2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章概率2.4正態(tài)分布學(xué)案新人教B版選修2-3

PAGEPAGE12．4正態(tài)分布1.了解正態(tài)分布的意義．2.理解正態(tài)分布曲線的性質(zhì)．3.駕馭利用曲線的性質(zhì)解決一些簡潔問題．[學(xué)生用書P36])1．正態(tài)分布與正態(tài)曲線(1)正態(tài)變量：表示隨機現(xiàn)象的隨機變量的概率分布一般近似聽從正態(tài)分布．聽從正態(tài)分布的隨機變量叫做正態(tài)隨機變量，簡稱正態(tài)變量．(2)正態(tài)變量概率密度函數(shù)正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達式為f(x)＝eq\f(1,\r(2π)·σ)·e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，x∈R.其中μ，σ是參數(shù)，且σ＞0，－∞＜μ＜＋∞.參數(shù)μ和σ分別為正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準差．(3)正態(tài)分布的記法：期望為μ、標(biāo)準差為σ的正態(tài)分布通常記作N(μ，σ2)．(4)正態(tài)曲線：正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線．(5)標(biāo)準正態(tài)分布：數(shù)學(xué)期望為0，標(biāo)準差為1的正態(tài)分布叫做標(biāo)準正態(tài)分布．2．正態(tài)曲線的性質(zhì)(1)曲線在x軸上方，并且關(guān)于直線x＝μ對稱．(2)曲線在x＝μ時處于最高點，并由此處向左右兩邊延長時，曲線漸漸降低，呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的形態(tài)；(3)當(dāng)μ肯定時，曲線的形態(tài)由σ確定，σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中．(4)當(dāng)σ相同時，正態(tài)分布曲線的位置由期望值μ所確定．設(shè)X是一個按正態(tài)分布的隨機變量，則對隨意的數(shù)a＞0及b，aX＋b仍是一個按正態(tài)分布的隨機變量．(5)3σ原則．從理論上可以證明，正態(tài)變量在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)內(nèi)，取值的概率分別是68.3%，95.4%，99.7%．由于正態(tài)變量在(－∞，＋∞)內(nèi)取值的概率是1，簡潔推出，它在區(qū)間(μ－2σ，μ＋2σ)之外取值的概率是4.6%，在區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)之外取值的概率是0.3%.于是正態(tài)變量的取值幾乎都在距x＝μ三倍標(biāo)準差之內(nèi)，這就是正態(tài)分布的3σ原則．1．推斷(對的打“√”，錯的打“×”)(1)函數(shù)φμ，σ(x)中參數(shù)μ，σ的意義分別是樣本的均值與方差．()(2)正態(tài)曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ，σ的改變而改變的．()(3)正態(tài)曲線可以關(guān)于y軸對稱．()答案：(1)×(2)×(3)√2．設(shè)隨機變量X～N(μ，σ2)，且P(X≤C)＝P(X＞C)，則C＝()A．0B．σC．－μD．μ答案：D3．已知隨機變量X聽從正態(tài)分布N(3，σ2)，則P(X＜3)＝()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)答案：D4．已知正態(tài)分布密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,2π)e－eq\f(x2,4π)，x∈(－∞，＋∞)，則該正態(tài)分布的均值為________，標(biāo)準差為________．答案：0eq\r(2π)求正態(tài)曲線方程[學(xué)生用書P37]如圖所示是隨機變量X的正態(tài)曲線．試依據(jù)該圖象寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機變量的期望和方差.掃一掃進入91導(dǎo)學(xué)網(wǎng)(91daoxue)正態(tài)分布密度曲線【解】由題意知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝20對稱，最大值為eq\f(1,2\r(π))，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(μ＝20，,\f(1,\r(2π)·σ)＝\f(1,2\r(π))，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(μ＝20，,σ＝\r(2).))所以概率密度函數(shù)的解析式為f(x)＝eq\f(1,2\r(π))e－eq\f(（x－20）2,4)，x∈R.總體隨機變量的期望為μ＝20，方差σ2＝(eq\r(2))2＝2.eq\a\vs4\al()正態(tài)密度函數(shù)解析式的求法利用圖象求正態(tài)密度函數(shù)的解析式，應(yīng)抓住圖象的實質(zhì)，主要有兩點：一是對稱軸x＝μ，另一是最值eq\f(1,σ\r(2π))，這兩點確定以后，相應(yīng)參數(shù)μ，σ便確定了，代入便可求出相應(yīng)的解析式．