2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)試題（人教A版2019）431等比數(shù)列的概念（八大題型）

4．3．1等比數(shù)列的概念目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：等比數(shù)列的判斷 2題型二：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用 3題型三：等比數(shù)列的證明 5題型四：等比中項(xiàng)及應(yīng)用 6題型五：等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 7題型六：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣及應(yīng)用 8題型七：等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 10題型八：靈活設(shè)元求解等比數(shù)列問(wèn)題 11【重難點(diǎn)集訓(xùn)】 12【高考真題】 20【題型歸納】題型一：等比數(shù)列的判斷1．（2024·高二·上海浦東新·期末）已知是等數(shù)列，則下列數(shù)列必為等比數(shù)列的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，對(duì)于A，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的各項(xiàng)都為時(shí)，不是等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的各項(xiàng)都為時(shí)，不是等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的各項(xiàng)都為時(shí)，無(wú)意義，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)闉槌?shù)，所以數(shù)列一定是等比數(shù)列，故D正確；故選：D2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列為等比數(shù)列，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是（

）A．?dāng)?shù)列一定是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列一定是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列一定是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列一定是等比數(shù)列【答案】D【解析】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其通項(xiàng)公式為，所以是定值，所以數(shù)列一定是等比數(shù)列，選項(xiàng)正確;因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其通項(xiàng)公式為，所以是定值，所以數(shù)列一定是等比數(shù)列，選項(xiàng)正確;因?yàn)?，所以，所以?shù)列一定是等差數(shù)列，選項(xiàng)正確;當(dāng)時(shí)，，則不是等比數(shù)列，選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選:.3．（2024·高二·北京西城·期中）已知均為等比數(shù)列，則下列各項(xiàng)中不一定為等比數(shù)列的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)的公比為，的公比為，對(duì)于A，令，則，顯然不是等比數(shù)列；對(duì)于B，，故是等比數(shù)列；對(duì)于C，，故是等比數(shù)列；對(duì)于D，，故是等比數(shù)列.故選：A.4．（2024·高三·山東濟(jì)寧·開(kāi)學(xué)考試）“數(shù)列和都是等比數(shù)列”是“數(shù)列是等比數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若數(shù)列都是等比數(shù)列，設(shè)其公比分別為為常數(shù))，則，所以當(dāng)時(shí)，，為常數(shù)，由等比數(shù)列的定義知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故充分性成立；若數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)，當(dāng)，時(shí)，滿足，但都不是等比數(shù)列，故必要性不成立.所以“數(shù)列、都是等比數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A題型二：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用5．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，是等比數(shù)列圖象上的兩點(diǎn)，則．【答案】【解析】由題意知，，∴，∴，∴．故答案為：6．（2024·高二·甘肅蘭州·期中）在等比數(shù)列中，(1)已知，求(2)已知，求.【解析】（1）設(shè)公比為，則，所以，解得，由，所以可知或；（2）設(shè)公比為q，由題意得：，兩式相除得：，所以，又因?yàn)椋?，解?7．（2024·高二·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）在等比數(shù)列中：(1)若，，求和；(2)若，，求．【解析】（1）因?yàn)?，則，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．綜上所述：或.（2）因?yàn)?，則，即．又因?yàn)?，則，即．兩式相除得，所以．題型三：等比數(shù)列的證明8．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知數(shù)列中，．(1)求，并猜想的通項(xiàng)公式（不需證明）；(2)證明：數(shù)列是等比數(shù)列．【解析】（1）由得．結(jié)合可猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）因?yàn)?，所以為正?xiàng)遞增數(shù)列，所以，所以，故數(shù)列是等比數(shù)列．9．（2024·高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列和滿足，，，其中為常數(shù)，n為正整數(shù).(1)證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，數(shù)列不是等比數(shù)列；(2)試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列.【解析】（1）∵且，∴，．假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使數(shù)列是等比數(shù)列，則，即，即，得，矛盾．故對(duì)任意實(shí)數(shù)，數(shù)列不是等比數(shù)列．（2）∵，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列不是等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列．10．（2024·高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列.【解析】由，，可得．因?yàn)?，，所以，，所以是首?xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列．題型四：等比中項(xiàng)及應(yīng)用11．（2024·高二·四川綿陽(yáng)·期中）已知三個(gè)正數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為27，它們的平方和為91，則它們的公比為（

