2024-2025學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)期末模擬考試卷（全解全析）（新高考八省專用）

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷01

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測(cè)試范圍：人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)全部+選擇性必修第二冊(cè)4.1-5.2。

5.難度系數(shù)：0.75o

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.下列直線中，傾斜角最大的是（）

A.V3x+y+1=0B.V3x-y+1=0

C.x+y+1=0D.x-y+1=0

【答案】C

【詳解】直線怎+y+l=0的斜率為一如，傾斜角為120°;直線6x-y+l=0的斜率為百，傾斜角為60。，

直線x+y+l=0的斜率為一1,傾斜角為135°;直線x-y+l=0的斜率為1,傾斜角為45°，

顯然直線x+〉+l=0的傾斜角最大.

故選：C

2.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛an｝中，g%=4,$3=14,數(shù)列｛，｝滿足，=睢2。“，則數(shù)列低｝的前6項(xiàng)和是（）

A.0B.2C.3D.5

【答案】C

【詳解】解:設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝的公比為式4>0）,

因?yàn)殡姟?=4,$3=14,所以公比不為1,

3t

axq-axq=4Q]—8

所以＜4(1-7)_14，解得,1,

q=—

i-q2

n-1

所以"〃=a\QnX=8x24-n,所以6〃=log2〃〃=log22j=4-〃,

2

所以數(shù)列抄/是以3為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列,

所以數(shù)列仇｝的前6項(xiàng)和為6x3+寸x（-1）=3,

故選：C

3.如圖，空間四邊形CM5C中，刀=落礪=￡0心=1,點(diǎn)M在線段04上，且OM=2MA,點(diǎn)、N為BC

中點(diǎn)，則疝■=（）

人［一Z1_

A.—a——br+—cB.-a--b--c

232322

1.11一

C.—ciH—br—cD.--a+-b+-c

222322

【答案】D

【詳解】點(diǎn)M在線段。4上，且（W=2M4,

^1—?1一

二.MA——OA.——a

33

y.AB=OB-OA=b-a，

為3C的中點(diǎn)，

:.BN=^BC=^（QC-OB）=/片"）

:.MN=MA+AB+BN=-a+b-a+-^-b）=-需%NT.

32322

故選：D.

4.北京冬奧會(huì)將于2022年2月4日正式開(kāi)幕，繼2008年北京奧運(yùn)會(huì)之后，國(guó)家體育場(chǎng)（又名鳥(niǎo)巢）將再

次承辦奧運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式.某校一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組為了給奧運(yùn)獻(xiàn)禮，從網(wǎng)上查找了鳥(niǎo)巢的有關(guān)資料，制作了一

個(gè)近似鳥(niǎo)巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個(gè)大小不同，但扁平程度相同的橢圓，已知小橢圓的長(zhǎng)

軸長(zhǎng)為30cm,短軸長(zhǎng)為15cm,大橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為60cm,則大橢圓的短軸長(zhǎng)為（）cm

A.30B.20C.30百D.2073

【答案】A

【詳解】由題設(shè)，大小橢圓的離心率相同，又9=1-(2)2,

a

二大、小橢圓的短軸長(zhǎng)與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比值相等，

設(shè)大橢圓的短軸長(zhǎng)為2b,則有黑=患,

2b15

26=30,即大橢圓短軸長(zhǎng)為30cm.

故選：A.

r2

5.已知函數(shù)/(x)=加e。萬(wàn)，只有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.(-oo,0]B.y,o)

C.(-8,0]°{3D.

【答案】A

【詳解】/'卜)=腔「盯令/'(x)=0,得，n=2,

設(shè)g(x)=W，g'(x)=^-^=0,得x=l,

e'e，

當(dāng)X<1時(shí)，g'(x)>o,函數(shù)g(x)在區(qū)間(-8,1)單調(diào)遞增,

當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)<0,函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,+8)單調(diào)遞減,

當(dāng)X=1時(shí)，g(x)的最大值為：，

并且x<0時(shí)，g(x)<0,%>0時(shí)，g(x)>0,

如圖，畫(huà)出函數(shù)g(x)的圖象,

因?yàn)楹瘮?shù)y(x)只有一個(gè)極值點(diǎn)，即了=加與y=g(比)只有一個(gè)交點(diǎn)，且機(jī)力,，

e

所以加WO.

