江蘇省南京鎮(zhèn)江徐州等十校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期12月學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

2024級(jí)高一年級(jí)12月學(xué)情檢測(cè)試題數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)補(bǔ)集、交集的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，則.故選：C2.已知函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的，設(shè)，在區(qū)間中至少有一個(gè)零點(diǎn)，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理及充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的，若，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知在區(qū)間中至少有一個(gè)零點(diǎn)，即成立，故充分性成立；若在區(qū)間中至少有一個(gè)零點(diǎn)，不一定得到，如，令，即，解得，，即在區(qū)間中存在兩個(gè)零點(diǎn)、，顯然，，故必要性不成立；所以是的充分不必要條件.故選：A3.下表是某次測(cè)量中兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù),若將表示為關(guān)于的函數(shù),則最可能的函數(shù)模型是234567890.631.011.261.461.631.771.891.99A.一次函數(shù)模型 B.二次函數(shù)模型 C.指數(shù)函數(shù)模型 D.對(duì)數(shù)函數(shù)模型【答案】D【解析】【詳解】對(duì)于，由于均勻增加，而值不是均勻遞增，不是一次函數(shù)模型；對(duì)于，由于該函數(shù)是單調(diào)遞增，不是二次函數(shù)模型；對(duì)于，過不是指數(shù)函數(shù)模型，故選D.4.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】分段令，求出方程的解，即可判斷.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，令，即，解得，（舍去）；當(dāng)時(shí)，令，即，即，解得；綜上可得函數(shù)的零點(diǎn)為，共個(gè).故選：B5.已知，則的最小值是（）A.9 B. C.4 D.2【答案】B【解析】【分析】利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：B6.若存在滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】參變分離可得存在滿足，令，，利用函數(shù)的單調(diào)性求出，即可得解.【詳解】因?yàn)榇嬖跐M足，即存在滿足，令，，因?yàn)榕c在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即的取值范圍是.故選：A7.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)與零的大小關(guān)系，取特殊點(diǎn)進(jìn)行比較，可得答案.【詳解】令，令，解得或，由，且，可得下表：+由，，，則，，故C正確.故選：C8.已知函數(shù)，關(guān)于的方程有8個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，利用圖象可得知，關(guān)于的二次方程的兩根、，然后利用二次函數(shù)的零點(diǎn)分布得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，解出即可.【詳解】令，由，得，設(shè)關(guān)于的二次方程的兩根分別為、，如下圖所示：由于關(guān)于的方程有8個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則，，設(shè)，則，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.命題“，”否定是“，”B.命題“，”是真命題C.“”是“”的充分條件D.“”是“”的充分不必要條件【答案】ABD【解析】【分析】利用存在量詞命題的否定判斷A；判斷存在量詞命題的真假，判斷B；利用充分條件的定義判斷C；利用充分不必要條件的定義判斷D.【詳解】對(duì)于A，由存在量詞命題的否定形式知命題正確，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，成立，B正確；對(duì)于C，取，，滿足，而，不是充分性條件，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，能推出，而不能推出，“”是“”充分不必要條件，D正確.故選：ABD10.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)奇偶性的定義及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性一一判斷即可.【詳解】對(duì)于A：函數(shù)定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，但是函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：函數(shù)定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，又與均在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C：函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，又，因?yàn)榕c均在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D：函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，又與均在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確；故選：BCD11.已知是函數(shù)的零點(diǎn)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則下列說(shuō)法正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】確定函數(shù)單調(diào)遞增，計(jì)算，得到A正確，變換得到B正確，計(jì)算，C錯(cuò)誤，變換，D正確，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：在上單調(diào)遞增，，，故函數(shù)有唯一零點(diǎn)，A正確；對(duì)選項(xiàng)B：，即，，即，B正確；對(duì)選項(xiàng)C：，，C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：，，，D正確；故選：ABD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，則的值為__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故答案為：13.物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來(lái)描述：設(shè)物體的初始溫度是，經(jīng)過一段時(shí)間后的溫度是，則，其中表示環(huán)境溫度，稱為半衰期.現(xiàn)有一杯用熱水沖的速溶咖啡，放在的房間中，如果咖啡降溫到需要，那么降溫到，需要的時(shí)長(zhǎng)為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得出函數(shù)關(guān)系，求出h，然后即可得出答案.