）A．或 B．3或 C． D．9或【答案】B【解析】不妨設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為，且，三個(gè)數(shù)的乘積為，由三個(gè)數(shù)的平方和為91，所以，解得，或，又，所以，或，故選：B12．（2024·高二·福建廈門·期末）已知等比數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C．3 D．【答案】C【解析】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，所以或，因?yàn)?，，所?故選：C.13．（2024·高二·陜西寶雞·期末）已知，，以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則B．若五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則C．若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則D．若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則【答案】C【解析】對(duì)于A，若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則，故A不符合題意；對(duì)于B，若五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則，且當(dāng)時(shí)，即成等差數(shù)列，故B不符合題意；對(duì)于CD，若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則，即，故C符合題意，D不符合題意.故選：C.題型五：等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用14．（2024·高二·海南?？凇て谀┬∶魍瑢W(xué)利用暑假時(shí)間到一家商場(chǎng)勤工儉學(xué)，該商場(chǎng)向他提供了三種付款方式：第一種，每天支付150元；第二種，第一天付10元，第二天付30元，第三天付50元，以后每天比前一天多20元；第三種，第一天付元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍）；如果小明預(yù)計(jì)工作12天，從總收入最高的角度，小明會(huì)選擇哪種方式領(lǐng)取報(bào)酬（

）A．第一種 B．第二種 C．第三種 D．無(wú)法判斷【答案】C【解析】第一種可以領(lǐng)取報(bào)酬元；第二種每天的報(bào)酬構(gòu)成以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，則第二種可以領(lǐng)取報(bào)酬元；第三種每天的報(bào)酬構(gòu)成以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，則第三種可以領(lǐng)取報(bào)酬元，因?yàn)椋瑥目偸杖胱罡叩慕嵌?，小明?huì)選擇第三種方式領(lǐng)取報(bào)酬．故選：C．15．（2024·高二·河南南陽(yáng)·期中）剛考入大學(xué)的小明準(zhǔn)備向銀行貸款a元購(gòu)買一臺(tái)筆記本電腦，然后上學(xué)的時(shí)候通過(guò)勤工儉學(xué)來(lái)分期還款．小明與銀行約定：每個(gè)月月末還一次款，分12次還清所有的欠款，且每個(gè)月還款的錢數(shù)都相等，貸款的月利率為t．則小明每個(gè)月所要還款的錢數(shù)為（

）元．A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)小明每個(gè)月所要還款的錢數(shù)為元，根據(jù)等額本息還款法得，第一個(gè)月末所欠銀行貸款為：，第二個(gè)月末所欠銀行貸款數(shù)為：；．．．，第12個(gè)月末所欠銀行貸款為：；由于分12次還清所有的欠款，所以，解得.故選：D．16．（2024·高二·廣東湛江·期中）某型號(hào)計(jì)算機(jī)的成本不斷降低，若每隔兩年該型號(hào)計(jì)算機(jī)價(jià)格降低，現(xiàn)在的價(jià)格是5400元，則6年后價(jià)格降低為（

）A．2200元 B．1600元 C．2400元 D．3600元【答案】B【解析】由題意可知，每隔兩年該型號(hào)計(jì)算機(jī)價(jià)格降低，所以6年后，價(jià)格降低為（元），故選：B題型六：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣及應(yīng)用17．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知等比數(shù)列{an}中，公比q＝2，若，則等于（