故選：A

6.已知無(wú)窮等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且%>。5>0,則下列說(shuō)法正確的是()

A.慨,｝是遞增數(shù)列B.｛*｝是遞減數(shù)列

C.切｝一定有最大值D.｛》｝一定有最小值

【答案】D

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為由%>%>0,得砧2>%/>0,則%>0,0</<1,

對(duì)于AB,當(dāng)-1<?<0時(shí)，出1>。，⑸<0,則邑“->邑”同用>邑”，數(shù)列6,｝不單調(diào)，AB錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)0<?<1時(shí)，a?>0,｛*｝是遞增數(shù)列，無(wú)最大值，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)0<g<l時(shí)，S,,2H=%；當(dāng)-1<"0時(shí)，s"二—'),

i-q

若"為奇數(shù)，s“=尸一(1+2|")>^^；若“為偶數(shù),s0=#

1-q\-q1-q

n2

(1-Ig/)=%(1+q),而%(l+q)=,">0,

1-q\-q\-q

因此當(dāng)-l<4<0時(shí)，對(duì)任意整數(shù)〃，Sn>S2,D正確.

7.已知斜率為后(左>0)的直線/過(guò)拋物線。/2=205>0)的焦點(diǎn)尸，與拋物線C交于A,8兩點(diǎn)，又直線

/與圓x2+y2-py_'2=o交于。，。兩點(diǎn).若|/B|=3|C。，則上的值為

4

A.72B.272C.4D.8

【答案】A

［詳解】設(shè)直線I的方程為y=kx*代入拋物線C:x2=2抄5>0)消去X,

整理得：(p+2P左2/+?=0,則%+為=2+2夕上2,

22

所以[45\=yl+y2+p=p+2pk+p=2p+2pk,

^x2+y2-py—|p2=0=>/+(,_^)2_p\

圓心為(0,^),半徑為P,

因?yàn)橹本€過(guò)圓心，所以|CO=2p,

因?yàn)閨/B|=3|C0,所以2P+2pE=6p=k=S.

故選：A.

8.定義在(0,+8)上的可導(dǎo)函數(shù)/(x)滿足/且"2)=0,則〃">0的解集為()

A.(0,2)B.(0,2)U(2,問(wèn)C.(2,+“)D.。

【答案】A

【詳解】令尸(x)=W，則尸(了)=也\

由尸(x)-x</(x),gp#'(x)-/(x)<0

所以當(dāng)％e(0,+8)時(shí)，F(xiàn)'(x)<0

可知函數(shù)b(x)在XG(0,+8)單調(diào)遞減

又/⑵=0

若萬(wàn)(x)=〃x)>0,貝ijo(尤<2

則工3>0的解集為(0,2)

x

故選：A

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知兩圓方程為一+，=4與(x-3y+0+4)220),則下列說(shuō)法正確的是()

A.若兩圓有3條公切線，則r=3

B.若兩圓公共弦所在的直線方程為3x-4y-2=0,貝什=5

C.若兩圓公共弦長(zhǎng)為26，則r=回

D.若兩圓在交點(diǎn)處的切線互相垂直，貝！|廠=互

【答案】ABD

【詳解】設(shè)圓產(chǎn)+產(chǎn)=4為圓G，圓。的圓心為G（o，°），半徑4=2,

設(shè)圓（％-3）2+（了+4）2=/（「>0）為圓02，圓G的圓心為。2（3,-4）,半徑々=r，|。1。21=5.

A選項(xiàng)，若兩圓有3條公切線，則兩圓外切，

所以Qcl=6+々,5=2+廠/=3,A選項(xiàng)正確;

x~+y^=42_2g

B選項(xiàng)，由,（（4,2兩式相減并化簡(jiǎn)得3x-4y+—-—=0,

2-29.

則-r-----=-2,r2=25/=5,

2

止匕時(shí)4=3,4+4=7,3<]。62|<7,滿足兩圓相交，B選項(xiàng)正確；

x~+y~=42_2g

C選項(xiàng)，由(x_3y+(y+4)2_，2兩式相減并化簡(jiǎn)得3彳_4了+^^^=0，

2

2_|r-29|

G(0,0)到直線3x-4y+出”=0的距離為.J21產(chǎn)-29

2--5--10

所以2G=2、r：-d。,4—d2=3,d2=1,

戶一29I?

即一^-=1,尸一29卜10,貝懈得「=屈或「=a，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

D選項(xiàng)，若兩圓在交點(diǎn)處的切線互相垂直，設(shè)交點(diǎn)為Z）,

根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知CQ1C2D,

所以=|CG|2-]=25-4=21,r=V21,D選項(xiàng)正確.

故選：ABD.

