高一數(shù)學(xué)講義（人教A版2019）543正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象（十一大題型）

5．4．3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識點(diǎn)梳理】 2【典型例題】 4題型一：正切函數(shù)的定義域問題 4題型二：正切函數(shù)的對稱性問題 6題型三：正切函數(shù)的周期性問題 8題型四：正切函數(shù)的單調(diào)性問題 10題型五：正切函數(shù)的最值與值域問題 13題型六：正切函數(shù)的奇偶性問題 15題型七：正切函數(shù)的圖像問題 17題型八：解不等式問題 21題型九：比較大小問題 23題型十：正切函數(shù)的綜合問題 26題型十一：根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍問題 30

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一：正切函數(shù)的圖象1、正切函數(shù)，且，圖象：知識點(diǎn)二：正切函數(shù)的性質(zhì)1、定義域：2、值域：由正切函數(shù)的圖象可知，當(dāng)且無限接近于時(shí)，無限增大，記作（趨向于正無窮大）；當(dāng)，無限減小，記作（趨向于負(fù)無窮大）．也可以從單位圓上的正切線來考慮．因此可以取任何實(shí)數(shù)值，但沒有最大值和最小值．稱直線，為正切函數(shù)的漸進(jìn)線．3、周期性：周期函數(shù)，最小正周期是4、奇偶性：奇函數(shù)，即．5、單調(diào)性：在開區(qū)間，內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增知識點(diǎn)詮釋：1、觀察正切函數(shù)的圖象還可得到：點(diǎn)是函數(shù)，，且的對稱中心，正切函數(shù)圖象沒有對稱軸2、正切函數(shù)在開區(qū)間，內(nèi)單調(diào)遞增，不能說正切函數(shù)在整個(gè)定義域上是增函數(shù)．知識點(diǎn)三、正切函數(shù)型的性質(zhì)1、定義域：將“”視為一個(gè)“整體”．令解得．2、值域：3、單調(diào)區(qū)間：（1）把“”視為一個(gè)“整體”；（2）時(shí)，函數(shù)單調(diào)性與的相同（反）；（3）解不等式，得出范圍．4、周期：【典型例題】題型一：正切函數(shù)的定義域問題【典例11】（2024·高一·陜西寶雞·期末）函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由正切函數(shù)的定義域，令，即，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C.【典例12】（2024·高一·湖南株洲·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)有意義，則滿足，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C.【方法技巧與總結(jié)】求三角函數(shù)定義域時(shí)，常常歸納為解三角不等式組，這時(shí)可利用基本三角函數(shù)的圖象求得解集．【變式11】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的定義域是()A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意得，即，所以，，所以，，故B項(xiàng)正確.故選:B.【變式12】（2024·高一·遼寧沈陽·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．或且【答案】C【解析】由已知可得且，解得且，所以函數(shù)的定義域是.故選：C.【變式13】（2024·高一·內(nèi)蒙古包頭·期末）函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意可得：，解得，函數(shù)的定義域?yàn)?故選：A.題型二：正切函數(shù)的對稱性問題【典例21】（2024·高一·山東濰坊·期末）函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則常數(shù)的一個(gè)取值為.【答案】（答案不唯一，滿足即可）【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，所以，解得，故答案為：（答案不唯一，滿足即可）【典例22】（2024·高一·山東威?！るA段練習(xí)）已知函數(shù)，的圖象的對稱中心是．【答案】【解析】由函數(shù)可得，，解得：，即的圖象的對稱中心是.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】正切曲線與軸的交點(diǎn)及其漸近線與軸的交點(diǎn)都是正切曲線的對稱中心，正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個(gè)周期．【變式21】（2024·高一·陜西·階段練習(xí)）已知函數(shù)圖象的兩個(gè)相鄰對稱中心之間的距離為，則．【答案】2【解析】由題意可得，即，則.故答案為：2.【變式22】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心為，則的值為．【答案】或【解析】由，得．又，則或．故答案為：或．【變式23】（2024·高一·廣東茂名·期末）已知函數(shù)，其最小正周期為，則的一個(gè)對稱中心的坐標(biāo)為．【答案】，（答案不唯一，橫坐標(biāo)只需符合）【解析】根據(jù)，得，則，令，即，所以．故答案為：（答案不唯一，橫坐標(biāo)只需符合）【變式24】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）已知，若函數(shù)為奇函數(shù)，則最小正數(shù)m的值為.【答案】【解析】因?yàn)椋艉瘮?shù)為奇函數(shù)，且正數(shù)m取到最小值，即把位于y軸右側(cè)的第一個(gè)對稱中心平移至坐標(biāo)原點(diǎn)，令，解得，當(dāng)時(shí)，則，即位于y軸右側(cè)的第一個(gè)對稱中心為，所以正數(shù)m取到最小值.故答案為：.題型三：正切函數(shù)的周期性問題【典例31】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的最小正周期為.【答案】【解析】依題意可知，故函數(shù)的最小正周期.故答案為：【典例32】（2024·高一·全國·單元測試）已知函數(shù)的圖象的相鄰兩支截直線所得線段長為，則，．