【詳解】由題得，，代入得，解得，所以，當(dāng)時(shí)，解得，即降溫到，需要的時(shí)長(zhǎng)為.故答案為：.14.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).（1）請(qǐng)寫出函數(shù)圖象的對(duì)稱中心__________.（2）利用題目中的推廣結(jié)論，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則__________.【答案】①.②.6【解析】【分析】（1）根據(jù)推廣結(jié)論，將函數(shù)通過設(shè)對(duì)稱中心，然后利用為奇函數(shù)這一條件求出對(duì)稱中心.（2）已知函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，根據(jù)推廣結(jié)論可得到關(guān)于和的等式，從而求出的值.【詳解】（1）設(shè)函數(shù)的對(duì)稱中心為.根據(jù)推廣結(jié)論，函數(shù)為奇函數(shù).又因?yàn)槠婧瘮?shù)時(shí)，即.化簡(jiǎn)，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則則.因?yàn)槿我庠摰仁蕉汲闪?，則.解得，將代入.得，解得.所以函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為.（2）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.根據(jù)結(jié)論，為奇函數(shù).對(duì)于奇函數(shù)，，令，則，化簡(jiǎn)得②.又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)時(shí)，展開，即即即根據(jù)可得，化簡(jiǎn)得.將代入②式得.所以.故答案為：；6.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過程或演算步驟.15.計(jì)算：（1）求值：計(jì)算（2）求值：.（3）已知，求值：.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得；（3）首先求出，接著求出，最后代入計(jì)算可得.【小問1詳解】；【小問2詳解】；【小問3詳解】因?yàn)?，所以，即，則，所以，所以.16.已知（1）求證：在上存在零點(diǎn)；（2）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理證明即可；（2）結(jié)合（1）的單調(diào)性可知對(duì)任意的，不等式恒成立，參變分離，結(jié)合基本不等式計(jì)算可得，需注意.【小問1詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，又與均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且為連續(xù)函數(shù)，又，，所以，所以在上存在唯一零點(diǎn)，即在上存在零點(diǎn)；【小問2詳解】由（1）可知在上單調(diào)遞增，因?yàn)閷?duì)任意的，不等式恒成立，所以對(duì)任意的，不等式恒成立，即對(duì)任意的，不等式恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，又，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.已知函數(shù)是偶函數(shù)，.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；（3）若的最小值為4，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義恒成立來(lái)求解的值.（2）令，先求出的表達(dá)式，再代入，結(jié)合換元法解二次方程，最后指對(duì)互化，求值即可.（3）先將代入得到表達(dá)式，再分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求的值.【小問1詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以恒成立.即，，則.移項(xiàng)得到，即.提取公因式得到，因?yàn)椴缓銥?，所?【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，則.由（1）知，令，即.設(shè)，則.分解因式得，因?yàn)?，所以，即，解得，即函?shù)的零點(diǎn)為；【小問3詳解】由（1）知，所以，則.設(shè)，則.當(dāng)即時(shí)，在處取得最小值，，解得.當(dāng)即時(shí)，在處取得最小值，，此方程無(wú)解.綜上所得，.18.隨著城市地鐵建設(shè)的持續(xù)推進(jìn)，市民的出行也越來(lái)越便利，根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，某條地鐵線路運(yùn)行時(shí)，發(fā)車時(shí)間間隔（單位：分鐘）滿足:，平均每班地鐵的載客人數(shù)（單位：人）與發(fā)車時(shí)間間隔近似地滿足函數(shù)關(guān)系：，（1）若平均每班地鐵的載客人數(shù)不超過1560人，試求發(fā)車時(shí)間間隔的取值范圍；（2）若平均每班地鐵每分鐘的凈收益為（單位：元），則當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，平均每班地鐵每分鐘的凈收益最大？并求出最大凈收益.【答案】（1）；（2），最大值為260元.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意即求解不等式；（2）根據(jù)題意求出的解析式，利用函數(shù)單調(diào)性或基本不等式求最值.【詳解】（1）當(dāng)，超過1560，所以不滿足題意；當(dāng)，載客人數(shù)不超過1560，即，解得或，由于所以；（2）根據(jù)題意，則根據(jù)基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，所以，即當(dāng)時(shí)，平均利潤(rùn)的最大值為260元，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，綜上所述，最大值為260元.【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，關(guān)鍵在于根據(jù)題目所給模型，準(zhǔn)確求解不等式，或根據(jù)函數(shù)關(guān)系求出最值，基本不等式求最值注意等號(hào)成立的條件.19.若函數(shù)在區(qū)間上有意義，對(duì)于給定的，存在，使得，則稱為上的“階等值函數(shù)”.（1）判斷，是否是上的“階等值函數(shù)”，并說(shuō)明理由；（2）若二次函數(shù)滿足，證明：是上的“階等值函數(shù)”；（3）證明：是上的“階等值函數(shù)”，并求的最大值.【答案】（1）不是，證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析，的最大值為.【解析】【分析】（1）根據(jù)“階等值函數(shù)”的定義，判斷在上是否存在使得即可.（2）根據(jù)題目中所給的定義，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱性，可得答案；（3）由題意代入端點(diǎn)值，求得參數(shù)值，利用反證法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【小問1詳解】假設(shè)是上的“階等值函數(shù)”.則存在，使得，故.又因?yàn)槭菃握{(diào)遞增函數(shù)，而，所以，矛盾，所以不是上的“階等值函數(shù)”.【小問2詳解】證明：因?yàn)槭嵌魏瘮?shù)，，所以的對(duì)稱軸為，若存在，使得，則，解得，所以是上的“階等值函數(shù)”．【小問3詳解】證明：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，令，得，所以，所以是上的“階等值函