間想象能力豐富，結(jié)論易得.由正方體對稱性，①正確，從運(yùn)動(dòng)角度考慮，當(dāng)E從A運(yùn)動(dòng)到A1【變式1-2】7．（多選）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）如圖所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A,D分別是BF,CE上的點(diǎn)，且A．AC//平面B．B,C．若EF⊥CF，則平面ADEFD．平面BCE與平面BEF可能垂直【答案】BD【分析】連接BD,AC交于點(diǎn)O，取BE的中點(diǎn)M，可證得四邊形AOMF為平行四邊形，可知AC//MF，由線面平行的判定可知A正確；假設(shè)B,C,E,F四點(diǎn)共面，可證得BC//平面ADEF，由線面平行性質(zhì)可知AD//EF，與已知矛盾，知B錯(cuò)誤；首先證得EF⊥平面CDF，從而得到EF⊥CD，結(jié)合CD⊥【詳解】對于A，如圖①，連接BD,AC交于點(diǎn)O，取BE的中點(diǎn)M，連接∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴O為BD中點(diǎn)，又M為BE中點(diǎn)，∴OM//又AF//DE，AF=12∴四邊形AOMF平行四邊形，∴AC∵M(jìn)F?平面BEF，AC?平面BEF，∴對于B，假設(shè)B,由題意知：四邊形ABCD為矩形，則BC//∵AD?平面ADEF，BC?平面ADEF，∴∵平面ADEF∩平面BCEF=EF，∴BC//則四邊形ADEF為平行四邊形，與已知矛盾，故假設(shè)不成立，B錯(cuò)誤；對于C，如圖①，在梯形ADEF中，連接FD．∵AF⊥AD，ED∵DE2又EF⊥CF，CF∩DF=∴EF⊥平面CDF，又CD?平面CDF又CD⊥AD，AD與EF必有交點(diǎn)，∴CD∵CD?平面ABCD，∴平面ADEF⊥對于D，如圖②，延長AF至點(diǎn)G，使得AF=FG，連接∵AD⊥AF，AD⊥AB，AF∩AB=A又BC//AD，∴BC⊥平面ABF，又BC?平面BCE，∴假設(shè)平面BCE⊥平面BEF，則平面BEF//平面∵平面BEF∩平面ABF=BF故選：BD．【變式1-2】8．（多選）（2022春·山東淄博·高一統(tǒng)考期末）如圖，棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1的外接球的球心為O，E、FA．對于任意點(diǎn)G，OA//平面B．存在點(diǎn)G，使得平面OAD⊥平面C．直線EF被球O截得的弦長為10D．過直線EF的平面截球O所得的截面圓面積的最小值為π【答案】BC【分析】A選項(xiàng)，舉出反例；B選項(xiàng)，取G為BC的中點(diǎn)時(shí)，證明OD⊥平面EFG，再結(jié)合面面垂直的判定定理可得出結(jié)論；C選項(xiàng)，求出球心到EF的距離，利用垂徑定理求解；D選項(xiàng)，結(jié)合C選項(xiàng)中的求解得到球心O到截面的距離d【詳解】對于A選項(xiàng)，當(dāng)G與B重合時(shí)，A∈平面EFB，O?平面EFB，此時(shí)直線OA與平面對于B選項(xiàng)，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，則AC⊥當(dāng)G為BC的中點(diǎn)時(shí)，EG//AC，則∵BB1⊥平面ABCD，EG?因?yàn)锽D∩BB1=因?yàn)锽1D?平面BB1因?yàn)镋G∩FG=G，所以B1D⊥∵OD?平面ODA，故平面OAD⊥對于C選項(xiàng)，取EF的中點(diǎn)M，∵OA=OB=3，E∴OE=OA2因?yàn)镃C1⊥平面ABCD，CE?平面所以，EM=12球O的半徑為R=3，所以直線EF的被球O截得的弦長為設(shè)截面圓半徑為r，球心O到截面的距離為d，則r2因?yàn)閐≤OM=22故選：BC.題型2面面垂直的證明【方法總結(jié)】證明平面與平面垂直證明面面垂直的方法：（1）證明兩個(gè)半平面構(gòu)成的二面角的平面角為90°；（2）證明一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，將證明面面垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直的問題.2.利用判定定理證明兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般方法是先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若圖形中不存在這樣的垂線，則可通過作輔助線來解決，而作輔助線則應(yīng)有理論根據(jù)并且要有利于證明.