2024-2025學年人教版八年級數(shù)學上冊復習：將軍飲馬模型解讀與訓練（原卷版）

將軍飲馬模型

將軍飲馬模型在考試中，無論是解答題，還是選擇、填空題，都是學生感覺有困難的地方，也恰是學生

能力區(qū)分度最重要的地方，主要考查轉化與化歸等的數(shù)學思想。在各類考試中都以中高檔題為主。在解決幾

何最值問題主要依據(jù)是：①兩點之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法還有：利用軸對稱變換化

歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。希望通過本專題的講解讓大家對這類

問題有比較清晰的認識。

大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數(shù)學題目的考察不是一成不變的，學數(shù)學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

目錄導航

例題講模型

,2

模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值）（兩定一動）..................................2

模型2.將軍飲馬模型（雙線段差的最大值）（兩定一動）..................................4

模型3.將軍飲馬（多線段和的最值模型）（一定兩動）....................................6

模型4.將軍飲馬（多線段和的最值模型）（兩定兩動）....................................7

習題練模型

---------------------J...........................................................................................................................................9

例題講模型］

模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值）（兩定一動）

模型解讀

條件：A,5為定點，膽為定直線，尸為直線加上的一個動點，求4P+5P的最小值。

模型（1）點4、5在直線a兩側：模型（2）點/、5在直線同側：

A

A

?-----------------?m*

?B

B?------------------------?m

模型證明

模型（1）點/、5在直線兩側:模型（2）點4、5在直線同側:

A?、

B

圖⑴圖（2）

模型（1）：如圖（1）,連結/民根據(jù)兩點之間線段最短，NP+5P的最小值即為：線段的長度。

模型（2）：如圖（2）,作點/關于定直線加的對稱點⑷，連結/‘民根據(jù)兩點之間線段最短，/尸+8尸的最小

值即為：線段/方的長度。

模型運用

例1.（23-24七年級上?吉林長春?期末）“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頑《古從軍

行》里的一句詩.由此引申出一系列非常有趣的數(shù)學問題，通常稱為“將軍飲馬如圖，將軍在圖中點“

處，現(xiàn)在他要帶馬去河邊喝水，之后返回軍營2處，問：將軍怎么走能使得路程最短？將實際問題轉化成

數(shù)學問題，即：在直線上找一點P使得上4+尸3最小.

解決方法是：作點/關于直線的對稱點H,連接尸4,則R4'=R4,所以尸/+尸3=連接H3,

則線段48的長度即為上4+尸8的最小值，這樣做依據(jù)的基本事實是.

例2.（23-24八年級上?廣西南寧?期中）如圖，等邊A/BC中，E是/C邊的中點，是5c邊上的中線，P

是上的動點，若力。=6,則EP+CP的最小值為.

例3.（23-24八年級上?云南昭通?階段練習）如圖，在A/3C中，AB=8,BC=7,AC=4,直線機是。3C

中邊的垂直平分線，點尸是直線加上的一動點，則△/PC周長的最小值為（）

例4.（23-24八年級上?河南洛陽?期末）如圖，在銳角三角形48c中，AB=10,ZBAC=30°./A4c的

平分線交3c于點。，M、N分別是40和48上的動點，則8M+九W的最小值是.

例5.（23-24八年級上?湖北十堰?期末）如圖，0BC中，BC=20,/ABC=15。，點F、￡分別是NBBC

上的動點，則即+FC的最小值=.

模型2.將軍飲馬模型(雙線段差的最大值)(兩定一動)

模型解讀

條件：A,B為定點,膽為定直線，尸為直線/上的一個動點，求|NPdP|的最大值。

模型(1)：點4、5在直線同側:模型(2)：點/、5在直線7M異側:

圖(1)圖(2)

模型(1)：如圖(1),延長交直線加于點尸，當N、B、尸不共線時，根據(jù)三角形三邊關系，有:

[P-A-P'B^AB,當3、尸共線時，^\PA-PB\=AB,^L\PA-PB\<AB,即|4P-AP|的最大值即為：線段的

長度。

模型(2)：如圖(2),作點2作關于直線加的對稱點夕，連接AB'交直線加于點P,此時依=總’。

當4B、尸不共線時，根據(jù)三角形三邊關系，有：[P'A-P'B^P'A-P'B'^AB',

當4B、P共線時，有|尸4尸8|=|尸4尸夕旦"，^PA-PB^AB',即研的最大值即為：線段N8’的長度。

模型運用

例1.(2024?福建泉州?七年級期末)如圖，在10x8網(wǎng)格中，最小正方形的邊長為1,點/、B、C都在格點

上.(1)畫出A48C關于直線/對稱的圖形(2)點尸在直線/上，直接寫出尸8-PC的最大值.

