2024-2025學(xué)年甘肅省環(huán)縣高二上冊期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年甘肅省環(huán)縣高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷考生注意：1.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于y軸對稱點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.2.數(shù)列的一個通項(xiàng)公式可以是（）A. B. C. D.3.已知直線過點(diǎn)、，且直線的方向向量為，則的值為（）A. B. C. D.4.已知向量，點(diǎn)，，且，則（）A. B. C. D.5.在等差數(shù)列中，已知，公差，，則等于（）A.8 B.9 C.10 D.116.若方程表示圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.(0,+∞)7.如圖，在空間四邊形中，，，，且，，則等于（）A B.C. D.8.數(shù)列是等比數(shù)列，若、的等差中項(xiàng)為4，、的等差中項(xiàng)為，則的公比為（）A. B.2 C. D.49.已知向量，若共面，則在上的投影向量的模為（）A. B. C. D.10.九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲.在某種玩法中，用表示解下，個圓環(huán)所需移動的最少次數(shù)，滿足，且，則解下4個圓環(huán)最少移動的次數(shù)為（）A.7 B.14 C.5 D.1611.三角形每條高的垂足向另兩邊所作垂線的垂足，共六個點(diǎn)，這六個點(diǎn)共圓，該圓稱為三角形的泰勒圓，已知點(diǎn)、、，則的泰勒圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.12.已知點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.13.經(jīng)過點(diǎn)P（1，1），且在兩軸上的截距相等的直線可以是（）A.y=x B.x+y-2=0C.x+2y-3=0 D.3x-y-2=014.已知分別為圓與圓上的動點(diǎn)，為軸上的動點(diǎn)，則的值不可能是（）A. B. C. D.15.如圖，已知正方體邊長為2,、、、分別為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B平面C.二面角的大小為D.點(diǎn)到平面的距離為216.已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論錯誤的是（）A. B.C. D.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.17.已知直線3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，則它們之間的距離是________．18.已知P是棱長為1的正方體ABCD--A1B1C1D1內(nèi)(含正方體表面)任意一點(diǎn)，則的最大值為______.19.已加數(shù)列滿足，若恒成立.則a取值范圍是_________．20.若圓上恰有個點(diǎn)到直線的距離為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.21.（1）已知點(diǎn)，求線段的垂直平分線的方程；（2）已知直線的斜率為，直線的傾斜角是直線傾斜角的2倍，求直線的斜率.22.如圖，已知平行六面體中，，，，.（1）證明：；（2）求的長度.23.在前項(xiàng)和為的等差數(shù)列中，．（1）求數(shù)列的首項(xiàng)和公差；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值．24.在直三棱柱中，，，，、分別為、的中點(diǎn).（1）求直線與所成角的大小；（2）判斷直線與平面的關(guān)系.25.已知數(shù)列{an}滿足，（1）設(shè)，求證:數(shù)列{bn（2）求數(shù)列{an}的前項(xiàng)和26.如圖，四棱錐的底面為梯形，底面，，為的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）若二面角的余弦值為，求的長.27.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列an的前項(xiàng)之和，數(shù)列bn的前項(xiàng)之積，且.（1）求證：為等差數(shù)列，并分別求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，不等式對任意正整數(shù)恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.28.已知圓M過點(diǎn)且與圓為同圓心，圓N與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C.（1）若直線被圓M截得的弦長為，求m的值；（2）設(shè)直線與圓M交于點(diǎn)A，B，記，，若，求k的取值范圍.2024-2025學(xué)年甘肅省環(huán)縣高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷考生注意：1.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的結(jié)構(gòu)和對稱性即可得解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)橫坐標(biāo)關(guān)于y軸對稱的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)縱坐標(biāo)關(guān)于y軸對稱的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)豎坐標(biāo)關(guān)于y軸對稱的豎坐標(biāo)為，所以點(diǎn)關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：C.2.數(shù)列的一個通項(xiàng)公式可以是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)各項(xiàng)的分子和分母特征進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】分母2，4，6，8是序號n的2倍，分母加1是分子.故選：D．3.已知直線過點(diǎn)、，且直線的方向向量為，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用直線的方向向量求出直線的斜率，再利用斜率公式可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)橹本€的方向向量為，則直線的斜率為，又因?yàn)橹本€過點(diǎn)、，由斜率公式可得，解得.故選：D.4.