【例題2】如圖，在邊長為a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求證：平面PDB⊥平面PAC.【答案】證明見解析【分析】證明PC⊥BD，AC⊥BD，結(jié)合面面垂直的判定證明即可.【詳解】∵PC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PC⊥BD.∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，又PC∩AC＝C，PC，AC?平面PAC，∴BD⊥平面PAC.∵BD?平面PDB，∴平面PDB⊥平面PAC.【變式2-1】1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知三棱錐S－ABC中，側(cè)棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°，求證：平面ABC⊥平面ASC.【答案】證明見解析【分析】作SH⊥AC交AC于點(diǎn)H，由全等三角形的性質(zhì)得出SH⊥BH，結(jié)合面面垂直的判定證明即可.【詳解】作SH⊥AC交AC于點(diǎn)H，連接BH，∵SA＝SC，∴AH＝HC.在Rt△ABCC中，H是AC的中點(diǎn)，∴又SH＝SH，SA＝SB，∴△SAH≌△SBH(SSS)，∴SH⊥BH，又AC∩BH＝H，AC，BH?平面ABC，∴SH⊥平面ABC，又SH?平面ASC，∴平面ABC⊥平面ASC.【變式2-1】2．（2021春·陜西漢中·高一統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點(diǎn)，BE⊥(1)證明：平面AEC⊥(2)若∠ABC=120°，AE⊥EC，【答案】(1)證明見解析(2)6【分析】（1）由已知線面垂直得BE⊥（2）VG?AED=V【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AC∵BE⊥平面ABCD，∴BE∵BD∩BE=B∴AC又AC?∴平面AEC⊥（2）在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，AB=2，可得AG∵AE∴在Rt△AEC中，可得AG由BE⊥平面ABCD，BG?平面ABCD，得所以△EBG∴點(diǎn)E到平面AGD的距離BE=∵S∴V【變式2-1】3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖,在四棱錐P－ABCD中,四邊形ABCD是菱形,PA=PC,E為PB的中點(diǎn)．求證:(1)PD∥平面AEC;(2)平面AEC⊥平面PBD．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】(1)設(shè)AC∩BD=O,連接(2)根據(jù)PA=PC可得AC⊥PO,根據(jù)四邊形ABCD為菱形,可得AC⊥【詳解】（1）設(shè)AC∩BD=因?yàn)镺,E分別為BD,PB的中點(diǎn),所以PD∥又因?yàn)镻D?平面AEC,EO?平面所以PD∥平面AEC．（2）連接PO,如圖所示:因?yàn)镻A=PC,O為AC的中點(diǎn),所以又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,所以AC⊥因?yàn)镻O?平面PBD,BD?平面PBD,且所以AC⊥平面PBD,又因?yàn)锳C?平面所以平面AEC⊥平面PBD【變式2-1】4．（2022春·河南洛陽·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，E是側(cè)面AA1(1)EF∥平面ABC；(2)平面AEF⊥平面【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）連接A1B和A1C，證明EF∥（2）依題意，可證EF⊥AA1,EF⊥AD,從而可證得【詳解】（1）連接A1B和A1C，因?yàn)镋、所以E、F分別是A1所以EF∥又BC?平面ABC，EF?平面故EF∥平面ABC﹔（2）∵三棱柱ABC?∴AA1⊥平面ABC，BC∴AA1⊥∴AA又D是棱BC的中點(diǎn)，且△ABC為正三角形，所以BC由EF∥BC得而AA1∩AD=A,又EF?平面AEF，故平面AEF⊥平面【變式2-1】5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E，M分別為棱PB，CD(1)EM//平面PAD；(2)平面AEF⊥平面PBC【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）通過構(gòu)造平行四邊形的方法，結(jié)合線面平行的判定定理證得EM//平面PAD；（2）通過證明AE⊥平面PBC來證得平面AEF⊥平面【詳解】（1）如圖，取PA的中點(diǎn)G，連接EG，GD.