【答案】40【解析】的圖象的相鄰兩支截直線所得線段的長度即為的一個(gè)周期，∴，，，∴．故答案為：4；0.【方法技巧與總結(jié)】一般地，函數(shù)的最小正周期為，常常利用此公式來求周期．【變式31】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為．【答案】【解析】函數(shù)的最小正周期為：故答案為：.【變式32】（2024·高一·江西吉安·期末）函數(shù)的最小正周期為．【答案】4【解析】設(shè)的最小正周期為，而.故答案為：4【變式33】（2024·高一·遼寧大連·期中）函數(shù)的圖象如圖所示，圖中陰影部分的面積為，則函數(shù)y=fx的解析式為.【答案】【解析】如圖所示.區(qū)域①和區(qū)域③面積相等，故陰影部分的面積即為矩形的面積，可得，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則，由題意可得，解得，故，可得，即，又的圖象過點(diǎn)，即，因?yàn)?，所以，解?故.故答案為：.【變式34】（2024·高一·河南許昌·階段練習(xí)）已知函數(shù)，y=fx的部分圖象如圖，則.【答案】【解析】由題意可知：的最小正周期，且，可得，又因?yàn)?，且，則，可得，即，且，即，可得，所以．故答案為：．題型四：正切函數(shù)的單調(diào)性問題【典例41】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為．【答案】【解析】先求出函數(shù)的定義域，然后利用復(fù)合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法求解即可由，得，令，則，因?yàn)樵?0,+∞)上為減函數(shù)，而在上為增函數(shù)，所以的單調(diào)減區(qū)間為，故答案為：．【典例42】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．【答案】【解析】根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可得，.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)（，，都是常數(shù)）的單調(diào)區(qū)間的方法若，由于在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上遞增，故可用“整體代換”的思想，令，，解得的范圍即可．若，可利用誘導(dǎo)公式先把的系數(shù)化為正值，再利用“整體代換”的思想，求得的范圍即可．【變式41】（2024·高一·上?！ｎ}練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．【答案】．【解析】令，，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是:．故答案為:．【變式42】（2024·高一·上?！て谥校┖瘮?shù)包含的一個(gè)嚴(yán)格增區(qū)間是．【答案】【解析】令，解得，可知函數(shù)嚴(yán)格增區(qū)間是，又因?yàn)榘?，可知，所以函?shù)包含的一個(gè)嚴(yán)格增區(qū)間是.故答案為：.【變式43】（2024·高一·全國·課堂例題）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．【答案】【解析】．由，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為故答案為：【變式44】（2024·高一·江西南昌·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】【解析】,解得，,當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，是減函數(shù)，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，故答案為：題型五：正切函數(shù)的最值與值域問題【典例51】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的最小值為.【答案】2【解析】因?yàn)椋捎?，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值2.故答案為：2【典例52】（2024·高一·上?！て谥校┖瘮?shù)，的最大值為.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)取得最大值，即.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】一般函數(shù)的值域求法有：觀察法、配方法、判別式法、反比例函數(shù)法等，而三角函數(shù)是函數(shù)的特殊形式，其一般方法也適用，只不過要結(jié)合三角函數(shù)本身的性質(zhì)．【變式51】（2024·高一·上海浦東新·期中）函數(shù)，的最大值與最小值之和為.【答案】【解析】令，，，則，因?yàn)閷ΨQ軸為，所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的最大值與最小值之和為.故答案為：.【變式52】（2024·高一·黑龍江哈爾濱·期末）函數(shù)在上的最大值為4，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，因此，解得，所以實(shí)數(shù)為.故答案為：.【變式53】（2024·高一·上海·課堂例題）求函數(shù)的最大值、最小值，并求函數(shù)取得最大值或最小值時(shí)自變量x的集合.【解析】令（，），則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號，所以，所以，時(shí)取到等號；當(dāng)時(shí)，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，所以，所以，時(shí)取到等號.所以，y的最小值為，此時(shí)，；y的最大值為3，此時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)為常數(shù)函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，自變量的集合為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，自變量的集合為.【變式54】（2024·高一·上?！ｎ}練習(xí)）求函數(shù)的最大值，并求當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，自變量的集合.【解析】因?yàn)?，令，則，，因?yàn)?，所以，即時(shí)，即，，即當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值題型六：正切函數(shù)的奇偶性問題【典例61】（2024·高一·甘肅蘭州·階段練習(xí)）函數(shù)是（