10.設(shè)拋物線E:/=2抄(p>0)的焦點(diǎn)為廠，準(zhǔn)線為>=-1,點(diǎn)45是拋物線￡上不同的兩點(diǎn)，且

|^|+|5F|=8,則()

A.2=2B.以線段NB為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切

C.線段的長(zhǎng)為定值D.線段的中點(diǎn)M到x軸的距離為定值

【答案】AD

【詳解】對(duì)于A中，由拋物線E:f=2處(°>0)的準(zhǔn)線為了=-1,可得-^=-1,解得。=2,

所以拋物線E的焦點(diǎn)為廠(0,1)且E:尤2=4了，所以A正確；

對(duì)于B中，如圖，當(dāng)線段過(guò)焦點(diǎn)尸時(shí)，過(guò)48作44，/,8片，/,

取22的中點(diǎn)M作,可得pW|=；(|/4|+忸聞)=,

此時(shí)以線段為直徑的圓與準(zhǔn)線/相切，

因?yàn)橹本€不一定過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則=不一定成立，故B錯(cuò)誤.

由拋物線得的定義得以尸|+忸曰=乂+%+2=8,所以必+%=6,

當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)必=0,貝"2=6,此時(shí)/(0,0),8(±2c,6),可得［48|=24^,

當(dāng)直線N3為0時(shí)，可得乂=%=3,不妨設(shè)玉=-2母％=26,可得|/同=46，

所以的長(zhǎng)不是定值，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D中，由乂+%=6,則線段的中點(diǎn)W到x軸的距離為無(wú)匹=3,所以D正確.

故選：AD.

11.如圖，已知在棱長(zhǎng)為2的正方體/BCD-44GA中，點(diǎn)E,F,X分別是DDt,8G的中點(diǎn)，點(diǎn)

G是42上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是()

5G

/D...........

A'EB

A.G2〃平面ABHB./￡J■平面BDAi

o

C.直線即與Bq所成的角為30。D.三棱錐G-DBC1的體積最大值為:

【答案】BCD

【詳解】

因?yàn)?BCD-44GA為正方體，所以/B〃G2,則A,B,c一，四點(diǎn)共面,

即G2在平面488上，故A錯(cuò)；

連接2D,AC,ABt,4B,A3,

在正方體/BCD-中，AC1BD,CCJ面NBC。，2。u平面4BCD,

CG1BD,

ACHCC,=C,AC,CC|u面ACC,,二呂力上面ACCX,

又AC,u面4cq,：.AC,1BD,

1

又?.-AtB1ABt,4G面/典4,4Bu平面ABBiA,

4G1AiB-

?：AB,c4G=4,ABX,用Gu面4BG,：.AXB±面AB.C,,

,/4clu平面4BG,

AjBlAQ,

又A、BCBD=B,AXB,BOu面43。，

.??/￡，面8。4,故B正確；

取4D中點(diǎn)/,連接尸/,EF,EI,4D],

在A4C0中，：足/分別為￡>/的中點(diǎn)，

：.FI//AD1,

又ADJ/BC\,：.FI〃BC「：.EF與BQ所成角為NIFE,

在△7FE中，IF=6，EI=6，EF=^DF2+DE2=DF2+AD2+AE2=46>

.V3

??cosA1FE-——，

2

???斯與3。所成的角為30。，故C正確；

當(dāng)G位于4點(diǎn)時(shí)，三棱錐G-O3G的體積最大，

][8

故七-DBG="/BCOTiBS,1囁]TB0-%-CB￡>-L-4GB-G-4G0=2-§潴2X2X2X4=§,故D正確.

故選：BCD.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S"，已知%=1,&=35,則公差"=.

【答案】3

5x4

【詳解】解：依題意，得5%+三d=35,而q=1,得1=3,

故答案為：3

13.平面內(nèi)一點(diǎn)尸(%,%)到直線/：—+為+。=0的距離為：]=，；、：?.由此類比，空間中一點(diǎn)

M(l,-1,1)至！J平面a:2x+>—z+3=0的距離為.

【答案】逅

2

【詳解】解：依題意類比可得空間中一點(diǎn)”(1,-Ll)到平面a:2x+y-z+3=0的距離

商+-2-

故答案為：如

2

22

14.雙曲線》-]=1.>04>0)的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2.過(guò)不作其中一條漸近線的垂線，交雙曲線

7T

的右支于點(diǎn)尸，若/片尸鳥(niǎo)=7,則雙曲線的離心率為.