∵E為棱PB的中點(diǎn)，∴EG//又M為棱CD的中點(diǎn)，且底面ABCD為正方形，∴DM//AB∴DM//EG∴四邊形DMEG為平行四邊形，則EM//又DG?平面PAD，EM?平面∴EM//平面（2）∵E為棱PB的中點(diǎn)，PA=AB∵PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD又BC⊥AB，AB∩PA=∴BC⊥平面∵AE?平面PAB，∴∵PB∩BC=B∴AE⊥平面∵AE?平面AEF，∴平面AEF⊥【變式2-1】6．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1⊥底面(1)證明：AC1//平面(2)若四邊形BCC1B1是正方形，A1【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）欲證明AC1//平面B1CD（2）欲證明平面A1C1【詳解】（1）易知D,E分別為∴DE是△ABC∵DE?平面B1∴AC1//（2）∵CC1⊥底面A1又∵A1C1⊥∴A1C又B1C?平面∵四邊形BCC1B∵A1C1∩∴B1C又B1C?平面B1CD,∴【變式2-1】7．（2020春·江蘇泰州·高一江蘇省口岸中學(xué)校考期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，OP=OC，PA⊥PD.求證：(1)直線PA∥平面BDE；(2)平面BDE⊥平面PCD.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，結(jié)合中位線定理，可得答案；（2）利用平行線的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)線面垂直判定定理，結(jié)合面面垂直判定定理，可得答案.【詳解】（1）如圖，連接OE，因?yàn)镺為平行四邊形ABCD對角線的交點(diǎn)，所以O(shè)為AC的中點(diǎn).又E為PC的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥因?yàn)镺E?平面BDE，PA?平面BDE，所以直線（2）因?yàn)镺E∥因?yàn)镺P=OC，E為PC的中點(diǎn)，所以O(shè)E⊥PC.又PD?平面PCD，PC?平面PCD，因?yàn)镺E?題型3面面垂直證明線面垂直【方法總結(jié)】對面面垂直的性質(zhì)定理的理解①定理成立的條件有兩個(gè)：a.直線在其中一個(gè)平面內(nèi)；b.直線與兩平面的交線垂直②定理的實(shí)質(zhì)是由面面垂直得線面垂直，故可用來證明線面垂直.③處理面面垂直的問題時(shí)，通常經(jīng)過此定理轉(zhuǎn)化為線面垂直.【例題3】（2021春·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）圖甲所示的平面五邊形PABCD中，PD=PA，AC=CD=BD=5，AB=1，AD=2，PD⊥(1)求證：PD⊥平面PAB(2)求三棱錐P?【答案】(1)證明見解析；(2)23【分析】（1）先證明AB⊥AD，再由面面垂直的性質(zhì)得出AB⊥平面PAD（2）證明PO是三棱錐的高，再由體積公式計(jì)算即可.【詳解】（1）∵AB∴∴∵平面PAD⊥平面ABCD，AD是交線，AB?平面∴AB⊥又∵PD?平面PAD又∵PD⊥PA,PA∴PD⊥平面（2）取AD中點(diǎn)O，連接OP,由PD=PA，可知又平面PAD⊥平面ABCD，AD是交線，OP?平面∴OP⊥平面ABCD，即三棱錐P?由PD=PA，AD=2，PD由AC=CD知∴CO∴S∴V【變式3-1】1.已知P是△ABC所在平面外的一點(diǎn)，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求證：BC⊥AC.[證明]如圖，在平面PAC內(nèi)作AD⊥PC于點(diǎn)D，∵平面PAC⊥平面PBC，AD?平面PAC，且AD⊥PC，∴AD⊥平面PBC，又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，又AC?平面PAC，∴BC⊥AC.【變式3-1】2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D－ABC.求證：BC⊥平面ACD.【答案】證明見解析【分析】由幾何關(guān)系證明BC⊥AC，再由面面垂直的性質(zhì)BC⊥平面ACD.