已知向量，點(diǎn)，，且，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用空間向量共線的坐標(biāo)表示直接運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，，，故選：D.5.在等差數(shù)列中，已知，公差，，則等于（）A.8 B.9 C.10 D.11【正確答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出方程，即可求解.【詳解】由數(shù)列為等差數(shù)列，且，公差，，可得，解得.故選：D.6.若方程表示圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.(0,+∞)【正確答案】B【分析】方程配方，左邊配成平方和的形式，右邊為正即可表示圓．【詳解】方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，有，∴．.故選：B7.如圖，在空間四邊形中，，，，且，，則等于（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，即為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋裕?故選：C8.數(shù)列是等比數(shù)列，若、的等差中項(xiàng)為4，、的等差中項(xiàng)為，則的公比為（）A. B.2 C. D.4【正確答案】A【分析】由題意得，，然后結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出公比.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，依題意，，，故，故，故選：A9.已知向量，若共面，則在上的投影向量的模為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用共面的條件求出，再利用投影向量及模的定義計(jì)算即得.【詳解】因?yàn)楣裁?，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，于是，所以在上的投影向量的模為.故選：B10.九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲.在某種玩法中，用表示解下，個圓環(huán)所需移動的最少次數(shù)，滿足，且，則解下4個圓環(huán)最少移動的次數(shù)為（）A.7 B.14 C.5 D.16【正確答案】A【分析】根據(jù)遞推關(guān)系逐步求解即可.【詳解】由條件可得，所以解下4個圓環(huán)需最少移動7次，故選：A.11.三角形每條高的垂足向另兩邊所作垂線的垂足，共六個點(diǎn)，這六個點(diǎn)共圓，該圓稱為三角形的泰勒圓，已知點(diǎn)、、，則的泰勒圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】確定圓心和圓的半徑，可得出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)、、，則，，，所以，正三角形，如下圖所示：設(shè)、、分別為邊、、的中點(diǎn)，則、、，則，，，過點(diǎn)分別作、，垂足分別為點(diǎn)、，因?yàn)?，，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則為的中點(diǎn)，同理可知，為的中點(diǎn)，設(shè)的泰勒圓與各邊的其它交點(diǎn)分別為、、、，易得、、、、、，由對稱性知，等邊的中心為其泰勒圓的圓心，且，同理可得，因此，等邊的泰勒圓的方程為，故選：C.12.已知點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，作出圖形，數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】解：如圖，因?yàn)檫^點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)，所以直線的傾斜角在介于直線與直線的傾斜角之間，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以點(diǎn)是直線與直線的交點(diǎn)，由圖可知點(diǎn)的軌跡為線段，由于，故直線的方程為，與聯(lián)立得，即所以實(shí)數(shù)的取值范圍為故選：D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.13.經(jīng)過點(diǎn)P（1，1），且在兩軸上的截距相等的直線可以是（）A.y=x B.x+y-2=0C.x+2y-3=0 D.3x-y-2=0【正確答案】AB【分析】分直線在兩坐標(biāo)軸的截距為，不為的兩種情況，即可得出答案.【詳解】當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為時(shí)，設(shè)直線方程為：，則，所以；當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為時(shí)，設(shè)直線方程為：，把P（1，1）代入直線方程得：，解得：,所以直線方程為.故滿足條件的直線方程為：或.故選：AB.14.已知分別為圓與圓上的動點(diǎn)，為軸上的動點(diǎn)，則的值不可能是（）A. B. C. D.【正確答案】AB【分析】作圓關(guān)于軸對稱的圓，根據(jù)對稱關(guān)系，結(jié)合三角形三邊關(guān)系可確定最小值為，由此可得結(jié)果.【詳解】由題意知：圓是以為圓心，為半徑的圓；圓是以為圓心，為半徑的圓；作圓關(guān)于軸對稱的圓，則圓；則（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號），，，，，AB的取值不可能，CD的取值可能.故選：AB.15.如圖，已知正方體的邊長為2,、、、分別為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）AB.平面C.二面角的大小為D.點(diǎn)到平面的距離為2【正確答案】ABD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，明確各點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)向量的坐標(biāo).用向量法證明線線垂直，判斷A的真假；判斷與平面的法向量的關(guān)系，判斷B的真假；用向量法求二面角的大小，判斷C的真假；用向量法求點(diǎn)到平面的距離判斷D的真假.【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，對A.，A項(xiàng)正確；對B.設(shè)n=x,y,z為平面的一個法向量，則，即，令，得，則，因?yàn)?，不在平面?nèi)，所以平面，則B項(xiàng)正確；對C：由圖可知，平面，所以是平面的一個法向量，則，故二面角的大小不是，所以C項(xiàng)不正確.對D：由，所以點(diǎn)到平面的距離為，D項(xiàng)正確；故選：ABD16.已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論錯誤的是（）A. B.C. D.