）A．最小正周期為的奇函數(shù) B．最小正周期為的奇函數(shù)C．最小正周期為的偶函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)【答案】B【解析】函數(shù)，定義域?yàn)?，，函?shù)為奇函數(shù)，其最小正周期.故選：B.【典例62】（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若0在定義域內(nèi)，由時(shí)，得，；若0不在定義域內(nèi)，由時(shí)，無意義，得．綜上，．故選：C．【方法技巧與總結(jié)】奇函數(shù)，即．【變式61】（2024·高一·湖北武漢·期中）已知函數(shù)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB長度的最小值為，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后恰好為奇函數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB長度的最小值為，可得函數(shù)的最小正周期為，所以，所以，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，可得，即，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，所以的值為或.故選：D.【變式62】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象，若為奇函數(shù)，則的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【解析】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，得因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，；因此，，結(jié)合，取得的最小值為2.故選：A.【變式63】（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知，，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且的最小值為，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知函數(shù)的最小正周期，則，得，.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到的圖象，要使該圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則，，所以，，又，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．故選：A【變式64】（2024·高一·河南鄭州·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】，則.故.故選：A題型七：正切函數(shù)的圖像問題【典例71】（2024·高一·北京昌平·期末）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A．1 B． C．3 D．【答案】C【解析】由圖知，得到，又由圖知，由，得到，又，所以，由，得到，所以，得到，故選：C.【典例72】（2024·高二·寧夏石嘴山·期末）有一個(gè)函數(shù)的圖象如圖，其對應(yīng)的函數(shù)解析式可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由圖象知，函數(shù)定義域?yàn)?，，對于A選項(xiàng)，定義域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，無意義，故C錯(cuò)誤；對于D，的定義域?yàn)?，，且，則的圖象關(guān)于軸對稱，所以符合題意.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】作正切型函數(shù)圖象應(yīng)注意的問題作的圖象一般是先作出其在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，由于在一個(gè)周期內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，不需要使用五點(diǎn)法，直接利用單調(diào)性作圖即可．【變式71】（2024·安徽·模擬預(yù)測）如圖，函數(shù)的部分圖象與軸相交于兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，且的面積為，則的值為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，又的面積為，函數(shù)的周期為，可得周期，故選：B.【變式72】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖像如圖所示，圖中陰影部分的面積為，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，①和②面積相等，故陰影部分的面積即為矩形的面積，可得，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則，由題意得，解得，故，得，即，的圖象過點(diǎn)，即，∵，則，∴，解得．∴∴.故選：A【變式73】（2024·高一·江西景德鎮(zhèn)·期末）函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】的周期為，排除A、C，當(dāng)時(shí)，，排除D.故選：B.題型八：解不等式問題【典例81】（2024·高一·廣西欽州·期中）不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意，得，解得，所以不等式的解集為.故選：A【典例82】（2024·高一·貴州遵義·期中）不等式的解集為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意得，，得.故選：C【方法技巧與總結(jié)】整體法，再利用圖像解決．【變式81】（2024·高一·四川成都·期中）已知角為斜三角形的內(nèi)角，，則的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】角為斜三角形的內(nèi)角，則，，即，故.