【詳解】如題圖(1)，在梯形ABCD中，AD＝CD＝2，∠ADC＝90°，過C作CE⊥AB，E為垂足，∴四邊形AECD為正方形，∴CE＝AE＝EB＝2，∴∠ACE＝∠BCE＝45°，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，如題圖(2)，平面ACD⊥平面ABC且平面ACD∩平面ABC＝AC，又BC?平面ABC且BC⊥AC，∴BC⊥平面ACD.【變式3-1】3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在正三棱柱ABC?A1B1C1(1)求證：EF//平面B(2)求證：BC1⊥【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用三角形的中位線定理及線面平行的判定定理即可求解；（2）利用等腰三角形的三線合一定理及面面垂直的性質(zhì)定理及線面垂直的性定理，結(jié)合線面垂直的判定定理即可求解.【詳解】（1）連接A1因?yàn)镕是AB所以F為A1B的中點(diǎn)，又因?yàn)镋為所以EF//因?yàn)锽C1?平面B所以EF//平面B（2）在矩形BCC所以tan∠CBC1所以∠CBCC1在正三棱柱ABC?A1B1因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，AB=AC，所以因?yàn)槠矫鍭BC∩平面BB1C1因?yàn)锽C1?平面B又因?yàn)锳M∩B1M=所以BC1⊥【變式3-1】4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，F(xiàn)A(1)求證：CE//平面(2)求證：BE⊥平面【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用線面平行的判定定理直接進(jìn)行證明即可；（2）首先利用面面垂直的性質(zhì)定理得到FA⊥平面ABCD，即EO⊥平面ABCD，然后分別利用勾股定理證明BE【詳解】（1）如圖，設(shè)正方形ABCD的對角線AC與BD交于O，連FO.∵AB=BC=2∵EF=OC∴CEFO∴CE又∵∴CE（2）∵平面ABCD⊥平面ACEFFA⊥AC，F(xiàn)A?平面ACEF連接EO，由（1）易知AOEF是邊長為1的正方形，故EO//FA，得∴EO∴△BDE為等腰三角形，BE＝∵B同理，在△BEF中，BE∵DE∩EF＝E，DE?平面∴BE題型4面面垂直證明線線垂直【例題4】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，CD∥AB,∠ABC=90°(1)求證：BD⊥(2)設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l，PA,PB的中點(diǎn)分別為E,F，證明：【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）證明AD⊥BD，繼而根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明BD⊥（2）延長AD,BC交于點(diǎn)M，連接DE,DF,證明PM∥【詳解】（1）證明：∵CD∵設(shè)BC=CD=2，∴BD=22∴∠DBA=45°，∴∴AD2+∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BD⊥平面PAD，∵PA?平面∴BD⊥（2）延長AD,BC交于點(diǎn)M，連接∵CD∥AB,∵PA的中點(diǎn)為E，∴DE∥PM，PM不在平面∵DE?平面DEF，∴PM∥平面又P,M∈平面PAD，P∴平面PAD∩平面PBC=PM∴l(xiāng)∥平面DEF【變式4-1】1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD是等腰梯形，∠ABC＝60°，AB∥CD，CB＝CD＝1．點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱AB上的一點(diǎn)，且AB＝4AF，平面PBC⊥平面ABCD．(1)證明：AC⊥PB；(2)證明：EF∥平面PAD．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由條件可證梯形中AC⊥BC，再結(jié)合面面垂直的性質(zhì)即可證明；（2）取棱PD中點(diǎn)為G，可證明EF∥AG，結(jié)合線面平行的判定定理即可證明結(jié)果.【詳解】（1）由條件易得：AD＝DC＝1，∠ADC＝120°，則AC2=1+1?2×1×1×cos∠ABC＝120°，由余弦定理可知：AB＝2，則∠ACB＝90°，所以AC⊥BC．