例3.（23-24八年級上?福建廈門?階段練習）如圖，AB=AC=a,BD=b,BC=c,ZBAC=1W°,AD

是AA4c內的一條射線，且N84D=25。，P為4D上一動點,則|網(wǎng)-？。的最大值是.（結果表示根

據(jù)需要可以含a,b,c）

例4.（2024?湖北?八年級期中）如圖，AB//DP,E為DP上一動點，AB=CB=CD,過A作NNLEC交

直線EC于N,過。作DM,EC交直線EC于點若/8=114。，當?shù)闹底畲髸r，則44CE=

模型3.將軍飲馬（多線段和的最值模型）（一定兩動）

模型解讀

如圖，N為定點，在直線加、"上分別找兩點P、Q,使三角形4P。的周長（4P+PQ+Q4）最小。

模型證明

證明：如上圖，作點/分別關于定直線加、〃的對稱點連結

根據(jù)對稱得至lj：QA=QAPA=PA",PA+PQ+QA=PA"+PQ+QA）,

再利用“兩點之間線段最短“，得到P/+P0+。/的最小值即為：線段的長度。

模型運用

例1.（23-24八年級上?江蘇宿遷?期末）如圖，N/O5=30。，OC為內部一條射線，點尸為射線OC

上一點，OP=6,點、M、N分別為04、08邊上動點，則△跖VP周長的最小值為（）

A.6B.8C.12D.18

例2.（2024?江蘇?無錫八年級期末）如圖，已知N/O3的大小為。，尸是內部的一個定點，且"=

4,點￡、尸分別是上的動點,若周長的最小值等于4,則。=（）

二

0FB

A.30°B.45°C.60°D.90°

例3.（2024?安徽安慶?八年級期末）如圖，在四邊形4SCD中，NBCD=50。,ZB=ZD=90°,在8C、CD

上分別取一點M、N,使的周長最小，則°.

模型4.將軍飲馬（多線段和的最值模型）（兩定兩動）

模型解讀

模型（1）：兩定點+兩動點

條件：A,B為定點,在直線，"、〃上分別找兩點P、Q,使白+PQ+”最小。

兩個點都在直線外側（圖1-1）；內外側各一點（圖1-2）；兩個點都在內側（圖1-3）

B

圖1-1圖1-1圖1-1

模型證明

圖1-1圖1-1圖1-1

模型（1-1）（兩點都在直線外側型）

如圖（1-1）,連結/民根據(jù)兩點之間線段最短，PN+PQ+Q5的最小值即為：線段的長度。

模型（1-2）（直線內外側各一點型）

如圖（1-2）,作點8關于定直線〃的對稱點B',連結AB',根據(jù)對稱得到：QB=QB',故

PA+PQ+QB=PA+PQ+QB

根據(jù)兩點之間線段最短，P/+PQ+03的最小值即為：線段48,的長度。

模型（1-3）（兩點都在直線內側型）

如圖（1-3）,作點3關于定直線〃的對稱點2',作點/關于定直線機的對稱點⑷，連結，夕,

根據(jù)對稱得至U：QB=QB,,PA=PAPA+PQ+QB=PA'+PQ+QB

根據(jù)兩點之間線段最短，P/+PQ+Q8的最小值即為：線段N7T的長度。

模型運用

例1.（2024?廣東?九年級期中）如圖，點A在y軸上，G、B兩點在x軸上，且G（-3,0）,B（-2,0）,

HC與GB關于y軸對稱，/GAH=60。，P、Q分別是AG、AH上的動點，則BP+PQ+CQ的最小值是（）

C.8D.9

例3.（24-25八年級上?江蘇無錫?階段練習）如圖，乙403=20。，M,N分別為CU,02上的點,

OM=ON=3,P,。分別為CM,上的動點，則MQ+PQ+PN的最小值為.