A． B． C． D．【答案】B【解析】由題設(shè)，，則且q＝2，則，而.故選：B18．（2024·高二·浙江·期末）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，是正項(xiàng)等比數(shù)列，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，，圖象中的孤立的點(diǎn)在一條直線上，而等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)形式，圖象中孤立的點(diǎn)在指數(shù)函數(shù)圖象上，如圖所示當(dāng)時(shí)，如下圖所示，當(dāng)公差時(shí)，如下圖所示，如圖可知當(dāng)時(shí)，，，，.故選：D19．（2024·高一·湖北·階段練習(xí)）等比數(shù)列為遞減數(shù)列，若，，則（

）A． B． C． D．6【答案】A【解析】，可得與為方程的兩個(gè)根，又，解得，，再利用通項(xiàng)公式即可得出.∵等比數(shù)列為遞減數(shù)列，，，∴與為方程的兩個(gè)根，解得，或，，∵，∴，，∴，則，故選:A.題型七：等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用20．（2024·高二·湖南永州·期中）在正項(xiàng)數(shù)列中，，且，則.【答案】【解析】，可得，所以，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，因?yàn)?，且，則，所以.故答案為：.21．（2024·高二·上?！て谥校┰诘缺葦?shù)列中，，且，則的值為.【答案】【解析】由已知數(shù)列為等比數(shù)列，則，即，所以，又，所以，故答案為：.22．（2024·高二·貴州貴陽(yáng)·競(jìng)賽）已知數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，且，則的最小值為.【答案】【解析】因?yàn)閿?shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，，設(shè)，則，則，由于是等比數(shù)列，所以也成等比數(shù)列，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.23．（2024·高二·河南周口·階段練習(xí)）若等比數(shù)列滿足，，則．【答案】112【解析】，故，解得，故．故答案為：11224．（2024·高二·江蘇揚(yáng)州·期中）已知數(shù)列1，,9是等比數(shù)列，數(shù)列1,9是等差數(shù)列，則=______．．【答案】【解析】數(shù)列1,,9是等比數(shù)列，可得=1×9，解得，由于1，，9均為奇數(shù)項(xiàng)，可得，即，數(shù)列1,9是等差數(shù)列，可得,則=．故答案為．25．（2024·高三·江蘇南通·階段練習(xí)）若數(shù)列是等比數(shù)列，且是與的等差中項(xiàng)，則.【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)槭桥c的等差中項(xiàng)，所以，所以，解得，所以故答案為：.題型八：靈活設(shè)元求解等比數(shù)列問(wèn)題26．（2024·高二·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）有四個(gè)正數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為48，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且最后一個(gè)數(shù)是25，求此四個(gè)數(shù)．【解析】設(shè)前三個(gè)數(shù)為.所以前三個(gè)數(shù)為因?yàn)楹笕齻€(gè)數(shù)成等比數(shù)列，所以，所以或.當(dāng)時(shí)，不滿足題意，所以舍去.所以這四個(gè)數(shù)為.27．（2024·高二·陜西延安·階段練習(xí)）有四個(gè)正數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為36，后三數(shù)成等比數(shù)列，其積為108.求這四個(gè)數(shù).【解析】設(shè)四個(gè)正數(shù)分別為a，b，c，d，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)可得，解得，所以這四個(gè)數(shù)分別為，12，，.28．（2024·高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為，它們的平方和為，求這三個(gè)數(shù)．【解析】不妨設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為、、，則這三個(gè)數(shù)的乘積為，這三個(gè)數(shù)的平方和為，整理可得，解得或.若，則這三個(gè)數(shù)分別為、、；若，則這三個(gè)數(shù)分別為、、；若，則這三個(gè)數(shù)分別為、、；若，則這三個(gè)數(shù)分別為、、.綜上，這三個(gè)數(shù)分別為、、或、、或、、或、、.【重難點(diǎn)集訓(xùn)】1．已知數(shù)列,均為正項(xiàng)等比數(shù)列，,分別為數(shù)列,的前項(xiàng)積，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】數(shù)列均為正項(xiàng)等比數(shù)列，設(shè)公比分別為；,分別為數(shù)列,的前項(xiàng)積，，,則.故選：A2．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（