又平面PBC⊥平面ABCD，且平面PBC∩平面ABCD＝BC，且AC?平面ABCD，則AC⊥平面PBC，又PB?平面PBC，所以AC⊥PB；（2）由（1）可知AB＝2．取棱PD中點(diǎn)為G，連接EF、EG、AG，因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，所以EG∥DC，且EG＝12又AF=14所以EG∥AF，且EG＝AF，所以四邊形AFEG為平行四邊形，所以EF∥AG．又EF?平面PAD，且AG?平面PAD，則EF∥平面PAD．【變式4-1】2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，△ABC為邊長為2的正三角形，D為BC的中點(diǎn)，(1)證明：C1(2)求三棱錐B1【答案】(1)證明見解析(2)1【分析】（1）在△C1CD中，利用余弦定理可求得C（2）由面面平行性質(zhì)可知點(diǎn)A到平面A1B1C1的距離即為點(diǎn)D【詳解】（1）∵D為BC中點(diǎn)，BC=2，∴CD=1，又∴C1D2=又平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB∴C1D⊥平面ABC，又AB?（2）由三棱柱結(jié)構(gòu)特征可知：平面ABC//平面A∴點(diǎn)A到平面A1B1C1的距離即為點(diǎn)D又S△∴V【變式4-1】3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，三棱柱ABC?A1B1C1，側(cè)面A1ABB1⊥底面ABC，側(cè)棱BB1=2，BA=1，∠AB(1)求證：EF//平面C(2)求證：AB【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由三棱柱中OF//OE，OF=（2）由三角形的邊角關(guān)系得AB⊥【詳解】（1）證明：設(shè)A1B∩AB1因?yàn)镺，F(xiàn)分別為A1B，A1B1因?yàn)镋為CC所以CE=12所以O(shè)F//OE，則四邊形CEFO為平行四邊形，故EF//OC，因?yàn)镺C?平面CB1故EF//平面C（2）證明：因?yàn)椤螦BB1=60°，A所以AB所以∠B1AB因?yàn)槠矫鍭1ABB1⊥平面ABCAB1所以AB1⊥平面ABC，又BC故AB【變式4-1】4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA=PC=(1)求證：BD⊥(2)求證：EF//【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；【分析】（1）先由平面PAC⊥平面ABCD證明BD⊥平面（2）取G為PD中點(diǎn)，連接GF,GA，先證明四邊形AEFG為平行四邊形，可得【詳解】（1）由題意，正方形ABCD，故BD⊥又平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCDBD?平面ABCD故BD⊥平面PAC，又PC?平面故BD⊥（2）取G為PD中點(diǎn)，連接GF,由題意，E，F(xiàn)分別是線段AB，PC的中點(diǎn)．故GF為△PCD的中位線，GF又AE//DC,即四邊形AEFG為平行四邊形，故AG//又EF?平面PAD，AG?平面故EF//【變式4-1】5．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在矩形ABCD中，AB=2AD，M為CD的中點(diǎn).將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM.點(diǎn)(1)求證：平面BDO⊥平面ABCM(2)求證：AD【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由題意，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合面面垂直性質(zhì)定理，可得線面垂直，再根據(jù)面面垂直判定定理，可得答案；（2）由題意，根據(jù)勾股定理，可得線線垂直，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的判定定理與性質(zhì)，可得答案.【詳解】（1）證明：在矩形ABCD中，AB=2AD，M為CD的中點(diǎn)，∴AD=DM，O是∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，∵DO?平面BDO，∴平面BDO⊥平面（2）證明：在矩形ABCD中，AB=2AD，M為CD的中點(diǎn)，∴AM=BM=由（1）知，DO⊥平面ABCM，∵BM?平面ABCM，∴∵DO∩AM=O，DO?