故選：D.【變式82】（2024·高一·安徽阜陽·階段練習(xí)）滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C．， D．，【答案】D【解析】由，，故選：D【變式83】（2024·高三·北京豐臺(tái)·期末）如圖，函數(shù)的圖象為折線，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)，令，且，解得，，令，則，則hx在上單調(diào)遞增，，則，則當(dāng)時(shí)，，，則滿足，即，當(dāng)時(shí)，，且單調(diào)遞減，，且hx單調(diào)遞增，則x∈0,1時(shí)，，即；時(shí)，，即；綜上所述：的解集為，故選；C.【變式84】（2024·高一·陜西渭南·期末）已知且，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則即，解得，所以，當(dāng)時(shí)，則即，解得，所以，當(dāng)時(shí)，此時(shí)無意義，故舍去，綜上可得.故選：B題型九：比較大小問題【典例91】（2024·高一·北京延慶·期中）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槭氢g角，所以，，，因?yàn)?，?,π上是減函數(shù)，所以，而在上是增函數(shù)，可得，所以，所以，故選：A.【典例92】（2024·高一·山東東營·期末）下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于A，由知，故A錯(cuò)誤；對于B，顯然有，故B錯(cuò)誤；對于C，由有，故C錯(cuò)誤；對于D，由有，故D正確.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】比較兩個(gè)同名三角函數(shù)值的大小，先利用誘導(dǎo)公式把兩個(gè)角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較．【變式91】（2024·高一·遼寧大連·期中）設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，由函數(shù)在上單調(diào)遞增得，由函數(shù)在上單調(diào)遞減得，所以.即.故選：D【變式92】（2024·高一·北京門頭溝·期中）比較、、的大小關(guān)系（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，即.故選：D【變式93】（2024·高一·河南商丘·階段練習(xí)）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，又，且所以，故選：D.【變式94】（2024·高一·安徽·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由函數(shù)，因?yàn)椋院瘮?shù)為偶函數(shù)，令，其在上為單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，令在上為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，可得且，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，又由，，，根據(jù)單位圓圖形易知，則，所以.故選：A.題型十：正切函數(shù)的綜合問題【典例101】（2024·高一·河南·階段練習(xí)）函數(shù)，已知函數(shù)的圖象與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，且圖象關(guān)于點(diǎn)對稱．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求不等式的解集．【解析】（1）由題意知，函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)椋?，所以因?yàn)楹瘮?shù)y=fx的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，，即，，因?yàn)?，所以，故．令，，得，，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，無單調(diào)遞減區(qū)間．（2）由（1）知，．由，得，，即，

所以不等式的解集為：.【典例102】（2024·高一·安徽銅陵·期中）已知函數(shù)（）的最小正周期為．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若，，求．【解析】（1）由題可知，解得，所以，令，，可得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2），即，因?yàn)?，所以，所以，所以．【變?01】（2024·高一·重慶銅梁·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值；(2)求函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)時(shí)的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，而，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的最大值和最小值分別為和.（2）函數(shù)圖象的對稱軸為，依題意，或，解得或，又，解得或，所以的取值范圍是.【變式102】（2024·高一·廣東潮州·階段練習(xí)）已知函數(shù)與函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖中陰影部分的面積為4.(1)求的定義域（用區(qū)間表示）；(2)若是定義在上的函數(shù)，求關(guān)于的不等式的解集.【解析】（1）根據(jù)題意可得，解得，則.由，得，即的定義域?yàn)?（2）由（1）得，其定義域?yàn)?關(guān)于的不等式即，即.當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)?，所以成?當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在0,2上單調(diào)遞增，函數(shù)在0,2上單調(diào)遞增，所以hx在0,2上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所?綜上，關(guān)于的不等式的解集為.【變式103】（2024·高一·河南南陽·階