）A．12 B．10 C．5 D．【答案】B【解析】由和可得，故，故選：B3．等比數(shù)列中，已知，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】A【解析】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，，，成等比數(shù)列，且公比為，所以．故選：A4．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，若存在兩項(xiàng)，使得，則的最小值為（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，即，解得或（舍去）．因?yàn)椋?，即，所以，所以或或所以的值為或或，所以的最小值為．故選：A．5．如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的和除以與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做“和差等比數(shù)列”已知是“和差等比數(shù)列”，，，則滿足使不等式的的最小值是（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】A【解析】依題意，，化簡(jiǎn)得，則數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，令，即，又，則，即，所以滿足使不等式的的最小值是8.故選：A.6．高斯（Gauss）被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱.小學(xué)進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，他這樣算的：，，，，共有50組，所以，這就是著名的高斯算法，課本上推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和的方法正是借助了高斯算法.已知正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，試根據(jù)提示探求：若，則（

）A．1010 B．2024 C．1012 D．2020【答案】C【解析】根據(jù)可得，所以；由等比數(shù)列性質(zhì)可得，因此可得.故選：C7．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，公比為，“”是“數(shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列”的（

）條件.A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分也非必要【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，取，則，顯然不是嚴(yán)格增數(shù)列，所以“”不能推出“數(shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列”；當(dāng)數(shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列時(shí)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，是擺動(dòng)數(shù)列，不符合要求，所以，若，則，若，則，所以“數(shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列”不能推出“”；綜上所述，“”是“數(shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列”的既非充分也非必要條件，故選：D.8．已知數(shù)列，，，則（

）A．8 B．16 C．24 D．64【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列為等比數(shù)列，（），所以.故選：D.9．（多選題）下列說(shuō)法正確的有（

）A．若數(shù)列為等差數(shù)列，其公差，則數(shù)列是遞增數(shù)列B．若數(shù)列為等比數(shù)列，其公比，則數(shù)列是遞減數(shù)列C．若數(shù)列為等差數(shù)列，則數(shù)列為等比數(shù)列D．若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則數(shù)列是等差數(shù)列【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由，可得，故單調(diào)遞增，正確；對(duì)于B，取，此時(shí)，由于，此時(shí)數(shù)列是遞增數(shù)列，錯(cuò)誤；對(duì)于C：等差數(shù)列公差為，由，為常數(shù)，故數(shù)列為等比數(shù)列，正確；對(duì)于D：由，令，可得：，可得：即：，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，正確，故選：ACD10．（多選題）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，.（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】AC【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，當(dāng)時(shí)，，故A正確；當(dāng)公差時(shí)，是常數(shù)列，，但與不一定相等，故B不正確；設(shè)等比數(shù)列的公比為，若“”，則，故C正確；當(dāng)公比時(shí)，是常數(shù)列，，但與不一定相等，故D不正確.故選：AC.11．（多選題）已知等比數(shù)列中，，，則（