平面ADM，AM?平面又∵AD?平面ADM，∴AD題型5探索性問題【例題5】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，M為棱AC的中點(diǎn)，AB=BC，AC=2，【答案】存在，BN【分析】先判斷存在符合題意的點(diǎn)，即當(dāng)點(diǎn)N為BB1的中點(diǎn)即BNBB1=12時(shí)，平面【詳解】當(dāng)點(diǎn)N為BB1的中點(diǎn)，即BNBB1證明如下：設(shè)AC1的中點(diǎn)為D，連接DM，因?yàn)镈，M分別為AC1，所以DM//CC又N為BB1的中點(diǎn)，所以DM//所以四邊形BNDM為平行四邊形，故BM//因?yàn)锳B=BC，M為棱AC的中點(diǎn)，故又因?yàn)锳A1⊥故AA1⊥BM，由所以BM⊥平面ACC1A1又DN?平面AC1N，所以平面【變式5-1】1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖示，邊長為4的正方形ABCD與正三角形ADP所在平面互相垂直，M、Q分別是PC，AD的中點(diǎn)．(1)求證：PA//面BDM(2)求多面體P?(3)試問：在線段AB上是否存在一點(diǎn)N，使面PCN⊥面PQB？若存在，指出N【答案】(1)證明見解析(2)32(3)存在點(diǎn)N，N為AB中點(diǎn)【分析】（1）通過添加輔助線，利用線面平行的判定定理即可證明；（2）根據(jù)題意可得PQ⊥平面ABCD，故以正方形ABCD為底，PQ（3）當(dāng)N為AB中點(diǎn)時(shí)，利用面面垂直的判定定理即可證明.（1）證明：連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO，由正方形ABCD知O為AC的中點(diǎn)，∵M(jìn)為PC的中點(diǎn)，∴MO//PA，∵M(jìn)O?平面MBD，PA?（2）解：∵△APD為正三角形，Q為AD中點(diǎn)，故PQ⊥AD，又平面APD⊥平面ABCD，平面APD∩平面ABCD于AD故多面體P?ABCD的體積（3）存在點(diǎn)N，當(dāng)N為AB中點(diǎn)時(shí)，平面PQB⊥平面PNC∵四邊形ABCD是正方形，Q為AD的中點(diǎn)，∴BQ由（1）知，PQ⊥平面ABCD，NC?平面ABCD，又BQ∩PQ=Q，∴NC⊥平面PQB，∵NC?平面【變式5-1】2．（2022·高一單元測試）如圖，四邊形ABEF為正方形，若平面ABCD⊥ABEF，AD//BC，(1)在線段AD上是否存在點(diǎn)P，使平面EBP⊥平面EBC(2)求多面體ABCDEF的體積．【答案】(1)存在，理由見解析；(2)75【分析】（1）在線段AD上取一點(diǎn)P，使得DP=1，可證明四邊形PDCB是矩形，所以BP⊥BC，由面面垂直的性質(zhì)定理可得EB⊥面ABCD，EB⊥BP，再由線面垂直的判定定理可得BP⊥（2）將多面體分割為四棱錐D?ABEF和三棱錐E?(1)存在這樣的點(diǎn)P為線段AD靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)，使平面EBP⊥平面EBC證明如下：在線段AD上取一點(diǎn)P，使得DP=1，因?yàn)?BC=3所以DP=BC，又因?yàn)锳D?//?又因?yàn)锳D⊥DC，所以四邊形PDCB是矩形，所以因?yàn)樗倪呅蜛BEF為正方形，所以BE⊥因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，所以EB⊥面ABCD，因?yàn)锽P?平面ABCD，所以因?yàn)锽E∩BC=B，所以因?yàn)锽P?面EBP，所以平面EBP⊥平面(2)在Rt△ABP中，BP=CD可求得AB=BP2在Rt△ABP中，sin∠BAD=過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABCD∩平面ABEF=AB，DH⊥AB所以DH⊥面ABEF，所以DH即為四棱錐D所以DH=AD所以VDVE所以多面體ABCDEF的體積為VD【變式5-1】3．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中四邊形ABCD為平行四邊形，∠BAP=∠CDP(1)當(dāng)點(diǎn)M在線段PA上什么位置時(shí)，有DM⊥平面PAB(2)在（1）的條件下，點(diǎn)N在線段PB上什么位置時(shí)，有平面DMN⊥平面PBC【答案】(1)當(dāng)點(diǎn)M為線段PA的中點(diǎn)時(shí)，有DM⊥平面PAB(2)點(diǎn)N在線段PB的靠近點(diǎn)P的四等分點(diǎn)時(shí)，