【正確答案】ABD【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可知數(shù)列an是以為周期的周期數(shù)列，根據(jù)周期性依次推導(dǎo)各個選項(xiàng)即可.【詳解】，，數(shù)列an是以為周期的周期數(shù)列；對于A，，A錯誤；對于B，，B錯誤；對于C，，，，C正確；對于D，，，，D錯誤.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.17.已知直線3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，則它們之間的距離是________．【正確答案】【詳解】考點(diǎn)：兩條平行直線間的距離．分析：通過直線的平行，利用斜率相等即可求出m的值，通過平行線的距離公式求出距離即可．解：直線3x+2y-3=0與6x+my+1=0相互平行，所以m=4，由平行線的距離公式可知d==．故答案為．18.已知P是棱長為1的正方體ABCD--A1B1C1D1內(nèi)(含正方體表面)任意一點(diǎn)，則的最大值為______.【正確答案】2【分析】利用向量在上的投影的最大值可求得結(jié)果.【詳解】由題意畫出圖形，如圖所示，因?yàn)?，且是向量在上的投影，所以?dāng)P在棱C1C上時(shí)，投影最大，所以的最大值為.故2關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用向量在上的投影的最大值求解是解題關(guān)鍵.19.已加數(shù)列滿足，若恒成立.則a取值范圍是_________．【正確答案】【分析】由數(shù)列的單調(diào)性列式求解【詳解】由題意得數(shù)列單調(diào)遞減，則解得，故20.若圓上恰有個點(diǎn)到直線的距離為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【正確答案】【分析】求出與直線平行且到直線的距離為的直線的方程為、，數(shù)形結(jié)合可知，圓與直線相交，與直線相離，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得的取值范圍.【詳解】如下圖所示：設(shè)與直線平行且與直線之間的距離為的直線方程為，則，解得或，圓心到直線的距離為，圓到直線的距離為，由圖可知，圓與直線相交，與直線相離，所以，，即.故答案為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.21.（1）已知點(diǎn)，求線段的垂直平分線的方程；（2）已知直線的斜率為，直線的傾斜角是直線傾斜角的2倍，求直線的斜率.【正確答案】（1）；（2）【分析】（1）求出線段的中點(diǎn)和斜率，根據(jù)直線垂直的斜率關(guān)系，可得線段的垂直平分線的方程；（2）由傾斜角與斜率的關(guān)系及二倍角的正切公式即可求解.【詳解】（1）線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為，則線段的垂直平分線的斜率為，所以線段的垂直平分線方程為，整理為.（2）設(shè)直線的傾斜角為，則直線的傾斜角為.由已知得，則直線的斜率為.22.如圖，已知平行六面體中，，，，.（1）證明：；（2）求的長度.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）取空間的一個基底，表示出向量，再利用空間向量數(shù)量積及運(yùn)算律計(jì)算推理即得.（2）由（1）中信息，利用空間向量數(shù)量積及運(yùn)算律計(jì)算模即可.【小問1詳解】平行六面體中，設(shè)，，，，，由，，得，，則，因此，所以.【小問2詳解】依題意，，因此，所以的長度為.23.在前項(xiàng)和為的等差數(shù)列中，．（1）求數(shù)列的首項(xiàng)和公差；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值．【正確答案】（1）首項(xiàng)為18，公差為（2）7【分析】（1）設(shè)數(shù)列an的公差為，由已知條件得到的方程組，再解方程組可得答案；（2）由（1）知，令，結(jié)合可得答案．【小問1詳解】設(shè)數(shù)列an的公差為，由題意有，解得，故數(shù)列an的首項(xiàng)為18，公差為；小問2詳解】由（1）知，由，得，又，則的最大值為7．24.在直三棱柱中，，，，、分別為、的中點(diǎn).（1）求直線與所成角的大??；（2）判斷直線與平面的關(guān)系.【正確答案】（1）（2）垂直【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線與所成角的大??；（2）利用向量法求出，，從而直線與平面垂直．【小問1詳解】在直三棱柱中，，，，、分別為、的中點(diǎn)．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,0,，,0,，,2,，,0,，,0,，,2,，,0,，,2,，設(shè)直線與所成角為，則，，直線與所成角的大小為；【小問2詳解】直線與平面垂直，理由如下：由（1）知,2,，,0,，，，，，，、平面，直線與平面垂直．25.已知數(shù)列{an}滿足，（1）設(shè)，求證:數(shù)列{bn（2）求數(shù)列{an}的前項(xiàng)和【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）將變形為，得到{bn}（2）由（1）得到{an【詳解】（1）由，，可得，因?yàn)閯t，，可得{bn}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，（2）由（1），由，可得，，，上面兩式相減可得：，則．?dāng)?shù)列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項(xiàng)式系數(shù)、對稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和．(2)錯位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和．(3)分組求和：用于若干個等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和．(4)裂項(xiàng)相消法：用于通項(xiàng)能變成兩個式子相減，求和時(shí)能前后相消的數(shù)列求和.26.如圖，四棱錐的底面為梯形，底面，，為的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）若二面角的余弦值為，求的長.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）易證，再結(jié)合勾股定理可證，進(jìn)而可證平面，即可求證；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量法確定點(diǎn)，即可求解.【小問1詳解】證明：因?yàn)榈酌娴酌妫?因?yàn)?，所?取的中點(diǎn)，則，所以.由得，，所以.因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問2詳解】解：由（