）A．公比為 B．C．當(dāng)時(shí)， D．的前10項(xiàng)積為1【答案】ABD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，解得，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，，則，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由，可得的前10項(xiàng)積為，故D正確．故選：ABD.12．如圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案．圖形的作法是：從一個(gè)正三角形開(kāi)始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊．反復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程，就得到一條“雪花”狀的曲線．設(shè)原正三角形(如圖1)的邊長(zhǎng)為，把圖2，圖3，圖4中圖形依次記1級(jí)、2級(jí)、3級(jí)雪花曲線，則級(jí)雪花曲線的邊長(zhǎng)為，級(jí)雪花曲線的周長(zhǎng)為．【答案】/【解析】設(shè)級(jí)雪花曲線的邊長(zhǎng)為，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故級(jí)雪花曲線的邊長(zhǎng)為；設(shè)級(jí)雪花曲線的邊數(shù)為，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故級(jí)雪花曲線的邊數(shù)為，則級(jí)雪花曲線的周長(zhǎng)為，故答案為：；．13．在數(shù)列中，，若對(duì)于任意的恒成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為.【答案】【解析】由，得，又，故數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，則不等式可化為，令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；又，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，則，即實(shí)數(shù)的最小值為.故答案為：.14．已知數(shù)列滿足，若，則的通項(xiàng)公式為.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，則，即，，所以是從以首項(xiàng)公比為3的等比數(shù)列，則，此時(shí)，令，，所以，故答案為：.15．已知數(shù)列滿足且成等比數(shù)列，(1)求的通項(xiàng)公式：(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求的最小值及此時(shí)n的值．【解析】（1）由知為等差數(shù)列，設(shè)的公差為，則，成等比數(shù)列，所以，即，解得，又，所以的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）得，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為16．已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，并且滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：．【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由，，得，兩式相除，得，即，解得或（舍去），所以，所以．（2）證明：，所以，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以?7．1979年春，美籍華裔物理學(xué)家、諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者李政道博士，在訪問(wèn)中國(guó)科技大學(xué)時(shí)，向科大少年班學(xué)生提出了一個(gè)“五猴分桃”的趣題：有五只猴子在海邊發(fā)現(xiàn)一堆桃子，決定第二天來(lái)平分．第二天清晨，第一只猴子來(lái)了，它左等右等，見(jiàn)別的猴子還沒(méi)來(lái)，便自作主張把桃子分成相等的五份，分完后還剩一個(gè)，它便把剩下的那個(gè)順手扔到海里，自己拿了五份中的一份走了．第二只猴子來(lái)了，它不知道剛才發(fā)生的事，也把桃子分成相等的五份，還是多一個(gè)，它也扔掉一個(gè)，自己拿了一份走了．以后每只猴子來(lái)時(shí)也都遇到類似情形，也全都照此辦理．問(wèn)：原來(lái)至少有多少個(gè)桃子？最后至少有多少個(gè)桃子？【解析】設(shè)最初的桃子數(shù)為，5只猴子分剩的桃子數(shù)依次為，由題意得

①，設(shè)，即，對(duì)照①式，得，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．所以，所以，即．由于為整數(shù)，所以的最小值為，所以的最小值為．即最初至少有3121個(gè)桃子，從而最后至少剩下（個(gè)）桃子．18．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù)，，且.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值.【解析】（1）∵，∴，其中，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得，，∴，∵，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，∴，數(shù)列為遞增數(shù)列，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為.【高考真題】1．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)與是兩個(gè)不同的無(wú)窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合，給出下列4個(gè)結(jié)論：①若與均為等差數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素；②若與均為等比數(shù)列，則M中最多有2個(gè)元素；③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多有3個(gè)元素；④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.【答案】①③④【解析】對(duì)于①，因?yàn)榫鶠榈炔顢?shù)列，故它們的散點(diǎn)圖分布在直線上，而兩條直線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，故中至多一個(gè)元素，故①正確.對(duì)于②，取則均為等比數(shù)列，但當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，此時(shí)中有無(wú)窮多個(gè)元素，故②錯(cuò)誤.對(duì)于③，設(shè)，，若中至少四個(gè)元素，則關(guān)于的方程至少有4個(gè)不同的正數(shù)解，若，則由和的散點(diǎn)圖可得關(guān)于的方程至多有兩個(gè)不同的解，矛盾；若，考慮關(guān)于的方程奇數(shù)解的個(gè)數(shù)和偶數(shù)解的個(gè)數(shù)，當(dāng)有偶數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個(gè)偶數(shù)解，且有兩個(gè)偶數(shù)解時(shí)，否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個(gè)偶數(shù)解，當(dāng)有奇數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個(gè)奇數(shù)解，且有兩個(gè)奇數(shù)解時(shí)即否則，因單調(diào)性相反，方程至多一個(gè)奇數(shù)解，因?yàn)?，不可能同時(shí)成立，故不可能有4個(gè)不同的整數(shù)解，即M中最多有3個(gè)