若一個正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為eq\f(1,4\r(2π)).求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式．解：由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對稱，即μ＝0.由于eq\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,\r(2π)·4)，得σ＝4，故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是φμ，σ(x)＝eq\f(1,4\r(2π))e－eq\f(x2,32)，x∈(－∞，＋∞)．利用正態(tài)曲線的性質(zhì)解題[學(xué)生用書P38]設(shè)X～N(1，22)，試求：(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)．【解】因為X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2.(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.683.(2)因為P(3＜X≤5)＝P(－3≤X＜－1)，所以P(3＜X≤5)＝eq\f(1,2)[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)]＝eq\f(1,2)[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]＝eq\f(1,2)(0.954－0.683)＝0.1355.本例條件不變，試求P(X≥5)．解：因為P(X≥5)＝P(X≤－3)，所以P(X≥5)＝eq\f(1,2)[1－P(－3＜X≤5)]＝eq\f(1,2)[1－P(1－4＜X≤1＋4)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)]＝eq\f(1,2)(1－0.954)＝0.023.eq\a\vs4\al()(1)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1；(2)正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，從而在關(guān)于x＝μ對稱的區(qū)間上概率相等．設(shè)隨機變量X～N(2，9)，若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)．(1)求c的值；(2)求P(－4＜X＜8)．解：(1)由X～N(2，9)可知，密度函數(shù)曲線關(guān)于直線x＝2對稱(如圖所示)，又P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，所以c＝2.(2)P(－4＜X＜8)＝P(2－2×3＜X＜2＋2×3)≈0.9545.正態(tài)分布的應(yīng)用[學(xué)生用書P38]一次數(shù)學(xué)考試中，某班學(xué)生的分數(shù)X～N(110，202)，且知滿分150分，這個班共有54人，求這個班在這次數(shù)學(xué)考試中及格(不小于90分)的人數(shù)和130分以上的人數(shù)．【解】因為X～N(110，202)，所以μ＝110，σ＝20.由于P(110－20＜X≤110＋20)＝0.683，所以X＞130的概率為eq\f(1,2)(1－0.683)＝0.1585.X≥90的概率為0.683＋0.1585＝0.8415，所以及格的人數(shù)為54×0.8415≈45，130分以上的人數(shù)為54×0.1585≈9.eq\a\vs4\al()本類題目主要考查正態(tài)分布在實際問題中的應(yīng)用，解答此類題目的關(guān)鍵在于把實際問題轉(zhuǎn)化到正態(tài)總體數(shù)據(jù)落在(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)及(μ－3σ，μ＋3σ)三類區(qū)間內(nèi)的概率，在解答過程中，要多留意應(yīng)用正態(tài)曲線的對稱性來轉(zhuǎn)化區(qū)間．某人從某城市的A地乘公交車到火車站，由于交通擁擠，所需時間(單位：分鐘)X～N(50，102)，則他在時間段(30，70]內(nèi)趕到火車站的概率為________．解析：因為X～N(50，102)，所以μ＝50，σ＝10.所以P(30＜X≤70)＝P(50－20＜X≤50＋20)＝0.954.答案：0.954——————————————————————————————————————正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法(1)熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．(2)P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X＞μ＋a)，若b<μ，則P(X<b)＝eq\f(1－P（μ－b≤X≤μ＋b）,2).1．對于X～N(μ，σ2)：在利用對稱性轉(zhuǎn)化區(qū)間時，要留意正態(tài)曲線的對稱軸是x＝μ，而不是x＝0(μ≠0)．2．留意區(qū)分是X～N(μ，σ2)還是X～N(μ，σ)的形式，二者的方差不同(σ≠1)．1．