例3.（2024?湖北?八年級期中）如圖，在RtA48C中，NNC2=90。，NABC=30°,NC=2,以8c為邊向左

作等邊△8CE,點。為48中點，連接CZ）,點尸、。分別為CE、CD上的動點.

（1）求證：A4DC為等邊三角形；（2）求PD+PQ+0E的最小值.

習題練模型

1.（2023?河南?九年級專題練習）如圖，在AA8C中，AB=AC,/C的垂直平分線交/C于點N,交4B于

點M,AB=ncm,ASMC的周長是20的，若點尸在直線MV上，則P4-尸3的最大值為（）

A.12cmB.8cmC.6cmD.2cm

2.（2024?上浙江八年級月考）如圖，點P是N/O8內任意一點，OP=6cm,點M和點N分別是射線。/和

射線上的動點，若4尸〃乂周長的最小值是6011,則的度數(shù)是（）

B

A.15B.30C.45D.60

3.（23-24廣東八年級期中）如圖，在銳角A42C中，/4CB=50。；邊48上有一定點尸，M、N分別是4C

和3c邊上的動點，當?shù)闹荛L最小時，NMPN的度數(shù)是（）

B

A.50°B.60°C.70°D.80°

4.（2024?湖北恩施?一模）如圖，在等邊三角形A8C中，AD1BC,在28,C8上分別取點N,且

AM=BN=8,DN=4,在4D上有一動點P,則尸M+PN的最小值為（）

A.12B.14C.16D.18

5.（23-24八年級上?河北廊坊?期中）如圖，在中，ZA=90°,點河是8C上一點，/C=3,

AB=4,BC=5,若點必和點M關于43對稱，點和點M關于ZC對稱.則點之間的距離

最小值是（）

A.6B.2.4C.4.8D.4

6.（2023?四川成都?模擬預測）如圖所示，在邊長為2的等邊三角形/8C中，G為BC的中點，。為ZG的

中點，過點、D作EF〃BC交4B于E,交AC于F,尸是線段E廳上一個動點，連接AP,GP,則A5PG的

周長的最小值是—.

7.（23-24八年級上?福建莆田?階段練習）如圖，在A4BC中，=60°,ABAC=80°,AD,CD分別平分

/8/C和尸是/C上一點，PH工BC,已知40=機，BC=n,m<n.當P0+7W取最小值時，

HC=.（用含7M,77的式子表示）

8.（23-24八年級下?四川成都?期末）如圖，等邊三角形23c的邊長為4,過點5的直線/1/3,且“8C

與關于直線/對稱，。為線段3C'上一動點，則4D+CD的最小值為.

9.（23-24八年級上?遼寧葫蘆島?期末）如圖，在四邊形Z3CD中，ZABC=60°,BD平分/ABC,

ZBCD>ZCBD,BC=24,P,。分別是2。，3c上的動點，當。尸+尸。取得最小值時，8。的長是.

10.（23-24八年級上?山東日照?期末）如圖，已知N/O8=15。，點”在邊03上，且（W=12ctn,點N和點

P分別是和OA上的一個動點，則PM+PN的最小值為.

11.（23-24八年級上?廣東江門?階段練習）如圖，在等邊O8C中，。為/C中點，點P,。分別為AD

上的點，BP=AQ=3,QD=2,在3。上有一動點￡,貝|PE+QE的最小值為.

12.（23-24八年級上?湖北黃岡?期中）如圖，等邊。BC和等腰AB=BD,點、E,歹分別為邊

4D的中點，若的面積為16,AD=4,點”是CE上的動點，貝UA/MF的周長的最小值為.

13.（23-24八年級上?江蘇鹽城?階段練習）如圖，在“8C中，NBAC=90°,48=8,AC=6,BC=IO,

點。是BC上的一個動點（點。與點B不重合），連接AD,作點3關于直線AD的對稱點E,當