【答案】V3

/.|AF2|=2a,|AFX\=1b,又在必△尸/名中N片尸8=；?,故|尸41=|/F?|=2a,|尸6|=2后a,

由雙曲線定義知：ISHP^|=26+2a-2jL!=2a,貝也=缶，

aa

故答案為：V3.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。

15.(13分)已知圓C的圓心在直線x-2y=0上，且與直線尤-2y+5=0相切于點(diǎn)(3,4).

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求過(guò)點(diǎn)(2,0)且被圓C截得的弦長(zhǎng)為?22的直線方程.

【詳解】(1)設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=/...................................................(2分)

???圓C的圓心在直線x-2y=0上，且與直線工-2了+5=0相切于點(diǎn)(3,4),

a-2b=0

，，（3-。）2+（4-6）2=〃，解方程組得°=4,6=2,r=?；......................（5分）

Ici—2b+51

~^r=r

所以圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-4）2+（y-2）2=5...................................（6分）

（2）設(shè)直線的方程為：y=*（x-2）,

圓心C（4,2）到直線/的距離》一（《：=g,.................................（8分）

\4k-2-2k\243

所以~I——7=7＞解得左=刀或;，.....................................（12分）

J1+/534

所以直線I的方程為4x-3y-8=0或3x-4y-6=0.............................（13分）

16.（15分）已知四棱柱N8CD-44GA的所有棱長(zhǎng)都為2,且乙4/8=/4/。=/8/。=60。.

（I）證明：平面4/C,平面4瓦人

（2）求直線8。與平面4/C所成的角e的正弦值.

【詳解】（1）證明：設(shè)zc與8。的交點(diǎn)為。，連接4。,

所以A4/8三A44D,

所以9=4。，...........................................................（4分）

又因?yàn)?。?。的中點(diǎn)，所以

另由8D_L/C且/?？?。=。，

所以8。1平面N/C,........................................................（6分）

而B(niǎo)Ou平面4助，所以平面//C_L平面..............................（7分）

（2）過(guò)O作直線OZ_L平面/BCD,分別以02、OC、0Z為x、y、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)

系，..........................................................（8分）

A

(巧2府

依題意，得/(0,-6,0),4|0，-1-，"-，5(1,0,0),c(o,^,o),c]o,乎孚

所以可=；0，￥，-半，就=（0,2班,0）,苑=]-1,孚,孚],..........（10分）

設(shè)平面4/C的法向量為〃=（x,y,z）,

2拒276_n

所以《33,令x=l,則>=二=0,即：=(1,0,0),

25=0

即直線BQ與平面A.AC所成的角9的正弦值為9..............................

（15分）

6

17.(15分)已知/(%)=/'⑴x2-x+21nx

⑴求/'（1）并寫(xiě)出了（%）的表達(dá)式;

⑵記g（尤）=；（/（x）+/+尤）+。，若曲線y=eX+2x在點(diǎn)（0,1）處的切線也是曲線g（x）的切線，求。的值.

【詳解】(1)由f(x)=/'⑴/一x+21nx,求導(dǎo)可得/，(x)=2/(l)x-l+：,………(2分)

由/'⑴=2/'(1)-1+2,解得/'⑴=-1,則/(尤)=一尤2一x+21nx..............(5分)

(2)g(x)=；(/(x)+x2+x)+a=lnx+a,求導(dǎo)可得g'(x)=L..............(8分)

由y=e*+2x得了=e，+2,故y=e*+2x在(。,1)處的切線斜率左=e°+2=3,

所以y=e'+2x在(0,1)處的切線方程為了-l=3(x-0),化簡(jiǎn)可得y=3x+1,(12分)

令g'(x)=L=3,解得x=；,將其代入切線方程廣3無(wú)+1可得y=2,代入g(x)得g［；］=ln；+a,

所以得ln；+a=2,解得a=2+ln3..........................................(15分)

18.(17分)己知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)%=2,且滿足%+a“=4x3".

⑴求證：3"｝是等比數(shù)列，并求出｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)4=a?-(-l)n，求數(shù)列｛的｝的前〃項(xiàng)和S..

-4+4x3"-3向=6+4x3"-3x3"=一%+3”

【詳解】(1)證明：」旦=4..(4分)

一…

所以。-3"｝是以4-3=-1為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列.

所以%-3"=(-1)",所以4=3"+(-1)".......................................(7分)

(2)因?yàn)椋?%-(_1)"=3"，所以她,=〃3",(9分)

=1X31+2X32+3X33+4X34+---+?3Z,,

3S"=1x3?+2x33+3x34+…+(〃-1)3”+〃3向，

作差可得-2S“=3+32+3、34+…+3"-〃x3"』=3x(l_32“x3"&,

“1-3

所以S“=^^x3向+：...................