如圖是當(dāng)ξ取三個不同值ξ1，ξ2，ξ3時的三種正態(tài)曲線N(0，σ2)的圖象，那么σ1，σ2，σ3的大小關(guān)系是()A．σ1＞1＞σ2＞σ3＞0B．0＜σ1＜σ2＜1＜σ3C．σ1＞σ2＞1＞σ3＞0D．0＜σ1＜σ2＝1＜σ3解析：選D.利用正態(tài)曲線的性質(zhì)求解．當(dāng)μ＝0，σ＝1時，正態(tài)曲線f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\f(x2,2)(x∈R)，在x＝0時，取最大值eq\f(1,\r(2π))，故σ2＝1.由正態(tài)曲線的性質(zhì)，當(dāng)μ肯定時，曲線的形態(tài)由σ確定，σ越小，曲線越“高瘦”；σ越大，曲線越“矮胖”，于是有0＜σ1＜σ2＝1＜σ3.2．已知正態(tài)分布落在區(qū)間(0.2，＋∞)上的概率為0.5，那么相應(yīng)的正態(tài)曲線f(x)在x＝________時，達到最高點．解析：由于正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱且其落在區(qū)間(0.2，＋∞)上的概率為0.5，得μ＝0.2.答案：0.23．設(shè)離散型隨機變量ξ～N(0，1)，則P(ξ≤0)＝________；P(－2＜ξ＜2)＝________．解析：因為標(biāo)準正態(tài)曲線的對稱軸為x＝0，所以P(ξ≤0)＝P(ξ＞0)＝eq\f(1,2).而P(－2＜ξ＜2)＝P(－2σ＜ξ＜2σ)＝0.954.答案：eq\f(1,2)0.954[學(xué)生用書P75(單獨成冊)])[A基礎(chǔ)達標(biāo)]1．設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f(x)的圖象，且f(x)＝φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(8π))e－eq\f(（x－10）2,8)，則這個正態(tài)總體的均值與標(biāo)準差分別是()A．10與8 B．10與2C．8與10 D．2與10解析：選B.由正態(tài)密度函數(shù)的定義可知，總體的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.2．已知隨機變量X聽從正態(tài)分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.6827，則P(X>4)＝()A．0.1588 B．0.15865C．0.1586 D．0.1585解析：選B.由于X聽從正態(tài)分布N(3，1)，故正態(tài)分布曲線的對稱軸為x＝3.所以P(X>4)＝P(X<2)，故P(X>4)＝eq\f(1－P（2≤X≤4）,2)＝eq\f(1－0.6827,2)＝0.15865.3．已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)聽從正態(tài)分布N(0，32)，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3，6)內(nèi)的概率為()(附：若隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈68.27%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)≈95.45%)A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%解析：選B.由正態(tài)分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)≈0.6827，P(－6＜ξ＜6)≈0.9545，故P(3＜ξ＜6)＝eq\f(P（－6＜ξ＜6）－P（－3＜ξ＜3）,2)≈eq\f(0.9545－0.6827,2)＝0.1359＝13.59%，故選B.4．在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0，1)的密度曲線)的點的個數(shù)的估計值為()A．2386B．2718C．3414D．4772附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545.解析：選C.由P(－1<X≤1)≈0.6827，得P(0<X≤1)≈0.34135，則陰影部分的面積為0.34135，故估計落入陰影部分的點的個數(shù)為10000×eq\f(0.34135,1×1)≈3414，故選C.5．已知隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，則P(0＜ξ＜2)＝()A．0.6 B．0.4C．0.3 D．0.2解析：選C.如圖，正態(tài)分布的密度函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝2對稱，所以P(ξ＜2)＝0.5，并且P(0＜ξ＜2)＝P(2＜ξ＜4)，則P(0＜ξ＜2)＝P(ξ＜4)－P(ξ＜2)＝0.8－0.5＝0.3.6．設(shè)隨機變量ξ～N(2，2)，則D(eq\f(1,2)ξ)＝________．解析：因為ξ～N(2，2)，所以D(ξ)＝2.所以D(eq\f(1,2)ξ)＝eq\f(1,22)D(ξ)＝eq\f(1,4)×2＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)7．設(shè)隨機變量X～N(4，σ2)，且P(4＜X＜8)＝0.3，則P(X＜0)＝________．解析：概率密度曲線關(guān)于直線x＝4對稱，在4右邊的概率為0.5，在0左邊的概率等于在8右邊的概率，即0.5－0.3＝0.2.答案：0.28．在某項測量中，測量結(jié)果ξ聽從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ2＞2)．若ξ在(0，1)內(nèi)取值的概率為0.4，則ξ在(0，2)內(nèi)取值的概率為________．解析：因為ξ的概率密度函數(shù)曲線關(guān)于直線x＝1對稱，所以ξ在(0，1)內(nèi)取值的概率與ξ在(1，2)內(nèi)取值的概率相等，故ξ在(0，2)內(nèi)取值的概率為0.4×2＝0.8.答案：0.89．在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成果X聽從一個正態(tài)分布，即X～N(90，100)．(1)試求考試成果X位于區(qū)間(70，110)內(nèi)的概率是多少？(2)若這次考試共有2000名考生，試估計考試成果位于區(qū)間(80，100)內(nèi)的考生大約有多少人？解：因為X～N(90，100)，所以μ＝90，σ＝eq\r(100)＝10.(1)由于隨機變量在區(qū)間(μ－2σ，μ＋2σ)內(nèi)取值的概率是0.954，而在該正態(tài)分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考試成果X位于區(qū)間(70，110)內(nèi)的概率就是0.954.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于隨機變量在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)內(nèi)取值的概率是0.683，所以考試成果X位于區(qū)間(80，100)內(nèi)的概率是0.683.一共有2000名考生，所以考試成果在(80，100)內(nèi)的考生大約有2000×0.683≈1366人．10．已知某地農(nóng)夫工年均收入X聽從正態(tài)分布，其密度函數(shù)圖象如圖所示．(1)寫出此地農(nóng)夫工年均收入的密度函數(shù)的表達式．(2)求此地農(nóng)夫工年均收入在8000～8500元之間的人數(shù)所占的百分比．解：設(shè)農(nóng)夫工年均收入X～N(μ，σ2)，結(jié)合題圖可知，μ＝8000，σ＝500.(1)此地農(nóng)夫工年均收入的正態(tài)分布密度函數(shù)表達式為φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)＝eq\f(1,500\r(2π))e－eq\f(（x－8000）2,2×5002)，x∈(－∞，＋∞)．(2)因為P(7500＜X＜8500)＝P(8000－500＜X＜8000＋500)≈0.683.所以P(8000<X＜8500)＝eq\f(1,2)P(7500＜X＜8500)≈0.3415≈34.15%.即農(nóng)夫工年均收入在8000～8500元之間的人數(shù)所占的百分比為34.15%.[B實力提升]11．設(shè)隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋ξ沒有零點的概率是eq\f(1,2)，則μ＝()A．1 B．4C．2 D．不能確定解析：選B.依據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋ξ沒有零點時，Δ＝16－4ξ＜0，即ξ＞4，依據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對稱性，當(dāng)函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋ξ沒有零點的概率是eq\f(1,2)時，μ＝4.12．為了了解某地區(qū)高三男生的身體發(fā)育狀況，抽查了該地區(qū)1000名年齡在17.5歲至19歲的高三男生的體重狀況，抽查結(jié)果表明他們的體重X(kg)聽從正態(tài)分布N(μ，22)，且正態(tài)分布密度曲線如圖所示，若體重大于58.5kg小于62.5kg屬于正常狀況，則這1000名男生中屬于正常狀況的人數(shù)約為________．解析：依題意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5＜X＜62.5)＝P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈0.683，從而屬于正常狀況的人數(shù)為1000×0.683≈683.答案：68313．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(2)由直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)x，σ2近似為樣本方差s2.①利用該正態(tài)分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8，212.2)的產(chǎn)品件數(shù)，利用①的結(jié)果，求E(X)．附：eq\r(150)≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z<μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)≈0.9545.解：(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2分別為x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22